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专题01 二次函数综合
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近三年：中考数学中二次函数综合考点主要考向分为四类： 一、二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）； 二、二次函数与系数的关系（每年2~3题，12~15分）； 三、二次函数与方程、不等式的关系（每年2~3道，6~10分）； 四、二次函数的实际应用与几何综合（每年1道，6~10分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为压轴题，难度中等偏上． 预测2026年：二次函数仍是中考数学核心压轴考点，全国统一命题趋势下，二次函数综合题难度稳中有升。选择、填空题压轴常考查二次函数的性质、最值、与不等式的关系；解答题（第23题左右）常考查待定系数法求解析式、与系数的关系、最值综合，压轴题（第24~25题）常结合几何图形、动点问题考查综合应用。考生需熟练掌握各考点核心方法，多练变式题，提升数形结合与分类讨论能力，做到举一反三。
考向01 二次函数图象与性质
题型1 二次函数的性质
1、对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表：
… 0 1 3 …
… 3 4 0 …
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时，
3．（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
4．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（a为常数，且）的自变量，对应的函数值分别为，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．该函数图象的对称轴为
C．该函数有最大值，且最大值为9 D．该函数图象一定与y轴交于正半轴
5．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
6．（2026·广东广州·一模）老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质：
小张：函数图象不经过第三象限；
小赵：函数图象经过第一象限；
小王：当时，y随x的增大而减小；
小马：当时，．
请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______．
题型2 二次函数图象上点的坐标特征
1、二次函数图象上的点，其横、纵坐标满足函数解析式，代入可求参数值或判断点是否在图象上； 2、利用抛物线的对称性，可求对称点的坐标（对称轴为x=h，若点(x ,y)在图象上，则其对称点(2h-x ,y)也在图象上）； 3、比较图象上多点的函数值大小，可结合开口方向和对称轴，判断点到对称轴的距离，距离越近，函数值越接近最值。
1．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．2 D．
2．（2026·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________．
4．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线（，，是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求的取值范围．
考向02 二次函数与系数的关系
题型3 二次函数与系数的关系
1、核心三要素：a（开口方向、开口大小）、b（对称轴位置，与a符号相关：ab＞0，对称轴在y轴左侧；ab＜0，对称轴在y轴右侧；b=0，对称轴为y轴）、c（与y轴交点纵坐标，c＞0交正半轴，c＜0交负半轴，c=0过原点）； 2、关键代数式：a+b+c（x=1时的函数值）、a-b+c（x=-1时的函数值）、4a+2b+c（x=2时的函数值）、4a-2b+c（x=-2时的函数值）； 3、判别式Δ=b -4ac：Δ＞0，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ＜0，无交点。
1．（2026·四川泸州·一模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026·贵州黔南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．2个
5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______．
考向03 二次函数与方程、不等式的关系
题型4 二次函数与最值
1、顶点式最值：将解析式化为y=a(x-h) +k（a≠0），当a＞0时，x=h时，y有最小值k；当a＜0时，x=h时，y有最大值k； 2、区间最值：当自变量x有取值范围时，需分三种情况讨论：①对称轴在区间左侧，函数在区间上单调增减；②对称轴在区间右侧，函数在区间上单调增减；③对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标； 3、注意：实际应用中，最值需结合自变量的实际意义取舍（如长度、人数不能为负）。
1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（ ）
A． B． C．或 D．或1
3．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________．
4．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______．
5．（2026·山东枣庄·一模）已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点．
(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
(3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围．
6．（2026·海南省直辖县级单位·一模）已知二次函数（，为常数）的图象经过，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)当时，的最大值和最小值的和为，求的值．
题型5 抛物线与x轴交点问题
1、交点求法：令y=0，解一元二次方程ax +bx+c=0，根即为交点横坐标； 2、交点个数：由判别式Δ=b -4ac判断（Δ＞0：2个交点；Δ=0：1个交点；Δ＜0：无交点）； 3、交点距离：若交点为（x ,0）、（x ,0），则距离为：，结合韦达定理、计算。
1．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
2．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（a、b为常数，且），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴为直线 B．该函数图象与x轴只有一个交点
C．该函数图象的最大值不可能是4 D．，
3．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为．
（1）______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______．
5．（2026·江苏无锡·模拟预测）二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______．
6．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知二次函数，a为常数．
(1)若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值；
(2)求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数的图像上；
(3)当时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是________．
7．（2026·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
(1)求证：该抛物线的顶点在第一象限；
(2)若该抛物线经过点．
①求此抛物线的表述式；
②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围．
(3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围．
题型6 二次函数与不等式
1、数形结合：ax +bx+c＞0（或＜0），对应抛物线在x轴上方（或下方）的x取值范围，结合开口方向和交点坐标求解； 2、边界处理：不等号含“=”时，需包含交点横坐标；不含“=”时，排除交点横坐标； 3、与一次函数结合：解ax +bx+c＞kx+b（或＜0），即求抛物线在直线上方（或下方）的x取值范围。
1．（2025·云南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2025·浙江·二模）关于的函数，当时，．若，则（　　）
A． B． C．1 D．1
3．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___．
6．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线经过，，三点．下列四个结论：①；②若不同两点，在此抛物线上，则；③若是抛物线上的一点，则关于的方程的两根为，；④关于的不等式的解集是或．其中正确结论的序号是________．
7．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
8．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）．
(1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，若始终成立，求的取值范围．
考向04 二次函数综合应用
题型7 二次函数的简单应用
1、常见应用场景：利润最值、拱桥/隧道模型、高度与距离、生长规律等； 2、解题步骤：①建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数解析式；②根据题意找出已知点，代入求解析式；③根据解析式求最值、指定自变量对应的函数值，结合实际意义取舍； 3、注意：自变量的取值范围需符合实际场景（如时间、长度不能为负）。
