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专题04 四边形综合
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模块说明：
近三年：中考数学中四边形综合考点主要考向分为四类： 一、平行四边形的判定与性质（每年1~2道，6~10分）； 二、矩形、菱形、正方形的判定与性质（每年1~2题，8~12分）； 三、四边形与三角形、全等/相似的综合（每年1道，8~12分）； 四、四边形与函数、动点的综合（每1~2年1道，10~14分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的重要组成部分，难度中等偏上． 预测2026年：四边形综合仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查特殊四边形的判定与性质综合，强化与全等、相似、函数、动点的融合应用。命题更注重数形结合、转化思想，强调图形识别与辅助线构造能力，考生需熟练掌握各类四边形的核心性质与判定方法，牢记常见综合模型，提升图形分析和推理计算能力，做到举一反三、灵活应用。
考向01 平行四边形
题型1 平行四边形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2、核心性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分；平行四边形的对边平行可用于转化角（同位角、内错角相等），对角线互相平分可用于转化线段长度； 3、应用思路：①由平行四边形的性质得出边、角、对角线的关系；②结合三角形全等、勾股定理、平行线性质，解决线段求值、角的计算、证明等问题；③延伸应用：平行四边形的面积=底×高，同底等高的平行四边形面积相等。
1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．48
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在平行四边形中，，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______．
3．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的面积．
4．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）
(1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可）
(2)根据第（1）问的选择，证明你的结论．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在上取点G使，连接，求证：．
考向02 特殊平行四边形
题型2 矩形的判定与性质
1、核心判定（矩形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形； 2、核心性质：矩形具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角、对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分，可得出直角三角形斜边中线等于斜边的一半（重要衍生性质）。 3、易错点：判定矩形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线相等的四边形不是矩形）；忽略矩形的直角性质，无法结合勾股定理计算；误用“矩形的对角线互相垂直”（矩形对角线垂直时是正方形）。
1．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
2．（2026·山西太原·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线平分，且，．点是上一点，连接，若，则的面积为______．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度．
4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在四边形中，，，，，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与四边形的边或边交于点G．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若点G在边上，连接，当，且，求的度数；
(3)当F是中点，且时，求的长．
5．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】
步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F．
第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M．
(1)求证：．
【初步感知】
A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上．
(2)求的长．
【应用创新】
(3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________．
题型3 棱形的判定与性质
1、核心判定（菱形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形； 2、核心性质：菱形具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等、对角线互相垂直且平分一组对角；菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半（中考高频考点）； 3、易错点：判定菱形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线垂直的四边形不是菱形）；计算面积时，混淆“对角线乘积”与“对角线乘积的一半”；忽略菱形对角线平分对角的性质，无法转化角的度数。
1．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．10
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图．在中，，点分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______．
3．（2026·宁夏银川·一模）如图，矩形中，是对角线的垂直平分线，连接、，且、．证明四边形是菱形并求面积．（提示：证平分）
4．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
5．（2026·河南南阳·一模）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)【观察猜想】
如图1，是等边三角形，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出线段与线段的数量关系：____，_____；
(2)【类比探究】
如图2，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
①如图3，当点在线段上，且，时，以线段为边作等边三角形，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
②在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
题型4 正方形的判定与性质
1、核心判定（正方形是特殊矩形、特殊菱形，可从矩形或菱形入手判定）：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形； 2、核心性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分，对角线与边的夹角为45°； 3、易错点：判定正方形时，条件不完整（如仅邻边相等或仅直角，未结合平行四边形）；忽略正方形的对称性（既是中心对称图形，也是轴对称图形）；计算时混淆正方形与矩形、菱形的面积公式。
1．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2026·河南驻马店·一模）如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________．
3．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________．
4．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
5．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，正方形中，点在对角线上．
(1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，求证：．
6．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
考向03 四边形与全等、相似综合
题型5 四边形中的全等应用
1、核心思路：以四边形的性质为基础，通过全等三角形证明线段相等、角相等，进而推导四边形的判定或性质应用；常见于平行四边形、矩形、菱形的判定与性质综合题； 2、解题技巧：①识别四边形中的全等三角形（常通过平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分构造全等）；②利用全等三角形的对应边、对应角相等，补充四边形判定所需的条件；③结合四边形的性质，转化线段、角关系，完成推理或计算； 3、易错点：找不到四边形中隐含的全等条件（如平行四边形对角线平分得到的相等线段）；全等三角形的对应关系找错；忽略四边形的性质与全等三角形的衔接，导致推理中断。
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________．
4．（2026·山东潍坊·一模）如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和．
(1)证明：；
(2)在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
5．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接．
(1)求证：≌；
(2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
