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专题05 圆综合
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近三年：中考数学中圆综合考点主要考向分为四类： 一、圆的基本性质（圆心角、圆周角、弧、弦关系，每年1~2道，6~8分）； 二、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离，每年1道，6~10分）； 三、圆与圆的位置关系（每1~2年1道，4~6分）； 四、圆与几何、函数的综合（每年1道，10~14分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，常作为几何压轴题的核心组成部分，侧重考查数形结合与转化思想． 预测2026年：圆综合仍是中考数学几何核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查直线与圆的相切判定与性质、圆周角定理的综合应用，强化与全等、相似、函数、动点的融合。命题更注重情境化与综合性，强调图形识别、辅助线构造能力，考生需熟练掌握圆的核心定理与性质，牢记常见模型，提升推理计算与综合应用能力，做到举一反三、灵活应变。
考向01 圆的基本性质
题型1 圆心角、圆周角与弧、弦的关系
1、核心定理（中考必考）：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等；④圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对的圆心角的一半；⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 2、解题技巧：①遇圆周角与圆心角，优先找它们所对的同弧或等弧，利用定理转化角度；②遇直径，优先构造直角三角形（90°圆周角），结合勾股定理、全等知识解题；③多圆心角、圆周角共存时，标注相等的弧，以此为桥梁转化角度关系； 3、易错点：忽略“同圆或等圆”这一前提，误用弧、弦、圆心角的关系；混淆圆周角与圆心角的倍数关系（误将圆周角等于圆心角）；忽略90°圆周角与直径的双向判定关系。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】解：连接，则，，
∵是的直径，
∴，
∴.
2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则_____ ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质、圆的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，连接，过点作于点，先利用矩形、弧中点和平行线的性质，推导出角相等，证明，从而求出，设，用表示出相关线段，再根据勾股定理，结合建立方程，解出的值，最后代入计算出和的长度，得到它们的比值．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵四边形为矩形，，
，，，
，
平行于，
，
是弧的中点，
∴弧弧，
，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
设，
，，，
在中，
由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，，
．
4．（2026·安徽·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答；
（2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，如图，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理
(1)利用圆规和无刻度直尺，求作的外接圆中（下方）中点；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．）
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，连接，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)根据题意画出图形，
【分析】（1）作的角平分线交的外接圆于点即可；
（2）根据同弧所对的圆周角相等推出，证明得，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：如图，作的角平分线交的外接圆于点，
∴，
∴，
∴点为的外接圆中（下方）的中点，
故点即为所作；
（2）解：如图，
由（1）知：，
又∵所对的圆周角为、，
∴，
∴，即，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即的长为．
6．（2026·安徽六安·一模）如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质可得，再结合三角形内角和定理得出，结合题意可得，即可得证；
（2）连接交于点，证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，设，则，，，证明为的中位线，得出，由勾股定理可得，从而可得，即可得出结果．
【详解】（1）证明：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接交于点，
，
，
，
是的切线，
，
为的直径，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
由，可设，则，
∴，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
题型2 圆的对称性应用
1、核心性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，旋转180°后与自身重合； 2、应用技巧：①利用轴对称性：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理），可用于求弦长、半径、弦心距（构造直角三角形，勾股定理求解）；②利用中心对称性：圆上点绕圆心旋转180°得到的点与原点点关于圆心对称，可用于转化线段、角关系；③垂径定理延伸：弦的垂直平分线经过圆心，可用于确定圆心位置； 3、易错点：垂径定理应用时，忽略“直径垂直于弦”（非直径的弦垂直于弦，不一定平分弦）；求弦长时，未构造弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形；忽略圆的对称性隐含的相等关系（如对称点到圆心的距离相等）。
1．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，连接，连接交于点，根据轴对称的性质得出的最小值为的长度，求出相关角的度数，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，连接交于点，
∴，，
此时，的最小值为的长度，
∵点C为的中点，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，
即的最小值为．
2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则______，线段______．
【答案】
【分析】通过同角的余角相等可得， 再通过圆周角定理可得，等量代换结合等角对等边可证得，从而可得垂直平分 ，连接 ， 进而证明， 得到， 从而根据列式计算即可得到的长， 在中，利用勾股定理可得的长，从而得解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
如图，连接 ，
，，
直径弦，
垂直平分，，
，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
设，则，
，
整理得，
解得，（舍去），
，
在中，，
．
3．（2026·四川广元·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的圆心在格点上，圆上两点、在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域中完成作图．
(1)在图1中，点在圆上，请在直径的下方的圆上画出点，使，并在网格中找点，使是等腰直角三角形，且；