1．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
2．（2026·山东青岛·一模）某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________．
3．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
(1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
(2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？
(3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围．
4．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
5．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示．
(1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标；
(2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离；
(3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围．
6．（2026·山西朔州·一模）综合与实践
问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分．
数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为．
测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为．
问题解决：
(1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式．
(2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度．
(3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？
7．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上．
信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴．
信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴．
请解答下列问题：
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求木条所在直线的函数表达式；
(3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计）
题型8 二次函数与几何综合
1、解题关键：数形结合，将代数问题转化为几何图形问题，利用抛物线和直线的性质分析； 2、易错点：忽略自变量的取值范围，忘记检验方程的根是否符合题意，分类讨论不全面。
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接．
①点E在的内部； ②的长为； ③若P与C重合，则；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
2．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________．
3．（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求的值；
(2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值；
(3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值
4．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，是抛物线上一动点且在第二象限内．连接交于点，当时，求点的横坐标．
5．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)当时，求的长；
(3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形．
①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围；
②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值．
（建议用时：80分钟）
1．（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（ ）
A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为
C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．无论实数a取什么值，都有 B．无论实数a取什么值，都有
C．可以找到实数a，使得 D．可以找到实数a，使得
3．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C，下列四个结论中，正确的有（ ）
①该二次函数的对称轴是直线；
②当时，图象必然经过第二、三、四象限；
③当，时，点P为该抛物线BC段上任意一点，则四边形ABPC面积的最大值是；
④已知该抛物线经过点，，且，，，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线上两点
（1）若，则___________（填“”或“”）
（2）若对于任意都有，则的取值范围是___________．
5．（2026·安徽合肥·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图像上，那么我们称点P为这个函数的“妙点”．
（1）请仔细观察点P的横纵坐标之间的关系，并写出点P所在直线的解析式______．
（2）若关于x的二次函数对于任意的n，恒有两个不同的“妙点”，则常数a的取值范围为_____．
6．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
①； ②； ③对于任意实数t，总有不等式；
④若方程的两个根为，，则．
其中正确的是________（只写序号）．
7．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数（a，b是常数，）．
(1)若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式；
(2)写出一组a，b的值，使函数的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标；
(3)已知二次函数的图象和直线都经过点，求的最小值．
8．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线（b、c为常数）经过点．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
9．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值；
(3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形．
①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）；
②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围．
10．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究．
【探究1】
若抛物线与抛物线能围成“月牙线”．
(1)求出抛物线与轴的交点和，的值；
(2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围．
【探究2】
图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是．
(3)求出这两条抛物线的解析式；
(4)求该长方形水幕电影影像的长和宽．
12．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值；
(3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，．
①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
②当的值取最大时，求点的坐标．
13．（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 二次函数综合
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近三年：中考数学中二次函数综合考点主要考向分为四类： 一、二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）； 二、二次函数与系数的关系（每年2~3题，12~15分）； 三、二次函数与方程、不等式的关系（每年2~3道，6~10分）； 四、二次函数的实际应用与几何综合（每年1道，6~10分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为压轴题，难度中等偏上． 预测2026年：二次函数仍是中考数学核心压轴考点，全国统一命题趋势下，二次函数综合题难度稳中有升。选择、填空题压轴常考查二次函数的性质、最值、与不等式的关系；解答题（第23题左右）常考查待定系数法求解析式、与系数的关系、最值综合，压轴题（第24~25题）常结合几何图形、动点问题考查综合应用。考生需熟练掌握各考点核心方法，多练变式题，提升数形结合与分类讨论能力，做到举一反三。
考向01 二次函数图象与性质
题型1 二次函数的性质
1、对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，顶点纵坐标为，
∵当时，随的增大而增大，在对称轴左侧，
∴抛物线开口向下，，
∵开口向下时抛物线顶点为最高点，
∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于，
设点A，B到对称轴的距离分别为和，
∵，
∴，，
∵，
