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专题03 相似三角形与全等模型
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中相似三角形与全等模型考点主要考向分为四类： 一、全等三角形的判定与性质（每年1~2道，6~10分）； 二、相似三角形的判定与性质（每年1~2题，6~10分）； 三、全等与相似的综合应用（每年1道，8~12分）； 四、全等、相似与几何图形（三角形、矩形、菱形等）的综合（每1~2年1道，8~10分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的核心考点，难度中等偏上． 预测2026年：相似三角形与全等模型仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查模型的灵活应用，强化与几何图形、函数的综合融合。命题更注重数形结合、转化思想，强调模型识别与构造能力，考生需熟练掌握全等、相似的判定定理与性质，牢记常见模型，提升图形分析和辅助线构造能力，做到举一反三、灵活应用。
考向01 全等三角形
题型1 全等三角形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 2、核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，对应边上的高、中线、角平分线也分别相等，周长、面积也相等； 3、应用思路：①由全等判定得出对应边、对应角相等；②利用对应相等关系，转化线段长度、角的度数，解决求值、证明等问题；③结合几何图形性质（如平行线、角平分线、垂直平分线），延伸应用结论。
1．（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（ ）
A．32 B． C．56 D．64
3．（2026·安徽滁州·一模）如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________．
5．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点P为的边上一动点（点P与点B，C不重合），，，与关于边成轴对称，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．
（1）若，则的度数为________；
（2）点P在运动的过程中，的最小值为________．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，，点在的延长线上，且．求证：．
7．（2026·广东东莞·一模）旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
(1)【发现问题】如图 1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数．
解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，请完成后面的过程；
(2)【类比探究】如图 3 ，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点 P 到三个顶点的距离分别为4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论．
考向02 相似三角形
题型2 相似三角形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④直角三角形中，斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 2、核心性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例（相似比为k）；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比k；周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k ； 3、应用思路：①由相似判定得出相似比；②根据性质，将线段比、周长比转化为相似比，面积比转化为相似比的平方；③结合已知条件，求线段长度、面积、角度等，或证明线段比例关系。
1．（2026·云南红河·一模）如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．27 D．
2．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________．
4．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ．
5．（2026·广东惠州·一模）如图，是的中线．
(1)尺规作图：过点作的平行线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，若面积为36，则面积为 ．
6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
7．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，点M为中点，连接，过点A作于点D，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求线段的长．
考向03 全等与相似综合
题型3 全等与相似的综合应用
1、核心衔接点：全等是相似的特殊情况（相似比k=1），两者可相互转化；常通过全等证明线段相等、角相等，为相似判定提供条件，或通过相似得出比例关系，辅助全等判定； 2、解题思路：①分析图形，判断需先全等还是先相似；②若需转化角、线段相等，先判定全等，再利用全等性质为相似创造条件；③若需线段比例、面积关系，先判定相似，再结合全等性质补充条件； 3、易错点：混淆全等与相似的判定条件，误用判定定理；不能灵活切换全等与相似的思路，导致推理中断；忽略图形中的隐含关系（如公共角、对顶角）。
1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，直线与相交于点．设，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C．当时， D．的面积随增大先减小后增大
2．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，点B、点D关于对称，连接，，，点E在上，作，垂足为点F，点M为线段的中点，连接，，有如下结论：①；②；③；④若，，连接，则的最小值为9．其中一定正确的结论是_____________．（请将正确的结论序号填在横线上）
4．（2026·甘肃临夏·一模）如图，在四边形中，，点在边上，且， ，点在边上，且，连接，，交于点．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：．
5．（2026·山东枣庄·一模）探究解题：
(1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
(2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
(3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长．
考向04 全等与相似模型应用
题型4 常见全等模型
1、核心模型及识别：①手拉手模型：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，可通过SAS判定全等（对应边相等、对应角相等）；②一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，可通过AAS或ASA判定全等（常用来转化线段、角）；③轴对称全等模型：图形关于某条直线对称，对应边、对应角相等，可直接判定全等。 2、应用技巧：①快速识别模型，确定全等判定方法；②利用模型性质，快速找到对应边、对应角，简化推理过程；③结合模型特点，构造辅助线（如连接顶点、作垂线），补全模型。 3、易错点：模型识别不熟练，无法快速找到全等条件；忽略模型的隐含条件（如等腰三角形的两腰相等、顶角相等）；构造辅助线时，方向错误。
1．（2026·山东济南·一模）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线；
②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．