(2)在图2中，点在格点上，在直径的下方的圆上画出点，使得，并在线段上画出点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取与格线的交点E，连接并延长交于点T，延长交于点F，则点E和点F即为所求；根据直径所对的圆周角是直角可得，由可得，则，则是等腰直角三角形，且；
（2）连接交格线于点G，连接交于点R，连接并延长交于点H，则点G和点H即为所求；可证明点G为的中点，则为的中位线，则，由平行线分线段成比例定理可得，则R为的中点，由直径所对的圆周角是直角可得，则垂直平分，则．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
4．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
(1)求证：平分；
(2)若的直径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质定理得出，得出，根据平行线的性质得出，再根据等边对等角以及等量代换即可得出结论；
（2）过点O 作于点E，连接，则，得出四边形为矩形，最后利用垂径定理以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图2，过点O 作于点E，连接，则，
∵过点P作的切线，切点为M，
∴，即，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵的直径为10，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
∴．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据轴对称的性质得出，则可证明四边形是平行四边形，进而证明平行四边形是菱形，得出，，根据圆周角定理得出，根据弧、弦的关系得出，即可得证；
（2）连接，根据并结合可求出，结合可求出，在中，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵直径于P，
∴，
∵A，Q两点关于点P对称，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
在中，，
∴．
考向02 直线与圆的位置关系
题型3 直线与圆的位置关系判定
1、核心判定方法（中考高频）：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，①d＜r：直线与圆相交（有两个公共点）；②d＝r：直线与圆相切（有一个公共点）；③d＞r：直线与圆相离（无公共点）； 2、解题技巧：①判定时，优先计算圆心到直线的距离d（利用点到直线的距离公式），再与半径r比较；②已知直线与圆的位置关系，可反向求r或d的取值范围；③结合几何图形，利用全等、相似求d或r，再进行判定； 3、易错点：混淆“圆心到直线的距离”与“点到直线的距离”，计算d时出错；忽略直线与圆相交时，弦长与d、r的关系；判定时，误将“公共点个数”作为唯一依据，忽略d与r的数量关系。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
【答案】A
【分析】过作于，解直角三角形求出点到上的高即可判断．
【详解】解：如图，过作于，

由题意得：，
解得：，
由勾股定理得：，
中，，
∵，
∴圆与相离．
2．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可．
【详解】解：圆心 ，
∴圆心到轴，轴的距离为
∵与轴，轴均相切，
的半径，
设圆上任意一点坐标为，
由半径得，
∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程，
当图象与有公共点时，
联立与，
得： ，
整理得：，
关于 的一元二次方程有实数根，
，
整理得，.
令，
解得，
令，
∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围，
∵，抛物线开口方向向上，
不等式的解集为．
3．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点．
（1）点A和点B的距离为________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________．
【答案】 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求．
【详解】解：（1）由网格可知，；
（2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求．
4．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长度（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可求得；
（2）根据，求得的长，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
为的直径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，是等腰三角形，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的垂直平分线，与交于点，以为圆心，长为半径画圆（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)判断（）所作圆与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)所作圆与相切，理由见解析．
【分析】（）根据题意进行画图即可；
（）连接，由作图可知垂直平分，则，所以，通过等边对等角和三角形内角和定理得出，则，所以，再由切线的判定方法即可求解．
【详解】（1）解：如图，直线，即为所求；
（2）解：所作圆与相切，理由如下：
连接，
由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，即所作与相切．
6．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，．
(1)判断与的位置关系并证明；
(2)若的半径为4，求的面积．
【答案】(1)与相切，见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意可得，再结合三角形外角的性质可得，即可解答；
（2）过点B作于点H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可，，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：与相切，证明如下：
连接，
，
，
∵，
．
，
∴
，
，即，
与相切．
（2）解：过点B作于点H，
∵，
∴，
，
，
∴，
，
，，
∴，
又，
，
．
题型4 切线的判定与性质
1、核心判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两个条件缺一不可：①过半径外端；②垂直于半径）； 2、核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角； 3、解题技巧：①切线判定：若直线过圆上一点，连接圆心与该点（半径），证明直线与半径垂直；若直线不过圆上一点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径；②切线性质应用：遇切线，必连切点与圆心，构造直角三角形，结合勾股定理、全等、相似解题；③切线长定理应用：利用切线长相等，转化线段长度，结合角平分线性质求解角度； 4、易错点：切线判定时，遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”任一条件；切线性质应用时，未连接切点与圆心，无法构造直角三角形；切线长定理应用时，忽略“该点与圆心的连线平分夹角”这一衍生性质。
1．（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理求出的度数，再根据切线的性质得到，最后利用四边形内角和定理求出的度数．
【详解】解：与分别是中所对的圆周角和圆心角，
，
是的两条切线，
，，
，
在四边形中，