6．（2026·海南省直辖县级单位·一模）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程，请你按相关要求答题．
【操作实践】如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
(1)【初步成果】智慧小组经过探究，发现，证明过程如下：
由折叠可知，．由矩形的性质，可知，，________，．（请你补充上述过程中横线上的内容，把答案直接写在答题卡上．）
(2)【猜想推理】实操小组通过测量和的长度，于是猜想存在关系：．社团成员们经过探究发现实操小组的猜想是正确的，并得出验证方法多种，如：方法一：证明，得到，再由可得结论．方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论．（请你选择上述其中一种方法证明，要求写出完整推理过程．）
(3)【拓展探究】在上面“猜想推理”的“方法二”作辅助线“过点作交于点的基础上，连接，如图②，创新小组发现：
①若在矩形中，，，则与不平行．请你求出此时的长，并证明与不平行，要求写出完整推理过程；
②若要，当矩形的其中一边时，的值不等于10，但的值不容易计算，不过的长依然容易求出．请你计算此时的长，要求写出完整推理过程．
7．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
题型6 四边形中的相似应用
1、核心思路：利用相似三角形的比例关系，解决四边形中的线段求值、面积计算、比例证明等问题；常见于平行四边形、矩形、正方形与三角形的综合题，尤其侧重面积比的计算； 2、解题技巧：①结合四边形的性质（如平行四边形对边平行）构造相似三角形（如A字型、8字型）；②通过相似三角形的相似比，转化线段比、面积比（面积比等于相似比的平方）；③设未知数，利用比例关系列方程，求解线段长度或面积； 3、易错点：相似三角形的判定条件应用错误；比例关系找错（对应边顺序混乱）；混淆“相似比”与“面积比”；忽略四边形的性质对相似三角形构造的作用。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．若，，则的长度为________．
4．（2026·四川绵阳·一模）如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______．
5．（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形中，分别是边上的点，，垂足为，与相交于，与AC交于，与交于．
(1)求证：；
(2)若正方形边长为，，求的长度．
6．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
(2)当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
(3)如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，，正方形的边上是否存在一点M，使 恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
7．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
考向04 四边形与其他知识综合
题型7 四边形与几何图形综合
1、核心综合形式：四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）+三角形（全等、相似）+圆，考查线段长度、角的度数、面积计算、图形判定等； 2、解题关键：先明确四边形的类型，利用其性质转化线段、角关系，再结合三角形、圆的性质，完成推理与计算；重点关注图形的拆分与组合（如将四边形拆分为两个三角形）； 3、解题思路：①识别图形中的四边形类型，运用其核心性质；②拆分复杂图形，构造全等或相似三角形；③结合几何图形的性质，求解未知量；④验证结果，确保符合图形实际意义； 4、易错点：图形识别错误（混淆不同类型的四边形）；复杂图形拆分不当，无法构造辅助线；忽略图形中的隐含关系（如四边形的对角线与三角形的边的关系）。
1．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
2．（2026·江西吉安·二模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求阴影部分的面积．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)当时，四边形是________形，请证明．
4．（2026·甘肃定西·一模）如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接．
(1)写出与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
题型8 四边形与函数、动点综合
1、核心综合形式：四边形+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中四边形的形状变化、线段长度、面积最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将四边形的性质与函数解析式结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动规律，分情况讨论（如动点在不同边上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定四边形关键点的坐标；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用四边形的性质、全等/相似，建立与参数相关的等式，结合函数解析式求解；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标；忽略函数自变量的取值范围，导致结果不合理；几何性质与函数解析式衔接错误。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·贵州遵义·一模）综合与实践：
(1)【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ．
(2)【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长．
(3)【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长．
4．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
(2)当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
(3)如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，，正方形的边上是否存在一点M，使 恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
5．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
(1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标；
(2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
(3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
6．（2026·山东青岛·一模）如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为．
解答下列问题：
(1)当是直角三角形时，求的值；
(2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由．
（建议用时：90分钟）
1．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点O，点E在上，连接，作交于点F，交于点G，延长交于点I，连接，交于点H，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，垂足为点H，，，以为边在外部作，，且，则的长是_______．
4．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，求的度数．
6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则的最小值是______．
7．（2026·山东青岛·一模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
操作思考：
如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则．
小明是这样思考的：
设为、为，则，，
由于，
易证：
，
，，则，，
，
．
，两边同除以得
问题探究：
(1)如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程．
拓展延伸：
(2)如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）．
8．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
(1)求直线的解析式．
(2)点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知．
(1)当经过圆心O时，求的度数．
(2)若与相切，的半径为6，求的长．
10．（2026·湖北随州·一模）如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）．
(1)若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)当且时．
①求证：；
②直接写出的值．
11．（2026·广东深圳·二模）综合与探究
【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比．
(1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形；
(2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值；
(4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 四边形综合
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模块说明：
