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专题02 反比例函数综合
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近三年：中考数学中反比例函数综合考点主要考向分为四类： 一、反比例函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）； 二、反比例函数中k的几何意义（每年1~2题，4~8分）； 三、反比例函数与一次函数的综合（每年1道，6~10分）； 四、反比例函数的实际应用（每1~2年1道，6~8分） 考查内容稳定，命题形式灵活，以选择、填空题为主，解答题多为中档综合题，难度中等，偶尔结合几何图形出现在压轴小问中． 预测2026年：反比例函数仍是中考数学核心中档考点，全国统一命题趋势下，侧重考查与几何图形、一次函数的综合应用，强化k的几何意义的灵活运用。命题更注重数形结合思想，强调与实际情境的结合，考生需熟练掌握核心性质与方法，提升图形分析和转化能力，做到灵活运用、举一反三。
考向01 反比例函数图象与性质
题型1 反比例函数的图象特征
1、反比例函数的基本形式：（，k为比例系数），也可变形为（）； 2、图象形状：双曲线，关于原点对称，关于直线和对称； 3、图象位置与k的关系：当时，双曲线位于第一、三象限；当时，双曲线位于第二、四象限；4、关键注意：双曲线永远不与x轴、y轴相交，x、y均不能为0。
1．（2026·上海·一模）研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数的图像（如图所示），已知其和轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是（ ）
猜想一 函数和y轴交于点；
猜想二 函数可由向右平移个单位得到；
A．猜想一错误 B．猜想二错误 C．猜想均错误 D．猜想均正确
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．把代入，得出，可判定猜想一正确，根据函数图像的平移规律可判断猜想二正确，即可得答案．
【详解】解：∵当时，，
∴函数和y轴交于点，故猜想一正确；
根据函数“左加右减”的平移规律可知，向右平移个单位得到函数，
∴函数可由向右平移个单位得到，故猜想二正确，
∴猜想均正确．
故选：D．
2．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴
∵二次函数图象的对称轴为直线
∴，
∴，
∴直线经过第一、二、四象限，
∵当时，，
∴反比例函数的图象在第二、第四象限，
∴只有D选项题意．
故选：D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质．解决本题的关键是根据函数的图象与性质进行判断．
【详解】解：A选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴；
B选项：反比例函数的图象是双曲线，有两条对称轴。
C选项：二次函数的图象是抛物线，抛物线有条对称轴；
D选项：一次函数的图象是一条直线，直线有无数条对称轴．
对称轴条数最少的是反比例函数的图象．
故选：C．
4．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．点和在此函数图象上
C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】对于反比例函数（k为常数，），当时，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当时，图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点对称，本题中，根据反比例函数的性质逐一分析选项．
【详解】解：A项：当时，，A项说法正确，不符合题意；
B项：∵点在函数的图象上，
∴，即，
对于点，将代入函数中，可得，
又∵，
∴，即点在函数图象上，
对于点，将代入函数中，可得，
又∵，
∴，则，
即点在函数图象上，B项说法正确，不符合题意；
C项：在反比例函数中，，
根据反比例函数性质，当时，图象分别位于第二、四象限，C项说法正确，不符合题意；
D项：∵，在反比例函数中，
当时，函数图象在第二象限，且在第二象限内y随x的增大而增大，而不是减小，
D项说法错误，符合题意，
综上，说法错误的是D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可．
【详解】解：设点A坐标为，则，
将点B坐标代入得：，
解得
故答案为：
题型2 反比例函数的增减性
1、增减性核心：反比例函数的增减性必须结合“象限”讨论，不能笼统说“y随x的增大而增大或减小”； 2、具体规律：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 3、易错点：忽略“同一象限”这一前提，误将不同象限的点进行增减性比较； 4、补充：若点、在同一支双曲线上，可根据k的符号判断y的大小；若在不同支上，直接根据象限判断（第一象限y＞0，第三象限y＞0，第二、四象限y＜0）。
1．（2026·河南洛阳·一模）关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出的值，再代入计算三个点的纵坐标，比较大小即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵反比例函数经过，，三点，
∴，，，
∵，
∴．
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内随的增大而减小，
A、若两点在不同分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意；
B、若两点在同一分支上，∵，故，原说法错误，不符合题意；
C、当时，两点都在第一象限，，原说法正确，符合题意；
D、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意；
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ）
A．其图象位于第一、三象限 B．当时，y随x的增大而减小
C．其图象经过点 D．当时，y的取值范围是
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
由点求出，得到函数解析式，再逐一判断选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
即，
∴，
∴图象在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，A、B错误；
当时，，即其图象经过点而非，C错误；
当时，，则当时，y的取值范围是，D正确；
故选：D．
4．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（ ）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
【答案】B
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵
∴或，
假设且，则，
∴，，
∴，
同理：当且时，，
∴的值为负数．
故选：B．
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质；由点、点在反比例函数图象上可求出，，再利用建立不等式即可求解．
【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2026·陕西宝鸡·一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______．