根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点．
（1）若，则______（用表示）；
（2）若，则的最大值是______．
4．（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
5．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
任务：
(1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______ ；
依据2：______ ．
(2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．
如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．
(3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．
6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．
小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；
②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度．
题型5 常见相似模型
1、核心模型及识别：①A字型：一条直线平行于三角形一边，与另外两边相交，形成的小三角形与原三角形相似（两角相等）；②8字型：两条直线相交，形成的两个三角形有对顶角，且另外一组角相等，可判定相似；③母子相似：直角三角形斜边上的高，分原三角形为两个小直角三角形，三个三角形两两相似； 2、应用技巧：①识别模型，快速确定相似判定条件（两角相等）；②利用模型的固定比例关系，直接转化线段比例，无需重复证明相似；③复杂图形中，拆分或补全模型，简化计算。 3、易错点：模型识别错误（如混淆A字型与8字型）；比例关系找错（对应边顺序混乱）；忽略模型的适用条件（如A字型需平行线）。
1．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
4．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
5．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点．
(1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积．
考向05 全等、相似与几何、函数综合
题型6 全等、相似与几何、函数综合
1、核心综合形式：全等/相似模型+三角形/矩形/菱形/圆+一次函数/二次函数，考查线段长度、点的坐标、面积计算、最值问题等； 2、解题关键：数形结合，先识别图形中的全等、相似模型，利用模型性质转化线段、角关系，再结合函数解析式，建立等式求解； 3、解题思路：①分析图形，识别全等、相似，判定全等或相似，得出线段、角关系；②结合几何图形性质，确定关键点坐标；③代入函数解析式，求解未知量，或利用函数性质求最值；④验证结果，确保符合图形和函数的取值范围。
1．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）正方形纸片的边长为，点在边上，连接，点在边上，沿折叠该纸片，使点落在上的点，折痕与交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，，，．动点、分别在边、上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．
（1）________；
（2）当的面积最大时，的长为________．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，过点作交延长线于点，点为中点，连接，连接交于点，连接．若四边形是平行四边形，则：
（1）的度数为________；
（2）________．
5．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
(1)【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．
6．（2026·山东青岛·一模）潍坊国际风筝节（会）每年4月20日至25日在潍坊举行，是我国最早冠以”国际”并被国际社会承认的大型地方节会，为参加风筝节，华华和琳琳准备设计风筝图案．
(1)如图1，在华华设计的“风筝”图案中，，与相交于点，．求证：垂直平分；
(2)如图2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在中，， 的平分线交于点，以为圆心，为半径画．求证：是的切线；
7．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
(1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标；
(2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
(3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
（建议用时：90分钟）
1．（2026·河北沧州·一模）如图，在中，，，，平分，交于点，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，与交于点，则的长为_____．
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______．
5．（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且．
(1)求证：；
(2)当时，连接，求的长．
6．（2026·河南信阳·一模）等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
(1)观察猜想
如图1，，则________ ．
(2)类比探究
如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用．
如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系．
7．（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
8．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．
三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且 ，求的值． 解：， ． ， ……
任务：
(1)问题1中这个相同的数量关系为______．
(2)将问题2的解答过程补充完整．
(3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
9．（2026·四川达州·一模）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)点G在线段上，且，连接交于点H，若恰好平分，求的长．
10．（2026·广西南宁·一模）综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定．
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为．
【求解模型】
(1)求；
(2)求第一根品丝的有效弦长及．
【检验模型】
(3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由．
11．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】
某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案．
【探究感悟】
小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上；
(1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____；
【深入探究】
小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为；
(2)在图2中找出与相等的角，并证明；
(3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长．