近三年：中考数学中四边形综合考点主要考向分为四类： 一、平行四边形的判定与性质（每年1~2道，6~10分）； 二、矩形、菱形、正方形的判定与性质（每年1~2题，8~12分）； 三、四边形与三角形、全等/相似的综合（每年1道，8~12分）； 四、四边形与函数、动点的综合（每1~2年1道，10~14分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档综合题，常作为几何压轴题的重要组成部分，难度中等偏上． 预测2026年：四边形综合仍是中考数学几何核心考点，全国统一命题趋势下，侧重考查特殊四边形的判定与性质综合，强化与全等、相似、函数、动点的融合应用。命题更注重数形结合、转化思想，强调图形识别与辅助线构造能力，考生需熟练掌握各类四边形的核心性质与判定方法，牢记常见综合模型，提升图形分析和推理计算能力，做到举一反三、灵活应用。
考向01 平行四边形
题型1 平行四边形的判定与性质
1、核心判定定理（中考必考）：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2、核心性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分；平行四边形的对边平行可用于转化角（同位角、内错角相等），对角线互相平分可用于转化线段长度； 3、应用思路：①由平行四边形的性质得出边、角、对角线的关系；②结合三角形全等、勾股定理、平行线性质，解决线段求值、角的计算、证明等问题；③延伸应用：平行四边形的面积=底×高，同底等高的平行四边形面积相等。
1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．48
【答案】C
【分析】由，，可得出四边形为平行四边形，故，
由中点的性质，可得出，故求出即可得出最后结果．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵为对角线，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在平行四边形中，，，．若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______．
【答案】
【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，从而得到．接着利用三角函数或面积法证明等于点到的距离．最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出点到的距离即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
．
，，
．
在中，．
在中，．
．
，
．
．
过点作于点，则．
．即的值等于点到的距离．
过点作交的延长线于点．
，．
在中，，
．
．
在中，．
，
．
．
．
．
故答案为：．
3．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵是中边上的中线，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，，
∴点A，B，C都在以为直径的圆上，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴．
4．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法）
(1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可）
(2)根据第（1）问的选择，证明你的结论．
【答案】(1)①，②；③；（②，③；①）
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据全等三角形的判定选择即可
（2）根据选择的条件进行证明，即可求证．
【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③；
解法二，选的条件为②，③，结论为①．
（2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③，
证明，四边形为平行四边形，
，
在和中，
，
，
；
解法二，选的条件为②，③，结论为①，
证明，四边形为平行四边形，
，
在和中，
，
，
．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知：如图1，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，在上取点G使，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）可证，从而；
（2）先证，得出，即，设，则，在中，，据此列方程求解即可；
（3）在上截取，连接，先证，根据全等三角形的性质得，，从而可证四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得或（舍负），
；
（3）证明：在上截取，连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
由（2）知，
∴，
∴，
由（1）知，
又∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
考向02 特殊平行四边形
题型2 矩形的判定与性质
1、核心判定（矩形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形； 2、核心性质：矩形具有平行四边形的所有性质，且四个角都是直角、对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分，可得出直角三角形斜边中线等于斜边的一半（重要衍生性质）。 3、易错点：判定矩形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线相等的四边形不是矩形）；忽略矩形的直角性质，无法结合勾股定理计算；误用“矩形的对角线互相垂直”（矩形对角线垂直时是正方形）。
1．（2026·浙江台州·一模）如图，在中，．将向右平移得到，点B，，C，在同一直线上，边与边交于点G．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据平移的性质求得四边形是矩形，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由平移的性质得，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴．
2．（2026·山西太原·模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线平分，且，．点是上一点，连接，若，则的面积为______．
【答案】
【分析】已知平分，，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，构造辅助线，过点作于点，可得到，要求的面积，底边上的高已求得，则只需求得的长即可，构造全等三角形，过点作，交的延长线于点，易证四边形是矩形，可得，，结合平行线的性质即可证明，从而得到，，由等腰三角形三线合一即可得到，设，则，在中，由勾股定理得，，列方程求解即可得解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，，
，，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
即，解得，
，
，，
，
的面积为．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆固定在点，并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使（为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为，实验楼顶端A的影子恰好与标杆的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若为4.4米，为1.8米，为2米，请根据以上数据，求实验楼的高度．
【答案】实验楼的高度为米．
【分析】延长交于点，过点作于点，易证四边形是矩形，四边形是矩形，得到米，米，，，证明是等腰直角三角形，得到，由，即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
同理，四边形是矩形，
∴米，米，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵米，
∴（米），
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴，
∴在中，，
设米，则米，
∴，
∴，即米，
∴（米）．
答：实验楼的高度为米．
4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）在四边形中，，，，，，的平分线交边于点E，点F在线段上，射线与四边形的边或边交于点G．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，若点G在边上，连接，当，且，求的度数；
(3)当F是中点，且时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)9或
【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的定义证明，即可证明结论；
（2）过点C作于点M，证明四边形为矩形，再证明，求出，进而推出，即可求解；
（3）分点在上和点在两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，
．
平分，
．
，
；
（2）解：过点C作于点M，如图，
，，
．
，
四边形为矩形，
．
，
，
，
，即，
，
．
，
，
．
，
；
（3）解：①当点G在上时，如图，由（1）知：．
是中点，
，
，
，
．
．
，，
，
；
当点G在上时，连接，延长交于点N，如图，由（1）知：，
是中点，
，
为的垂直平分线，
．
，
，即，
解得：．
，
，
，即，
在和中，，
，
．
设，则，，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
综上，的长为9或．
5．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】
步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F．
第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M．