【答案】
【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解．
【详解】解：∵，
∴在的范围内随的增大而增大，
当时，
当时，，
∵当时，函数y的最大值和最小值之差为3，
∴，解得．
7．（2026·安徽·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上．
(1)若，，求的值；
(2)若，，，且点在不同象限，求的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）把，分别代入求出，即可求解差值；
（2）易得点在第三象限，点在第一象限，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，
；
（2）解：∵，，
∴反比例函数的图象过一，三象限，
∵，点在不同象限，
∴点在第三象限，点在第一象限，
，解得，
即的取值范围是．
考向02 反比例函数中k的几何意义
题型3 已知面积求k值
1、核心依据：过反比例函数（）图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，矩形OAPB的面积为，△OAP（或△OBP）的面积为，所有与该点相关的直角图形面积，均可转化为这两种基本图形面积； 2、解题步骤：①定位反比例函数图象上的关键点，作x轴、y轴垂线，构造直角矩形或直角三角形（核心转化步骤）；②根据图形面积公式，建立与的等式（如复杂图形，先转化为基本图形，再计算面积）；③结合双曲线所在象限判断k的正负（第一、三象限k＞0，第二、四象限k＜0），最终求出k的值； 3、易错点：忘记面积与的对应关系（混淆矩形与三角形面积的倍数关系）；转化复杂图形面积时出错；忽略象限对k正负的影响，只求绝对值。
1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，通过中点的性质可得到，进而可求出．
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴为的中点，
∴，
∵点C为的中点，的面积为4，
∴，
∴，
又∵点A是反比例函数图像上一点，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴．
2．（2026·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同高三角形面积比等于底的比求出的面积，设，进而得到，，根据等面积法列方程求解即可．
【详解】解：∵为线段的中点，的面积为，
∴的面积为，
设，
∵为线段的中点，
∴，
∵，
∴D点横坐标为，
此时，
即
∵，
∴
解得：．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
【答案】C
【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可．
【详解】解：设，
，
，，
，
，，
，
解得：，
顶点在函数的图象上，
，
．
4．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________．
【答案】
【分析】由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值．
【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限，
∴，，
∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限，
∴，
∵，
∴，解得：．
5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____．
【答案】
8
【分析】根据题意可得，由反比例函数的几何意义得到，进而得到，再结合的图象位置，可得，即可求解．
【详解】解：∵点A与点B关于y轴对称，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵点P在的图象上，
∴，
∴，
∴，即，
∵的图象位于第一象限，
∴，
∴．
6．（2025·陕西西安·三模）如图，点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点A，．若为等腰三角形且面积为10，则，满足的数量关系是_________．
【答案】
【分析】设点C的坐标为，点B的坐标为，根据及轴，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据三角形面积公式及反比例函数k的几何意义列式计算即可．
【详解】解：设点C的坐标为，点B的坐标为，
点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
、，
轴交y轴于点A，
、轴，
，
，
是等腰三角形，
过点C作于点D ，
，
，即，
，
，
，
，
．
7．（2026·江西·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，．
(1)求k的值；
(2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．
(1) 设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，由点O 是平行四边形的中心， 得，证明，得进而可求k．
(2) 根据点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，分别求得点A 、点 B 的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：如图，设， 分别交y轴于点E，F，连接，，，
轴，
轴，
∴由平移知轴，
则 ．
由平移可知四边形是平行四边形，
∵点O 是平行四边形的中心，

∵点O 是平行四边形的中心，
，，
，
，
，
．
∵函数 的图象在第四象限，
，
．
（2）解：∵点D到x轴的距离为1，轴，点O 是平行四边形的中心，
∴点A 的纵坐标为，
∴ 点 B 的纵坐标为1．
将代入 得，
．
将代入 得，
．
设直线的解析式为，
将，分别代入，
得
解得
∴直线的解析式为．
题型4 已知k值求面积
1、核心结论：已知的值，可直接利用求相关图形面积，无需求具体点的坐标；基本图形面积固定：直角矩形面积=，直角三角形面积=； 2、解题步骤：①明确已知k值，先求出（无论k正负，面积均与绝对值相关）；②观察图形，判断其是否为基本图形（矩形、直角三角形），若为复杂图形（如梯形、斜三角形），则转化为基本图形（作x轴、y轴垂线，拆分或补全图形）；③根据基本图形与的关系，计算出目标图形的面积； 3、易错点：忽略k的正负对面积无影响，误将k的正负代入面积计算；复杂图形转化时，拆分或补全错误，导致面积计算偏差；忘记基本图形面积与的固定比例。
1．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6.5 D．8
【答案】A
【分析】令点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，由点在轴上，可得，代入的面积公式，即可得出结果．
【详解】解：令点坐标为，点坐标为，
∵点恰为的中点，
∴点坐标为，即，
∴的面积为，
∵点在轴上，
∴，
即，
代入上式面积公式得．
2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】根据值的几何意义，得到，证明四边形为平行四边形，即可得出结果.
【详解】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形的面积.