∴，即点离对称轴更远，
∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小，
∴．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表：
… 0 1 3 …
… 3 4 0 …
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线
C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵时，
，
将和分别代入得
化简得
解得
∴二次函数解析式为
∵，
∴函数图象开口向下，故选项A错误；
函数图象的对称轴为直线，故选项B正确；
∵开口向下，对称轴为直线，
∴当时，的值随值的增大而增大，故选项C错误；
当时，，即，不满足，故选项D错误．
3．（2026·陕西西安·一模）如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．9
【答案】A
【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答．
【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，
∵抛物线与抛物线相交于点，
∴由抛物线的对称性可知，，
即，
∴，
∵点B是的中点，
∴，即：，
将，代入，，得
，
则，
∴，
∴，
∴．
4．（2026·陕西咸阳·一模）已知二次函数（a为常数，且）的自变量，对应的函数值分别为，，当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．该函数图象的对称轴为
C．该函数有最大值，且最大值为9 D．该函数图象一定与y轴交于正半轴
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：∵的对称轴为直线，顶点为，当时，，
∴抛物线开口向下，即，故A、B正确；
∴该函数有最大值，且最大值为9；故C正确；
∵，
∴该函数图象与y轴交于，
无法确定，则该函数图象不一定与y轴交于正半轴，故选项D错误，符合题意．
5．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得，
从而或，求解即可．
【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
6．（2026·广东广州·一模）老师在黑板上写出了一个二次函数，小张、小赵、小王、小马四位同学各指出了这个函数的一个正确的性质：
小张：函数图象不经过第三象限；
小赵：函数图象经过第一象限；
小王：当时，y随x的增大而减小；
小马：当时，．
请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式______．
【答案】
【分析】根据增减性确定二次函数的对称轴和开口方向，再结合函数取值范围与图象经过的象限，确定顶点纵坐标和常数项的范围，即可写出符合要求的解析式．
【详解】解：∵ 当时，随的增大而减小，当时，，
∴ 二次函数的对称轴为直线，且，开口向上，即，
∵ 函数图象不经过第三象限，
∴ 二次函数与轴的交点纵坐标，
取，顶点纵坐标为，则顶点坐标可为，
可得函数解析式为，
验证该函数满足所有给出的性质，符合要求，
故答案为（答案不唯一）．
题型2 二次函数图象上点的坐标特征
1、二次函数图象上的点，其横、纵坐标满足函数解析式，代入可求参数值或判断点是否在图象上； 2、利用抛物线的对称性，可求对称点的坐标（对称轴为x=h，若点(x ,y)在图象上，则其对称点(2h-x ,y)也在图象上）； 3、比较图象上多点的函数值大小，可结合开口方向和对称轴，判断点到对称轴的距离，距离越近，函数值越接近最值。
1．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数的函数图像经过，两点，则的值可能是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性得到抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，根据完全平方公式判断出，则，求解即可．
【详解】解：∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵二次函数的函数图像经过，两点，
∴，
解得：或．
只有2在范围内，
即的值可能是2．
2．（2026·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“反点”定义，反点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于求解即可．
【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即，且“反点”在二次函数图象上，
∴将代入，得:，
整理得，
∵该二次函数有唯一的“反点”，
∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，
∵，
∴令，
解得．
3．（2025·上海闵行·一模）在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________．
【答案】2
【分析】先求得，接着过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，那么，结合点坐标得到，然后解方程算得答案即可．
【详解】解：∵点在抛物线上， 两点的横坐标分别为1和，
∴，，
∴，
如图所示：过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过构造“型全等”三角形，结合点在抛物线上的坐标关系建立方程求解是关键．
4．（2026·上海长宁·一模）若将抛物线沿轴向左平移2个单位后，所得抛物线的顶点恰好落在轴上，那么的值为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为0求解．
【详解】解：原抛物线的顶点坐标为．
沿x轴向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为，顶点坐标为 ．
因为顶点落在y轴上，
所以横坐标，
解得．
故答案为：．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线（，，是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①抛物线的顶点坐标为；②
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求a的值即可；
（2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入得到一个关系式，再结合顶点纵坐标公式，联立求解即可；
②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，可得，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①∵抛物线的最小值是，
∴二次函数的顶点为，
把代入，得，
化简，得，
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
②设抛物线对应的函数表达式为，
，，
，
．
，
，
，
，
．
考向02 二次函数与系数的关系
题型3 二次函数与系数的关系
1、核心三要素：a（开口方向、开口大小）、b（对称轴位置，与a符号相关：ab＞0，对称轴在y轴左侧；ab＜0，对称轴在y轴右侧；b=0，对称轴为y轴）、c（与y轴交点纵坐标，c＞0交正半轴，c＜0交负半轴，c=0过原点）； 2、关键代数式：a+b+c（x=1时的函数值）、a-b+c（x=-1时的函数值）、4a+2b+c（x=2时的函数值）、4a-2b+c（x=-2时的函数值）； 3、判别式Δ=b -4ac：Δ＞0，抛物线与x轴有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ＜0，无交点。
1．（2026·四川泸州·一模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求与 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键；
由抛物线的开口方向判断的正负，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴计算与的关系；再由与轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断.
【详解】解：A.抛物线开口向上，，抛物线交轴的负半轴，故，则，故 A 选项不正确，不符合题意；
B. 抛物线对称轴是直线，则，则，故，则 B 选项不正确，不符合题意；
C. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，则另一个交点坐标为，则当时，，故 C 选项正确，符合题意；
D.当时，则，由于，代入后得，故 D 错误，不符合题意.
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，
∴，故①错误；，故②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，即，故③正确；
由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等，
∴当时，，故④正确；
综上所述：正确的结论有②③④共3个．
3．（2026·贵州黔南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，
∴当时，y有最小值，即为，
∴当x为任何值，都有，即，故③正确；
∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交负半轴于点，对称轴为，
∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，，
则由图象可知：当时，，故①正确，
当时，则有，
由可得：，即，
∴，故②错误；
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，故④正确；
综上所述：①③④正确，共有3个．
4．（2026·江苏徐州·一模）函数图像的大致位置如图所示，则，，，，，等代数式的值中，正数有（ ）
A．4个 B．3个 C．1个 D．2个
【答案】C
【分析】根据函数的开口方向以及与坐标轴交点位置、对称轴位置判断函数值符号，确定及相关代数式的符号．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于负半轴，