(1)求证：．
【初步感知】
A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上．
(2)求的长．
【应用创新】
(3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可；
（2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可；
（3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到．
【详解】（1）证明：连接，如图②：
由第一次折叠可得，，
∵四边形是矩形，
∴
由第二次折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图③：
由②得，，
∴
∵矩形，
∴，，
∴
由折叠可得，
∵
∴
∴，
由（1）得，
∴
∴
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，
∴
∵矩形，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得，平分
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
当时，连接，过点作于点，
则，
∵折叠，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
同上可证明四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可得，，
由（1）得，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∵，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴，
设，则
∴，
解得
∴，
综上：当为直角三角形时，则的长为或．
题型3 棱形的判定与性质
1、核心判定（菱形是特殊平行四边形，需先满足平行四边形条件或直接判定）：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形； 2、核心性质：菱形具有平行四边形的所有性质，且四条边都相等、对角线互相垂直且平分一组对角；菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半（中考高频考点）； 3、易错点：判定菱形时，未先证明是平行四边形（如仅对角线垂直的四边形不是菱形）；计算面积时，混淆“对角线乘积”与“对角线乘积的一半”；忽略菱形对角线平分对角的性质，无法转化角的度数。
1．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长．
【详解】解：如图所示：连接，交于点O，
由题中作图可知：，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图．在中，，点分别在上，连接．将沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则线段的长是______．
【答案】
【分析】根据，，得出，则，由折叠的性质得：，，，则，证出，则四边形是菱形，即可得，证出，则， 在中，由勾股定理求出，设，则，列方程求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
设，则，
则，
解得：，
∴的长为．
3．（2026·宁夏银川·一模）如图，矩形中，是对角线的垂直平分线，连接、，且、．证明四边形是菱形并求面积．（提示：证平分）
【答案】证明见解析；
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，菱形面积的计算公式．根据题意证明，先证明四边形是平行四边形，再根据证明四边形是菱形；根据菱形的性质得到，设，则，根据在中，，得到，解得，根据即可得到答案．
【详解】证明：矩形，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故，
．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接和．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；
（2）利用矩形的性质结合三角形中位线定理得出，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，且，
∴，，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：四边形是菱形，
∴菱形的面积为：．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
5．（2026·河南南阳·一模）九年级（1）班学生在数学老师的指导下，以“图形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
(1)【观察猜想】
如图1，是等边三角形，点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，请直接写出线段与线段的数量关系：____，_____；
(2)【类比探究】
如图2，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
①如图3，当点在线段上，且，时，以线段为边作等边三角形，连接，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
②在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）证明得出，，进而求得；
（2）根据菱形的性质以及，得出是等边三角形，证明，再证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解；
（3）分情况讨论，当在线段上，记与交于点，证明，，根据相似三角形的性质结合已知可得；当在线段上时，延长交于点，同理可得，即可求解．
【详解】（1）解： 是等边三角形，
，，，
由旋转可得，，，
，
，
，，
；
（2）①，理由如下：
在菱形中，，
∴，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
；
②如图，当在线段上，记与交于点，
∵四边形是菱形
∴，，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴
∴
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，当在线段上时，延长交于点
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴；
题型4 正方形的判定与性质
1、核心判定（正方形是特殊矩形、特殊菱形，可从矩形或菱形入手判定）：①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形； 2、核心性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分，对角线与边的夹角为45°； 3、易错点：判定正方形时，条件不完整（如仅邻边相等或仅直角，未结合平行四边形）；忽略正方形的对称性（既是中心对称图形，也是轴对称图形）；计算时混淆正方形与矩形、菱形的面积公式。
1．（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可．
【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·河南驻马店·一模）如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________．
【答案】/
【分析】连接，如图，先证明四边形和四边形都为矩形，再证明四边形为正方形，可知，，，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形和四边形都为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴由、和弧所围成的图形的面积由、和弧所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积．
3．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为________．
【答案】/
【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数．
在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可．
【详解】解：如图1，连接，
由七巧板可知，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，，
如图2，连接、，则，
∴，
由七巧板可知，，
则，
∴．
故答案为：．
4．（2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论；
（2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，
平行四边形为菱形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
菱形为正方形．
（2）解：连接、，如图所示：
于点，点为的中点，
为线段的垂直平分线，
，
四边形为正方形，
∴，
正方形的面积．
5．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，正方形中，点在对角线上．
(1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作，交延长线于点G，然后尺规作出的垂直平分线，然后截取即可；
（2）根据题意证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，正方形即为所求；
（2）证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，和相交于点
∴，，
∴，即
∴
∴，，
∴，
∴在中，由勾股定理得
又∵在中，由勾股定理得
∴．
6．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析；③
【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的性质得到，根据等角的补角相等得到，根据即可证明；