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______．
【答案】6
【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可．
【详解】解：如图，连接，
点在反比例函数的图象上，轴
，
点在反比例函数图象上，
，
，
点与点关于原点对称，
，
．
4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______．
【答案】3
【分析】设，其中，通过反比例函数表示出点A和点B的坐标，可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设，其中，
则．
直线轴，则点A和点B的纵坐标都为，
又点A和点B分别在反比例函数和的图象上，
，，
，
．
5．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
【答案】 或
【分析】（1）根据的几何意义，即可求解；
（2）设，则，，，进而分类讨论，当为直角三角形的顶点，当为直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴与的面积之和为
（2）解：设，则，，
∴，，
当为直角三角形的顶点时，
如图，
∵
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
当为直角三角形的顶点时，
如图，
同理可得
∴
∴
解得：
∴
综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为或
6．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）将点代入求解即可；
（2）连接，设与y轴交于点D，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得，，从而可知，即可求得答案．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得：，
双曲线的解析式为；
（2）解：连接，设与y轴交于点D，
四边形为平行四边形，点C在x轴上，
轴，
点A和点B分别在双曲线和上，
，，
，
．
7．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接．
(1)求的值；
(2)求证：的面积为常数．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）将点代入，计算即可求解；
（2）求出的解析式，联立直线与反比例函数的解析式整理得，由双曲线与直线的位置关系是相切得，设，将式代入可知：，过作轴于点，即轴，，证明，即为中点，根据三线合一的性质，得，又，所以，最后根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：；
（2）解：设：（），
联立，
得到：，
，
上式化简为：，
双曲线与直线的位置关系是相切，
，
设，将式代入可知：，
过作轴于点，即轴，，
，即为中点，
，即，
根据三线合一的性质，得，
根据双曲线的性质，得，
，
，
，即知的面积为常数．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
考向03 反比例函数与一次函数综合
题型5 两函数交点问题
1、交点求法：联立反比例函数与一次函数解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标； 2、交点个数：联立后得到一元二次方程，根据判别式判断（：2个交点；：1个交点；：无交点）； 3、核心性质：若两函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称（前提：一次函数过原点，即正比例函数与反比例函数的交点）；若一次函数不过原点，交点不关于原点对称，但满足反比例函数的对称性。
1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点
C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可．
【详解】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意；
∵点A与点B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴D是的中点，故选项B正确，不合题意；
∵
∴，故选项C正确，不合题意；
在中，，所以，在每个象限内，y随x的增大而增大，故D选项错误，符合题意．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【答案】B
【分析】过A作轴于E，证明，再利用求出b，得出 ，，，，从而求出点A的坐标，再代入求k即可．
【详解】解：过A作轴于E，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
令，则；令，解得，
∴，，
∴，
解得
∵直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵点A在第一象限，
∴，
将代入得：
∴．
3．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】过点作轴于点，先根据等腰直角三角形的性质可得，再将代入正比例函数可得点的坐标，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
将代入正比例函数得：，解得，
∴，
将点代入反比例函数得：．
4．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】由点为反比例函数与直线的交点，可求出、的值，令点的坐标为，则点的坐标为，代入，即可解出的值，得出结果．
【详解】解：∵点为反比例函数与直线的交点，
∴，解得，
令点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
可得，
化简得，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为．
5．（2026·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个．
【答案】3
【分析】分别求出直线和双曲线的解析式，在区域内逐个检验整数坐标的点是否满足条件即可．
【详解】解：∵点，是直线与双曲线的交点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
∴，
∴，
把，代入得：
，
解得，
∴；
∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且；
所以，当时，，，
∴，
∴点是图形G内的整数点；
同理可得，当时的整数点是；
当时的整数点是；
当时，无整数点；
综上，符合条件的整数点共有3个
6．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求和的值；
(2)将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先利用一次函数的解析式求出点，进而求出，再利用反比例函数的解析式求出点，最后求出的值；
（2）作于点，由平移规律可得新函数，从而求得点，容易判断轴，则，，直接计算的面积即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：如图，作于点，
向下平移个单位长度所得新函数，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∵，
∴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
7．（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，由列方程求出，从而得到点的坐标和反比例函数解析式；
（2）过分别作轴的垂线，由得，再由得，从而由相似比求出的纵坐标，进而求出的坐标和直线的解析式，令得点的坐标．
【详解】（1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，
设，
，
，
，
在第一象限，
，
，
，
；
（2）解：过点作轴于 ，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，即，
在上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
令 ，得
，
题型6 两函数图象的位置关系
1、数形结合思想：根据两函数图象的位置关系，直接判断不等式的解集（如，解集为反比例函数图象在一次函数图象上方的x取值范围）； 2、解题步骤：①求出两函数的交点坐标（分界点）；②结合图象，分象限判断x的取值范围；③注意：x≠0（反比例函数自变量取值范围）； 3、易错点：忽略x≠0这一限制条件，或在判断解集时混淆“上方”“下方”的对应关系，尤其注意不同象限的取值范围要分开写。
1．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式、一次函数与反比例函数的图象特征；解题的关键是由二次函数顶点坐标确定的符号，进而判断一次函数和反比例函数图象经过的象限．由二次函数的顶点为，得对称轴为直线，即，将顶点坐标代入得；由顶点纵坐标-2为最小值，知抛物线开口向上，即，则，一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；反比例函数中，图像在第一、三象限：结合选项图像特征得出正确选项．
【详解】解：二次函数图象的顶点为
可设，即
该二次函数图象的对称轴为
一次函数为，即，
一次函数的图象恒经过定点，排除．
当时，，排除D．
故选A．
2．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图像的大致位置．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图像分布在第一、三象限．
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，
将点和点代入得，解得：，
故一次函数，
令，则，
∴当时，或，
当时，，当时，，
则当时，，
故不等式的解集为．
4．（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数 交于点，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方时的范围即可．
【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数 交于点，
∴不等式的解集为．
5．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；