12．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点．
(1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值；
(3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C，．
(1)求a的值；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，，点P横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴，垂足为H，交直线于点D，点E为的中点，点G在第二象限，连接，，，，点Q为第四象限抛物线上一点，连接，交于点K，若，，平分，时，连接交y轴于点T，求点T的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 相似三角形与全等模型
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中相似三角形与全等模型考点主要考向分为四类： 一、全等三角形的判定与性质（每年1~2道，6~10分）； 二、相似三角形的判定与性质（每年1~2题，6~10分）； 三、全等与相似的综合应用（每年1道，8~12分）； 四、全等、相似与几何图形（三角形、矩形、菱形等）的综合（每1~2年1道，8~10分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的核心考点，难度中等偏上． 预测2026年：相似三角形与全等模型仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查模型的灵活应用，强化与几何图形、函数的综合融合。命题更注重数形结合、转化思想，强调模型识别与构造能力，考生需熟练掌握全等、相似的判定定理与性质，牢记常见模型，提升图形分析和辅助线构造能力，做到举一反三、灵活应用。
考向01 全等三角形
题型1 全等三角形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 2、核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，对应边上的高、中线、角平分线也分别相等，周长、面积也相等； 3、应用思路：①由全等判定得出对应边、对应角相等；②利用对应相等关系，转化线段长度、角的度数，解决求值、证明等问题；③结合几何图形性质（如平行线、角平分线、垂直平分线），延伸应用结论。
1．（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求得，再证明得到，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，则，
在中，．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（ ）
A．32 B． C．56 D．64
【答案】D
【分析】首先由①、②、③判定是角平分线，由④、⑤判定是的垂直平分线，连接，设与相交于点O，然后可证，则有，进而根据线段垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：连接，设与相交于点O，如图所示：
由题意得：是角平分线，是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可得：，
∴的面积为．
3．（2026·安徽滁州·一模）如图，在中，是的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长交于点，即可证明，有和，结合题意可得和，作，则，可证明为的中位线，可得，同理可证为的中位线，则，那么有，根据三角形三边关系得到，有，即可解得答案．
【详解】解析：如图，延长交于点，
则，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
．
作，则，
∴点Q为的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴同理可证为的中位线，
∴，
则，
∵，
∵，
∴，
则，
那么，．
4．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________．
【答案】或
【分析】过点作交于点，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点的位置不确定，故可做分类讨论，当点在点左右两侧时得出结果．
【详解】解：过点作交于点，如下图所示：
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，
解得，
∴，
∴；
当点在点右侧时，同理可得，
∴；
综上，的长为或．
5．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点P为的边上一动点（点P与点B，C不重合），，，与关于边成轴对称，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．
（1）若，则的度数为________；
（2）点P在运动的过程中，的最小值为________．
【答案】 /30度
【分析】（1）解直角三角形得出，由旋转的性质可得，即可得出结果；
（2）由轴对称的性质可得，，，作，交的延长线于点，则，由旋转的性质可得，，证明，得出，，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：（1）在中，，，
∴，
∴，
∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，
∴；
（2）∵与关于边成轴对称，
∴，，，
如图，作，交的延长线于点，
则，
∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，的值最小，为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，，点在的延长线上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理求出，进而可求、，证明，即可得出结论．
【详解】证明：∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
7．（2026·广东东莞·一模）旋转是初中数学图形变换很重要的内容．通过旋转将已知条件这种分散的边或角等条件相对集中在一起，构建起新的联系，从而解决问题．
(1)【发现问题】如图 1，P为等边内一点，，求：以为边构成的三角形各个内角的度数．
解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，请完成后面的过程；
(2)【类比探究】如图 3 ，已知线段用无刻度的直尺和圆规求作等边，使内部一个顶点 P 到三个顶点的距离分别为4 ，5 ，6．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)【拓展延伸】如图4，在四边形中，．探索线段的数量关系并证明你的结论．
【答案】(1)，过程见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，据此求出和的度数，再求出的度数即可得到答案；
（2）先作，满足，再作等边三角形，连接，以为边作等边，则即为所求；利用可证明，则，而，故即为所求；
（3）将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，则是等边三角形，可得，；证明是等边三角形，得到，证明，得到；证明，由勾股定理得，即．
【详解】（1）解：如图 2 ，把绕点 A 旋转到，连接，
∵是等边三角形，
∴；
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴以为边构成的三角形即为，
∴以为边构成的三角形的三个内角的度数分别为；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，证明如下：
如图所示，将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
考向02 相似三角形
