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专题07 实际应用
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中实际应用考点主要考向分为四类： 一、一次函数实际应用（每年1道，6~8分）； 二、二次函数实际应用（每年1道，8~12分）； 三、方程（组）与不等式（组）实际应用（每年1~2道，6~10分）； 四、几何图形实际应用（每年1道，6~10分）． 考查内容贴合生活实际，命题形式灵活，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，侧重考查建模思想、转化思想与计算能力，核心是将实际问题转化为数学问题． 预测2026年：实际应用仍是中考数学核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查二次函数实际应用（最值、利润、行程等），强化多知识点融合（如函数与方程、几何与实际情境结合）。命题更注重情境化、生活化，强调数学与实际生活的关联，考生需熟练掌握各类实际应用的建模方法，提升审题、转化与计算能力，做到举一反三、灵活应对。
考向01 一次函数实际应用
题型1 行程问题
1、核心建模：行程问题核心关系式为“路程=速度×时间”，分相遇、追及、相向而行、同向而行等场景，结合一次函数y=kx+b（k为速度，b为初始路程）表示路程与时间的关系； 2、解题技巧：①审题时明确运动方向、速度、初始位置，区分相遇、追及的临界条件；②根据题意确定一次函数的自变量（时间）取值范围，结合函数图象或解析式求解未知量（速度、时间、路程）；③复杂行程问题可通过画线段图，梳理各运动主体的关系，简化建模过程； 3、易错点：混淆相遇与追及的数量关系；忽略自变量的实际取值范围（如时间不能为负）；未区分“匀速运动”与“变速运动”，盲目套用一次函数模型。
1．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒．
2．（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校．
(1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离；
(2)当乙追上甲时，求x的值；
(3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值．
3．（2026·天津河东·一模）已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小海离开家的时间 2 9 14 30
小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________
②填空：小海从体育馆回家的速度为________；
③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
题型2 计费问题
1、核心建模：计费问题多为分段计费，分“基础费用+超额费用”两部分，对应分段一次函数，不同计费区间对应不同的函数解析式； 2、解题技巧：①明确分段节点（如电量、里程、时长的分界点），区分各区间的计费标准；②分别列出各区间的一次函数解析式，标注自变量取值范围；③根据实际计费金额，判断对应区间，代入解析式求解，或比较不同计费方案的优劣； 3、易错点：混淆各分段区间的计费标准；忽略分段节点的取值归属（如“不超过”“超过”的区别）；计算超额费用时，漏减基础部分的金额。
1．（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 5
超过500单的部分 8
(1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？
2．（2026·陕西渭南·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示：
时段 电价（元/千瓦时）
谷段（晚上~次日）
峰段（白天~）
某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费．
3．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下：
费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式
第一档 元
第二档 超出千克的部分，元/千克
第三档 超出千克的部分，元/千克
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
(1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式．
(2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？
考向02 二次函数实际应用
题型3 利润最值问题
1、核心建模：利润问题核心关系式为“总利润=单件利润×销售量”，单件利润=售价-进价，结合题意用二次函数y=ax +bx+c（a≠0）表示总利润与售价、销售量的关系，利用二次函数最值求解最大利润； 2、解题技巧：①设未知数（通常设售价或涨价/降价金额），表示出单件利润与销售量；②列出二次函数解析式，整理为顶点式，结合二次项系数判断开口方向（a＜0时，有最大值）；③结合自变量实际取值范围（售价不能低于进价、销售量不能为负），确定最值的合理性； 3、易错点：销售量与售价的变化关系找错（如涨价1元，销售量减少多少件）；忽略自变量的实际限制，直接用顶点坐标作为最值结果；计算单件利润时，漏减进价或其他成本。
1．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（ ）
A．200元 B．180元 C．170元 D．160元
2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
3．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
4．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
(1)任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
5．（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
场)
万元)
(1)求与之间满足的函数关系式；
(2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
(3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
题型4 几何图形最值问题
1、核心建模：几何图形实际应用（如长方形、三角形、圆形的面积、周长最值），结合几何性质，用二次函数表示图形的面积、周长与边长的关系，求解最值； 2、解题技巧：①根据几何图形的性质，列出面积、周长的关系式，转化为二次函数形式；②将二次函数整理为顶点式，判断开口方向，确定最值；③结合几何图形的边长限制（边长不能为负、满足三角形三边关系等），验证最值的合理性； 3、易错点：几何关系式列错（如长方形面积公式混淆、三角形周长与面积计算错误）；忽略几何图形的边长限制，导致最值不符合实际；二次函数的顶点坐标与几何图形的实际边长不匹配。
1．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论：
①的长可以是；
②当矩形菜园的面积为时，的长为或；
③若规定，则矩形菜园的最大面积是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米．
(1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．
3．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示．
素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称．
素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴．
素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上．
(1)求抛物线、的函数表达式；
(2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值．
4．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
题型5 行程与运动问题
1、核心建模：结合二次函数与行程问题，考查运动过程中的路程、速度最值（如最短路程、最大速度），或动点运动过程中的几何图形面积、线段长度最值； 2、解题技巧：①分析运动轨迹，确定动点的运动范围，用含参数的式子表示动点坐标或线段长度；②结合几何性质与二次函数，列出最值关系式，整理为顶点式求解；③结合运动的实际限制（如时间、路程不能为负），验证结果合理性； 3、易错点：动点运动轨迹判断错误，无法用参数表示相关量；二次函数解析式列错，混淆路程、速度、时间的关系；忽略运动的临界条件，导致最值求解偏差。
1．（2026·贵州遵义·一模）如图，动点P从点A出发，沿着边长为的正方形的边，按照路线以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接、、，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为________．
3．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为．
(1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________．
0 1 2 3 4
0 5
4.5 0
考向03 方程（组）与不等式（组）实际应用
题型6 工程与生产问题
1、核心建模：工程问题核心关系式为“工作量=工作效率×工作时间”，通常将总工作量看作单位“1”，结合一次函数表示工作量与时间、效率的关系；生产问题侧重产量、成本与产量的线性关系； 2、解题技巧：①明确工作主体（单人、多人合作、分工），计算各主体的工作效率；②根据工作量关系，列出一次函数解析式，求解工作时间、效率或产量；③生产问题中，区分固定成本与可变成本，结合函数解析式分析产量与利润的关系； 3、易错点：多人合作时，误将各主体效率相加后再乘时间（需注意合作时间是否一致）；忽略工作效率的单位统一；生产问题中，混淆固定成本与可变成本的计算。
1．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？
2．（2026·重庆万州·一模）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米．
(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？
(2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间．
3．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成．
(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？
(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
题型7 利润与折扣问题
1、核心建模：利润与折扣问题，利用一元一次方程、二元一次方程组或一元一次不等式（组）求解，核心关系式为“售价=标价×折扣”“利润=售价-进价”“总利润=单件利润×销售量”； 2、解题技巧：①根据题意找出等量关系（如利润达到某一数值、销售量满足某一条件），设未知数，列出方程（组）；②若涉及“最多”“最少”“不超过”等关键词，列出不等式（组），求解自变量的取值范围；③结合实际意义，对解进行取舍（如销售量为整数、折扣为0.1的倍数）； 3、易错点：折扣计算错误（如8折误算为原价×8）；等量关系找错，导致方程列错；不等式（组）的不等号方向混淆，或忽略自变量的实际取值范围。
1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
2．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表：
玩具店 A B C D E
销售单价 60 59 58 57 56
日销售量 20 22 24 26 28
(1)此玩具的进价是多少元？
(2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
(3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
3．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务．