(2)；
(3)的面积为．
【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式；
（）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解；
（3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为，
∵一次函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点，
∴与关于原点对称，
∴，
∴根据图象可得，不等式的解集为；
（3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，
∵，
∴，
∴
．
6．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若，请直接写出关于的不等式的解．
(3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可求得的值，从而可得反比例函数的解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得点的坐标，再将点、的坐标代入一次函数解析式中即可得解；
（2）确定一次函数的图象在反比例函数图象的下方时的取值范围即可得解；
（3）设直线与 直线的交点为，求出点的坐标， 设， 根据三角形的面积公式表示出，列方程求解即可．
【详解】（1）解：在反比例函数的图象，
，
反比例函数解析式为，
将代入， 得，
．
将，两点分别代入，得
， 解得，
一次函数解析式为；
（2）解：观察图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为或．
（3）解：如图，设直线与 直线的交点为，
把代入得， ，即，
设，
的面积为，
，
， 解得或，
点的坐标为或 ．
考向04 反比例函数综合应用
题型7 反比例函数的简单实际应用
1、常见应用场景：行程问题（速度与时间成反比例）、压强问题（压强与受力面积成反比例）、工作量问题（工作效率与工作时间成反比例）、浓度问题等； 2、解题步骤：①判断两个变量之间的反比例关系；②设出反比例函数解析式；③根据题意找出一组对应值，代入求出k的值；④根据解析式解决实际问题（求变量值、判断取值范围等）； 3、注意事项：自变量的取值范围需符合实际意义（如时间、长度、速度不能为负，且不能为0）；求出的k值需结合实际情境判断正负。
1．（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ）
A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω
B．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小
C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω
D．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω
【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可．
【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为，传感器的阻值为Ω，说法正确，该选项不符合题意；
B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意；
C、若过氧乙酸气体浓度不低于0.3，则传感器的阻值不高于10Ω，说法错误，该选项符合题意；
D、过氧乙酸气体浓度为和时，传感器的阻值分别为Ω和Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω，说法正确，该选项不符合题意．
故选：C
2．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
【答案】50
【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把，代入解析式求出y的值，进而计算即可．
【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ，
把 代入 ，
，
函数解析式为 ，
当 时， ，
当 时， ，
度数减少了 （度）．
3．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）．
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得．
(1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长．
【数学建模】
(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围．
【答案】(1)
(2)x每增加相同的数值，y的增加量相同
(3)
【分析】（1）由，得，将代入求解即可；
（2）由题意可得，设（为常数），计算即可；
（3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解．
【详解】（1）解：令，得，
，
∴，
∴，
即；
（2）解：，
，
，
设（为常数），
则，
∴是常数．
∴x每增加相同的数值，y的增加量相同．
（3）解：，
整理得，
∵，
∴x随着a的增大而减小．
当最大刻度是时，令，
得，
∴．
4．（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示．
(1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)求在一个循环内水温不低于的时长．
【答案】(1)；
(2)分钟
【分析】（1）根据函数图象分为当时和当时，分别求出函数关系式即可；
（2）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可；
【详解】（1）解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为，
由图象可得：，
解得：，
；
水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为，
由图象可得：，解得：，
关于的函数关系式为；
（2）解：当时，，解得；
，
解得，
在一个循环内水温不低于的时间为（分钟）
5．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下：
气体压强
汽缸体积
实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______；
(3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)见解析，
(3)不少于
【分析】（1）设，将代入解析式计算即可得出结果；
（2）根据（1）中的解析式画出函数图象，再求出当时，的值即可；
（3）求出当时，的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：设，
将代入解析式可得，
解得，
即；
（2）解：画出函数图象如图所示，
，
当时，，
汽缸内气体的压强是；
故答案为：；
（3）解：当时，，
为了安全起见，气体的体积应不少于．
6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)点的“纵横值”为________；
(2)求函数的“最优值”；
(3)已知二次函数．
①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值；
②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值；
③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值．
【答案】(1)3
(2)函数的“最优值”为3；
(3)①见解析；②的值为或；③的值为．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．
（1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可；
（2）根据“最优值”的定义计算即可；
（3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5；
②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值；
③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解．
【详解】（1）解：点的“纵横值”为．
（2）解：函数的“纵横值”为，
时，的最大值为，
函数的“最优值”为3；
（3）解：①∵
，
∵，
∴，
∴，
∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5；
②∵，
∴当时，有最大值5，
当时，，
解得或（舍）；
当时，，
解得（舍）或；
综上，的值为或；
③∵，
∴，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，取得最大值，
∵当时，，
∴，
∵点与点到直线的距离相等，
∴点与点关于直线对称或，
当点与点关于直线对称时，，即，
解得；
当时，，
解得，不符合题意，舍去；
综上，的值为．
7．（25-26九年级上·福建福州·期末）【问题背景】
在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣的问题，那就是当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，就有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题．
经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！
【问题解决】
如图1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近似地看作三个同心圆，圆心为O，半径分别是，，（点A，C在上），且．其中，以，为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离长为d（单位：米），以为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记长为y（单位：米）．