题型2 相似三角形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④直角三角形中，斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 2、核心性质：相似三角形的对应角相等、对应边成比例（相似比为k）；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比k；周长比等于相似比k；面积比等于相似比的平方k ； 3、应用思路：①由相似判定得出相似比；②根据性质，将线段比、周长比转化为相似比，面积比转化为相似比的平方；③结合已知条件，求线段长度、面积、角度等，或证明线段比例关系。
1．（2026·云南红河·一模）如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（ ）
A．8 B．16 C．27 D．
【答案】B
【分析】由得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为9，
∴的面积为．
2．（2026·山东菏泽·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解．
【详解】解：连接，
由作法得平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________．
【答案】4
【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值．
【详解】解：过点作直线于，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积，
∴当时，面积的最大值为，
4．（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ．
【答案】
【分析】根据可得，继而，又根据可得，进而，最后面积之比可求．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（2026·广东惠州·一模）如图，是的中线．
(1)尺规作图：过点作的平行线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，若面积为36，则面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】（1）作，直线交于点，直线为所求的平行线；
（2）根据题意得到，证明，利用相似三角形的性质计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，直线为所求的平行线，
（2）解： 是的中线，，
，
由（1）知，
，
．
6．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质可得是等边三角形，则，由是等边三角形，可得，由等量代换可得，命题得证；
（2）过点作于点．由等边三角形的性质和勾股定理可得，，，则，利用计算出的值即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，，，
∴，
由（1）得，
∴，即，
解得．
7．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在中，，，点M为中点，连接，过点A作于点D，连接并延长交于点E．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，再利用相似的性质证明即可；
（2）过点M作，得到，则，再结合即可求解；
（3）过点B作的垂线交的延长线于点G，得到，再证、即可求解．
【详解】（1）证明：由，
，
又，
，
，
,
，即；
（2）解：如图，过点M作，
，
又M点是中点，
，即，
∵，
，
，
由（1）知，
又M点是中点，，
，则，
，
，
∴，
；
（3）解：过点B作的垂线交的延长线于点G，
又，
，
，
∴，
由（2）知，
，
，
又，
，
∴，
是等腰直角三角形，，
又，，
，
，
又，
，
，即，
又，
，
解得．
考向03 全等与相似综合
题型3 全等与相似的综合应用
1、核心衔接点：全等是相似的特殊情况（相似比k=1），两者可相互转化；常通过全等证明线段相等、角相等，为相似判定提供条件，或通过相似得出比例关系，辅助全等判定； 2、解题思路：①分析图形，判断需先全等还是先相似；②若需转化角、线段相等，先判定全等，再利用全等性质为相似创造条件；③若需线段比例、面积关系，先判定相似，再结合全等性质补充条件； 3、易错点：混淆全等与相似的判定条件，误用判定定理；不能灵活切换全等与相似的思路，导致推理中断；忽略图形中的隐含关系（如公共角、对顶角）。
1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，直线与相交于点．设，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．
C．当时， D．的面积随增大先减小后增大
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，；根据垂线段最短，当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：；过点作于点，过点作于点；过点作于点；求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据线段的和差，表示出，，求出，根据，得到，进行解答，即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴
∵是等腰直角三角形
∴，
∵
∴
∴
∴，
∴
∴；
∴选项B正确；
∵
∴当时，；
∴选项C错误；
过点作交于点，
∵是等腰直角三角形，且
∴，
∴；
∵是等腰直角三角形
∴；
当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：；
∴选项A错误；
过点作于点，过点作于点；过点作于点；
∵
∴是等腰直角三角形；四边形是正方形；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴是一个三次函数，其单调性并非简单的先增大后减小，
∴D错误；
故选：B．
2．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______．
【答案】或
【分析】先求出，然后分当时，当时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
当时，
∵，
∴，
过点作于点，如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
综上所述，或．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，点B、点D关于对称，连接，，，点E在上，作，垂足为点F，点M为线段的中点，连接，，有如下结论：①；②；③；④若，，连接，则的最小值为9．其中一定正确的结论是_____________．（请将正确的结论序号填在横线上）
【答案】①③④
【分析】因为点、关于对称，所以是的中垂线，根据轴对称的性质，可判断与的关系，验证结论①；
因为四边形的面积可拆分为和的面积之和，结合轴对称性质中，利用三角形面积公式，可验证结论②；
可作辅助线过点M作，连接，证得，则易验证结论③；
要找的最小值，根据点到直线的距离垂线段最短，可用等面积法来求最短距离，验证结论④．
【详解】解：①：∵点、关于对称，
∴是的中垂线，
∴
又∵，
∴，
∴，①正确；
②：因为、关于对称，
∴，，不是，②错误；
③：如图，过点M作，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点M为线段的中点，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
又∵是的中垂线，
∴，
∴，
③正确；
④：如图，作，由图可知的最小值是点到直线的距离，
∵，，
∴，
∴，由，得，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为9，
④正确；
综上，正确结论为．
4．（2026·甘肃临夏·一模）如图，在四边形中，，点在边上，且， ，点在边上，且，连接，，交于点．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）通过论证和四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）通过得到，得到，进而得出，再结合，得到，转换成等积式即可得出结论.
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即：.