，；，
∵对称轴在轴右侧，
，即；
，；
由图可知对称轴，且，
，即；
当时，，当时， ；
；
，，
，
；
综上所述，正数只有这1个．
5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于和，
，对称轴为直线，关于的一元二次方程的两根为，，
，，
，
．
6．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案．
【详解】解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即，
∴，故①符合题意；
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴二次函数可化简为，
∵二次函数经过点，
∴将代入，得，即，故②符合题意；
∵二次函数对称轴为直线，且经过点，
∴与轴另一个交点为，即，
∴由图象可知的解集为，故③符合题意；
∵由图可知，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，
∵假设（为任意实数），即，
∴，即，
∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意；
综上，符合题意的有：①②③．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可．
【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴
∴，，，
∴，故①错误；
②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为，
∴与x轴另一个交点为，
将代入
得：
将代入，得，
由图像可知，，故②错误；
③将变形得：，
由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④将代入
得：
整理得：
将代入，得，
将代入
得：
将代入，得，
（1）+（2）得：，故④正确；
所以正确的个数为2个，
故答案为：2．
考向03 二次函数与方程、不等式的关系
题型4 二次函数与最值
1、顶点式最值：将解析式化为y=a(x-h) +k（a≠0），当a＞0时，x=h时，y有最小值k；当a＜0时，x=h时，y有最大值k； 2、区间最值：当自变量x有取值范围时，需分三种情况讨论：①对称轴在区间左侧，函数在区间上单调增减；②对称轴在区间右侧，函数在区间上单调增减；③对称轴在区间内，最值为顶点纵坐标； 3、注意：实际应用中，最值需结合自变量的实际意义取舍（如长度、人数不能为负）。
1．（2026·陕西宝鸡·一模）已知抛物线（为常数，），当时，取得最小值，当时，取得最大值，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，再根据最值位置确定区间端点的范围，解不等式得到m的取值范围．
【详解】对抛物线配方得：，
，
∴抛物线开口向下，对称轴为，在处取得最大值，
∵，且时取得最大值，
∴，
解得 ，
又时取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，到对称轴的距离为，因此区间右端点到对称轴的距离不超过3，即：
化简得，
解得 ，
取两个不等式的交集得，
故选：A．
2．（2026·陕西西安·三模）已知二次函数，当时函数值y有最大值1，且函数图象向右平移3个单位后经过坐标原点，则b的值为（ ）
A． B． C．或 D．或1
【答案】C
【分析】由二次函数图象平移的规律得，由经过原点得，由抛物线的对称轴为直线，①当时，②当时，由二次函数的最值即可求解．
【详解】解：二次函数向右平移3个单位长度后，得，
∵平移后的二次函数经过原点，
∴，
解得，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
①当时，
∵当时，函数值y有最大值1，，
∴当时，，
∴，
将代入得：，
解得；
②当时，
∵当时，函数值y有最大值1，
∴当时，，
∴，
将代入得：，
解得，
综上，b的值为或．
3．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】先将已知点坐标代入二次函数解析式求出的可能取值，再根据对称轴位置确定符合条件的的值，最后计算二次函数的最小值即可．
【详解】解：二次函数中，，因此二次函数开口向上，有最小值．
二次函数图象经过点，
将代入解析式得：，
整理得，
解得或．
对称轴在轴左侧，二次函数对称轴公式为，
，
解得，
因此舍去，得．
将代入二次函数解析式得：，
配方得，
因此该二次函数的最小值为．
4．（2025·江苏淮安·一模）二次函数的顶点为，则点到直线的距离的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点到直线的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点到直线的距离的最小值．
【详解】解：二次函数，
该函数顶点的纵坐标为：，
点P到直线的距离为：，
当时，点P到直线的距离取得最小值，
故答案为：
5．（2026·山东枣庄·一模）已知，二次函数（为常数）的图象经过点，两点．
(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；
(2)若点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值；
(3)当时，有最大值7，最小值，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)4
(3)
【分析】（1）先根据已知条件求得抛物线的对称轴，进而可求得b，可得表达式和顶点坐标；
（2）先求出点P平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）中表达式求解，即可解答；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数（为常数）的图象经过点，两点，
∴该函数的对称轴为直线，则，
解得，
∴该二次函数的表达式为，
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：点先向下平移6个单位长度，再向右平移个单位长度后的坐标为，
将代入中，得，
解得或（舍去），
故m的值为4；
（3）解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，开口向下，
又当时，有最大值7，最小值，
∴当时，取最大值7，
∵当时，，
又点关于对称轴对称的点的坐标为
∴．
6．（2026·海南省直辖县级单位·一模）已知二次函数（，为常数）的图象经过，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求的取值范围；
(3)当时，的最大值和最小值的和为，求的值．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)的取值范围为
(3)的值为或
【分析】（1）将点，代入，即可求出、的值，得出结果；
（2）根据自变量取值范围和对称轴位置，判断出函数最值的情况，即可得出结果；
（3）对的取值范围进行分类讨论，根据函数的最值情况得出的取值即可．
【详解】（1）解：将点，代入，
得方程组，
解得，
∴二次函数的解析式为，
（2）解：二次函数的对称轴为，
当时，时，函数取最大值，此时，
当时，函数取最小值，此时，
∴的取值范围为．
（3）解：对的取值范围进行分类讨论，
当时：
时，函数取最小值，得，
时，函数取最大值，得，
若的最大值和最小值的和为，
得，
解得或（舍去）；
当时：
时，函数取最小值，得，
时，函数取最大值，得，
此时的最大值和最小值的和为，与题意不符；
当时：
时，函数取最大值，得，
时，函数取最小值，得，
若的最大值和最小值的和为，
得，
解得或（舍去）；
综上，的值为或．
题型5 抛物线与x轴交点问题
1、交点求法：令y=0，解一元二次方程ax +bx+c=0，根即为交点横坐标； 2、交点个数：由判别式Δ=b -4ac判断（Δ＞0：2个交点；Δ=0：1个交点；Δ＜0：无交点）； 3、交点距离：若交点为（x ,0）、（x ,0），则距离为：，结合韦达定理、计算。
1．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，且．若点在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
先根据二次项系数判断抛物线开口方向，再结合抛物线与x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值正负对应的自变量范围，判断选项的正确性．
【详解】解：∵ 对任意实数a，，
∴ ，即该二次函数抛物线开口向上，
∵ 抛物线与x轴交于、，且，
∴ 根据开口向上抛物线的性质，可得：
当时，；当时，或，
∵ 点在抛物线上，即，
∴ 当时，，
当时，或．
对于选项A：当时，，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
对于选项B：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项C：当时，或，故该选项错误，不符合题意；
对于选项D：当时，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．（2026·陕西渭南·一模）已知二次函数（a、b为常数，且），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
A．该函数图象的对称轴为直线 B．该函数图象与x轴只有一个交点
C．该函数图象的最大值不可能是4 D．，
【答案】C
【分析】先根据二次函数的增减性得到开口方向和对称轴的范围，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵二次函数中，当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向下，即，且对称轴，因此对称轴不一定为，故A错误；
由，，
不等式两边同乘得，
整理得 ，
∵，
∴，可得，故D错误；
该函数的判别式，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴函数图象与轴有两个交点，故B错误；
二次函数的最大值为顶点纵坐标，即
，
∵，，
∴，
∴，即最大值一定大于，不可能是，故C正确．
3．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设A、B两点的横坐标分别为，，利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的变形，用的关系式表示出，从而求出的值．