．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余求出，再利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵与半圆相切于点，为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴半径，
∴的长为．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】用大半圆的面积减去小半圆的面积进行求解即可．
【详解】解：作，连接，则，
设小半圆的圆心为，作，
∵，与小半圆相切，
∴，为小半圆的半径，
设大半圆的半径为，小半圆的半径为，则，
∴，
∴阴影部分的面积为．
4．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．
【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点
【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度；
（2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M．
【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为，
根据勾股定理得： ；
（2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点．
5．（2026·江西南昌·一模）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时．
①求半圆O的半径；
②求图中阴影部分的周长．
【答案】(1)见解析
(2)①4；②
【分析】（1）连接,根据等腰三角形的性质易得到，进而得到，根据平行线的性质得到，根据得到，从而得出结论；
（2）①连接，根据切线的性质得到是直角三角形，进而得到，设，则，，进而求出，结合，列方程求出的值，从而求出长；
②连接，易证明四边形为正方形，进而得到，，利用阴影部分的周长等于求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：①如图，连接，
与半圆O相切于点G，
，
是直角三角形，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
即半圆O的半径为4；
②连接，
，
四边形为矩形，
，
矩形为正方形，
，，
由①知：半圆O的半径为4，
阴影部分的周长为：．
【点睛】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、正方形的判定与性质、勾股定理及弧长公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和．
(1)求证：；
(2)求证：与相切；
(3)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，圆周角定理得到，根据，得到，三线合一，即可得出结论；
（2）证明，得到，即可；
（2）用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵与相切于点，
∴，
由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵为半径，
∴与相切；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积．
7．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接．
(1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数；
(2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解；
（）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵分别与相切于点，
∴，，
∴，
∵
∴；
（2）解：如图，过点作于，连接，
∵分别与相切于点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
考向03 圆与其他知识综合
题型5 圆与全等、相似综合
1、核心综合形式：圆+三角形（全等、相似），考查线段长度、角的度数、面积计算、证明等，是中考圆综合的基础题型； 2、解题关键：以圆的性质（圆周角定理、切线性质等）为基础，构造全等或相似三角形，转化线段、角关系，进而完成计算或证明； 3、解题思路：①利用圆的性质（如圆周角相等、切线垂直于半径）构造相等的角，为全等、相似判定创造条件；②通过全等证明线段相等、角相等，补充圆综合所需的条件；③通过相似的比例关系，求线段长度、面积比，结合圆的半径、弦长等完成计算； 4、易错点：无法结合圆的性质构造全等、相似三角形；全等、相似的对应关系找错；忽略圆的性质与三角形性质的衔接，导致推理中断。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵和为的两条切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______．
【答案】
【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，，再证明，求出，再结合，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，，，
连接，
∵，
∴；
连接，
∵为的直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
作于点，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）或，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
3．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上．
(1)求证：；
(2)求证：为的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先由圆周角定理得，结合已知等量代换得，即可证明，则，即可得出结论；
（2）连接，延长交于点F，连接，由圆周角定理得，结合已知得，由是的直径，得，进而推出，即，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，延长交于点F，连接，
∵和都是弧所对的圆周角，
∴，
又∵，
∴，
∴是的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线．
4．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，F是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到，即可证明结论；
（2）证明，推出，再根据已知可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，弦直径，
∴，
∴；
（2）解：∵在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径所对圆周角等于，已知垂直的条件证明，即可判定；
（2）根据可得，进而可得为等边三角形，由此得出阴影部分所在扇形的圆心角等于，再根据阴影部分的面积等于扇形减去计算即可．
【详解】（1）证明：∵是⊙O的直径，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴
在与中
∴．
（2）解：由（1）知，
∴．
∵，
∴，为等边三角形．
∴，．
∴，
∴．
6．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明．
(3)若，，求的半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，由垂径定理可得直线垂直平分，进而得到，由等边对等角得到，再由切线的性质得到，即可证明结论；
（2）由圆周角定理得到，再利用同角的余角相等得到，加上则，进而证明可得，再整理即可解答；
（3）设交点为，由垂径定理可得，进而得到；由可得；再根据可得则、，进而得到即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵的直径垂直于弦，
∴直线垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：，证明如下：