为村民小组设计总费用最少的购进方案
背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓 万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售．
素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元．
解决问题：
(1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？
(2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．
4．（2026·河南周口·模拟预测）
背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元．
素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮．
问题解决：
(1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？
(2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示）
(3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？
5．（2026·辽宁抚顺·一模）为了加强校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选择．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元．
(1)求甲、乙两种型号设备的单价；
(2)若购买这批设备的资金不超过7600元，则至少应该购买甲型设备多少台？
题型8 方案设计问题
1、核心建模：方案设计问题结合方程与不等式（组），根据实际限制条件（如成本、数量、利润），设计多种可行方案，再选择最优方案（如成本最低、利润最高）； 2、解题技巧：①设未知数，根据题意列出不等式（组），求解自变量的取值范围；②根据自变量的整数解（如数量为整数），确定可行方案；③计算每种方案的成本、利润，对比选择最优方案； 3、易错点：忽略实际限制条件（如原材料数量、生产能力），导致方案不可行；未列举所有可行方案，遗漏最优解；计算方案的成本、利润时出现计算错误。
1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材
素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元
素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元
素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折
请完成下列任务：
(1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元
(2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少
2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
(1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
(2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？
3．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
4．（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
考向04 几何图形实际应用
题型9 测量问题
1、核心建模：测量问题（如测量高度、距离），利用直角三角形、相似三角形、三角函数（正弦、余弦、正切），将实际测量转化为几何计算，求解未知量； 2、解题技巧：①根据测量场景，构造直角三角形或相似三角形，明确已知边、角与未知量的关系；②利用三角函数或相似三角形的比例关系，列出关系式，求解未知量；③注意测量工具的高度（如测角仪高度），计算时需叠加或减去，确保结果准确； 3、易错点：三角函数的边角对应关系找错（如正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边）；相似三角形的对应边找错，比例关系列错；忽略测量工具的高度，导致测量结果偏差。
1．（2025·湖北咸宁·模拟预测）某数学兴趣小组想要利用所学的知识测量某栋大楼的高度，记录如下：
课题 测量大楼的高度
活动方案 方案一 方案二
羽量方案示意图
实施方案 1．选取与大楼旁的建筑物； 2．在处，测量大楼顶部处的仰角； 3．在处，测量大楼底部处的俯角； 4．测量大楼与建筑物之间的距离． 1．选取与大楼底部位于同一水平地面的处； 2．站在处，用测角仪测量从眼睛看楼顶的仰角； 3．沿着方向行至处，测量楼顶部处的仰角； 4．测量，之间的距离； 5．测量的高度．
测量数据 ，，． ，，，．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，，，，． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，，．
请选择其中一个方案及其测量数据求出大楼的高度．（结果精确到）
2．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 隧道限高问题
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具 皮尺、标杆等
测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆．
测量数据 测量项目 数值
矩形的尺寸 长，宽；
标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为；
问题解决
(1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离；
(2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过．
3．（2025·山西太原·一模）综合与实践
校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下：
活动主题 测量运动场围网外路灯的高度
数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点．
测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
数据测量 测量对象测量结果米
解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ．
实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……．
(1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程；
(2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米．
（用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）．
题型10 图形拼接与设计问题
1、核心建模：图形拼接与设计问题（如长方形、正方形、圆形的拼接，图形的裁剪与设计），利用几何图形的边长、面积关系，结合实际需求（如材料最省、面积最大），设计合理方案； 2、解题技巧：①明确拼接/裁剪的要求，结合几何图形的性质，计算拼接后的边长、面积；②根据实际限制（如材料尺寸、设计要求），列出关系式，确定最优拼接/裁剪方案；③注意拼接时的重合部分，避免重复计算面积或边长； 3、易错点：拼接后的图形边长、角度计算错误；忽略材料的尺寸限制，导致设计方案不可行；裁剪时，未充分利用材料，造成浪费。
1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强 …… ……
接触面积 …… ……
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强（）
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
2．（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？
3．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案．
(1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”）
(2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示）
(3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．
题型11 实际场景中的几何计算问题
1、常见应用场景：桥梁拱高、管道截面、建筑造型、航海路线等，核心是将实际场景转化为几何图形（如圆弧、矩形、三角形），利用几何性质求解； 2、解题技巧：①提取实际场景中的几何模型，确定已知条件（如拱高、半径、边长）；②结合圆的性质、矩形性质、三角形全等/相似等知识，列出关系式，求解未知量；③结合实际意义，对结果进行取舍（如长度、高度不能为负）； 3、易错点：无法将实际场景转化为几何模型；几何性质应用错误（如垂径定理、勾股定理使用不当）；忽略实际场景中的隐含条件（如圆弧的半径、图形的对称性）。
1．（2026·陕西汉中·一模）【用数学的眼光观察现实世界】
如图1是某摄影棚的截面示意图，其形状近似呈双抛物线形．
【用数学的思维思考现实世界】
图1中内侧抛物线上的水平支架有多长呢？
【用数学的语言表达现实世界】
将图1中的示意图抽象成数学图形如图2所示，建立平面直角坐标系后，点与点分别为抛物线和的顶点，且点与点到轴的距离相等，、之间的竖直高度为，两条抛物线均经过坐标原点，且其对称轴均与轴垂直．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)有一根支架（点和点均在抛物线上），若点和点到轴的距离和均为，求水平支架的长度．
2．（2025·陕西商洛·二模）古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶”（如图①），一般用于普通民居，建筑屋檐出了山墙，远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方，图②为一栋“悬山顶”式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线形落到院中地面上点处（可将点视为抛物线顶点），若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)如图③，现有一个高为的圆柱形洗手池，洗手池的底部中心点到走廊的距离为，请通过计算说明下雨时雨水是否能正好落在洗手池的顶部中心点处．
3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具．
设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过．
实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高
设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准．
确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标．
(1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式；
(2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准．
（建议用时：80分钟）
1．（2026·黑龙江·一模）2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·辽宁鞍山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·甘肃白银·一模）投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为时，箭头行进至最高点处．若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且，则这名男生此次投壶______投中（请填“能”或“不能”）．
4．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