【详解】解：设A、B两点的横坐标分别为，，
当时，得方程，
判别式，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，
∴，
∵，
∴，
解得．
4．（2026·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象与轴一个交点横坐标为．
（1）______；
（2）若抛物线顶点纵坐标大于，则的取值范围是______．
【答案】 1 或
【分析】（）代入可得，即，然后两边同时除以即可；
（）求出顶点纵坐标，然后代入求不等式即可．
【详解】解：（）代入可得，即，
∵，
∴，
∴；
（）抛物线顶点纵坐标为，
由题意得：，
∴或，
解得或，
由（）得，
∴，
∴或，
∴或．
5．（2026·江苏无锡·模拟预测）二次函数与轴交于，两点，且点在线段上，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据二次函数与轴的交点，得，根据点在线段上，即，则，展开整理可得，解出，即可．
【详解】解：∵二次函数与轴交于，两点，
∴，即，
整理得：，
设、且，
由韦达定理得：，；
∵点在线段上，即，
∴，
展开可得：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，恒成立，
∴的取值为：，
故答案为：．
6．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知二次函数，a为常数．
(1)若该二次函数的图像顶点在x轴上，求a的值；
(2)求证：无论a为何值，该函数的顶点在函数的图像上；
(3)当时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是________．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）该二次函数的图像顶点在x轴上，则方程与轴只有一个交点，利用判别式为0解答即可；
（2）先配方求出原二次函数的顶点坐标，将顶点横坐标代入给定函数，计算得到的纵坐标与顶点纵坐标比较，即可证明结论；
（3）由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解： 令得：，
判别式，
该二次函数的图像顶点在x轴上，
，
解得；
（2）证明：由题意得：，
该二次函数的顶点坐标为，
将顶点横坐标代入函数得：
，
因此，无论a为何值，该函数的顶点都在函数的图像上；
（3）解：由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标，
函数的顶点坐标为，
在上，随的增大而减小，在上，随的增大而增大，
时，有最小值，最小值为，
当时，，
当时，，
函数图像的顶点纵坐标y的取值范围是．
7．（2026·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b为常数，）的对称轴是直线，与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．
(1)求证：该抛物线的顶点在第一象限；
(2)若该抛物线经过点．
①求此抛物线的表述式；
②点，为抛物线图象上的两个动点，若，求t的取值范围．
(3)在抛物线上有两点和，若，求m的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，可得，可得，由抛物线顶点为，即可得到抛物线的顶点在第一象限；
（2）①把代入即可得到解析式；②由交点的含义可得，可得，，进一步计算，再进一步建立不等式解题即可；
（3）由离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．结合抛物线上有两点和，且，再建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：∵抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴抛物线的顶点为，
∵，
∴，
∴该抛物线的顶点在第一象限．
（2）解：①将代入，
得，
∴，
∴此抛物线的表达式为．
②根据题意，得，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴离对称轴直线越近，值越大，离对称轴直线越远，值越小．
∵抛物线上有两点和，且，
∴，
∴，
解得：．
题型6 二次函数与不等式
1、数形结合：ax +bx+c＞0（或＜0），对应抛物线在x轴上方（或下方）的x取值范围，结合开口方向和交点坐标求解； 2、边界处理：不等号含“=”时，需包含交点横坐标；不含“=”时，排除交点横坐标； 3、与一次函数结合：解ax +bx+c＞kx+b（或＜0），即求抛物线在直线上方（或下方）的x取值范围。
1．（2025·云南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：或，
又，
或．
故选：D．
2．（2025·浙江·二模）关于的函数，当时，．若，则（　　）
A． B． C．1 D．1
【答案】C
【分析】本题考查抛物线的图象性质，一次函数图象性质，根据交点确定不等式的解集，数形结合思想的应用是解题的关键．
先根据解析式得抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，再得出直线、都经过定点根据当时，，求得，从而得出，抛物线与直线的交点坐标为，求得抛物线与直线的另一交点横坐标为，根据，利用数形结合思想即可求解．
【详解】解：∵
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
把代入，得，
∴直线经过定点，
∵当时，．
∴抛物线与直线的交点横坐标为m，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，得
解得：或（舍去），
∴
∴
把代入，得
∴经过定点，
设抛物线与直线的交点坐标为，
把代入，得
化简得：，
解得：或
∴抛物线与直线的另一交点横坐标为，
∵，
∴．
故选：C．
3．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数过点，，三点．记，，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图像上的点的特征，不等式，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到．根据题意求出m和n，再计算，再分别分析各选项即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：
，
，
，
若，即，
∴或，
故A错误；
若，则，
∴；
故B错误；
若，则，故C正确；
若时，例如时，即，故D错误；
故选：Ｃ．
4．（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围．
【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点，
由对称性，抛物线过点，
，
抛物线开口向下，
当时，的取值范围是，
故选：B．
5．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___．
【答案】或
【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围．
【详解】解：令，可得，
，
令，可得，解得，
，
由图可得关于x的不等式即的解集为或．
6．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线经过，，三点．下列四个结论：①；②若不同两点，在此抛物线上，则；③若是抛物线上的一点，则关于的方程的两根为，；④关于的不等式的解集是或．其中正确结论的序号是________．
【答案】①③④
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系等知识．根据相关知识逐项进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线经过，，三点．
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
∴；
故①正确；
∵不同两点，在此抛物线上，且不关于直线对称，
∴；
故②错误，
∵是抛物线上的一点，
∴，
∵，
∴
∴关于的方程为
∴，
解得两根为，；
故③正确；
∵抛物线经过，
∴
即的两根为，；
∵抛物线开口向下，
∴即关于的不等式的解集是或．故④正确，
故答案为：①③④
7．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为
(2)或
【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可；
（2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
解得：，
，
∵直线经过点 B， C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点，
∴不等式的解集是或．
8．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）．
(1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，若始终成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)，且
【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可；
（2）利用二次函数的对称轴进行求解；
（3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在，，理由如下：
二次函数的对称轴为直线，
∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等，
∴对称轴为直线，
∴，
解得；
（3）解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴，且．
考向04 二次函数综合应用
题型7 二次函数的简单应用
1、常见应用场景：利润最值、拱桥/隧道模型、高度与距离、生长规律等； 2、解题步骤：①建立平面直角坐标系，设出合适的二次函数解析式；②根据题意找出已知点，代入求解析式；③根据解析式求最值、指定自变量对应的函数值，结合实际意义取舍； 3、注意：自变量的取值范围需符合实际场景（如时间、长度不能为负）。
