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2026年安徽亳州市九年级第二次模拟考试数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在，四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.中国乘用车协会统计了年前三个季度我国新能源汽车国内总销量为万辆，其中数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.太原市涌现出一批娇小可爱且绿意盎然的“口袋公园”，它们或散落、或隐藏在城市结构中，为市民服务无论是清晨傍晚的锻炼，还是茶余饭后的散步，口袋公园都是一个好的去处在某一个公园放置了如图所示的凳子供大家休息，它是由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的俯视图为( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，直线，将一块含角的直角三角尺按图中方式放置，其中点与点分别落在直线，上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形 中， ，点 ，点 在 边上，且 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平行四边形中，，点为的中点，点为边上一点，直线交于点，连接，则下列结论不成立的是( )
A. 若四边形为矩形，则 B. 四边形为平行四边形
C. 若，则四边形为菱形 D. 四边形不可能为正方形
10.如图，在中，，，点是上一点，以为直角边在的右侧作等腰，其中与交于点连接，，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. 周长的最小值 D.
二、填空题：本题共4小题，共15分。
11.分解因式
12.如图，四边形是的外切四边形，，则四边形的周长为 ．
13.如图，在中，，平分，交于点，，则 ．
14.如图，在正方形中，对角线交于点，将绕点逆时针旋转到，连接．
若，则点到的距离为 ；
．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.计算：．
四、解答题：本题共8小题，共100分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，网格中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，以原点为位似中心在第三象限内作，使它与位似，且相似比为，再把绕原点逆时针旋转得到．
画出，并直接写出点的坐标；
画出，在旋转过程中，求点到点所经过的路径长．
17.本小题分
网约快车是城市便捷的出行交通工具之一，某市网约快车的计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 元千米 元分钟 元千米
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分组成．其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时长计算，远途费的收费方式为：行车里程千米以内含千米，不收远途费，超过千米时，超过的部分每千米加收远途费元．
一人乘网约快车分钟到达目的地，行驶里程为千米，请用含的代数式表示他应付的费用为 元；
甲、乙两人各自乘网约快车，甲比乙的行车里程多千米，若两人的计费项目完全相同，所付的车费也相同，求乙比甲多乘车几分钟？
18.本小题分
某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
【观察思考】当正方形地砖只有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；当正方形地砖有块时，等腰直角三角形地砖有块如图；以此类推．
【规律总结】人行道上每增加块正方形地砖时等腰直角三角形地砖增加 块；
若一条这样的人行道有为正整数块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 块；用含的代数式表示
【问题解决】现有块等腰直角三角形地砖，按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
19.本小题分
如图是某超市从一楼到二楼的一自动扶梯，图是其侧面示意图．已知自动扶梯 的坡度为 ， 的长是 米， 是二楼楼顶， ，点 是 上处在自动扶梯顶端 正上方的一点， ，在自动扶梯底端 处测得点 的仰角为 ，求二楼的层高 精确到 米
参考数据： ， ，
20.本小题分
如图， 为 的直径， 于点 ，点 ， 均在 上， 与 交于点 ．
求证； ；
若，求的值．
21.本小题分
在月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间单位：小时把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：根据调查情况，给出了部分数据信息：
档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，；
图和图是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
求本次调查的学生人数，并将图补充完整；
已知全校共名学生，请你估计全校档的人数；
学校要从档的名学生中随机抽取名学生分享读书经验，已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生分别来自七年级和九年级的概率．
22.本小题分
如图，在正方形 中，点 是 边上的一点不与点 ， 重合，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
求证： ；
如图 ，若点 为 中点时，连接 ，求证： ；
如图 ，若 ，延长 至 ，使 ，连接 ，请探究 与 的关系，并证明．
23.本小题分
已知抛物线 为常数的顶点为点 ，与 轴交于点 ．
若 ，求该抛物线顶点 的坐标；
将中抛物线图象轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，与原抛物线图象轴上方的部分共同构成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请直接写出的取值范围；
若 ，且当 时，该二次函数的最大值与最小值之差为，求 的值．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.】
11.
12.
13.
14.【】 【】
15.解：原式．
16.【小题】解：如图所示，即为所求，点的坐标为；
【小题】解：如图所示，即为所求，
由勾股定理得，
点到点所经过的路径长为．

17.【小题】由题意知，里程费为元，时长费为元，
行驶里程超过千米，而超过部分的里程为千米，
该路程含有远途费，单价为元千米，
远途费为元，
元，
即他应付的费用为元．
【小题】设乙比甲多乘车分钟，乙行驶里程为千米时，甲行驶的里程为千米，
甲、乙的计费项目完全相同，
当甲、乙行车里程均未超过千米，即时，，解得，
当甲、乙行车里程均超过千米，即时，，
解得，
综合得或，
乙比甲多乘车分钟或分钟．
18.【小题】
【小题】由题
当正方形地砖只有
所以当地砖有
【小题】由的规律知，解得，
的最大值为，
当等腰直角三角形地砖剩余最少时，需要正方形地砖块．

19.【答案】解：如图，延长 交 于点 ．
，
．
，
设 米 ，则 米．
， 米，
．
，
米， 米．
，
米，
米．
答：二楼的层高 约为 米．

20.【小题】
证明： ，
，
．
又 ，
，
；
【小题】
解：如图，连接，
为的直径，
，
在中，，
设，则，
为的直径，，
，，
在中，，
设，则，，，
，
在中，，即，
，解得，
在中，，，
，
．

21.【小题】
解：由题知档和档共有个数据，档数据有个，
档数据共有人，
本次调查的学生人数为人，
档人数为人，
补全图如图所示；
；
【小题】
解：人，
答：估计全校档的人数为；
【小题】
解：分别用，表示七年级的名学生，用表示八年级名学生，用表示九年级名学生，画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中抽到的名学生分别来自七年级和九年级的结果有种，
所以抽到的名学生分别来自七年级和九年级的概率．

22.【小题】
证明：四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
在 与 中， ，
，
．
【小题】
证明：如图 ，过点 作 于点 ，

设 ，
点 是 的中点，
，
，
， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，即 所在的直线垂直平分 ，
．
【小题】
解： ，证明如下：
如图，过点 作 于 ，
设 ，则 ，
， ，
由知 ，
，即 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
．
23.【答案】【小题】
解：由题意可知， 是方程 的两个根，
，
，
，
抛物线的解析式为
该抛物线顶点 的坐标为 ；
【小题】
解：由得原抛物线为，与轴交点为，，
将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，得到新图象的解析式为：
直线与新图象有且只有两个交点，分情况讨论：
直线与翻折后的两支各有一个交点，与原抛物线无交点时，
联立与，得，
得恒有两实根
联立与，得，
令，则，解得
直线与原抛物线有两个交点，与翻折后的两支无交点时，
直线经过时，，得；
直线经过时，，得；
当时，直线与原抛物线有两个交点，与翻折部分无交点，
综上，的取值范围是或；
【小题】
解：将 代入解析式得， ，
抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
区间为 ，且 ，
对称轴 在区间内，且区间右端点 到对称轴的距离 大于左端点 到对称轴的距离，
当 时，函数取得最大值，
当 时，函数取得最小值
由题意得 ，
解得 或 ，
或 ，
，
．
第1页，共1页

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