是的直径，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图，设交点为，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
．
的半径的长为．
题型6 圆与四边形综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与都相切，且经过矩形的顶点D，与相交于点E．点A的坐标是，则点E的坐标是________．
【答案】
【分析】连接，利用切线的性质和勾股定理求出，，即可求出答案．
【详解】解：连接，
∵半径为5的与都相切，
∴轴．
设交x轴于点M，交x轴于点N，
∵点A的坐标是，
∴，，
在中，．
在中，，，
∴．
∴．
2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为_____．
【答案】/60度
【分析】根据平行线的性质得出，证明、为等边三角形，得出，，求出，根据圆周角定理求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由圆周角定理计算即可得出结果；
（2）作于点，解直角三角形可得，最后再由正弦的定义计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
∵为的切线，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，作于点，
，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形内接于，为的直径．N是延长线上一点，连接．
(1)如图①，若交于点M，，，，求的度数；
(2)如图②，若与相切于点D，延长交于点P，，，，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由求出，再由圆周角定理得到，最后根据三角形的外角性质求解即可；
（2）连接，与交于点，根据圆周角定理，圆的切线的性质以及垂径定理的推论先证明四边形是矩形，则，，由勾股定理可得，再由求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
（2）解：连接，与交于点，
∵与相切于点D，
∴，
∴
∵为的直径
∴，
∵，是半径，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∴．
5．（2026·广西南宁·一模）综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点．
(1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点．
①求的长；
②求证：是的切线；
(3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，②见解析
(3)或
【分析】（1）根据关于直线对称得出则，则，即可证明四边形是矩形；
（2）①先证明，设，则， ，在中，，勾股定理求得
②过圆心作直线于点，交于点，先证明四边形是矩形，是的中位线，得出，即可证明为半径，进而证明是的切线；
（3）分两种情况讨论，，，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
关于直线对称
四边形是矩形；
（2）解：①由（1）知，
∴，，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：，即；
②如图，过圆心作直线于点，交于点
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
又∵是的中点
∴是的中位线
∴
∴
在中，
∴，即为的半径
又∵
∴是的切线；
（3）解：如图所示，当时，
∴
关于直线对称
∴
∵
∴；
如图所示，当时，延长交于点，
关于直线对称
，，
∴
∴
设，则，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：，即
综上所述，当点落在的三等分线上时，或．
6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为．
(1)当点在边．上运动时，证明：；
(2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由；
(3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)或
【分析】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到；
（2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形；
（3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解．
【详解】（1）解：证明：在菱形中，，，，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∵的外接圆交边于点，
∴，
∴，
∴；
（2）是等边三角形，理由如下：
∵四边形是的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
又由（1）得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点，
则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，
①由（1）的，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，
∴当时，点P与点重合，
∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)；
②由（2）得，
∴，
∴当时，点P与点重合，
又∵当时，点P与点重合，
∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)；
综上所述：当或时，点在内部．
题型7 圆与函数、动点综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接．
①点E在的内部；
②的长为；
③若P与C重合，则；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】D
【分析】①，可知点E在上，答案可求；②由题意，，利用勾股定理可求，故，结论可得；③由锐角三角函数可求，利用平行线和等腰三角形的性质可求，结论可得；④连接，过点A作于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得，则，结论可得；⑤连接，则，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长．
【详解】解：∵ ，
∴顶点．
∴．
令，则．
∴．
∴．
令，则．
解得：或．
∴．
∴，．
∴．
∴的半径为2．
①，，
∴的半径为2，
∴E点在上．故①不正确；
②连接，则，如图：
在中，，
∴．
∴，
．故②不正确；
③连接，如图：
由②知：．
∵，
∴，
，
，
．
∵P与C重合，
∴．故③正确；
④如图，连接，过点A作于K，
∵，
∴E点在上．
∴．
∵是圆的直径，
∴．
∴．
∴，
．
∵，
∴．
．
∵，
．
∴为等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．故④正确；
⑤如图，连接，设的中点分别为G，F，连接交于点R．
∵G，F为的中点，
∴为的中位线．
∴．
连接，
∵N为的中点，M为圆心，
∴．
∴点N的运动轨迹为以为直径的半圆．
即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆．
∴点N运动的路径长是．故⑤正确；
综上，正确的选项为③④⑤．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由题意可得，，，，然后分三种情况：点分别在，，上，即可求解．
【详解】解：∵半圆的半径为2，半圆经过点，且分别与圆切于点，
∴，，
∴，，
如图，当点在上时，连接，
∵，，
∴，
∴，
由题意得，，则，
∴，
∴，
∴当时，点与点重合，
∴，
当时，，
∵，
∴随的增大而减小；
如图，当点在上时，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，