5．（2026·河南周口·一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车进行销售．已知购进1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元．A，B两种型号新能源汽车进价与售价如下表所示：
型号 进价/（万元/辆） 售价/（万元/辆）
A型汽车 a 13
B型汽车 b 30
(1)求a，b的值．
(2)若该汽车销售公司一次购进A，B两种型号新能源汽车60辆，其中A型号新能源汽车的数量不少于B型号新能源汽车数量的．问如何进货，才能使销售完所有汽车获得最大利润？最大利润是多少？
6．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为 ，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）榫卯，是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的连接方式．2025年，在一系列文化传承与推广活动中，传统榫卯技艺大放异彩，它作为中国传统木工技艺的精髓，承载着千年的文化智慧．某木工工作室为制作榫卯工艺品，第一次用1600元购进一批优质木材．由于制作需求大，又用2800元第二次购进同种木材．已知第二次购进木材的单价比第一次贵5元，且第二次购进的数量是第一次的1.4倍．
小海：由题目已知条件，可设第一次购进木材的单价为x元/立方米，可列出方程求解． 小依：由题目已知条件，可设第一次购进木材的数量为x立方米，则可列出方程求解
(1)求该工作室两次购进这种木材各多少立方米？请你选择一位同学的方法进行解答．
(2)第二次购进木材后，按照第一次的售价制作并售卖榫卯工艺品，若要使两次购进木材制作的工艺品销售完后的总利润不低于3280元，那么每件工艺品（假设每件工艺品使用0.1立方米木材）的售价至少为多少元？
8．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米．
(1)①求行车道的宽度；
②直接写出a的值是______：车位数量为______个；
(2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值．
9．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．
素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为．
素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍）
(1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽；
(2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？
10．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
11．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
12．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节．
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定．
【制作步骤】
步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为．
(1)直接写出骨架的长度：_____，_____；
步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线．
(2)求过E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，．
(3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 实际应用
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中实际应用考点主要考向分为四类： 一、一次函数实际应用（每年1道，6~8分）； 二、二次函数实际应用（每年1道，8~12分）； 三、方程（组）与不等式（组）实际应用（每年1~2道，6~10分）； 四、几何图形实际应用（每年1道，6~10分）． 考查内容贴合生活实际，命题形式灵活，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，侧重考查建模思想、转化思想与计算能力，核心是将实际问题转化为数学问题． 预测2026年：实际应用仍是中考数学核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查二次函数实际应用（最值、利润、行程等），强化多知识点融合（如函数与方程、几何与实际情境结合）。命题更注重情境化、生活化，强调数学与实际生活的关联，考生需熟练掌握各类实际应用的建模方法，提升审题、转化与计算能力，做到举一反三、灵活应对。
考向01 一次函数实际应用
题型1 行程问题
1、核心建模：行程问题核心关系式为“路程=速度×时间”，分相遇、追及、相向而行、同向而行等场景，结合一次函数y=kx+b（k为速度，b为初始路程）表示路程与时间的关系； 2、解题技巧：①审题时明确运动方向、速度、初始位置，区分相遇、追及的临界条件；②根据题意确定一次函数的自变量（时间）取值范围，结合函数图象或解析式求解未知量（速度、时间、路程）；③复杂行程问题可通过画线段图，梳理各运动主体的关系，简化建模过程； 3、易错点：混淆相遇与追及的数量关系；忽略自变量的实际取值范围（如时间不能为负）；未区分“匀速运动”与“变速运动”，盲目套用一次函数模型。
1．（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒．
【答案】
【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间．
【详解】解：甲的函数关系：
由图可知：甲匀速走用时，
∴甲的速度，
∴甲距离起点的距离为：
乙的分段函数关系：
由图可得：
乙前秒走，
∴乙原来的速度；
当时，乙距离起点的距离为：；
当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：；
当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：；
第二次相遇：时，令，
即：，
解得，符合范围，
因此甲乙第二次相遇的时间是秒．
2．（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校．
(1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离；
(2)当乙追上甲时，求x的值；
(3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值．
【答案】(1)甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米
(2)
(3)，当乙到达学校门口时
【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离；
（2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解；
（3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟，
乙骑车的速度为米/分钟，
∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米，
∴学校门口和操场的距离为：米；
（2）解：设甲的函数解析式为：，代入，
∴，
∴，
∴，
设乙的函数解析式为：
代入，
∴
解得：
∴，
由题意，，
解得：，
故当乙追上甲时，x的值为20；
（3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口，
∴乙返回时的行驶距离为（米），
∴乙到达学校门口时x的值为，的值为，
设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入，
，解得：
∴，当乙到达学校门口时x的值为．
3．（2026·天津河东·一模）已知小海的家、便利店、体育馆依次在同一条直线上，便利店离家，体育馆离家．小海从家出发，先匀速步行了到便利店，在便利店停留了，之后匀速步行了到体育馆，在体育馆停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小海离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
小海离开家的时间 2 9 14 30
小海离家的距离 ________ 0.6 ________ ________
②填空：小海从体育馆回家的速度为________；
③当时，请直接写出小海离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当小海离开家时，他的爸爸也从体育馆出发匀速步行了直接到家．在从体育馆到家的过程中，对于同一个的值，小海离家的距离为，小海的爸爸离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）结合函数图象求出各阶段速度即可解决①②，再由待定系数法分段求解即可解决③；
（2）由待定系数法求出爸爸运动的函数表达式，结合，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
小海从家到便利店的速度为；
小海从便利店到体育馆速度为；
①当时，由于，则；
当时，由于，则；
当时，由于，则；
②小海从体育馆回家的速度为；
③当时，；
当时，设，
将、代入解析式得，
解得，
；
综上所述，当时，小海离家的距离关于时间的函数解析式为；
（2）解：设，
将、代入解析式得，
解得，
；
当时，设，
将、代入解析式得，
解得，
；
如图所示：
当时，
联立，解得；
当时，
联立，解得；
当时，
在时，；在时，；
综上所述，当时，的取值范围是．
题型2 计费问题
1、核心建模：计费问题多为分段计费，分“基础费用+超额费用”两部分，对应分段一次函数，不同计费区间对应不同的函数解析式； 2、解题技巧：①明确分段节点（如电量、里程、时长的分界点），区分各区间的计费标准；②分别列出各区间的一次函数解析式，标注自变量取值范围；③根据实际计费金额，判断对应区间，代入解析式求解，或比较不同计费方案的优劣； 3、易错点：混淆各分段区间的计费标准；忽略分段节点的取值归属（如“不超过”“超过”的区别）；计算超额费用时，漏减基础部分的金额。
1．（2026·陕西西安·一模）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：
外卖送单数量 补贴（元/单）
每月不超过500单 5
超过500单的部分 8
(1)设某外卖小哥4月份送餐单（），所得工资元，请写出与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？
【答案】(1)
(2)外卖小哥5月份工资总额为6500元．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用．
（1）根据工资底薪加上不超过500单的部分的补贴和超过500单的部分的补贴表示即可；
（2）判断送单量超过500单，代入第一问得到的函数关系式计算即可得到结果．
【详解】（1）解：，
即函数关系式为（）；
（2）解：当时，（元）
答：外卖小哥5月份工资总额为6500元．
2．（2026·陕西渭南·一模）某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示：
时段 电价（元/千瓦时）
谷段（晚上~次日）
峰段（白天~）
某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费．
【答案】(1)
(2)每月总电费为元
【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可．
【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时，
∴每天的电费为（元），
∴每月总电费；
（2）解：当时，（元）．
答：每月总电费为元．
3．（2026·陕西西安·三模）盛夏时节，阎良“南果北种”的红心火龙果进入丰产期，颗颗饱满如红宝石．当地种植基地为方便市民尝鲜，推出同城快递配送服务，按包裹重量(计量单位为千克，不足1千克按1千克计量)实行阶梯计费．具体计费标准如下：
费用档位 包裹重量(单位：千克) 计价方式
第一档 元
第二档 超出千克的部分，元/千克
第三档 超出千克的部分，元/千克
根据以上提供的信息，请你解答下列问题：
(1)当时，求配送费(单位：元)与包裹重量之间的函数关系式．
(2)某用户购买该基地火龙果，快递配送费用为元，求出该包裹重量是多少千克？
【答案】(1)
(2)千克