5．（2026·山东枣庄·一模）探究解题：
(1)如图，等腰直角中，点是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
(2)如图2，在等腰中，，点是边上任意一点（不与点，重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
(3)在（2）的条件下，若，，点是直线上任意一点，请直接写出当时的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用证明，得；
（2）根据等腰三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）分两种情况，即点在线段上和点在线段的延长线上，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：相等，理由如下：
是等腰直角三角形，
，，
，
即，
，
，
；
（2）解：成立，理由：
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（3）解：如图2，当点在线段上，
根据（2）可得，
，
，，
，
．
如图3，当点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
．
综上所述，为或．
考向04 全等与相似模型应用
题型4 常见全等模型
1、核心模型及识别：①手拉手模型：两个等腰三角形共顶点，顶角相等，可通过SAS判定全等（对应边相等、对应角相等）；②一线三垂直模型：一条直线上有三个直角，可通过AAS或ASA判定全等（常用来转化线段、角）；③轴对称全等模型：图形关于某条直线对称，对应边、对应角相等，可直接判定全等。 2、应用技巧：①快速识别模型，确定全等判定方法；②利用模型性质，快速找到对应边、对应角，简化推理过程；③结合模型特点，构造辅助线（如连接顶点、作垂线），补全模型。 3、易错点：模型识别不熟练，无法快速找到全等条件；忽略模型的隐含条件（如等腰三角形的两腰相等、顶角相等）；构造辅助线时，方向错误。
1．（2026·山东济南·一模）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线；
②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．
根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于，交的延长线于，
由作图步骤①可知，平分，
，，
，，
在和中， ，
，
，
由作图步骤可知，垂直平分，点在上，
，
，
，
在和中， ，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
在中，，
即点到直线的距离为．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：A．
3．（2025·安徽池州·三模）如图，菱形中，是边上一点，是边上一点，，连接交于点．
（1）若，则______（用表示）；
（2）若，则的最大值是______．
【答案】 3
【分析】（1）先证明是等边三角形；得出，再利用三角形的内角和定理进一步可得答案；
（2）设，，根据，根据二次函数性质，说明有最大值，求出最大值为3即可．
【详解】解：（1）∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∴，
设，，
∴
，
∴当时，取最大值，
∴此时，
∴此时，
∵为等边三角形，
∴此时，，
∴此时，
∴平分，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最大值为3．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
4．（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）①∵，，
∴设，则，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②设，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．
三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且． 证明：如图2，延长到点F，使，连接． ∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴，．∴，． ∴四边形是平行四边形．（依据2） ∴，．又∵，∴． 归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．
任务：
(1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______ ；
依据2：______ ．
(2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．
如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．
(3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．
【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）由平行四边形的判定定理可得出答案；
（2）延长到点F．使．连接，．证明四边形是平行四边形．
从而可证得四边形是矩形，由矩形的性质得到，继而可得出结论．
（3）延长到点N，使，连接，．证明四边形是平行四边形．得到，．从而有．再证明，得出，继而可求解．
【详解】（1）解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（2）证明：如图，延长到点F．使．连接，．
∵点E为的中点．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵．
∴．
∴．
（3）解：如图，延长到点N，使，连接，．
∵点M是的中点，
∴．
又∵．
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∵四边形和四边形都是正方形
∴，．．
∴，．
∴．
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理的证明，直角三角形斜边 中线等于斜边的一半性质的证明，全等三角形的判定与性质． 本题是四边形综合题，熟练掌握“倍长线段法”是解题的关键．
6．（2025·辽宁本溪·模拟预测）【问题初探】
（1）如图1，是的中线，，，求中线长度的取值范围．
小红和小林两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小红同学的思考过程：如图2，延长到点，使，连接，利用三角形中位线…；
②小林同学的思考过程：如图3，延长到点，使，连接，构造三角形全等…；
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，已知等腰中，，，点D在直线上移动，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取中点，连接，猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若，，请你直接写出的长度．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）或
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）①小红同学的解题思路：延长到点，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；②小林同学的解题思路：延长到点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系可得，由此即可得；
（2），证明：延长至，使，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；
（3）先利用勾股定理可得，再分两种情况：①当在点的右侧时，②当在点的左侧时，先求出的长，再参考（2）的思路证出，由此即可得．
【详解】解：（1）①小红同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接，
∵是的中线，，
∴是的中位线，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∴，
∴．
②小林同学的解题思路：如图，延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∴，
∴．
（2），证明如下：
如图，延长至，使，连接，
∵点为中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）∵等腰中，，，
∴，
∵．
则分以下两种情况：
①如图，当在点的右侧时，
∴，
由（2）已证：，
∴；
②如图，当在点的左侧时，
延长至，使，连接，
∵点为中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴；
综上，的长度为或．
题型5 常见相似模型