∵，
∴随的增大而增大；
如图，当点在上时，连接，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，点与点重合，
∴，
∵，
∴随的增大而减小；
综上所述，当时，，当时，，当时，．
3．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示．
(1)试确定动点的速度．
(2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值．
(3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长．
【答案】(1)厘米/秒
(2)，当秒时，
(3)点，点间的劣弧长为厘米
【分析】本题主要考查一次函数的运用，
（1）根据图2可知，当秒时，厘米，由此即可求解；
（2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解；
（3）运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点，点间的劣弧长．
【详解】（1）解：点与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，
根据图2可知，当秒时，厘米，
∴厘米/秒；
（2）解：当秒时，厘米，当秒时，厘米，
∴设，
∴，
解得，，
∴，
当秒时，；
（3）解：设，
由图2可知，当秒时，厘米，当秒时，厘米，
∴，
解得，，
∴，
∴当时，联立方程组得，
解得，，
∴，
当秒时，点从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米），
点从点A顺时针旋转到直径上方，路程为厘米，
∴此时点，点间的劣弧长为（厘米）．
题型8 圆的实际应用
1、常见应用场景：车轮滚动、拱桥模型、管道截面、视角问题、测量问题（如测量圆的半径、物体高度）等，核心是将实际问题转化为圆的几何问题； 2、解题技巧：①提取实际问题中的圆的模型（如拱桥为圆弧，车轮为圆），确定已知条件（如弦长、拱高、半径等）；②转化为圆的几何问题，利用垂径定理、圆周角定理、切线性质等求解；③结合实际意义，对结果进行取舍（如半径、长度不能为负）； 3、易错点：无法将实际问题转化为圆的几何模型；忽略实际场景中的隐含条件（如拱高是弦心距与半径的差）；计算后未结合实际意义验证结果合理性。
1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵该摩天轮高（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据是的切线，得出，则，然后通过角度和差求得，所以，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)圆弧 所在圆的半径为
(3)锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径；
（3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧 所在圆的半径为；
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
4．（2026·山东青岛·一模）问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
测量工具：一块三角板、一把刻度尺和一张宽度为2的矩形硬纸板（厚度忽略不计）．
测量方法：
甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得的长．
乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边、与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长为10．
问题解决：
(1)甲组同学认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是： ；
(2)根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 ．
交流讨论：
(3)丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得的长为8．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
方法反思：
(4)丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？
如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中的长为5，请求出杯口的直径．
【答案】(1)的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）；
(2)；
(3)；
(4)理由见解析，杯口直径为．
【分析】本题主要考查了圆的相关性质（直径所对的圆周角是直角、的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、切线的性质）、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
(1) 利用直径所对圆周角为直角的性质判断；
(2) 由圆周角所对弦为直径直接求解；
(3) 作辅助线，利用垂径定理和勾股定理列方程求解；
(4) 作辅助线，利用切线性质、矩形判定求解．
【详解】（1）解：甲组将硬纸板顶点、靠在杯口（圆上），且（矩形硬纸板的直角），根据的圆周角所对的弦是圆的直径，
因此为杯口（圆）的直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是圆的直径（或直径所对的圆周角是直角）；
（2）乙组中，三角板直角顶点在圆上，，
根据的圆周角所对的弦是圆的直径，
因此为圆的直径，
已知，故杯口直径为．
故答案为：；
（3）设杯口所在圆的圆心为，半径为，
连接，，交于点，
由切线性质以及为矩形硬纸板的边，可得，
的长为8，
，
（硬纸板宽度），
，
在中，由勾股定理：
即，
解得：，
因此杯口直径为；
（4）理由如下：
设圆的圆心为，连接，
由切线性质可得：，，
又，
四边形为矩形，
，
已知，
因此，杯口直径为．
1．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题：
(1)问题提出
如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ．
(2)问题解决
小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为
请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）利用直角三角形内切圆半径公式即可得解；
（2）参照（1）中思路可得，所以要使的周长最小，则求最小值即可，由，识别定角定高模型，进而作的外接圆求解即可．
【详解】（1）解：如图，内切圆圆心为O，过O分别作的垂线段，垂足分别为D、E、F，连接，则，
，
设，则，，
由内切圆可得，，
，，
，
，
解得，
，即斜边长为，
故答案为：；
（2）解：由题意可知大与相切，如图，过O作的垂线段，垂足分别为M、N、P，连接，
大的直径为，
，
，
，，
，
，，
，
要使的周长最小，则求最小值即可，
如图，作的外接圆，连接，过Q作于点H，
，
，
设，则，，
，
，
，
，即当时，有最小值，
此时，
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、三角形的外接圆、定角定高模型等内容，最后一问对定角定高模型的掌握是解题的关键．
（建议用时：100分钟）
1．（2026·山东青岛·一模）如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据题意，得，，根据圆的性质，得．
【详解】解：连接，
由线段与相切于点，
得，
故，
，
，
，
，
．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（ ）
A．0 B．0.5 C．1 D．1.5
【答案】C
【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值．
【详解】解：取的中点，连接，，
为的中点，为的中点 ，
为的中位线 ，
，
的半径为，即 ，
，