【分析】（1）根据阶梯累计计费规则，整理得到对应区间的配送费与重量的函数关系式；
（2）先计算第二档的最高配送费，判断32.8元所在的费用档位，再根据对应档位的计费规则列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当时第一档费用为10元，超出5千克的重量为千克，超出部分单价为元/千克
总配送费
化简得
即当时，
函数关系式为．
（2）把代入，
得(元)
该包裹重量，属于第三档当时，
总配送费为
化简得
令，
得方程
∴
解得
答∶该包裹重量是26千克．
考向02 二次函数实际应用
题型3 利润最值问题
1、核心建模：利润问题核心关系式为“总利润=单件利润×销售量”，单件利润=售价-进价，结合题意用二次函数y=ax +bx+c（a≠0）表示总利润与售价、销售量的关系，利用二次函数最值求解最大利润； 2、解题技巧：①设未知数（通常设售价或涨价/降价金额），表示出单件利润与销售量；②列出二次函数解析式，整理为顶点式，结合二次项系数判断开口方向（a＜0时，有最大值）；③结合自变量实际取值范围（售价不能低于进价、销售量不能为负），确定最值的合理性； 3、易错点：销售量与售价的变化关系找错（如涨价1元，销售量减少多少件）；忽略自变量的实际限制，直接用顶点坐标作为最值结果；计算单件利润时，漏减进价或其他成本。
1．（2026·甘肃平凉·一模）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（ ）
A．200元 B．180元 C．170元 D．160元
【答案】A
【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值．
【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元，
根据题意可得，
，
∵，二次函数图象开口向下，
∴当时，取得最大值，
又∵，在的取值范围内，
∴当时，的最大值为元．
2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上每盒豆沙粽的进价比海鲜粽的进价便宜10元，某商家用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．根据市场经验：当售价不高于50元/盒时，每天销量稳定在100盒；当售价高于50元/盒时，售价每提高1元，每天少售2盒．
(1)求海鲜粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)若设海鲜粽每盒售价为元，每天销售海鲜粽的利润为元，求与之间的关系式；
(3)若海鲜粽每盒售价不得低于进价，且每天至少售出70盒，求该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润及此时的售价．
【答案】(1)海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元
(2)
(3)最大利润为1750元，此时海鲜粽每盒售价为65元
【分析】（1）设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，根据用8000元购进的海鲜粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；
（2）分为当时及当时，两种情况分类讨论，列出关系式即可；
（3）分两种情况，分别求出一次函数及二次函数的最值，再进行比较即可求出该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润．
【详解】（1）解：设每盒海鲜粽的进价为元，则每盒豆沙粽的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：海鲜粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
（2）解：当时，此时销量固定为100盒．单盒利润为元．
则总利润：
当时，售价比50元提高了元，销量减少盒．此时销量为：（盒）．单盒利润为元．
则总利润：
；
∴与之间的关系式
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴，
当时，，
因为，
所以随的增大而增大．
当时，取得最大值，为：，
当时：
∵
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，y取得最大值，，
∵，
该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为元，此时海鲜粽每盒售价为65元．
3．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个
【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
由题意，得，
解得或（舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，
则，
，
∴当时，月销售利润最大．
答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个．
4．（2026·四川南充·一模）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
(1)任务一：建立函数模型
求y与x的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)任务二：设计销售方案
设该种蔬菜的日销售利润为w（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，请求出最大日销售利润．
【答案】(1)
，自变量取值范围为；
(2)
最大日销售利润为8600元．
【分析】（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，
解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图像开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
答：最大日销售利润为8600元．
5．（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
场)
万元)
(1)求与之间满足的函数关系式；
(2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
(3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)且为正整数
(2)销售场次是第场
(3)第场获得的利润最大，最大利润为万元
【分析】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键．
（1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式；
（2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解；
（3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解．
【详解】（1）解：依题意得，其中且为正整数
（2）解：设基本价为万元当时，
设与的函数关系式为
将，代入得
解得
，其中且为正整数
当时，设与的函数关系式为
将
代入得
解得
，其中且为正整数
当时，令
解得，因，不符合范围，舍去
当时，令
解得，
符合的范围
答：销售场次是第21场．
（3）解：设每场获得的利润为万元当时
，二次函数图象开口向下，对称轴为
又，在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，取得最大值，（万元）
当时
，
在时，随的增大而减小
当时，取得最大值，（万元）
答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
题型4 几何图形最值问题
1、核心建模：几何图形实际应用（如长方形、三角形、圆形的面积、周长最值），结合几何性质，用二次函数表示图形的面积、周长与边长的关系，求解最值； 2、解题技巧：①根据几何图形的性质，列出面积、周长的关系式，转化为二次函数形式；②将二次函数整理为顶点式，判断开口方向，确定最值；③结合几何图形的边长限制（边长不能为负、满足三角形三边关系等），验证最值的合理性； 3、易错点：几何关系式列错（如长方形面积公式混淆、三角形周长与面积计算错误）；忽略几何图形的边长限制，导致最值不符合实际；二次函数的顶点坐标与几何图形的实际边长不匹配。
1．（2026·天津北辰·一模）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论：
①的长可以是；
②当矩形菜园的面积为时，的长为或；
③若规定，则矩形菜园的最大面积是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解．
【详解】解：①根据题意得：和为矩形，
∴，
∵篱笆的长度是，
∴，
∴，
∵的长不超过，
∴，
∴，
∴的长可以是，故①正确；
②设，则，
∴，
当时，
解得，，
∵，
∴，
∴的长为，故②错误；
③，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，且最大面积为：
，故③正确；
综上，正确结论有2个，
2．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个矩形场地，在和边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形的边长为x米，矩形的面积为S平方米．
(1)写出S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值为242平方米
【分析】（1）由长方形的面积等于长乘以宽，列式化简可得答案；
（2）将关于的二次函数写成顶点式，则可得答案．
【详解】（1）解：设矩形的边长为x米，则，，
∴矩形的面积，
由题意可得，
∴，
∴S与x的函数关系式为；
（2）解：∵，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为242平方米．
【点睛】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，正确地列式，会求二次函数的最值，是解题的关键．
3．（2026·陕西·一模）如图是一个宣传广告牌，其示意图如图所示．
素材一：广告牌由抛物线、以及线段、围成，点、在抛物线上，点、在抛物线上，且点、分别是、的中点，抛物线与关于所在直线对称．
素材二：以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知米， 米，抛物线的最高点到的距离为5米，点在轴上，轴．
素材三：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画，顶点、均在抛物线上，顶点、均在抛物线上．
(1)求抛物线、的函数表达式；
(2)求宣传画的周长（矩形的周长）的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为
(2)宣传画的周长的最大值为米
【分析】（1）根据题意，抛物线的顶点为，且过点，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式为，再根据对称性求出抛物线的函数表达式；
（2）设点，根据对称性表示出点和点的坐标，进而表示出和，计算得矩形的周长，根据二次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为，且在抛物线上，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵抛物线与关于轴对称，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，由对称性可知，
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴矩形的周长
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
答：宣传画的周长的最大值为米．
4．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】
【问题情境】
王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥．
【问题提出】
为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路．
【方案设计】
方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路；
方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地．