1．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④．
【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确；
③设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
当时，，故③错误；
④当时，，
解得：，故④错误．
综上所述，其中正确的有①②．
2．（2026·山东青岛·一模）某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________．
【答案】
【分析】先表示出租出的车辆数为辆，然后再表示每辆车的利润为元，再由总利润车辆数每辆车的利润建立函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，，
整理得．
3．（2026·山东青岛·一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
(1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
(2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？
(3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）令，解一元二次方程即可；
（3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点．
把、代入，
得：
解得：
所以洗手液轨迹的函数关系式为．
（2）解：令，得．
解得或（舍去）．
与喷口水平距离为cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置．
（3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为．
当洗手液恰好落到手心左端M时：
令，得，
当洗手液恰好落到手心右端N时：
令，得，
∵，抛物线开口向下；
∴在时，y随x增大而减小．
∴手心离台面的高度h的范围是．
4．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)圆弧 所在圆的半径为
(3)锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径；
（3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧 所在圆的半径为；
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
5．（2026·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”．其入口处近似看作是由抛物线的一部分和长方形构成，长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示．
(1)求抛物线的表达式和最高点P的坐标；
(2)汛期来袭，科技预警保安全，决定在隧道口建立积水自动拦截系统，在隧道入口两侧（如图抛物线上）内各安装一个黑光全彩摄像头，已知两个摄像头到地面的高度相同，均为，求这两个摄像头之间的水平距离；
(3)直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，请直接写出点b的取值范围．
【答案】(1)， ；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得，代入抛物线的表达式，求解即可；
（2）令，求得方程的两个根，计算两个根的差即可；
（3）当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，此时，解得，根据直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，求解即可．
【详解】（1）解：长方形的长为，宽为，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用表示
得，
，
解得，
故抛物线的表达式为：，
由，
故最高点P的坐标为．
（2）解：根据题意，得，
整理，得，
解得，
故．
（3）解：根据题意，得，
故，
整理，得，
直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，
故有两个相等的实数根，
，
整理，得，
解得，
此时，
由隧道上方的抛物线满足的条件是，
不在这个范围中，
故舍去；
当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，
此时，
当直线与抛物线有唯一交点恰好是时，
此时，
解得，
因为直线与隧道上方的抛物线有唯一交点，
故．
6．（2026·山西朔州·一模）综合与实践
问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分．
数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为．
测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为．
问题解决：
(1)直接写出点的坐标，并求出抛物线的函数表达式．
(2)求两盏射灯在地面的照射区域的宽度．
(3)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度，请通过计算说明，若和需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点位于上方），则该沙发的长度最大为多少米？
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出点M的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出，，即可得出答案；
（3）令求出x的值，令，求出x的值，然后求出沙发的最大宽度即可．
【详解】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为，
∴点M的坐标为，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合，
∴抛物线的解析式为：
，
令，
解得：，，
∴，，
∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度；
（3）解：令，
解得：，，
令，
解得：，，
∴该沙发的长度最大值为：
．
7．（2026·山东青岛·一模）图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上．
信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴．
信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴．
请解答下列问题：
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求木条所在直线的函数表达式；
(3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计）
【答案】(1)
(2)
(3)够用，见解析
【分析】（1）由题意得，顶点，，再由待定系数法求解即可；
（2）设直线表达式为：,与抛物线联立得，，整理得，，根据直线与抛物线有一个交点，则，即可求解；
（3）先求出，，则，设装饰木条和支架的总长度为，设，则，则，再求出，然后根据二次函数的性质求解的最大值与比较．
【详解】（1）解：由题意得，顶点，，
∴设抛物线表达式为
将代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，
∴设直线表达式为：
与抛物线联立得，，
整理得，，
∵直线与抛物线有一个交点，
∴
解得，
∴直线表达式为：；
（3）解：够用，理由如下：
将代入得，
∴，
将代入得，
解得
∴
∴，
设装饰木条和支架的总长度为，
设，则，
∴
当时，，
解得
∴，
∵，对称轴为，
∴当时，随着的增大而增大，
∴当时，，
答：米的木条够用．
题型8 二次函数与几何综合
1、解题关键：数形结合，将代数问题转化为几何图形问题，利用抛物线和直线的性质分析； 2、易错点：忽略自变量的取值范围，忘记检验方程的根是否符合题意，分类讨论不全面。
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接．
①点E在的内部；
②的长为；
③若P与C重合，则；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】D
【分析】①，可知点E在上，答案可求；②由题意，，利用勾股定理可求，故，结论可得；③由锐角三角函数可求，利用平行线和等腰三角形的性质可求，结论可得；④连接，过点A作于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得，则，结论可得；⑤连接，则，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长．
【详解】解：∵ ，
∴顶点．
∴．
令，则．
∴．
∴．
令，则．
解得：或．
∴．
∴，．
∴．
∴的半径为2．
①，，
∴的半径为2，
∴E点在上．故①不正确；
②连接，则，如图：
在中，，
∴．
∴，
．故②不正确；
③连接，如图：
由②知：．
∵，
∴，
，
，
．
∵P与C重合，
∴．故③正确；
④如图，连接，过点A作于K，
∵，
∴E点在上．
∴．
∵是圆的直径，
∴．
∴．
∴，
．
∵，
∴．
．
∵，
．
∴为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．故④正确；
⑤如图，连接，设的中点分别为G，F，连接交于点R．
∵G，F为的中点，
∴为的中位线．
∴．
连接，
∵N为的中点，M为圆心，
∴．
∴点N的运动轨迹为以为直径的半圆．
即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆．
∴点N运动的路径长是．故⑤正确；
综上，正确的选项为③④⑤．
2．（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________．
【答案】 3 11
【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，．
【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，，
∵， ，
∴,