如图2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为内脚步长，记为a（单位：米）；外脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为外脚步长，记为b（单位：米）；外脚步长与内脚步长的差定义为步差，记为x（单位：米）．内、外脚步数指整个运动过程中内、外脚各自的落地次数．由于该情境下整体行走路程较长，近似认为内、外脚的步数相同．
如图3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离的平均数定义为平均步长，记为l（单位：米）．在确保安全的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均步长基本一致，故在为半径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用表示平均步长l）．
(1)判断与所对的圆心角大小是否相等，并说明理由；
(2)求y的表达式（用含x，d，l的代数式表示）；
(3)若某同学两脚踏线间距离d约为米，平均步长l约为米．若在多次试验中发现他闭眼打转的半径y不超过500米，求该同学的步差至少为多少毫米？
【答案】(1)与所对的圆心角相等，理由见解析
(2)
(3)步长至少为毫米
【分析】本题主要考查了圆心角定理，反比例函数的应用，正确理解题意是关键．
（1）设闭眼走一圈内、外脚的步数为n，则所对的圆心角是，所对的圆心角是，即得答案；
（2）先求出闭眼绕行一圈，内脚步数为，外脚步数为，根据内、外脚的步数相同列方程，并化解得到，再根据，，即可求得答案；
（3）当，时，，令，可求得，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：与所对的圆心角大小相等；
理由如下：当整体行走路程较长时，近似认为内、外脚的步数相同，
不妨设闭眼走一圈内、外脚的步数为n，
则所对的圆心角是，所对的圆心角是，
与所对的圆心角大小相等；
（2）解：，，，且点A，C在OB上，
内脚踏线的半径，外脚踏线的半径，
闭眼绕行一圈，内脚步数为，外脚步数为，
内、外脚的步数相同，
，
化简得，
即，
，，
，
即；
（3）解：，，
，
，，
，
当时，得，
解得，
对于函数，当时，x越大，y越小，
米毫米，
若该同学闭眼打转的半径y不超过500米，则他的步长至少为毫米．
题型8 反比例函数与几何、一次函数综合应用
1、核心综合形式：反比例函数+一次函数+三角形/矩形/菱形/圆，考查面积计算、线段长度、点的坐标求解等； 2、解题关键：数形结合，将代数解析式与几何图形结合，利用反比例函数k的几何意义、一次函数的性质、几何图形的性质（如勾股定理、全等、相似）进行转化； 3、解题思路：①根据已知条件求出函数解析式（先求k、一次函数系数）；②找到图形中的关键点，确定其坐标；③利用图形性质和函数性质，求解线段长度、面积或判断点的位置； 4、易错点：忽略函数自变量的取值范围，图形性质应用错误（如全等的判定条件、相似的比例关系），计算过程中遗漏k的绝对值或正负。
1．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上， 轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解．
【详解】解：∵菱形的面积为8，
∴，
∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，
∴，
∴，
∵反比例函数图象分布在二、四象限，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为．
2．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点、，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上，且点的坐标为时，则值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先根据点的坐标求出直线的解析式，再结合矩形的性质和反比例函数的性质，用含的代数式表示出点的坐标；然后利用折叠的性质得到线段相等和角相等，通过作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到线段的比例关系，最后结合列方程求解的值．
【详解】解：点在直线上，
，
直线的解析式为，
四边形是矩形，轴，
点的横坐标与点相同，为；点的纵坐标与点相同，为，
反比例函数的图象经过点，
当时，，即；
当时，，即，
轴，在直线上，且的纵坐标与相同为，
当时，，即，
，，
把矩形沿折叠，点的对应点为，
，，，
，
如图，过点作轴于，过点作轴于，
轴，
三点共线，，
，
，
又，
，
（两角分别相等的两个三角形相似），
，
（点横坐标为，轴），（点横坐标为，轴），
，，
，
由图可知，（矩形的对边相等，与均为矩形的竖直边长），
，解得．
3．（2026·山东·一模）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________．
【答案】
【分析】先分析第一个等腰直角三角形，设直角顶点坐标，利用中点坐标公式得到斜边中点坐标，代入反比例函数求出第一个中点的纵坐标；
用相同方法求出第二个、第三个中点的纵坐标，观察并归纳出第个中点纵坐标的表达式；将代入表达式，计算最终结果．
【详解】解：
设的直角顶点的坐标为，则的坐标为，
的坐标为，
又在反比例函数的图象上，
，即，解得，
．
的坐标为，设的直角顶点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，则的坐标为，
是斜边的中点，
的坐标为，
又在反比例函数的图象上，
，解得，
．
同理，可求得第三个中点的纵坐标，
由此归纳得出第个中点的纵坐标为：．
当时，．
4．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板绕点顺时针旋转至，
①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标；
②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解；
②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可
【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：①如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
由旋转得，
将代入反比例函数表达式，得：，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知，，
由旋转得：，，
∴在中，，，
∴，，
∴，
将代入反比例函数表达式，得：，
∴在反比例函数图象上．
5．（2026·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积；
(3)将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______．
【答案】(1)
(2)6
(3)2
【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）证明，推出，根据阴影部分的面积，据此计算即可求解；
（3）设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵点，B关于y轴对称，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵反比例函数的图象经过点B，C，
∴点C，B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵点A的坐标为，
∴点A，C关于x轴对称，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴阴影部分的面积；
（3）解：由（2）得点D的坐标为，
设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，
即点落在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
即将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上．
6．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接．
(1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比．
【答案】(1)，点在直线上；
(2)，见解析；
(3)与矩形的面积比为．
【分析】（1）根据矩形的性质求出，，设直线的函数解析式为，代入，即可求出直线的函数解析式，将代入直线的函数解析式即可判断点是否在直线上；
（2）先根据矩形性质得到，，通过三角形外角和性质得到，再通过等边对等角得到，最后根据平行性质推出，最后等量代换即可求解；
（3）先延长交轴于点，过点作于点，根据的坐标为，求出，，再根据（2）中，得出，从而求出，然后设，根据勾股定理求出，接着证明，求出、，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点、点的坐标及的长度，最后分别求出与矩形的面积，在进行面积比即可．
【详解】（1）解：∵矩形，，，
∴，
∵设直线的函数解析式为，并将代入，
∴，
∴直线的函数解析式为，
∵将代入函数解析式，得，
∴点在直线上；
（2）猜想，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长交轴于点，过点作于点，
∵矩形，
∴，
∴
∵，
∴，
∵的坐标为，则，，，
由（2）中可知，，
∴，
∵由（2）可知
∴，则
∵在中，，
∴，
∵设，
∴，
∵在中，，，
∴根据勾股定理，，
∵由，，
∴，
∴，即，
解得，（舍），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点，
∵矩形，
∴，将代入，得，解得，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴ ，
∴与矩形的面积比为．
法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接，
∵矩形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵的坐标为，则，，，
∴，
∵在中，设，则，
∴根据勾股定理，
∴，
∵，为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，（舍），（舍），
∴
∴，
∴与矩形的面积比为
7．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到．
(1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）；
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可；