【问题解决】
(1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式．
(2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式．
(3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积．
【答案】(1)
(2)
(3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为
【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解；
（2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解；
（3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设菜地的宽为米，
∵长、宽比为的长方形菜地，
∴菜地的长为米，
∴小路面积S关于的函数表达式为；
（2）解：设道路的宽为米，根据题意得：
，
即菜地面积关于的函数表达式；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
由（2）得：菜地面积关于的函数表达式，
∵，，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为．
题型5 行程与运动问题
1、核心建模：结合二次函数与行程问题，考查运动过程中的路程、速度最值（如最短路程、最大速度），或动点运动过程中的几何图形面积、线段长度最值； 2、解题技巧：①分析运动轨迹，确定动点的运动范围，用含参数的式子表示动点坐标或线段长度；②结合几何性质与二次函数，列出最值关系式，整理为顶点式求解；③结合运动的实际限制（如时间、路程不能为负），验证结果合理性； 3、易错点：动点运动轨迹判断错误，无法用参数表示相关量；二次函数解析式列错，混淆路程、速度、时间的关系；忽略运动的临界条件，导致最值求解偏差。
1．（2026·贵州遵义·一模）如图，动点P从点A出发，沿着边长为的正方形的边，按照路线以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接、、，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先分和两种情况，分别讨论求出函数解析式，再结合二次函数图象性质得出答案．
【详解】解：当时，如图1，点P在上运动，点Q在上运动，
∵点P，点Q的速度均为，时间为，
∴，，
∵正方形，
∴，
∴，
即当时，；
当时，如图2，点P在上运动，点Q在上运动，
∵点P，点Q的速度均为，时间为，
∴，，
∵正方形边长为，
∴，
∴，，
∴，，
∵正方形，
∴，
∴，
，，
∴
即当时，；
综上，．
由此可知，当时，函数图象为开口向上，过点，的二次函数的一部分；当时，函数图象为开口向下，过点，的二次函数的一部分．
观察各选项，只有选项D符合题意．
2．（2025·江苏宿迁·一模）如图1，在矩形中，， E是边上的一个动点， 连接， 过点E作交于点 F． 设，， 点E从点B运动到点C的过程中y关于x的函数图像如图2所示，则该函数图像的顶点 P 的纵坐标n的值为________．
【答案】
【分析】先由矩形性质得到，，进而证的，证明得到，即，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：由图象知，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
∴点P的坐标为，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，二次函数的图象，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答的关键．
3．（2026·河南周口·一模）如图1，在中，，，，点P从点A出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动．当点P到达点C时，P、Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为．
(1)请直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在图2的平面直角坐标系中，直接画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质；
(3)若的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）分和两种情况进行讨论求解即可；
（2）描点法画出函数图象，根据图象写出性质即可；
（3）求出时的函数值，进而求出直线经过点和时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：点运动到点时，所用时间为秒；运动到点时，所用时间为秒；
当时，，
∴；
当时，，
∴，
综上：
（2）解：列表如下：
0 1 2 3 4
0 5
4.5 0
画出函数图象如下：
性质：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小．（答案不唯一）
（3）解：当时，，
当经过点时，，解得，
当经过点时，，解得，
故的函数图象与直线有两个交点时，．
考向03 方程（组）与不等式（组）实际应用
题型6 工程与生产问题
1、核心建模：工程问题核心关系式为“工作量=工作效率×工作时间”，通常将总工作量看作单位“1”，结合一次函数表示工作量与时间、效率的关系；生产问题侧重产量、成本与产量的线性关系； 2、解题技巧：①明确工作主体（单人、多人合作、分工），计算各主体的工作效率；②根据工作量关系，列出一次函数解析式，求解工作时间、效率或产量；③生产问题中，区分固定成本与可变成本，结合函数解析式分析产量与利润的关系； 3、易错点：多人合作时，误将各主体效率相加后再乘时间（需注意合作时间是否一致）；忽略工作效率的单位统一；生产问题中，混淆固定成本与可变成本的计算。
1．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？
【答案】这项计划原定生产万剂疫苗
【分析】设计划原定生产万剂疫苗，根据题意得出方程，求解即可．
【详解】解：设计划原定生产万剂疫苗，
根据题意得：
解得：
答：这项计划原定生产万剂疫苗．
2．（2026·重庆万州·一模）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米．
(1)桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？
(2)经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间．
【答案】(1)桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米
(2)该公司完成隧道施工的时间是天
【分析】（1）设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，利用工作效率工作总量工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，可列出关于的分式方程，解方程检验后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，
∵平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米，
∴，
解得：，
∴（千米），
答：桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米．
（2）解：设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，
∵每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，
∴，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意．
答：该公司完成隧道施工的时间是天．
3．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成．
(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？
(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作
(2)施工费用不够，见解析，需要追加万元
【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
（1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，
由题意可得：，
解得：
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
答：甲单独做需要60天完成全部工作．
（2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，
由题意可得：，
解得：，
需要施工费用：，需追加：（万元）
答：施工费用不够，需要追加万元．
题型7 利润与折扣问题
1、核心建模：利润与折扣问题，利用一元一次方程、二元一次方程组或一元一次不等式（组）求解，核心关系式为“售价=标价×折扣”“利润=售价-进价”“总利润=单件利润×销售量”； 2、解题技巧：①根据题意找出等量关系（如利润达到某一数值、销售量满足某一条件），设未知数，列出方程（组）；②若涉及“最多”“最少”“不超过”等关键词，列出不等式（组），求解自变量的取值范围；③结合实际意义，对解进行取舍（如销售量为整数、折扣为0.1的倍数）； 3、易错点：折扣计算错误（如8折误算为原价×8）；等量关系找错，导致方程列错；不等式（组）的不等号方向混淆，或忽略自变量的实际取值范围。
1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
【答案】(1)A种水果买了2千克，B种水果买了1千克
(2)小明买水果1.25千克
【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可；
（2）设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可．
【详解】（1）解：设A种水果买了千克，B种水果买了千克，
由题意得：，
解得：，
答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克；
（2）设小明买A水果千克，则小明买B水果千克，
由题意得：，
解得：，
答：小明买A水果1.25千克．
2．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表：
玩具店 A B C D E
销售单价 60 59 58 57 56
日销售量 20 22 24 26 28
(1)此玩具的进价是多少元？
(2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
(3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
【答案】(1)此玩具的进价是20元
(2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为
(3)该益智玩具的销售单价定为30元
【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答；
（2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答．
【详解】（1）解：设此玩具的进价是m元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：此玩具的进价是20元；
（2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为，
将，代入，得：
，解得：，
答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为；
（3）解：该益智玩具的销售单价定为x元，
根据题意，得：，
解得：，，
当销售单价为60元时，日销售量为个，
当销售单价为30元时，日销售量为个，
，且要尽量减少库存，
∴ 应选择日销售量较大的方案，
．
答：该益智玩具的销售单价定为30元．
3．（2026·云南红河·一模）根据以下素材，完成探究学习任务．
为村民小组设计总费用最少的购进方案
背景 东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓 万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏，某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售．