1、核心模型及识别：①A字型：一条直线平行于三角形一边，与另外两边相交，形成的小三角形与原三角形相似（两角相等）；②8字型：两条直线相交，形成的两个三角形有对顶角，且另外一组角相等，可判定相似；③母子相似：直角三角形斜边上的高，分原三角形为两个小直角三角形，三个三角形两两相似； 2、应用技巧：①识别模型，快速确定相似判定条件（两角相等）；②利用模型的固定比例关系，直接转化线段比例，无需重复证明相似；③复杂图形中，拆分或补全模型，简化计算。 3、易错点：模型识别错误（如混淆A字型与8字型）；比例关系找错（对应边顺序混乱）；忽略模型的适用条件（如A字型需平行线）。
1．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知和是等腰直角三角形，其中，且E是中线的中点，连接，若，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，延长到点G，使，连接，首先求出，，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，延长到点G，使，连接
∵是等腰直角三角形，
∴
∵E是中线的中点
∴，
∵，
∴
∴
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
2．（2026·安徽六安·一模）如图，在中，垂直平分边，垂足为点，交于点，点为的中点，连接与交于点．若，则下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂直平分边，推出，，，结合，推出和，根据性质可判断选项的值．
【详解】∵垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，点为的中点，
∴，
∴，
∵设，，
∴，
∴．
选项A正确，不符合题意．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴选项B正确，不符合题意．
∵，
∴设，则，，
∴．
∴．
∴选项C正确，不符合题意．
∴．
∴选项D错误，符合题意．
故选：D．
3．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：．
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
即，即，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
，
解得：，
∴，
∴，
4．（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）；；（2）①见解析；②
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点．
（1）证明，根据相似三角形的性质可得，；
（2）同理（1）可得可求，，由此求出；
（3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解．
【详解】解：（1）；；
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）①如图②，过点作，垂足为，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（1）可得：；；
设，，
则，，，
∴，
∴，
②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为，
同理可得：，；；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
当在内时，如图③-2，
同理可求：，，
∴
综上所述：长为
5．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点．
(1)如图1，当 时，猜想四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，当，时，请判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)若，，在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，请直接写出与重叠部分的面积．
【答案】(1)四边形是菱形，见解析
(2)或，见解析
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、解三角形，解题关键是利用相似三角形性质转化线段比，求出线段之间的关系．
（1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论；
（2）过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，根据相等的等量关系计算可得．
（3）先根据面积关系得出，，再证明，可得，利用线段和差计算求解即可得出，，由此即可求出与重叠部分的面积．
【详解】（1）解：结论：四边形是菱形，
证明：由折叠可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
（2）解：，
理由：过点作于点，
∴，
∵，即，
∴，
∵沿翻折，得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∵
∴，（可作结论）
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，当一个三角形面积是另一个三角形面积的2倍时，而且交于点．
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
考向05 全等、相似与几何、函数综合
题型6 全等、相似与几何、函数综合
1、核心综合形式：全等/相似模型+三角形/矩形/菱形/圆+一次函数/二次函数，考查线段长度、点的坐标、面积计算、最值问题等； 2、解题关键：数形结合，先识别图形中的全等、相似模型，利用模型性质转化线段、角关系，再结合函数解析式，建立等式求解； 3、解题思路：①分析图形，识别全等、相似，判定全等或相似，得出线段、角关系；②结合几何图形性质，确定关键点坐标；③代入函数解析式，求解未知量，或利用函数性质求最值；④验证结果，确保符合图形和函数的取值范围。
1．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在对角线上，且，点在上，连结，，且，连结交于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查正方形性质、等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理；用几何推理 + 相似 + 勾股解题，关键是先证 F 为中点，再用相似得线段比，易错点是比例关系看错、勾股计算错误．
先由正方形对角线得角，结合证 F 是中点；再由得，推出，算出；最后用勾股定理求，化简得出比值．
【详解】
过 E 作于 M．
正方形中是对角线，，
设，则，，
正方形边长．
由是等腰直角三角形，
，．
由，
，
，即F是中点．
正方形中，
故，相似比，
．
由，
，
又，
．
在中，，，
由勾股定理：
．
故选：B．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）正方形纸片的边长为，点在边上，连接，点在边上，沿折叠该纸片，使点落在上的点，折痕与交于点，若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，先证，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求出的长．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分，
，，
，
又，
，
∴，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平行四边形中，，，．动点、分别在边、上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．
（1）________；
（2）当的面积最大时，的长为________．
【答案】 90 5
【分析】（1）在中，得出，根据是等边三角形，得出，，连接，证明，得出，，则
（2）作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出．
【详解】解：∵在中，，，．
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴；
（2）作的平分线交于点E，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴直线和直线重合，
即点P在上运动，
∵，
则最大时，的面积最大，
根据题意可得当点P与点E重合时，最大，即的面积最大，
此时，如图，
则，
∴，
∴．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，且，过点作交延长线于点，点为中点，连接，连接交于点，连接．若四边形是平行四边形，则：
（1）的度数为________；
（2）________．
【答案】 /30度