（2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解；
（3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．
【详解】（1）解：，，矩形，
的坐标是，
∵点D为中点，
的坐标是：，
在双曲线上，
，
又的横坐标是，把代入，
则，
点E的纵坐标为；
（2）解：设正方形的边长是，则，，
则的坐标是：，的坐标是，
则，
．
四边形是正方形．
∴，，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
，
又 平分，
，
，
设，则，
∴的坐标是，
代入得：，
∴，
∴正方形的面积是；
（3）解：根据题意得：，
解得：或（舍去），
则的坐标是．
∵的横坐标是，
∴的横坐标是，
∴，
∵将沿翻折后得到，
∴，
在中，当时，，
，，
如图所示，作于点．
折叠，
，
，
又 ，
则，
，
，
解得：，
∴在中，，
则，
，
，
把代入中得：，
．
（建议用时：70分钟）
1．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线可得，，则，，再由一次函数与反比例函数经过的象限即可判断．
【详解】解：由抛物线可得，，
∴，
∴直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限
故D选项符合题意．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．6
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据求出的面积；设点坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解．
【详解】解：连接，
四边形是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形，
∴点为的交点，
∴，
．
，
．
过点作轴于，过点作轴于，
，
，
．
设，则，，
，即点的纵坐标为．
点在反比例函数上，
点的横坐标为．
．
，
，即，
，
解得．
．
，
，
，
．
，
．
3．（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（ ）
甲、乙两位同学给出了下面的结论：
甲：与的面积一定相等；
乙：若，则．
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【分析】由题意易得，四边形是矩形，然后根据等积法可得甲，由可设，则有，进而根据割补法可进行求解．
【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得：，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，故甲说法正确；
由可设，
∴，
∴，
∴
；
∴乙的说法也正确；
综上所述：甲乙的结论都是正确的．
4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴，垂足为点，交反比例函数（，）的图象于点．点为轴上任意一点，连接，．若的面积为6，则的值为_____．
【答案】6
【分析】设点A的横坐标为a，用含a的式子表示出，，再根据即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，则点C的坐标为，
，，
的面积为6，
，
解得．
5．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______．
【答案】
【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，
联立，得，解得：，
∴，
∴，
设，则有
解得或（舍去）
∴
设，则有
解得或（舍去）
∴
同理可得
∴
∴
当时，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解的坐标，推导一般性规律．
6．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)点坐标为或或
【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由图象可知，不等式的解集为或；
（3）解：设，
∵，
∴，
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得；
综上：点坐标为或或．
7．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12．
(1)求k的值；
(2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的几何应用，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设点，结合轴，得出，根据面积公式以及的面积为12，进行列式计算，即可作答．
（2）先得出，再代入反比例函数求出，假设存在点使得四边形为平行四边形，
结合平行四边形以为对角线，列式计算得，因为，即不在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，
设点，
∵轴，
则点，
∴
∵
点，
的面积为12，
，
解得，
∴k的值为．
（2）解：不存在．
理由如下：
，，
∴，
由（1）得k的值为．
把代入
得，
，
由（1）得k的值为．
把代入，得，
得，
假设存在点使得四边形为平行四边形，
根据题意得，平行四边形以为对角线，
，，
，
∵
即不在反比例函数的图象上．
8．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．
①当点A的横坐标为4时，求的面积；
②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①②不会发生改变．理由见解析
【分析】（1）利用反比例函数的性质求解；
（2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可；
②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵矩形的面积为4，
∴，
∴或，
∵函数图象位于第一象限，
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：①∵点A的横坐标为4，
∴，
∴点A的纵坐标为1．
∴可设点D的坐标为，点E的坐标为．
∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，
．
．
即．
；
②不会发生改变．理由如下：
∵设点A的坐标为，
∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且．
∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，
．
，
．
即．
．
9．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
【答案】(1)；
(2)
(3)5
【分析】（1）将代入直线中，即可求解；
（2）先求出点，再代入反比例函数中，即可求解；
（3）设直线向下平移了个单位长度，得到平移后的直线表达式为，再求出点，代入中，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：将代入直线中，得，
∴点，
∴将代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：设直线向下平移了个单位长度，
平移后的直线表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，
代入，得，
，
直线向下平移的距离为5个单位长度．
10．（2026·四川广元·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限，且在反比例函数图象上，过点作，垂足为．
(1)直接写出点、的坐标及的大小；
(2)设点的纵坐标为，用含的式子表示点的横坐标；
(3)已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，连接，如果轴，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据直线解析式求出点A和点C的坐标，进而得到的长，求出的正切值即可得到的度数；
（2）由矩形的性质可推出，由题意可得，则，解直角三角形求出的长即可得到答案；
（3）过点E作轴于点H，设点B的纵坐标为t，则，证明，得到，则可求出，进而可求出，根据点B和点D都是反比例函数的图象上，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，且点的纵坐标为，
∴，
∴，
在中，；
∴点B的横坐标为；
（3）解：如图所示，过点E作轴于点H，设点B的纵坐标为t，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵轴，
∴点D的横坐标为，
在中，当时，，
∴，
∵点B和点D都是反比例函数的图象上，
∴，
解得或，
当时，点横坐标为，那么点不在第一象限，故不符合题意；
∴，
∴．
11．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)正确，见解析
(2)见解析
(3)k
【分析】（1）由，可得，求证，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）解：正确．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
（2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 反比例函数综合
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中反比例函数综合考点主要考向分为四类： 一、反比例函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分）； 二、反比例函数中k的几何意义（每年1~2题，4~8分）； 三、反比例函数与一次函数的综合（每年1道，6~10分）； 四、反比例函数的实际应用（每1~2年1道，6~8分） 考查内容稳定，命题形式灵活，以选择、填空题为主，解答题多为中档综合题，难度中等，偶尔结合几何图形出现在压轴小问中． 预测2026年：反比例函数仍是中考数学核心中档考点，全国统一命题趋势下，侧重考查与几何图形、一次函数的综合应用，强化k的几何意义的灵活运用。命题更注重数形结合思想，强调与实际情境的结合，考生需熟练掌握核心性质与方法，提升图形分析和转化能力，做到灵活运用、举一反三。