素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元．
解决问题：
(1)任务1，确定单价：求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？
(2)任务2，拟定总费用最少的购进方案：若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元
(2)购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元
【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．根据题意列方程得．解方程组求解即可；
（2）设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．由题意得，，整理得．根据函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为元，每瓶梨醋为元．
根据题意列方程得．
解得．
答：购进的每瓶梨膏为30元，每瓶梨醋为20元．
（2）解：设购进梨膏瓶，则购进梨醋瓶，购进总费用为元．
由题意得，解得．
，整理得．
随的增大而增大，
当时，有最小值．
此时．
答：购进梨膏175瓶，则购进梨醋125瓶，能使总费用最少，最少费用为7750元．
4．（2026·河南周口·模拟预测）
背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元．
素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮．
问题解决：
(1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？
(2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示）
(3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？
【答案】(1)A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元
(2)，
(3)当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算
【分析】（1）设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，列出方程组，即可求解；
（2）根据线下商店购买和线上购买的优惠方法列代数式即可；
（3）再根据两种购买方式所需费用，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，
由题意，得，
解得，
答：A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元；
（2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：元；
当小艾采用线上购买时，需要：元；
（3）解：当选线下时，，解得；
又∵，
∴；
当选线上时：，解得，
又∵，
∴；
答：当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算．
5．（2026·辽宁抚顺·一模）为了加强校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选择．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少160元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元．
(1)求甲、乙两种型号设备的单价；
(2)若购买这批设备的资金不超过7600元，则至少应该购买甲型设备多少台？
【答案】(1)甲型设备的单价为440元，乙型设备的单价为600元
(2)至少应该购买甲型设备9台
【分析】（1）设甲型设备的单价为x元，则乙型设备的单价为元，根据“购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多120元”列方程求解；
（2）设购买甲型设备m台，则购买乙型设备台，根据“购买这批设备的资金不超过7600元”列不等式求解．
【详解】（1）解：设甲型设备的单价为x元，则乙型设备的单价为元，
根据题意，得
解得
∴
答：甲型设备的单价为440元，乙型设备的单价为600元；
（2）解：设购买甲型设备m台，则购买乙型设备台，
根据题意，得
解得
∵m为整数，
∴m的最小值为9．
答：至少应该购买甲型设备9台．
题型8 方案设计问题
1、核心建模：方案设计问题结合方程与不等式（组），根据实际限制条件（如成本、数量、利润），设计多种可行方案，再选择最优方案（如成本最低、利润最高）； 2、解题技巧：①设未知数，根据题意列出不等式（组），求解自变量的取值范围；②根据自变量的整数解（如数量为整数），确定可行方案；③计算每种方案的成本、利润，对比选择最优方案； 3、易错点：忽略实际限制条件（如原材料数量、生产能力），导致方案不可行；未列举所有可行方案，遗漏最优解；计算方案的成本、利润时出现计算错误。
1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材
素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元
素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元
素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折
请完成下列任务：
(1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元
(2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少
【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元
(2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少
【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可；
（2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，
由题意，得，
解得，
答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元．
（2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，
由题意，得，
．
∴．
当，即时，解得，此时两种方案花费一样；
当，即时，解得，此时方案一花费少；
当，即时，解得，此时方案二花费少，
又∵，
∴当时，方案二花费少；
当时，两种方案花费一样；
当时，方案一花费少．
2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
(1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
(2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元；
(2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；
(3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米．
【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解；
（3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解．
【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，
则，解得：，
答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元；
（2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，
由题意得：，
，
为正整数，
的可能取值为、、、、，
共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；
（3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米，
则，
，
随的增大而增大，
由（2）可知，的最大取值为，此时
购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米．
3．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹
(2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键．
（1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可；
（2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可．
【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，
根据题意得：，
解这个方程组得，
答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹．
（2）解：设配件要买个，配件要买个．
根据题意得：，
整理得：，即，
∵和都为整数，
∴符合条件的解为：，，，
答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个．
4．（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩
(3)
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是关键．
（1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可；
（3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，
根据题意得：，
解得：．
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元；
（2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为18，19，20，
共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
（3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为．
在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，
．
考向04 几何图形实际应用
题型9 测量问题
1、核心建模：测量问题（如测量高度、距离），利用直角三角形、相似三角形、三角函数（正弦、余弦、正切），将实际测量转化为几何计算，求解未知量； 2、解题技巧：①根据测量场景，构造直角三角形或相似三角形，明确已知边、角与未知量的关系；②利用三角函数或相似三角形的比例关系，列出关系式，求解未知量；③注意测量工具的高度（如测角仪高度），计算时需叠加或减去，确保结果准确； 3、易错点：三角函数的边角对应关系找错（如正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边）；相似三角形的对应边找错，比例关系列错；忽略测量工具的高度，导致测量结果偏差。
1．（2025·湖北咸宁·模拟预测）某数学兴趣小组想要利用所学的知识测量某栋大楼的高度，记录如下：
课题 测量大楼的高度
活动方案 方案一 方案二
羽量方案示意图
实施方案 1．选取与大楼旁的建筑物； 2．在处，测量大楼顶部处的仰角； 3．在处，测量大楼底部处的俯角； 4．测量大楼与建筑物之间的距离． 1．选取与大楼底部位于同一水平地面的处； 2．站在处，用测角仪测量从眼睛看楼顶的仰角； 3．沿着方向行至处，测量楼顶部处的仰角； 4．测量，之间的距离； 5．测量的高度．
测量数据 ，，． ，，，．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，，，，． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，，．
请选择其中一个方案及其测量数据求出大楼的高度．（结果精确到）
【答案】大楼的高度为米．
【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的相关运算、一元一次方程的实际应用.