（2）①根据，得到，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，即可证明四边形为正方形；
②延长交于点K，根据正方形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，进而得到，证明，得到，即可证明；
③取中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，延长交于P，则四边形是矩形，得到，，根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，可知，根据得到，即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴，
∴．
∴四边形为正方形；
②证明：延长交于点K，
∵四边形为正方形，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③解：取中点O，连接，
∵
∴
延长交于P，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
考向03 四边形与全等、相似综合
题型5 四边形中的全等应用
1、核心思路：以四边形的性质为基础，通过全等三角形证明线段相等、角相等，进而推导四边形的判定或性质应用；常见于平行四边形、矩形、菱形的判定与性质综合题； 2、解题技巧：①识别四边形中的全等三角形（常通过平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分构造全等）；②利用全等三角形的对应边、对应角相等，补充四边形判定所需的条件；③结合四边形的性质，转化线段、角关系，完成推理或计算； 3、易错点：找不到四边形中隐含的全等条件（如平行四边形对角线平分得到的相等线段）；全等三角形的对应关系找错；忽略四边形的性质与全等三角形的衔接，导致推理中断。
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，．
∵在和中，
，
∴（）．
∴．
设，则．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
∴，即．
2．（2026·天津河北·一模）如图，在中，以点D为圆心，小于线段长为半径画弧交边于E点，以点B为圆心，线段长为半径画弧，分别交边，于点F，G，连接，，连接，交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】假设，根据平行线分线段成比例可推出，可判断A；假设，则，可判断B；根据平行线的性质，利用可证，可判断C；假设，那么，但题目中长度可变，那么的度数会变化，故不成立，可判断D．
【详解】解：假设，则，
由作图可知，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定成立，故选项A不符合题意；
假设，则，根据题意不一定成立，故选项B不符合题意；
∵在中，，
∴，，
由作图可知，
∴，
∴，故选项C一定正确，符合题意；
假设，
∵，
∴，
∵长度可变，
∴的度数会变化，
∴不成立，故选项D不符合题意．
3．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角，其中，连接、．当点E、F在、边上运动时，则的最小值为________．
【答案】
【分析】过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，当时，最小，此时为等腰直角三角形，再进一步求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
过点作于点M，于点N，则四边形是矩形，
∴，，
∵，，则，
∴，
∴，
∴，
∴点在的角平分线上，
∴，
∴当时，最小，此时为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
4．（2026·山东潍坊·一模）如图，点为线段上一点，以线段和为边分别在线段同侧作正方形和正方形，连接和．
(1)证明：；
(2)在备用图中尺规作图：在线段上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长，交于，利用证明，得出，利用角的和差关系得出，即可得结论；
（2）在右侧作，可得，根据平行线分线段成比例定理即可得出．
【详解】（1）证明：如图，延长，交于，
∵在线段同侧作正方形和正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴．
（2）解：如图，在右侧作，交于，点即为所求．
∵，
∴，
∴．
5．（2026·山东青岛·一模）已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接．
(1)求证：≌；
(2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；
(2)四边形是矩形，证明见解析
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得到，，再利用平行线性质得到，即可证明全等；
（2）先求出，结合角度关系证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，再证明矩形即可．
【详解】（1）由题意四边形是平行四边形，
则
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，，
，
，
又，
，
，
在和中，
．
（2）解：四边形是菱形．
证明如下：
，
，，则，
，解得，
，，
，，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
为中点，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
中，，，
，
，
，
，
，
平分，
是等边三角形，
，
，
，，，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．
6．（2026·海南省直辖县级单位·一模）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程，请你按相关要求答题．
【操作实践】如图①，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
(1)【初步成果】智慧小组经过探究，发现，证明过程如下：
由折叠可知，．由矩形的性质，可知，，________，．（请你补充上述过程中横线上的内容，把答案直接写在答题卡上．）
(2)【猜想推理】实操小组通过测量和的长度，于是猜想存在关系：．社团成员们经过探究发现实操小组的猜想是正确的，并得出验证方法多种，如：方法一：证明，得到，再由可得结论．方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论．（请你选择上述其中一种方法证明，要求写出完整推理过程．）
(3)【拓展探究】在上面“猜想推理”的“方法二”作辅助线“过点作交于点的基础上，连接，如图②，创新小组发现：
①若在矩形中，，，则与不平行．请你求出此时的长，并证明与不平行，要求写出完整推理过程；
②若要，当矩形的其中一边时，的值不等于10，但的值不容易计算，不过的长依然容易求出．请你计算此时的长，要求写出完整推理过程．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，见解析，②，见解析
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质推出角相等从而确定直线平行关系，再通过测量和推理猜想线段关系：
（2）利用矩形的折叠性质可证明三角形全等，进而得出线段相等关系；
（3）①设，则，，在中，利用勾股定理解答即可；②根据前面的结论设未知数，分两种讨论直角三角形，利用三角函数和线段关系列方程求解．
【详解】（1）解：由折叠可知，．
由矩形的性质，可知，
∴，
∴，
∴．
（2）解：证明：方法一：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质，得，，，，，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
方法二：如图，过点作交于点G，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质，得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由折叠知
在矩形中有，
在中，由勾股定理可得
设，则，
在中，由勾股定理可得，即
解之得
即；
假设，，
而由折叠知，
，
由上（2）方法一知，
，
由（2）方法二知，
∴
又，则易得
在中，由勾股定理可得，
即，显然这个等式是不成立的
假设不成立，即与不平行；
②当时，
，
，
，
，
，
由（2）可知：，，，
，
设，则：，，
，
又，
，
，
，
，
在和中，，
，即：，
，
解得：或（舍去）；
．
7．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可，
∵，，
∴，
∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分，
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
题型6 四边形中的相似应用
1、核心思路：利用相似三角形的比例关系，解决四边形中的线段求值、面积计算、比例证明等问题；常见于平行四边形、矩形、正方形与三角形的综合题，尤其侧重面积比的计算； 2、解题技巧：①结合四边形的性质（如平行四边形对边平行）构造相似三角形（如A字型、8字型）；②通过相似三角形的相似比，转化线段比、面积比（面积比等于相似比的平方）；③设未知数，利用比例关系列方程，求解线段长度或面积； 3、易错点：相似三角形的判定条件应用错误；比例关系找错（对应边顺序混乱）；混淆“相似比”与“面积比”；忽略四边形的性质对相似三角形构造的作用。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接交于点，先证明，，然后证明四边形为平行四边形；同理可证明：，再证明四边形为矩形，然后根据矩形和菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∵，
∴
∵
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴
同理可证明：
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴四边形为矩形，
∴．
2．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】过作于，由正方形的性质推出，，由， 求出，由，得， ，由， 得，进而得 ，由，即可求得的结果．