考向01 反比例函数图象与性质
题型1 反比例函数的图象特征
1、反比例函数的基本形式：（，k为比例系数），也可变形为（）； 2、图象形状：双曲线，关于原点对称，关于直线和对称； 3、图象位置与k的关系：当时，双曲线位于第一、三象限；当时，双曲线位于第二、四象限；4、关键注意：双曲线永远不与x轴、y轴相交，x、y均不能为0。
1．（2026·上海·一模）研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数的图像（如图所示），已知其和轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是（ ）
猜想一 函数和y轴交于点；
猜想二 函数可由向右平移个单位得到；
A．猜想一错误 B．猜想二错误 C．猜想均错误 D．猜想均正确
2．（2025·安徽亳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广西钦州·一模）已知点在函数的图象上，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．点和在此函数图象上
C．图象位于第二、第四象限 D．当时，y随x的增大而减小
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______．
题型2 反比例函数的增减性
1、增减性核心：反比例函数的增减性必须结合“象限”讨论，不能笼统说“y随x的增大而增大或减小”； 2、具体规律：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 3、易错点：忽略“同一象限”这一前提，误将不同象限的点进行增减性比较； 4、补充：若点、在同一支双曲线上，可根据k的符号判断y的大小；若在不同支上，直接根据象限判断（第一象限y＞0，第三象限y＞0，第二、四象限y＜0）。
1．（2026·河南洛阳·一模）关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
3．（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ）
A．其图象位于第一、三象限 B．当时，y随x的增大而减小
C．其图象经过点 D．当时，y的取值范围是
4．（2025·浙江·模拟预测）已知点，在反比例函数（m为常数）的图象上，，若，则的值为（ ）
A．0 B．负数 C．正数 D．非负数
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的取值范围是_____．
6．（2026·陕西宝鸡·一模）反比例函数（），当时，函数y的最大值和最小值之差为3，则______．
7．（2026·安徽·模拟预测）已知点，在反比例函数的图象上．
(1)若，，求的值；
(2)若，，，且点在不同象限，求的取值范围．
考向02 反比例函数中k的几何意义
题型3 已知面积求k值
1、核心依据：过反比例函数（）图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，矩形OAPB的面积为，△OAP（或△OBP）的面积为，所有与该点相关的直角图形面积，均可转化为这两种基本图形面积； 2、解题步骤：①定位反比例函数图象上的关键点，作x轴、y轴垂线，构造直角矩形或直角三角形（核心转化步骤）；②根据图形面积公式，建立与的等式（如复杂图形，先转化为基本图形，再计算面积）；③结合双曲线所在象限判断k的正负（第一、三象限k＞0，第二、四象限k＜0），最终求出k的值； 3、易错点：忘记面积与的对应关系（混淆矩形与三角形面积的倍数关系）；转化复杂图形面积时出错；忽略象限对k正负的影响，只求绝对值。
1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·广西柳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数图象上一点，线段于点，交反比例函数图象于点，连接，线段经过点，且为线段的中点，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
4．（2026·山东青岛·一模）如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为5，则________．
5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在的图象上，过点P作轴于点B，过点P作轴于点C，点A与点B关于y轴对称，若四边形的面积为12，则k的值为_____．
6．（2025·陕西西安·三模）如图，点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点A，．若为等腰三角形且面积为10，则，满足的数量关系是_________．
7．（2026·江西·模拟预测）如图，已知轴，点A在反比例函数的图象上，将线段平移，得到线段，且点B恰好落在反比例函数的图象上，点O为四边形的中心，．
(1)求k的值；
(2)若点D到x轴的距离为1，求直线的解析式．
题型4 已知k值求面积
1、核心结论：已知的值，可直接利用求相关图形面积，无需求具体点的坐标；基本图形面积固定：直角矩形面积=，直角三角形面积=； 2、解题步骤：①明确已知k值，先求出（无论k正负，面积均与绝对值相关）；②观察图形，判断其是否为基本图形（矩形、直角三角形），若为复杂图形（如梯形、斜三角形），则转化为基本图形（作x轴、y轴垂线，拆分或补全图形）；③根据基本图形与的关系，计算出目标图形的面积； 3、易错点：忽略k的正负对面积无影响，误将k的正负代入面积计算；复杂图形转化时，拆分或补全错误，导致面积计算偏差；忘记基本图形面积与的固定比例。
1．（2026·四川达州·一模）如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6.5 D．8
2．（2026·湖南岳阳·一模）如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______．
4．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______．
5．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
6．（2026·河南洛阳·一模）如图，的顶点A，B分别在双曲线和上，顶点C在x轴上，已知点A的坐标为．
(1)求双曲线的解析式；
(2)求的面积．
7．（2025·辽宁·一模）如图，点在反比例函数：（，）的图象上，过点，过点作的切线：（）交、轴于、，连接．
(1)求的值；
(2)求证：的面积为常数．
考向03 反比例函数与一次函数综合
题型5 两函数交点问题
1、交点求法：联立反比例函数与一次函数解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标； 2、交点个数：联立后得到一元二次方程，根据判别式判断（：2个交点；：1个交点；：无交点）； 3、核心性质：若两函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称（前提：一次函数过原点，即正比例函数与反比例函数的交点）；若一次函数不过原点，交点不关于原点对称，但满足反比例函数的对称性。
1．（2026·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（ ）
A．点A与点B关于原点对称 B．点D是的中点
C． D．在的图像上，y的值随x值的增大而减小
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，直线交反比例函数的图象于A，B两点，交坐标轴于C，D两点．已知，，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
3．（2026·山东济宁·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，点和都在轴上，是等腰直角三角形，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
4．（2026·山东菏泽·一模）如图，反比例函数与直线交于点，点在反比例函数图象上，过点作直线轴，直线与交于点．若，则点的坐标为______．
5．（2026·河北沧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个．
6．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于点和点，点的横坐标为，点的纵坐标为．
(1)求和的值；
(2)将该一次函数的图象向下平移个单位长度，得到的新函数图象与轴交于点，求的面积．
7．（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若，求点坐标．
题型6 两函数图象的位置关系
1、数形结合思想：根据两函数图象的位置关系，直接判断不等式的解集（如，解集为反比例函数图象在一次函数图象上方的x取值范围）； 2、解题步骤：①求出两函数的交点坐标（分界点）；②结合图象，分象限判断x的取值范围；③注意：x≠0（反比例函数自变量取值范围）； 3、易错点：忽略x≠0这一限制条件，或在判断解集时混淆“上方”“下方”的对应关系，尤其注意不同象限的取值范围要分开写。
1．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·广东东莞·模拟预测）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，反比例函数（）与一次函数（）相交于点和点，则不等式的解集为________．
4．（2026·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数 交于点，则不等式的解集为______．
5．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
6．（2026·山东日照·一模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若，请直接写出关于的不等式的解．
(3)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标．
考向04 反比例函数综合应用
题型7 反比例函数的简单实际应用
1、常见应用场景：行程问题（速度与时间成反比例）、压强问题（压强与受力面积成反比例）、工作量问题（工作效率与工作时间成反比例）、浓度问题等； 2、解题步骤：①判断两个变量之间的反比例关系；②设出反比例函数解析式；③根据题意找出一组对应值，代入求出k的值；④根据解析式解决实际问题（求变量值、判断取值范围等）； 3、注意事项：自变量的取值范围需符合实际意义（如时间、长度、速度不能为负，且不能为0）；求出的k值需结合实际情境判断正负。