选方案一：设交于点，则，根据解直角三角形的相关运算可得、，则；
选方案二：设，根据解直角三角形的相关运算可得、，再由列出一元一次方程，解方程得出，则．
【详解】解：选方案一：
设交于点，则，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
选方案二：
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
又，
．
2．（2026·广东东莞·模拟预测）某校“综合与实践”小组开展了“隧道限高问题”的实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
课题 隧道限高问题
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
工具 皮尺、标杆等
测量示意图 说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中EF为标杆．
测量数据 测量项目 数值
矩形的尺寸 长，宽；
标杆的尺寸 标杆，标杆底端到左墙的距离为；
问题解决
(1)任务1：请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，求隧道最高点P到路面的距离；
(2)任务2：如果该隧道内设双向行车道，根据以上测量结果，请你评估一辆大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为能否安全通过．
【答案】(1)，隧道最高点P到路面的距离为
(2)大货车可以安全通过，理由见解析
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为，根据题意，得点的坐标为，，利用待定系数法求解即可；
（2）隧道内设双向行车道，求出纵坐标与作比较即可．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图：
设函数表达式为，
根据题意，得点的坐标为，，
代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为：，
当时，，
∴隧道最高点P到路面的距离为；
（2）解：大货车可以安全通过，理由如下：
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
∴当时，，
∴这辆大货车能安全通过这个隧道．
3．（2025·山西太原·一模）综合与实践
校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下：
活动主题 测量运动场围网外路灯的高度
数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点．
测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
数据测量 测量对象测量结果米
解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ．
实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……．
(1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程；
(2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米．
（用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）．
【答案】(1)8.9米
(2)线段；或；或：；
【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用．
（1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题；
（2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度．
【详解】（1）解：设路灯的高度为米，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
米，
，
解得米，
即米；
（2）解：，
，
，
，
米，米，
米，
，
解得；
要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米；
，
米，米，，
，
，
，
要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米；
故答案为：线段，或；或，．
题型10 图形拼接与设计问题
1、核心建模：图形拼接与设计问题（如长方形、正方形、圆形的拼接，图形的裁剪与设计），利用几何图形的边长、面积关系，结合实际需求（如材料最省、面积最大），设计合理方案； 2、解题技巧：①明确拼接/裁剪的要求，结合几何图形的性质，计算拼接后的边长、面积；②根据实际限制（如材料尺寸、设计要求），列出关系式，确定最优拼接/裁剪方案；③注意拼接时的重合部分，避免重复计算面积或边长； 3、易错点：拼接后的图形边长、角度计算错误；忽略材料的尺寸限制，导致设计方案不可行；裁剪时，未充分利用材料，造成浪费。
1．（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示．
表一：地面所受压强与接触面积之间的关系
地面所受压强 …… ……
接触面积 …… ……
表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系
地面材质 玻璃 木地板 大理石
能承受的最大压强（）
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式（不写定义域）；
(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细．
（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，将一对数据代入即可求出的值．
（2）为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与地面的最小接触面积．
【详解】（1）解：由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．
设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将代入，得，
地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）解：为确保机器人在所有地面材质上都能安全行驶，其压强不能超过三种材质能承受的最大压强的最小值，即木地板的Pa。当压强最大时，接触面积最小。把代入得，，
答：该机器人与地面的接触面积至少为平方米．
2．（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？
【答案】B种长方形纸板的面积为
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键是观察图形正确列出方程．设B种长方形的宽为，从图形构造知B种长方形的长比宽多三个A种长方形的宽，从而得B种长方形的长，由大正方形的边长为B种长方形的长与宽之和得正方形的边长，最后根据正方形的周长公式列出方程便可求解．
【详解】解：设B种长方形的宽为，则长为，根据题意得，
，
解得，
∴B种长方形纸板的面积为：，
答：B种长方形纸板的面积为．
3．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案．
(1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”）
(2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示）
(3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)能；
(2)；
(3)不存在，见解析．
【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可；
（2）根据图案的规律进行推理即可；
（3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可．
【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是，
观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件；
（2）第个图案有个正方形，即，
第个图案有个正方形，即，
第个图案有个正方形，即，
……
观察以上规律，第个图案有个正方形
（3）不存在，理由如下：
设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，
∵由（2）可得第个图案中有个正方形，
∵由图案观察，第个图案中有个正六边形，
即：，
解得：，
∴显然不符合题意，
∴不存在这样的图案．
题型11 实际场景中的几何计算问题
1、常见应用场景：桥梁拱高、管道截面、建筑造型、航海路线等，核心是将实际场景转化为几何图形（如圆弧、矩形、三角形），利用几何性质求解； 2、解题技巧：①提取实际场景中的几何模型，确定已知条件（如拱高、半径、边长）；②结合圆的性质、矩形性质、三角形全等/相似等知识，列出关系式，求解未知量；③结合实际意义，对结果进行取舍（如长度、高度不能为负）； 3、易错点：无法将实际场景转化为几何模型；几何性质应用错误（如垂径定理、勾股定理使用不当）；忽略实际场景中的隐含条件（如圆弧的半径、图形的对称性）。
1．（2026·陕西汉中·一模）【用数学的眼光观察现实世界】
如图1是某摄影棚的截面示意图，其形状近似呈双抛物线形．
【用数学的思维思考现实世界】
图1中内侧抛物线上的水平支架有多长呢？
【用数学的语言表达现实世界】
将图1中的示意图抽象成数学图形如图2所示，建立平面直角坐标系后，点与点分别为抛物线和的顶点，且点与点到轴的距离相等，、之间的竖直高度为，两条抛物线均经过坐标原点，且其对称轴均与轴垂直．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)有一根支架（点和点均在抛物线上），若点和点到轴的距离和均为，求水平支架的长度．
【答案】(1)
(2)4米
【分析】（1）由题意得，设抛物线的函数表达式为，且经过，代入求出a即可解答；
（2）当时，求出 或 ，根据两点间的距离公式计算即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，即，
设抛物线的函数表达式为，
∵抛物线过，代入得，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为，
当时，即，
解得 或 ；
∴，；
（米），
答：水平支架的长度4米．
2．（2025·陕西商洛·二模）古建筑的屋顶蕴藏着很深的中国文化，如“悬山顶”（如图①），一般用于普通民居，建筑屋檐出了山墙，远远一看，就好像悬在山墙之上，可以有效保护山墙不受风雨侵蚀，多见于雨季潮湿的南方，图②为一栋“悬山顶”式建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线形落到院中地面上点处（可将点视为抛物线顶点），若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)如图③，现有一个高为的圆柱形洗手池，洗手池的底部中心点到走廊的距离为，请通过计算说明下雨时雨水是否能正好落在洗手池的顶部中心点处．
【答案】(1)
(2)下雨时雨水能正好落在洗手池的顶部中心点处
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法求函数关系式及二次函数的性质是解题的关键．
（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到，顶点，利用待定系数法即可求出此时的函数解析式；
（2）当时，即，求出方程的解，即可求出的长，比较即可求解．
【详解】（1）解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
由题意知，，顶点，
∴可设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，即，
解得，（不合题意，舍去）．
∵洗手池的底部中心点到走廊的距离为，
∴下雨时雨水能正好落在洗手池的顶部中心点处．
3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）兴城市海河大桥是一座独塔自锚式悬索桥，它的外轮廓线近似抛物线，为判断大桥主体是否符合设计标准，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动准备 1.去兴城市城建档案室查阅大桥的原设计图纸，记录高度、底部跨度等关键数据：2.准备皮尺、便携手持水准仪等测量工具．
设计数据 图1为海河大桥的平面示意图，相关信息如下： 1.大桥最高点与桥底的距离为； 2.大桥底部跨度为； 3.设计标准：实际测量高度与理论设计高度之差的绝对值不超过．
实测数据 如图2所示： 点位1：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高（）； 点位2：在线段上，距点水平距离的点处，测得拱高
设计方案 1.根据大桥轮廓建立抛物线模型； 2.计算两点的理论设计高度； 3.对比实际测量高度与理论高度，依据允许误差范围，判断大桥是否符合设计标准．
确定思路 根据大桥的设计数据，确定以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，分析数据可知点和抛物线的顶点坐标．
(1)根据设计图纸提供的数据，求抛物线的解析式；
(2)结合实际测量数据，请你通过计算，依据允许误差范围，判断大桥的，两处是否符合设计标准．
【答案】(1)
(2)大桥的两点均符合设计标准
【分析】（1）由顶点可得，把代入求出a值即可；
（2）分别把D、F的横坐标代入解析式求出纵坐标，求出与拱高的测量值差值的绝对值，是否超过，即可判断是否符合设计标准．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
大桥最高点与桥底的距离为，
∴抛物线的顶点，
，
大桥底部跨度为，
∴抛物线经过点，
，
解得：，
；
（2）解：由题可知：点的横坐标为，
把代入抛物线，得：，
，
由题可知：点的横坐标为，
把代入抛物线得：，
，
答：大桥的两点均符合设计标准．
（建议用时：80分钟）
1．（2026·黑龙江·一模）2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据原价为每吨3400元，先将原价上涨，增长率为，又下调，下调的百分率也为，最终以每吨3240元成交，列出方程即可.
【详解】解：由题意，得，即.