【详解】解：过作于，
∵四边形是边长为3的正方形，
∴，，
∵ ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
3．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G，连接．若，，则的长度为________．
【答案】
【分析】过点F作于点Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则．
【详解】解：如图所示，过点F作于点Q，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．（2026·四川绵阳·一模）如图1，在正方形纸片中，点是的中点．将沿折叠，使点落在点处，连接，延长交于点；如图2，再将沿折叠，此时点的对应点恰好落在上．设和重叠部分的面积为，正方形的面积为，则______．
【答案】
【分析】先证，可得，故，进而得到四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，故，从而可知四边形是平行四边形，又根据折叠可知，得到四边形是矩形，得到，则，再根据相似三角形的性质，计算出、，进而计算出最后求比即可．
【详解】解：设与交于点M，与交于点N，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
由折叠的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴G是中点，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由折叠可知，
∴四边形是矩形，
设，则正方形边长为，
∴，
连接，
由折叠可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
5．（2026·四川绵阳·二模）如图，正方形中，分别是边上的点，，垂足为，与相交于，与AC交于，与交于．
(1)求证：；
(2)若正方形边长为，，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（）由正方形性质可得，，，，再证明即可；
（）由四边形是正方形，得，，，，证明，所以，由勾股定理得，故有，则有，，再求出，然后证明，所以，再代入即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
(2)当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
(3)如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，，正方形的边上是否存在一点M，使 恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析；
(3)存在，见解析
【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明；
②由相似三角形的性质得；
（2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立；
（3）连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
【详解】（1）解：①证明：如图2，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴．
②的值为，
理由：∵，
∴，
∴的值为．
（2）解：（1）①中的结论不成立，②中的结论成立，
理由：如图1，∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点D不在直线上，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）解：存在，点M是的中点，
理由：如图3，连接、，作于点M，则，
∵点O是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
7．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的值；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证即可；
（2）过作于，过作于，则，，，设正方形边长为，结合求出，，代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵正方形中，，，绕点C顺时针旋转得到，
∴，，
∴，，
∴，
在和中
∴
∴
（2）过作于，过作于，过作于，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，，
∴
由（1）得
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
，
∴
∴．
考向04 四边形与其他知识综合
题型7 四边形与几何图形综合
1、核心综合形式：四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）+三角形（全等、相似）+圆，考查线段长度、角的度数、面积计算、图形判定等； 2、解题关键：先明确四边形的类型，利用其性质转化线段、角关系，再结合三角形、圆的性质，完成推理与计算；重点关注图形的拆分与组合（如将四边形拆分为两个三角形）； 3、解题思路：①识别图形中的四边形类型，运用其核心性质；②拆分复杂图形，构造全等或相似三角形；③结合几何图形的性质，求解未知量；④验证结果，确保符合图形实际意义； 4、易错点：图形识别错误（混淆不同类型的四边形）；复杂图形拆分不当，无法构造辅助线；忽略图形中的隐含关系（如四边形的对角线与三角形的边的关系）。
1．（2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，点D在边上，以为直径的与相切于点E．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用切线性质证明，再结合角平分线性质和等腰三角形性质分析证明，即可解题；
（2）作，证明四边形为矩形，进而求出，再利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】（1）证明：如图，，与相切，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，，作，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
2．（2026·江西吉安·二模）如图，已知内接于，点D在的延长线上，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，即可得，则此题可证；
（2）连接，先说明是等边三角形，进而得出四边形是菱形，再解直角三角形求出，即可得，然后根据勾股定理求出，可得最后根据得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴即．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，则．
在中，，
∴，即，
解得，
∴，即．
在中， ，
∴
∴ ．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)当时，四边形是________形，请证明．
【答案】(1)见解析
(2)正方，见解析
【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形.
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，四边形是正方形．
证明：由（1）知，，
又 ，
四边形是平行四边形，
∵
∴是直角三角形，
由（1）可知，，
，
四边形是菱形，
∵，
，
，
∴菱形是正方形．
4．（2026·甘肃定西·一模）如图1，已知正方形是边上的一个动点（不与点重合），连接，点关于直线的对称点为点，连接并延长交于点，连接．
(1)写出与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，连接，若，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，过点作于点，连接，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质证明．
（2）先证明，设，，则，推出，，根据，构建关系式即可解决问题．
（3）如图3中，过点作直线交，于，．证明 ，推出，，设．，推出 ，即可得出结论．
【详解】（1），理由如下：
四边形是正方形，点关于直线的对称点为，
， ，，
，
，
．
（2），理由如下
如图2中，
，
，，
，
，
，
，
设，，则，
，，
，
，
，
，
，即
（3）结论：　　　
理由：如图中，过点作直线交，于，．
则四边形为矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，，
设．，
，
四边形为矩形，四边形是正方形，
，
，
，
题型8 四边形与函数、动点综合
1、核心综合形式：四边形+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中四边形的形状变化、线段长度、面积最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将四边形的性质与函数解析式结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动规律，分情况讨论（如动点在不同边上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定四边形关键点的坐标；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用四边形的性质、全等/相似，建立与参数相关的等式，结合函数解析式求解；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标；忽略函数自变量的取值范围，导致结果不合理；几何性质与函数解析式衔接错误。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，，，，动点以的速度从点出发，沿向终点运动，过点作，垂足为点．设点的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过点作交于点，则四边形是矩形，推出，则．①当时，点在上，此时，利用三角函数求出，，，得出是关于的二次函数；②当时，点在上，此时，四边形是矩形，则，，得出是关于的一次函数．