1．（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（ ）
A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω
B．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小
C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω
D．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω
2．（2026·内蒙古通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
3．（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）．
【了解原理】
组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得．
(1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长．
【数学建模】
(2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？
【调整优化】
(3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围．
4．（2026·山东枣庄·一模）某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温（）与时间（）的关系如图所示．
(1)分别求出在一个循环内水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)求在一个循环内水温不低于的时长．
5．（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下：
气体压强
汽缸体积
实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______；
(3)若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？
6．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值”
【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)点的“纵横值”为________；
(2)求函数的“最优值”；
(3)已知二次函数．
①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值；
②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值；
③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值．
7．（25-26九年级上·福建福州·期末）【问题背景】
在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣的问题，那就是当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，就有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题．
经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！
【问题解决】
如图1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近似地看作三个同心圆，圆心为O，半径分别是，，（点A，C在上），且．其中，以，为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离长为d（单位：米），以为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记长为y（单位：米）．
如图2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为内脚步长，记为a（单位：米）；外脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为外脚步长，记为b（单位：米）；外脚步长与内脚步长的差定义为步差，记为x（单位：米）．内、外脚步数指整个运动过程中内、外脚各自的落地次数．由于该情境下整体行走路程较长，近似认为内、外脚的步数相同．
如图3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离的平均数定义为平均步长，记为l（单位：米）．在确保安全的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均步长基本一致，故在为半径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用表示平均步长l）．
(1)判断与所对的圆心角大小是否相等，并说明理由；
(2)求y的表达式（用含x，d，l的代数式表示）；
(3)若某同学两脚踏线间距离d约为米，平均步长l约为米．若在多次试验中发现他闭眼打转的半径y不超过500米，求该同学的步差至少为多少毫米？
题型8 反比例函数与几何、一次函数综合应用
1、核心综合形式：反比例函数+一次函数+三角形/矩形/菱形/圆，考查面积计算、线段长度、点的坐标求解等； 2、解题关键：数形结合，将代数解析式与几何图形结合，利用反比例函数k的几何意义、一次函数的性质、几何图形的性质（如勾股定理、全等、相似）进行转化； 3、解题思路：①根据已知条件求出函数解析式（先求k、一次函数系数）；②找到图形中的关键点，确定其坐标；③利用图形性质和函数性质，求解线段长度、面积或判断点的位置； 4、易错点：忽略函数自变量的取值范围，图形性质应用错误（如全等的判定条件、相似的比例关系），计算过程中遗漏k的绝对值或正负。
1．（2026·山东济宁·一模）如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上， 轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为8，则该反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴，反比例函数的图象经过点、，把矩形沿折叠，点的对应点为，当点落在轴上，且点的坐标为时，则值为（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2026·山东·一模）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，均在反比例函数的图象上，则的值为____________________．
4．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板绕点顺时针旋转至，
①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标；
②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由．
5．（2026·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求图中阴影部分的面积；
(3)将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______．
6．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接．
(1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上；
(2)猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比．
7．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到．
(1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）；
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（建议用时：70分钟）
1．（2026·安徽合肥·一模）在同一平面直角坐标系中，函数的图象大致如图所示，则函数和的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．6
3．（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（ ）
甲、乙两位同学给出了下面的结论：
甲：与的面积一定相等；
乙：若，则．
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
4．（2026·安徽阜阳·一模）如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴，垂足为点，交反比例函数（，）的图象于点．点为轴上任意一点，连接，．若的面积为6，则的值为_____．
5．（2026·山东泰安·一模）如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______．
6．（2026·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
7．（2026·山东聊城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接交x轴于点C，轴，点D在x轴正半轴上，，连接，已知的面积为12．
(1)求k的值；
(2)若点，在反比例函数的图象上是否存在点E使得四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．
①当点A的横坐标为4时，求的面积；
②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由．
9．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
10．（2026·四川广元·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限，且在反比例函数图象上，过点作，垂足为．
(1)直接写出点、的坐标及的大小；
(2)设点的纵坐标为，用含的式子表示点的横坐标；
(3)已知直线与反比例函数图象都经过第一象限的点，连接，如果轴，求的值．
11．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
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