点在以为圆心，为半径的圆上 ，
，为的中点，
，
当点在线段上时，取得最小值，
的最小值为．
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意，得，，从而，则，设半径为r，则可表示，，，则，可确定函数图象以及开口方向，最后再判断与x轴的交点情况，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是直径，
，
C是半圆O的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
设半径，则，，，
，则，
，
则y是关于x的二次函数，图象为抛物线，
，
函数图象开口向上，
当时，，，方程无实数根，
抛物线与x轴没有交点，
因此y与x之间的函数关系图象大致如选项B所示．
4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】连接 ，根据切线的性质可得 ，再根据等腰三角形的性质可证 ，设 ，则 ，根据勾股定理列方程 ，即可求得半径，再根据阴影部分的面积 即可求解．
【详解】解：连接 ，
为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积 ．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正方形中，，E为上一动点，连接，以的长为直径的与边交于点F．
(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若与相切于点H，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先得到为等边三角形，进而得到，再解三角形得到，结合扇形弧长公式求解；
（2）连接并延长交于，设的半径为，利用勾股定理求出，再解三角形得到，进而得到．
【详解】（1）解：连接，
，，
为等边三角形，
，
，
，半径，
，
，
；
（2）解：连接并延长交于，
由对称性可知分别为中点，且，
在正方形中，，
，
，，
设的半径为，则，
在中，，
即，解得，
，
，
．
6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，．
(1)写出一个与相等的角：__________；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点F是的中点，得出，进而由等弧所对的圆周角相等，即可求解．
（2）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到．再根据等边对等角得到，进而可得，根据切线的判定可得结论；
（3）作于G，则．设，则，，在中，利用勾股定理求得x值，则，，．证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，证明四边形是矩形求得，进而求得即可求解．
【详解】（1）解：∵点F是的中点，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，又是的半径，
∴为的切线；
（3）解：作于G，则．
设，则，．
在中，，
∴．
解得，
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
∴，
∴．
7．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①的半径为5；②．
【分析】（1）证明，得到，即可证明是的切线；
（2）①根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解；
②设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：①∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
设，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴．
8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在中，为非直径弦，弦于点E．

(1)如图1，不经过圆心，连接，，，．求的度数；
(2)如图2，经过圆心，且使得，点是弧上一点，连接交于点，连接并延长交的延长线于点，当，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得，，由得，即可得证；
（2）连接，，，，，证明，进而得出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接，由圆周角定理得，．
由得，
从而．
（2）如图2，连接，，，，，
由垂径定理得垂直平分．
又 ，
垂直平分．
∴四边形是菱形．
∴，是等边三角形，，．
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，
即，
∴，
设，则
∴，
．
9．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形内接于，，则的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形中，，连接，，过点C作交于点E，，，求的长；
(3)【问题解决】如图3，是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在边上修一个入水口，再修一个经过点、、的圆形水池，为的直径，沿、和架设木桥，在区域内种植荷花，已知，，，设的长为，区域的面积为．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求与之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即面积的最小值）．
【答案】(1)
(2)
(3)①
②
【分析】（1）利用圆的内接四边形对角互补即可求出结果；
（3）根据四边形内角和定理可得，根据同角的余角相等，可证，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出的长度；
（3）①利用勾股定理可以求出，根据的长为，可得，根据圆内接四边形的性质可证，根据相似三角形对应边成比例可得，利用勾股定理可得，根据圆周角定理可证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得；
②利用二次函数的性质求出的最小值即可．
【详解】（1）解：四边形内接于，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
在四边形中，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）①解：如下图所示，连接，
，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：整理，
可得：，
，
有最小值，
当时，的最小值为．
10．（2026·浙江台州·一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺（边长，边从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出．小明认为线段就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出长度．如图2，将矩形直尺放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边与薄板的边缘交于点M，边与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
(1)请你帮助小明说出图1中是圆形薄板甲的直径的理由，并求出的长度．
(2)按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
【答案】(1)理由见解析，
(2)圆形薄板乙的直径为10cm
【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径解答；再根据勾股定理求出解即可；
（2）设圆心为O，连结，圆形薄板半径为，先根据切线的性质得，进而得出，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出半径，即可得出答案．
【详解】（1）解：理由：的圆周角所对的弦是直径．
因为矩形直尺，
所以，
所以.