2．（2026·辽宁鞍山·一模）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案．
【详解】解：设木长尺，绳长尺．
∵用绳子量长木，绳子还剩余尺，
∴绳长减去木长等于，即 ，
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺，
∴对折后的绳长等于木长减去，即 ，
因此可得方程组．
3．（2026·甘肃白银·一模）投壶是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带．其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图，是一名男生在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度为，当水平距离为时，箭头行进至最高点处．若是一个高为的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x轴的线段），且，则这名男生此次投壶______投中（请填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【分析】根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案再比较得出结论．
【详解】解：由题意可知点的坐标为，抛物线顶点坐标为．
设与之间的函数表达式为，
将点代入，得，
解得：，
∴与之间的函数表达式为，
当时，，
，
∴这名男生此次投壶不能投中．
4．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
【答案】140
【分析】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为，
弧的长为，弧的长为，
，，
，即．
，
，
解得，
，
该砖雕的面积为
．
5．（2026·河南周口·一模）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车进行销售．已知购进1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元．A，B两种型号新能源汽车进价与售价如下表所示：
型号 进价/（万元/辆） 售价/（万元/辆）
A型汽车 a 13
B型汽车 b 30
(1)求a，b的值．
(2)若该汽车销售公司一次购进A，B两种型号新能源汽车60辆，其中A型号新能源汽车的数量不少于B型号新能源汽车数量的．问如何进货，才能使销售完所有汽车获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)a的值为10，b的值为25
(2)购进A型汽车15辆，B型汽车45辆，销售完后获得最大利润，最大利润是270万元
【分析】本题考查了运用二元一次方程组解决实际问题以及设计最优方案．
（1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，销售利润为w．先根据“A型号新能源汽车的数量不少于B型号新能源汽车数量的”，列出不等式，求出m的取值范围，再运用（1）中的结论，结合已知条件，表达销售利润w，根据增减性，求出当时，w取最大值，从而得出最后答案．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得；
答：a的值为10，b的值为25．
（2）解：设购进A型新能源汽车m辆，则购进B型新能源汽车辆，销售利润为w．
∵，
∴解得．
由题意，得．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取最大值，最大值为（万元），
此时．
答：购进A型汽车15辆，B型汽车45辆，销售完后获得最大利润，最大利润是270万元．
6．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为 ，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解；
②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为．
根据题意，得，
解得．
答：需再接开水的时间为．
（2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为，
设水杯中水的温度为，由题意，
∴，
∴当时．
解得：
②∵饮水适宜温度是，
∴，
解得．
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）榫卯，是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的连接方式．2025年，在一系列文化传承与推广活动中，传统榫卯技艺大放异彩，它作为中国传统木工技艺的精髓，承载着千年的文化智慧．某木工工作室为制作榫卯工艺品，第一次用1600元购进一批优质木材．由于制作需求大，又用2800元第二次购进同种木材．已知第二次购进木材的单价比第一次贵5元，且第二次购进的数量是第一次的1.4倍．
小海：由题目已知条件，可设第一次购进木材的单价为x元/立方米，可列出方程求解． 小依：由题目已知条件，可设第一次购进木材的数量为x立方米，则可列出方程求解
(1)求该工作室两次购进这种木材各多少立方米？请你选择一位同学的方法进行解答．
(2)第二次购进木材后，按照第一次的售价制作并售卖榫卯工艺品，若要使两次购进木材制作的工艺品销售完后的总利润不低于3280元，那么每件工艺品（假设每件工艺品使用0.1立方米木材）的售价至少为多少元？
【答案】(1)第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米
(2)至少为元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
（1）等量关系式：第一次购进的这种木材的立方米第二次购进的这种木材的立方米，列方程，即可求解；
（2）不等关系式：总销售额 元元，列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：小海的解法：
由题意得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
第一次购进的这种木材为：（立方米），
第二次购进的这种木材为：（立方米），
答：第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米；
小依的解法：
由题意得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解，且符合实际意义；
第二次购进的这种木材为：（立方米），
答：第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米；
（2）解：设每件工艺品的售价为元，由题意得
，
解得：，
答：每件工艺品的售价至少为元．
8．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米．
(1)①求行车道的宽度；
②直接写出a的值是______：车位数量为______个；
(2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值．
【答案】(1)①5米；②5，80
(2)980元
【分析】（1）①设行车道的宽度为米，根据行车道的面积等于停车场总面积减去停车区域的面积建立方程，解方程即可得；②根据A、B、C区域的南北方向宽度与行车道的宽度之和等于30米建立方程，解方程即可得的值；再根据车位的划分方法即可得车位数量；
（2）根据收费标准：停车场当天收费总金额每个车位每天费用出租车位的数量，建立与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：①设行车道的宽度为米，
由题意得：，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：行车道的宽度为5米．
②由题意得：，
解得，
车位数量为（个）．
（2）解：由题意得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为980元．
答：停车场当天收费总金额的最大值为980元．
9．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．
素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为．
素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍）
(1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽；
(2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）设民宿宣传海报四周所加边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可；
（2）设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设民宿宣传海报四周所加边框的宽为，
根据题意可得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）．
答：民宿宣传海报四周所加边框的宽为．
（2）解：设每天民宿纯收入为元，由题意可得：
．
，
抛物线开口向下，有最大值，
∵x是10的整数倍，
∴当时，（元），此时入住房间（间）
当时，（元），此时入住房间（间）
∵或时纯收入一样，但要让老板节省人力，则入住房间数应该少一些，
∴，
∴定价为（元）
答：使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为元．
10．（2026·山东聊城·一模）如图1所示，公园有一斜坡草坪可以看成射线，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水点O的距离，建立如图1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处．
(1)求抛物线的关系式；
(2)如图2，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）延长交x轴于点H，求出点坐标，推出点B为抛物线的顶点，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式，设，则，将转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点H，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵水路到达的最大高度是6米，且恰好经过小树的顶端点B，则点B为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为，
将代入得，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）知，，设直线的解析式为，则，
解得：，
∴，
如图2，设，则，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，
答：的最大值为．
11．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)圆弧 所在圆的半径为
(3)锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径；
（3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧 所在圆的半径为；
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
12．（2026·广东珠海·一模）实践与操作：如何制作简易风筝
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节．
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定．
【制作步骤】
步骤一 骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段作为骨架，且，与的和为，四边形的面积为．
(1)直接写出骨架的长度：_____，_____；
步骤二 蒙面制作：若（1）中骨架满足，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为的三点E，F，G绘制抛物线．
(2)求过E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三 蒙面取材：已知以下部分的蒙面设计为等腰，点H在延长线上且，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括以上抛物线部分及以下三角形部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，．
(3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为多少平方厘米？
【答案】(1)60，20；
(2)
(3)小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米．
【分析】（1）设，则的长为，根据四边形的面积为，建立方程，并结合，即可求解；
（2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答；
（3）求出，求出直线的解析式为，进一步求出，，直线的解析式为，令，解得，得到，根据筝形纸片面积至少为即可求出答案．
【详解】（1）解：设，则的长为，
由题意得，
解得，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵过距离点A，点B，点D三点分别为的E，F，G三点绘制抛物线，
∴，
设所求抛物线表达式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式是；
（3）解：∵，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可知直线的解析式为，
∴，
令，
则，
令，
解得，
∴，
∴，直线的解析式为，
∴，
令，解得，
∴，
即，
即筝形纸片面积至少为．
答：小超同学剪下的这张筝形纸片面积至少为平方厘米．
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