∴，
当时，，此时点在上，
∴，
∴；
当点在上时，
由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴设，
把代入，得,
解得，，
∴，
当时，
，
即．
3．（2026·湖北随州·一模）如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求的值；
(2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值；
(3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为．
①求关于的函数解析式；
②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值
【答案】(1)
(2)4
(3)①；②
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键．
（1）先求出，将代入，求出即可；
（2）由题意知：，，，，得到，，再根据进行计算即可；
（3）由题意知：，①当时，矩形相邻两边长分别为，，当且时，矩形相邻两边长分别为m，，分别进行计算即可；
②分当时，当时，当时进行计算即可；
【详解】（1）解：当时，，
，
点B在上，
，
解得：；
（2）解：由题意知：，，，，
，，
；
（3）解：由题意知：，
①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2，
，
当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4，
，
综上：；
②．
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2，
，
，
，无解，
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3，
，
，
，（舍去），
当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4，
，
，
（舍去），
综上：m的值为．
4．（2026·甘肃陇南·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)求四边形的面积；
(3)如图2，是抛物线上一动点且在第二象限内．连接交于点，当时，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)－1或－2
【分析】（1）待定系数法求解析式，进而将解析式化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）先求得点，过点作轴于点，根据四边形的面积，即可求解；
（3）先求得直线的解析式，过点作轴的平行线，交于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得
解得：
∴
∵
∴顶点的坐标为
（2）解：当时，
解得：
∴
如图所示，过点作轴于点，
∴，
又∵，的坐标为，
∴，，，，
∴四边形的面积
；
（3）解：设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
如图，过点作轴的平行线，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴，
解得：或．
即点的横坐标为或．
5．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)当时，求的长；
(3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形．
①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围；
②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)①；②或或
【分析】（1）求出时的函数值，求出时的自变量的值，即可得出结果；
（2）求出直线的解析式，易得，，，进而求出，根据，得到，证明，得到，进而得到，求出，进而得到，即可得出结果；
（3）①根据点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，得到抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，进而得到点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，求出点恰好在抛物线上时的的值，即可得出结果；②分抛物线经过的中点，抛物线经过的中点或抛物线经过的中点三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，解得，
∴，，；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得，则，
∴，
由题意，，，，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：①∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意，，
∵轴，
∴，
∵点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，
∴抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，
∴点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，
∴，
当点恰好在抛物线上时，则，
解得（舍去）或，
∴当矩形的边与抛物线有3个交点时，；
②∵，，，
四边形为矩形，
∴，
当抛物线经过的中点时，如图，则点的横坐标为，
∵轴，
∴关于对称轴对称，
∴，解得；
当抛物线经过的中点时，如图，
则，即，
∴，
解得（舍去）或；
当抛物线经过的中点时，如图，
则，即，
∴，
∴解得（舍去）或；
综上：或或．
（建议用时：80分钟）
1．（2026·陕西榆林·一模）已知二次函数（为常数）的对称轴为，下列说法中正确的是（ ）
A．图象与轴的交点可能在轴负半轴上 B．该二次函数的最小值为
C．图象与轴有一个交点 D．若点，在该函数图象上，则
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的性质，灵活运用二次函数的对称轴公式、顶点坐标公式、与坐标轴的交点判定方法以及函数的增减性是解题的关键．根据二次函数对称轴公式，先由对称轴为求出参数的值，确定函数解析式；再分别分析函数与轴、轴的交点情况、函数的最小值，以及抛物线上点到对称轴的距离与函数值大小的关系，从而对各选项进行判断．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
，
，
令，，
图象与轴的交点在轴正半轴上，错误；
函数开口向上，当时，，错误；
，，
图象与轴没有交点，错误；
开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大，
对称轴为：
点到对称轴的距离：，
点到对称轴的距离：，
，
，正确．
故选：．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．无论实数a取什么值，都有 B．无论实数a取什么值，都有
C．可以找到实数a，使得 D．可以找到实数a，使得
【答案】C
【分析】把代入解析式可得，可判断A选项；把代入解析式可得，从而得到，可判断B、D选项；再由当时，此时，可判断C选项．
【详解】解：当时，，
∴，
即，故A错误，不符合题意；
当时，，
∴，
即，故B、D错误，不符合题意；
当时，此时，
即可以找到实数a，使得，故C正确符合题意．
3．（2026·安徽阜阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C，下列四个结论中，正确的有（ ）
①该二次函数的对称轴是直线；
②当时，图象必然经过第二、三、四象限；
③当，时，点P为该抛物线BC段上任意一点，则四边形ABPC面积的最大值是；
④已知该抛物线经过点，，且，，，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】逐一分析四个结论，利用二次函数的对称轴公式、图象性质、面积计算方法验证即可得到正确结论个数
【详解】解：对于二次函数
① 对称轴公式：，故①错误；
② ∵当 时，
∴开口向下，图象与y轴交于负半轴，
∵顶点纵坐标 ，无法判断正负号，
∴函数图象不一定经过二、三、四象限，故②错误；
③ 当 时，则，
∴ ，
设 ，
∴，对称轴为 ，代入得最大面积 ，故③错误；
④ 由 得 ，
∵函数图象开口向下，，
∴，即 ，
∵，，
∴ ，即 ，
∴ ，故④正确
综上，正确的结论是④，共1个
4．（2026·安徽蚌埠·一模）已知抛物线上两点
（1）若，则___________（填“”或“”）
（2）若对于任意都有，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可；
（2）根据题意可得抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．要使恒成立，则的上界须小于等于的最小值，根据，可得的最小值是，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）在抛物线中，，，
∴对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵抛物线上两点，且，
∴；
（2）由（1）得：对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
要使恒成立，则的最大值须小于等于的最小值，
∵，
∴的最小值是，
因此，对于任意都必须满足，即，
∴且，
解得且．
同时，要使，成立，
解得，．
综上，t的取值范围是．
5．（2026·安徽合肥·一模）我们定义：如果点在某一个函数的图像上，那么我们称点P为这个函数的“妙点”．
（1）请仔细观察点P的横纵坐标之间的关系，并写出点P所在直线的解析式______．
（2）若关于x的二次函数对于任意的n，恒有两个不同的“妙点”，则常数a的取值范围为_____．
【答案】
【分析】（1）根据题意可得“妙点”满足；
（2）由二次函数对于任意的常数n，恒有两个“妙点”，从而得，，考查函数恒大于0，得，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：设，，
则即，
∴点P所在直线的解析式；
（2）由题意可知，二次函数与直线恒有两个交点，
即方程恒有两个不相等的实数根，
∴方程的根的判别式，
，
对于函数开口向上，即函数与横轴无交点，
得，
∴.