【详解】解：如图，过点作交于点，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
①当时，点在上，此时，
，，
，
；
②当时，点在上，此时，
，
，
四边形是矩形，
，。
，
当时，函数图象是开口向下的抛物线，当时，函数图象是直线．
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在矩形中，，，动点P从A出发，沿的方向在和上移动，设，点D到直线的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论：①点P在上时，点D到的距离为的长度，②点P在上时，根据同角的余角相等求出，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【详解】解：连接，如图
在矩形中，，，，
∴，
∴，
①点P在上时，，点D到的距离为的长度，是定值4；
②点P在上时，，过点D作于点E，如图
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
只有B选项图形符合．
3．（2026·贵州遵义·一模）综合与实践：
(1)【提出问题】
如图1，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．则的度数为 ；线段与的数量关系为 ．
(2)【类比探究】
如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，．当时，求的长．
(3)【迁移运用】
如图3，在矩形中，，，是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，求出的长．
【答案】(1)，
(2)
(3)的长为
【分析】（1）结合菱形的性质以及等边三角形的判定和性质可证明，即可求解；
（2）过作于点，证明，可得，即可解答；
（3）过作于，过作于，则，在中，，然后分两种情况讨论：当在上方时，当在下方时，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，是等边三角形，
∴，
由旋转的性质得：，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过作于点，
四边形是正方形，是对角线，
，即是等腰直角三角形
，，
由旋转的性质，得，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
在中，，
，
；
（3）解：在中，，则，
，
，
如图3，过作于，过作于，则，
在中，，
①当在上方时，
，
，
又，
，
；
②如图4，当在下方时，
同理，
；
综上，的长为．
4．（2026·江西鹰潭·一模）某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程：
如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，．
(1)如图2，当点D在直线上时，
①求证：．
②推断：与的比值．
问题深入
(2)当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由．
问题解决
(3)如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，，正方形的边上是否存在一点M，使 恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析；
(3)存在，见解析
【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明；
②由相似三角形的性质得；
（2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立；
（3）连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
【详解】（1）解：①证明：如图2，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴．
②的值为，
理由：∵，
∴，
∴的值为．
（2）解：（1）①中的结论不成立，②中的结论成立，
理由：如图1，∵，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵点D不在直线上，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴（1）①中的结论不成立；
∵，
∴，
∴的值为，
∴（1）②中的结论成立．
（3）解：存在，点M是的中点，
理由：如图3，连接、，作于点M，则，
∵点O是正方形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点．
5．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为．
(1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标；
(2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：；
(3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标；
（2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明；
（3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围．
【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）证明：由（1）可知，，，
∵点，分别在边，上，
又∵反比例函数的图象经过点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设的中点为，
∵，
∴点在圆上，
∵圆与矩形的边有个公共点，
∴圆与边、共有个公共点，
由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∵圆与相切，
∴，
∴，
∴，解得，
此时圆与矩形的边仅有个公共点，
∴需向下平移，即，
②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，
同理①可得，，
∴，解得，
此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个，
∴，
综上所述，的取值范围为．
6．（2026·山东青岛·一模）如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为．
解答下列问题：
(1)当是直角三角形时，求的值；
(2)连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式；
(3)线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）解直角三角形得到，由平行四边形的性质得到，则，根据题意可得，则，再分两种情况：和，讨论求解即可；
（2）过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，求出，由等面积法求出；解直角三角形得到；证明，根据，列式求解即可；
（3）过点P作于点T，可求出；解直角三角形可得，，则，再解直角三角形得到，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，则，
当时，则，
∴，
解得（已检验）；
当时，则，
∴，
解得（已检验）；
综上所述，t的值为或；
（2）解：如图所示，过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，
由（1）得，则，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴
；
（3）解：如图所示，过点P作于点T，
当时，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由（1）得，，，
由（2）得，
在中，，
，
∴，
在中，，
∴，
解得．
（建议用时：90分钟）
1．（2026·河南信阳·一模）如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是中点，
∴，
由折叠性质可知：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴的长为．
2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，对角线，交于点O，点E在上，连接，作交于点F，交于点G，延长交于点I，连接，交于点H，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】D
【分析】由正方形的性质可得，，，，，则，证明点、、、四点共圆，由圆周角定理可得，即可判断A选项正确；证明，由相似三角形的性质即可判断B选项正确；证明，求出，再证明，求出，即可判断C选项正确；证明，得出，
证明，得出，由可得，计算即可判断D错误．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，故B选项正确，不符合题意；
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故C正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由可得，
∴，故D错误．
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，，垂足为点H，，，以为边在外部作，，且，则的长是_______．
【答案】10
【分析】过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，，首先证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，利用勾股定理求得即可得的长．
【详解】解：如图，过点作平行于的直线、过点作垂直于的直线，两直线相交于点，在直线上取点，使，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
4．（2026·湖北随州·一模）如图1，在矩形中，，点E在上，且，点M从点A出发，沿的路径匀速运动到点B后停止，作于点N，设点M运动的路径为x，的面积为y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则（1）________，（2）________．