又因为，，
所以．
（2）解：设圆心为O，连结，圆形薄板半径为.
因为与相切于点G，
所以．
又因为矩形直尺对边平行，
所以，
所以，
所以.
解得，
即圆形薄板乙的直径为10cm．
11．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C．
(1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由；
(2)若以线段为直径的圆恰好经过点C．
①求二次函数的表达式；
②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：；
(3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)此二次函数图像经过定点，定点坐标是
(2)①；②见解析
(3)t的取值范围为或或
【分析】（1）将二次函数整理为，令含的系数，解得，代入得，故函数恒过定点，即可判断；
（2）①由为直径得，由相似三角形的性质可得，即，得，即可求出解析式；②由角度推导得全等条件，即可证明；
（3）由半径为，，可得圆心到三边的最小距离为，分别计算到、的距离，结合到距离已满足，得的取值范围．
【详解】（1）解：此二次函数图像经过定点，定点坐标是．
理由如下：由题意得，，
当，即时，的值与无关，
此时，即图像经过定点；
（2）解：①令，即，
，
是圆的直径，
，
又，
，
，
，
，
，
依题意，，
，
二次函数的表达式为；
②点是的中点，，
，
，
，
，
，，
，
∵，
，
，，
；
（3）解：令，
解得，，
，，
令得，
；
的圆心为，半径为，
点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即；
设圆心到三边的最短距离为，
，即圆上到的最小距离为，
又∵的半径为，即，
∴圆心到、、三边的最小距离为，
当到的最小距离为时，过作于，设直线交于，则，
，
，
，，
设直线解析式为，
把代入得，
解得，
直线解析式为，
当时，，
解得，
，
，
，
，
解得，
同理求得当到的最小距离为时，，
当，的取值范围为或或．
12．（2025·湖北随州·三模）已知：如图，在中，．以点为原点，斜边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，以点为圆心，长为半径画圆，与轴的另一交点为，点在上，且满足以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动时间为，解答下列问题：
【发现】
(1)的长度为多少；
(2)当时，求扇形（阴影部分）与重叠部分的面积．
【探究】
(3)当和的边所在的直线相切时，求点的坐标．
【拓展】
(4)当与的边有两个交点时，请你直接写出的取值范围．
【答案】(1)的长度为
(2)重叠部分的面积为
(3)点的坐标为； 或
(4)的取值范围是或
【分析】（1）先求出，再根据弧长公式解答；
（2）先求出，再求出，，然后根据得出答案；
（3）分三种情况：当与直线相切于点时，连接PC，再求出，然后求出，可得点P的坐标；当与直线相切于点时，连接，则有 ，再根据 求出可得答案；当与直线相切于点时，连接，则有，同②可得：，即可解答；
（4）当点运动到与点重合时，与的边有一个公共点，此时；当与的边有两个公共点，可得答案；当运动到与重合时，与的边有两个公共点，此时；直到运动到点与点重合时，与的边有一个公共点，此时，可得答案．
【详解】（1）解：（1）
．
，
的长度为；
（2）解：设半径为，则有，
当时，如图，点与点重合，
，设与相交于点．
∵．
∴，
，
．
即重叠部分的面积为．
（3）解：①如图2，当与直线相切于点时，连接，则有．
∴点的坐标为；
②如图3，当与直线相切于点时，连接，则有 ，
，
，
∴的坐标为；
③如图，当与直线相切于点时，连接，则有，同②可得：；
∴点的坐标为,
所以点P的坐标为或或；
（4）解：如图，当点运动到与点重合时，与的边有一个公共点，此时；
当，直到运动到与相切时，
由（3）①可知，
与的边有两个公共点，
．
如图6，当运动到与重合时，与的边有两个公共点，此时；
直到运动到点与点重合时，与的边有一个公共点，此时；
，
即：的取值范围是．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 圆综合
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：中考数学中圆综合考点主要考向分为四类： 一、圆的基本性质（圆心角、圆周角、弧、弦关系，每年1~2道，6~8分）； 二、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离，每年1道，6~10分）； 三、圆与圆的位置关系（每1~2年1道，4~6分）； 四、圆与几何、函数的综合（每年1道，10~14分） 考查内容稳定，命题形式多样，选择、填空、解答题均有涉及，解答题多为中档偏上综合题，常作为几何压轴题的核心组成部分，侧重考查数形结合与转化思想． 预测2026年：圆综合仍是中考数学几何核心考点，结合全国统一命题中考趋势，侧重考查直线与圆的相切判定与性质、圆周角定理的综合应用，强化与全等、相似、函数、动点的融合。命题更注重情境化与综合性，强调图形识别、辅助线构造能力，考生需熟练掌握圆的核心定理与性质，牢记常见模型，提升推理计算与综合应用能力，做到举一反三、灵活应变。