【分析】（1）先证明四边形是菱形，得出，进而得出，则，根据，即可得出；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，设，则，，证明，根据相似三角形的性质，分别求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴四边形是菱形，
∴
∵点为中点，
∴
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（2） 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为
∴
∵
∴
∵四边形是菱形
∴
∴
∴是等边三角形，
∵
∴
∵，
∴
在中，
设，则，
∴，
∵中，是的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴
∴
5．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
(1)【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
(3)的长为或
【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得；
（2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可．
【详解】（1）解：
证明如下：
将绕点顺时针旋转90°到处，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
（2），
理由如下：
四边形是矩形，
，
，
，
同理在中，，
，
，
，
，
即，
，
，即
（3）的长为或
解：方法一
在中，，，
，
当点在线段上时，
，
在中，，
过点作，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
当点在线段的延长线上时：
，
在中，，
过点作，
同理，在中，，，
在中，，
．
综上所述，的长为或．
方法二：
在中，，，
，
连接并延长交于点，连接，
在中，为直径
，，且，
又，
，，
由（2）得，
设，则，，
，，
，
或，
或．
6．（2026·山东青岛·一模）潍坊国际风筝节（会）每年4月20日至25日在潍坊举行，是我国最早冠以”国际”并被国际社会承认的大型地方节会，为参加风筝节，华华和琳琳准备设计风筝图案．
(1)如图1，在华华设计的“风筝”图案中，，与相交于点，．求证：垂直平分；
(2)如图2，在琳琳设计的“风筝”图案中，在中，， 的平分线交于点，以为圆心，为半径画．求证：是的切线；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得，从而证明，则，由等腰三角形的性质可得垂直平分；
（2）作于点，由角平分线的性质可得，因此圆心到的距离等于半径，命题得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，即平分，
∴，，
∴垂直平分；
（2）证明：如图，作于点，
∵平分
又∵，，
∴，
∴点在上，即圆心到的距离等于半径，
∴是的切线．
7．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
(1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标；
(2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
(3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标；
（2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明；
（3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围．
【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵点，分别在边，上，
又∵反比例函数的图象经过点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设的中点为，
∵，
∴点在圆上，
∵圆与矩形的边有个公共点，
∴圆与边、共有个公共点，
由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∴，解得，
此时圆与矩形的边仅有个公共点，
∴需向下平移，即，
②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
同理①可得，，
∴，解得，
此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个，
∴，
综上所述，的取值范围为．
（建议用时：90分钟）
1．（2026·河北沧州·一模）如图，在中，，，，平分，交于点，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】过D作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明Rt和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，再在中利用勾股定理求出即可得解．
【详解】解：过D作于，
是的平分线，，于，
，
在Rt和Rt中，
，
∴RtRt（HL），
，
由勾股定理得，，
，
设，则
在Rt中
∴，
解得
即，
∴的面积为．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示：
则,
根据旋转可知, ,
∴,
,
,
,
∵,,
∴,
,
∴点在直线上,
为定值,
∴当最小时,的周长最小,
如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,
根据轴对称可知：,
∴,
∵两点之间线段最短,
∴当在点处时,最小,且最小值为的长度,
∴最小值为：,
的周长最小值为.
3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，中，与交于点，则的长为_____．
【答案】
【分析】过点D作于点F， 由和勾股定理求出，求出,得，，由，得，求出，即得．
【详解】解：如图，过点D作于点F，则，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，则_______，图象最低点的横坐标是_______．
【答案】 5 1
【分析】由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，则有，然后可求，取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值，进而通过得到进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：当时，，此时，即点B、F重合，，
∵，
∴，
∴，
∴；
取点E关于成轴对称的点G，连接，与交于点，如图，则有，，所以，根据三角形三边不等关系可得，所以当点F与点重合时，此时y取最小值，
由题意得，
由图象得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴图象最低点的横坐标是1．
5．（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且．
(1)求证：；
(2)当时，连接，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）分别证明，，再根据证明即可；
（2）证明点C与点E重合，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴,
又，
∴，
∴，
∴，
在和中，
,
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
在中，，，
∴,
∴,
∴,
∵是等边三角形，，
∴,
∴,
即点C与点E重合，
∵和都是等边三角形，且，
∴,
∴．
6．（2026·河南信阳·一模）等腰，在边上取一动点D，以点A为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．
(1)观察猜想
如图1，，则________ ．
(2)类比探究
如图2，，点F为中点，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用．
如图3，，过点D作交的延长线于G，连接．请直接用等式表示线段与的数量关系．
【答案】(1)；
(2)，见解析；
(3)，见解析．
【分析】（1）由旋转可得，，求出，利用三角形外角的定义求出，即可求解；
（2）证明，得到，，再求出，即可得出结论；
（3）先证明，得到，再证明，得到，根据是等腰直角三角形，得出答案．
【详解】（1）解： 由旋转可得：，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接CE，
，．
，
由旋转知，
，
即．
，
，
，，
，
∵点F为中点，
．
（3）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，
．
7．（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解；