6．（2026·山东青岛·一模）抛物线的顶点是，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
①；
②；
③对于任意实数t，总有不等式；
④若方程的两个根为，，则．
其中正确的是________（只写序号）．
【答案】①④/④①
【分析】根据图象判断①，对称轴和特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线的顶点是，
∴对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的交点在轴的上方，
∴，
∴；故①正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
则当时，，
∵，
∴，故②错误；
∵抛物线的开口向下，顶点是，
∴当时，函数有最大值为，
∴对于任意实数t，总有不等式；故③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，与x轴的另一个交点在点和之间，
∴方程的两个根在和之间，
∴．故④正确；
综上：正确的是①④．
7．（2026·福建泉州·一模）已知二次函数（a，b是常数，）．
(1)若时，二次函数图象的对称轴为直线，求二次函数的表达式；
(2)写出一组a，b的值，使函数的图象的顶点在x轴上，并求此二次函数的顶点坐标；
(3)已知二次函数的图象和直线都经过点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，时，顶点坐标是（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出答案；
（2）根据一元二次方程根的判别式和抛物线与x轴的交点个数问题进行解答即可；
（3）求出，代入进一步解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵对称轴为直线，
∴．
∴；
（2）解：令，则，
当时，则，
∴，
∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为，顶点坐标是．
（3）解：∵函数的图象与直线都经过，
∴，
∴
∴，
∴的最小值是．
8．（2026·浙江·模拟预测）已知抛物线（b、c为常数）经过点．
(1)若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
(2)若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）①用待定系数法，即可求解；②根据二次函数和不等式的关系，即可求解；
（2）根据抛物线经过点，可得，则，分别求出点C、D的坐标，即可求证．
【详解】（1）解：①抛物线经过点，点，
，解得，
；
② ，
顶点坐标，开口向下，点在抛物线上，
，
当时，；，即时，；
点在直线的上方，
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：抛物线经过点，
，则，
当时，，即，
当时，，解得，，
，
，
．
9．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值；
(3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形．
①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）；
②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)面积的最大值为
(3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）平移后的抛物线为，对称轴是．
①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标；
②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得，
抛物线的解析式为；
令，则，
解得，
，，
将代入，则，
∴，
设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得．
直线的解析式为．
（2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D，
设点，则，
．
．
，
抛物线的开口向下，函数有最大值，
当时，面积的最大值为．
（3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线．
①当时，即时，M在N的上方，．
此时H点的坐标为，Q点坐标为；
当时，M在N的下方，．
此时H点的坐标为，Q点坐标为；
即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为；
②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，
点在抛物线上，
，化简得，
解得．
，
．
当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，
点在抛物线上或点H在直线的右侧．
若点在抛物线上，，
化简得，解得．
，
．
若点H在直线的右侧，，解得；
综上可知：或或．
10．（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
门票单价（元）
游客人数（人）
景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示．
(1)求游客人数与门票单价的函数表达式；
(2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？
(3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值．
【答案】(1)
(2) ；单价为元时利润最大，最大利润为元
(3)；的值为
【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可；
（2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可；
（3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得
，
解得，
∴游客人数与门票单价的函数表达式为；
（2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得
，
解得
∴，
∴
，
∵，
∴二次函数开口向下，函数有最大值，
∵对称轴，满足，
∴当时，，
即单价为元时利润最大，最大利润为元；
（3）解：运营成本每人降低元后，
，
∵，
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
∴当时，随增大而减小，
∵，
∴，
∴，
∵，即，，
∴当时，，
当时，，
解得，
∴当利润最大值为元时的值为．
11．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）综合与实践课上，某数学兴趣小组学习了新定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，围绕该定义进行了相关探究．
【探究1】
若抛物线与抛物线能围成“月牙线”．
(1)求出抛物线与轴的交点和，的值；
(2)请直接写出此时“月牙线”上点的横坐标的取值范围．
【探究2】
图1是某地文旅景区水幕电影景观实物图．为实现美观的笑脸形月牙水幕效果，以水面的喷水口为原点，原点与水柱落点处所在直线为轴，垂直于水面的直线为轴、建立如图2的平面直角坐标系．两条抛物线形喷泉同时从原点喷出、一条抛物线形水柱经过点，另一条抛物线形水柱经过点，同时落在水面一点处．在两条抛物线围成的“月牙线”区域内设计一个面积最大的长方形水幕电影影像（长方形各边分别平行于坐标轴）．为了达到最佳观影效果，要求该水幕电影影像完整呈现在“月牙线”区域内，且竖直高度与水平宽度的比是．
(3)求出这两条抛物线的解析式；
(4)求该长方形水幕电影影像的长和宽．
【答案】(1)抛物线与轴的交点为、，，
(2)“月牙线”上点的横坐标的取值范围为
(3)两条抛物线的解析式为、
(4)矩形的长为，则宽为
【分析】（1）先求出抛物线与轴的交点，再根据待定系数法求解，的值；
（2）根据图像的性质即可得出结果；
（3）根据题意，可得两种抛物线上的点，根据待定系数法求解函数表达式即可；
（4）假设矩形的长为，则宽为，得出点的坐标表达式，代入其函数表达式，求解即可得出长方形水幕电影影像的长和宽．
【详解】（1）解：对于抛物线，
当时，即，
解得或，
故当、时，抛物线，
得，解得，
∴抛物线与轴的交点为、，，；
（2）解：∵抛物线、与轴的交点为、，
∴“月牙线”上点的横坐标的取值范围为；
（3）解：根据题意，
设顶点靠上的抛物线表达式为，
顶点靠下的抛物线表达式为，
根据题意，可得经过点，，，
可得，解得，
∴，
根据题意，可得经过点，，，
可得，解得，
∴，
故两条抛物线的解析式为、；
（4）解：假设矩形的长为，则宽为，
∵，
∴靠下的抛物线顶点为，对称轴为直线，
∴矩形边所在直线为，
∴点坐标为，
将点代入，
得，
化简得，
解得或（舍去），
∴矩形的长为，则宽为．
12．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值；
(3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，．
①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
②当的值取最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键．
（1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解；
（3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标.
【详解】（1）解：依题意得
解得
这个二次函数的表达式为
（2）解：，
，
∴，
点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，
要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件．
过作于，
点、均为动点
此时线段的长就是的最小值．
∵，
，
∴
（3）解：①，
∴，
令，则，
点，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，如图，
设，则，
，
又，
轴，，
，
，
，
②，
当取值最大时，，
，
∴.
13．（2026·山东淄博·一模）如图，已知二次函数（其中，为常数）的图象经过点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交该二次函数图象于点，线段的长为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，求的和的最大值及此时点的坐标；
(3)点是直线上的动点，过点作直线的垂线，顶点关于直线的对称点为．当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)的和的最大值为，点的坐标为
(3)当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）通过论证为等腰直角三角形，得到， 即当取得最大值时，有最大值，设点，求解的最大值即可；
（3）分情况讨论四边形为平行四边形和四边形为平行四边形时的点坐标即可.
【详解】（1）解：如图，，，，
，
将、代入，
得，
解得， ，
二次函数的解析式为 ；
（2）解：令，得，
，
设直线的解析式为，
代入，解得，
直线的解析式为 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
当取得最大值时，有最大值，
设点，则，
，
∵，，
当时，有最大值，
的和的最大值为，点的坐标为 ；
（3）解：①当四边形为平行四边形时，，
连接，过点作轴于点，
设与直线交于点，如图，
，
∴二次函数顶点为，
∵，
，，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
∴，
，
又，
四边形为矩形，
，
点关于直线的对称点为，
，
过点作轴于点，
，，
，
，
设，则，
，
，
；
②当四边形为平行四边形时，，
连接，过点作轴于点，
设与直线交于点，如图，
二次函数顶点为，，
，，
，
，
，
又，
四边形为矩形，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
过点作轴于点，
，，
，
，，
∴，
；
综上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或.
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