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2026年江西省南昌市南昌县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某市某日的气温是，则该日的温差是( )
A. B. C. D. 一
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等，如图南昌万寿宫有若干根擎檐柱如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是( )
A. B. C. D.
4.是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务其活跃用户数在上线天后达到了万将万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
5.机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图的数学模型，，，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，不等臂跷跷板的支撑点到地面的高度为，当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为；当的一端碰到地面时，另一端到地面的高度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：的结果是 ．
8.若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ．
9.九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为钱，乙持钱数为钱，列出关于、的二元一次方程组是______．
10.如图，将图的七巧板，拼成图所示的平行四边形，则的值为 ．
11.如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，是的中点若的长为，则阴影部分的面积为 ．
12.如图，在矩形中，，，点是矩形边上一动点当时，的长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：；
解不等式组：．
14.本小题分
如图，均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为，点，均在格点上在给定的网格中使用无刻度的直尺按要求画图．
在图中，以线段为腰画一个等腰直角三角形．
在图中，以线段为直角边画一个直角三角形，并且使．
15.本小题分
先化简，再从，，，中选择合适的数作为的值代入求值．
16.本小题分
中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍下面是班长制作正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余完全相同将这张卡片背面向上，洗匀，放好．
A.嫦娥探月 B.天问探火 C.北斗组网 D.神舟飞天
小梦从这张卡片中随机摸出一张，摸到“天问探火”的概率是______；
若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率卡片名称用，，，表示即可．
17.本小题分
如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点和点．
求反比例函数与一次函数的表达式；
点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积的，求点坐标．
18.本小题分
中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配座新能源客车若干辆，还有人没座位；若只调配座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加辆，还有人没有座位．
求计划调配座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数．
若同时调配座和座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
19.本小题分
如图，在中，，，经过，两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作，交于点
求证：是的切线；
若，，求的长．
20.本小题分
根据健康中国行动年，初中生每天要睡眠个小时某数学兴趣小组对本校八、九年级学生的夜间睡眠时间进行统计调查，从该校所有八、九年级学生中随机抽出名八年级学生、名九年级学生，统计他们的夜间睡眠时间，然后小组将调查得到的夜间睡眠时间意向分成了四组：，，，的单位为小时将所得数据进行收集、整理、描述、应用．
收集数据
八年级名学生夜间睡眠时间统计表
编号
睡眠时间
九年级名学生夜间睡眠时间统计表
编号
睡眠时间
整理、描述数据
八、九年级名学生睡眠时间频数分布表
组别 睡眠时间 八年级频数 九年级频数
应用数据
______，______；
补全条形统计图；
已知该校有八年级有名学生，九年级有名学生．
估计该校九年级夜间睡眠时间在六小时以上含六小时的人数；
估计该校八、九学生的夜间睡眠时间在合格时长的人数；
根据以上统计数据，针对该校八、九年级学生的睡眠时间，请你提出一条合理化建议．
21.本小题分
某数学兴趣小组的同学们研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器圭表．
小组内同学协同制作了如图所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化夏至日影子最短冬至日影子最长．
秋分时，表的影子的长度等于夏至影子和冬至影子的长度的平均值．
如图，为同学们制作的表，，的长度为，为圭经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为．
参考数据：，，，，，．
求的长度；
求秋分时，表的影子的长度；
秋分正午时，同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度．
22.本小题分
如图，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水喷水口离地面的竖直高度为单位：如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的一部分；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为单位：，若，，
求上边缘抛物线的函数解析式不必写出自变量的取值范围，并求喷出水的最大射程；
求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
23.本小题分
综合与实践
【问题背景】小明同将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表：
， ， ， ，
【归纳总结】
小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，它们都可叫作筝形我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．
他类比研究特殊四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理：
______；______；
【知识迁移】
李老师引导小明深入思考，如图，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与交于点，求证：四边形是筝形；
将中的条件“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，如图，中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论；
【拓展延伸】
在图中，连接，交于点，请在图上画出符合条件的图形，若正方形的边长为，求的最小值．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或或
13.解：原式
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
14解：如图所示，即为所求，
如图所示，
，使，
则，
即为所求图形．
15.解：
，
当，，时，原分式无意义，
，
当时，原式．
16.解：由题意知，共有种等可能的结果，其中摸到“天问探火”的结果有种，
摸到“天问探火”的概率为．
故答案为：．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中他们两人介绍的航天工程主题相同的结果有种，
他们两人介绍的航天工程主题相同的概率为．
17.解：，，
，
，
把代入得：，
，
反比例函数解析式为；
把，代入一次函数得：
，
解得，
一次函数解析式为；
设点的坐标为，
，
丨丨，
解得：，
当时，；
当时；
或．
18.解:设计划调配座新能源客车辆，这支研学队伍的人数为人，
根据题意得：，
解得：．
答：计划调配座新能源客车辆，这支研学队伍的人数为人；
设需调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
．
答：需调配座新能源客车辆，座新能源客车辆．
19.证明：连接
，，

，
，
又，
，
即 ，
与相切；
解：连接
为直径，


又，
∽，
，
，，，，

，
．
20.解：八年级学生夜间睡眠时间在的人数有人，即，
被抽取名九年级学生夜间睡眠时间在的人数，
故答案为：，；
八年级和九年级学生夜间睡眠时间在组的人数为人，补全条形统计图如下：
样本中，九年级学生夜间睡眠时间在小时及以上的人数有人，即占被调查人数的，
所以名九年级学生中夜间睡眠时间在小时及以上的人数有人，
样本中，八年级学生夜间睡眠时间在“合格时长”的人数有人，九年级学生夜间睡眠时间在“合格时长”的人数有人，
所以总体中八、九年级学生夜间睡眠时间在“合格时长”的人数有人；
根据调查数据可以看出八、九年级学生夜间睡眠时间不合格，建议：引导学生合理调整作业时间，适当补充午休时间．
21.解：，
，
在中，，
，
在中，，，
，
；
秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值．
；
设旗杆的长度为，
由题意得，，
解得，
答：旗杆的长度为．
22.解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得，舍去，
喷出水的最大射程为；
对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
点的坐标为；
，
点的纵坐标为，
，
解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
23.解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：
筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；
筝形的面积等于对角线乘积的一半；
筝形是轴对称图形等；
故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形；
证明：如图，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的正方形，
，，
，
≌，
，
四边形是筝形；
解：四边形是筝形；
理由：如图，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的菱形，
，，
，
，
，
四边形是筝形；
解：补全图形如图，
由知四边形是筝形，
，，
点，在线段的垂直平分线上，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，
取的中点，则点为该半圆的圆心，连接，，
则，当且仅当点，，三点共线时取等，
此时取得最小值，最小值为，
正方形的边长为，，
，为的中点，
，，
．
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