【答案】 6
【分析】首先由矩形的性质得到，然后由图象得到，表示出，得到，表示出，即可求出；设，，证明出，得到，代入求出，然后代入求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴，
由图2得，当，即点M在A点时，此时点N和点D重合，
∴此时的面积
∴，即
∴
当点M运动到点B时，点M停止运动，此时点N和点C重合，
∴此时的面积
∴，即
∴
∴；
设，
∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，即
，
，
∴将，代入得，，
，
．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，垂足为E，F，G分别为边，的中点，连接，，．
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据题意可得四边形为平行四边形，进而根据邻边相等可证明；
（2）根据直角三角形斜边上中线的性质，三角形的内角和，平行线的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
F，G分别为边，的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：∵，
∴，
∵F为边的中点，
∴，
∵，
，
∵，
，
∴，
∴．
6．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则的最小值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】连接交于点O，先推导出，再根据三线合一，得到，即可解答；
（2）求出 ，设，得到 ，则，设，推导出，得到，解得或（不符合题意，舍去），即可解答．
【详解】（1）证明：连接交于点O，如图
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图
∵四边形是菱形，
∴，，
∴ ，
设，则，
∴，
∴
，
设，则
，
，
，
，
∵x有实数解，
∴，
化简，得
，
或
解得或（不符合题意，舍去）．
∴则的最小值是．
7．（2026·山东青岛·一模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
操作思考：
如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则．
小明是这样思考的：
设为、为，则，，
由于，
易证：
，
，，则，，
，
．
，两边同除以得
问题探究：
(1)如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程．
拓展延伸：
(2)如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠的性质可得 ，证明，根据锐角三角函数可推出，，则可得到，，进而可得，据此求解即可；
（2）同（1）求解即可．
【详解】（1）解：设为、为，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
，，
∵，，
．
，
∴；
（2）解：设为、为，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得
∴，
∴，
∴，
∴，，
，，
，，
∵，，
．
，
∴，
∴
∴．
8．（2026·黑龙江鸡西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，，的长是一元二次方程的两个实数根，点关于原点的对称点为点，过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
(1)求直线的解析式．
(2)点的坐标为，设的面积为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)若点在直线上，为坐标平面内任意一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，
【分析】（1）先求出A、B的坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）证明，得出，根据对称性求出，进而求出，待定系数法求出直线的解析式为．联立方程组求出点D的坐标，然后分；分别求出函数解析式即可；
（3）分两种情况讨论：为矩形的边和为矩形的对角线，然后根据矩形的性质，求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得，．
，
，．
，
设直线的解析式为．
．，
解得，
直线的解析式为．
（2）解： ，，，
，
，
，
点关于原点的对称点为点，
．
，．
．
．
同理可求：直线的解析式为．
，得，
．
当时，；
当时，．
综上所述，．
（3）解：存在，求解如下：
①如图1：当为矩形一边时，过作交于，分别过、作，相交于点，
，
点的纵坐标为1，则有，解得：，
，即点的横坐标为1，
，点的纵坐标为，
；
②如图2：当为矩形的对角线时，分别过、作，相交于点
，相互平分，
过点作直线的垂线交于点，交轴于点．
点和点重合，
，
，
点关于原点的对称点为点，
点、点关于原点的对称，
．
综上，存在点即或，使，，，为顶点的四边形是矩形．
9．（2026·河南商丘·一模）在平行四边形中，连接，作的外接圆，已知．
(1)当经过圆心O时，求的度数．
(2)若与相切，的半径为6，求的长．
【答案】(1)的度数是
(2)
【分析】根据是的直径，得出，结合四边形是平行四边形，，即可求解．
（2）连接，，根据切线的性质得出，根据，，得出，则，即可求出，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：经过圆心O，
是的直径，
，
∵四边形是平行四边形，，
，
的度数是．
（2）解：连接，，
与相切于点D，的半径为6，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∵，
，
∴，
．
10．（2026·湖北随州·一模）如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）．
(1)若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：；
(2)若，，，求的长；
(3)当且时．
①求证：；
②直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据平行的性质得到，由折叠性质知：，，证明，即可得到结论；
（2）过A作，由折叠性质知：，，在中，，设，则，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案；
（3）①延长，交于点H，在菱形中，，，由折叠性质知：，证明，即可得到结论；
②过C作于K，设，，则，，即菱形的边长为7x，由折叠性质知：，，证明，根据相似的性质得到，求出，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图1，在菱形中，，，
，
由折叠性质知：，，
，，
，
，
（2）解：过A作，
由折叠性质知：，，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①延长，交于点H，
在菱形中，，，
由折叠性质知：，
，
，
，
，
，
，
；
②．
过C作于K，
由①可知，，
，，
，
故四边形是矩形，
，
，
设，，则，，即菱形的边长为，
由折叠性质知：，，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
．
11．（2026·广东深圳·二模）综合与探究
【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作，，垂足分别为、．若时，我们称是的中心距比．
(1)【概念理解】如图2，当时，求证：是菱形；
(2)【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，在矩形中，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作交边于点，若，，求的值；
(4)如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比．点在射线上，连接、，当时，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)
(4)的长为或16或．
【分析】（1）方法1：当时，则，根据平行四边形的性质，证明，则，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证；
（2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出，进而推出，即可得解；
（3）过点作，，设，，利用勾股定理列方程，求出，，证明四边形是矩形，得到，，，进而推出，设，，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解；
（4）由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作于点，过点作延长线于点；②当时，过点作于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：方法1：
当时，则，
，
，
在和中，
，
，
．
，
是菱形．
方法2：
，
，
时，，
，
是菱形．
（2）解：
，
，
，
．
（3）解：如图，过点作，，
矩形，，
，，，，
，
设，，
，
解得：，
，，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
解得：，
．
（4）解：由（2）可知，当时，平行四边形两相邻边的比为2．
①如图1，当时，过点作于点，过点作延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
在中， ，
设，，
，
解得：，
，，
，
同理可得，，，
，
，
，
，
，
，
；
②如图2，当时，过点作于点，过点作延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
同理可求，，，
，
由①可知，，，
，
，
，
，
，
；
③如图3，当时，连接，过点作，
，
设，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
又，
，
，
，
，
．
综上可知，的长为或16或．
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