（3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴令，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：①如图所示，，，三点共线，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
②如图所示，，，三点共线，
此时，，
∵和都是等腰直角三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上，的长为．
8．（2026·山西朔州·一模）阅读与思考请认真阅读下面的材料，并完成相应的任务．
三角形的布洛卡点【概念理解】 定义：如图1，已知点为内部的一点，连接，若，则点叫做的布洛卡点． 【问题解决】 问题1：如图1，通过研究可以发现，与与与分别具有相同的数量关系． 问题2：如图2，在中，，点为的布洛卡点，且 ，求的值． 解：， ． ， ……
任务：
(1)问题1中这个相同的数量关系为______．
(2)将问题2的解答过程补充完整．
(3)如图，为等边三角形，请作出的布洛卡点，连接，，，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
【答案】(1)它们的和均为
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据，可得，再由三角形内角和定理可得，即可解答；
（2）证明，可得，从而得到，即可解答；
（3）作的角平分线交于点N，即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
同理；；
即这个相同的数量关系为它们的和均为；
（2）解：，
．
，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，点N即为所求；
理由如下：
由作法得：分别为的角平分线，
∴平分，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，即点N为的布洛卡点．
9．（2026·四川达州·一模）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)点G在线段上，且，连接交于点H，若恰好平分，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7.2
【分析】（1）结合平行四边形的性质证明，由全等三角形的性质可得，然后证明即可；
（2）首先确定，由平行四边形的性质可得，再结合平分证明，进而可得，然后证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
10．（2026·广西南宁·一模）综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定．
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为．
【求解模型】
(1)求；
(2)求第一根品丝的有效弦长及．
【检验模型】
(3)制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)合格，理由见解析
【分析】（1）证明，即可求解；
（2）由（1）得，可得，从而得到，即可求解；
（3）根据题意可得，在中，，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
又，
．
．
（2）解：由（1）得，
，
，即．
解得．
在中，．
（3）解：合格，理由如下：
，
．
在中，
．
．
．
，
∴该品丝合格．
11．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】
某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案．
【探究感悟】
小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上；
(1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____；
【深入探究】
小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为；
(2)在图2中找出与相等的角，并证明；
(3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解；
（2）证明，可得，即可求解；
（3）证明，可得，再结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵点与点的连线恰好平分，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
由题意得垂直平分，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得：
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．（2026·山东济南·一模）已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点．
(1)当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值；
(3)如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长．
【答案】(1)，
(2)周长的最大值为
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标；
（2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值；
（3）当点在右侧抛物线上时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，设直线，则直线，再与抛物线联立求解点坐标，即可求解；当点在左侧抛物线上时，过点作交直线于点，过点作于点，证明，求出，同理可求，与抛物线联立求解点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将点代入，
则
解得
∵
∴，
∴解析式为：
令，则
解得，
∴；
（2）解：设直线，
则代入点得，，解得
∴直线
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∵轴，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
设，则
∴
∵
∴当时，的最大值为
∴周长的最大值为；
（3）解：对于，令，则
解得，
∴；
∵，
∴，
当点在右侧抛物线上时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
解得
∴，
∴
设直线，
则代入得，
解得
∴直线，
与抛物线联立可得，，
解得或
∴
∴；
当点在左侧抛物线上时，过点作交直线于点，过点作于点，
则
∴
∴
∴
∴，
∴，
∴，
则同理可求
与抛物线联立可得，，
解得或
∴
∴，
综上：的长为或．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C，．
(1)求a的值；
(2)如图1，点P为第一象限抛物线上一点，连接，，点P横坐标为m，请用含m的式子表示的面积S（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作垂直于x轴，垂足为H，交直线于点D，点E为的中点，点G在第二象限，连接，，，，点Q为第四象限抛物线上一点，连接，交于点K，若，，平分，时，连接交y轴于点T，求点T的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中求得a的值，即可求得解析式；
（2）求出点B、C的坐标，即可求得的长，由点P的横坐标可得点P的纵坐标，由面积公式即可求解；
（3）延长至点M，使，连接，，过B作于N，易得，，且；由的条件，可得
，即可证，有，；再证明，则可证明，得，进而得；再结合角平分线的条件得；过H作的垂线交的延长线于S，则可证明，得，由此建立方程求得m的值，从而求得点P的坐标；过Q作y轴垂线，交y轴于L，交直线于R，设，易得，求得，进而得，由，得，从而有，据此求得点Q的坐标，求出所在直线解析式，即可求得点T的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点A，，，
，解得，
∴抛物线解析式；
（2）解：令，，
解得，，
，，
，
∵点P为第一象限抛物线上一点，点P横坐标为m，
，
；
（3）解：延长至点M，使，连接，，过B作于N，
为中点，
，，且，
，
设，则，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
过H作的垂线交的延长线于S，
则，
∴，，
∵，
，
，
，
，
解得或（舍），
，
过Q作y轴垂线，交y轴于L，交直线于R，
设，
，，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
设，则，由勾股定理得，
，
，解得或（舍），
，
，，
∴设所在直线解析式为，
即，
解得：，
所在直线解析式为，
令，则，
．
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