考向01 圆的基本性质
题型1 圆心角、圆周角与弧、弦的关系
1、核心定理（中考必考）：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；②同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧、劣弧分别相等；④圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，且等于它所对的圆心角的一半；⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 2、解题技巧：①遇圆周角与圆心角，优先找它们所对的同弧或等弧，利用定理转化角度；②遇直径，优先构造直角三角形（90°圆周角），结合勾股定理、全等知识解题；③多圆心角、圆周角共存时，标注相等的弧，以此为桥梁转化角度关系； 3、易错点：忽略“同圆或等圆”这一前提，误用弧、弦、圆心角的关系；混淆圆周角与圆心角的倍数关系（误将圆周角等于圆心角）；忽略90°圆周角与直径的双向判定关系。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则_____ ．
4．（2026·安徽·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．（2026·广东深圳·二模）操作与推理
(1)利用圆规和无刻度直尺，求作的外接圆中（下方）中点；（保留作图痕迹，标明字母，不用写出作法和理由．）
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，连接，求的长．
6．（2026·安徽六安·一模）如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
题型2 圆的对称性应用
1、核心性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，旋转180°后与自身重合； 2、应用技巧：①利用轴对称性：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理），可用于求弦长、半径、弦心距（构造直角三角形，勾股定理求解）；②利用中心对称性：圆上点绕圆心旋转180°得到的点与原点点关于圆心对称，可用于转化线段、角关系；③垂径定理延伸：弦的垂直平分线经过圆心，可用于确定圆心位置； 3、易错点：垂径定理应用时，忽略“直径垂直于弦”（非直径的弦垂直于弦，不一定平分弦）；求弦长时，未构造弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形；忽略圆的对称性隐含的相等关系（如对称点到圆心的距离相等）。
1．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，点C为的中点，点D是半径上一动点．若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2026·重庆铜梁·一模）如图，以为直径的垂直弦于点，过点作于点，交于点，交于点，连接，，，，，则______，线段______．
3．（2026·四川广元·一模）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，已知的圆心在格点上，圆上两点、在经过圆心的格线上，仅用无刻度的直尺在给定的网格区域中完成作图．
(1)在图1中，点在圆上，请在直径的下方的圆上画出点，使，并在网格中找点，使是等腰直角三角形，且；
(2)在图2中，点在格点上，在直径的下方的圆上画出点，使得，并在线段上画出点，使得．
4．（2026·贵州毕节·模拟预测）如图，为的直径，P为延长线上一点，过点P作的切线，切点为M．过点A作于点C，交于点N，连接．
(1)求证：平分；
(2)若的直径为，求的长．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，为的直径，点P在线段上，A，Q两点关于点P对称，过点P作交于点C，D，连接并延长交于点E，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，且，求的长．
考向02 直线与圆的位置关系
题型3 直线与圆的位置关系判定
1、核心判定方法（中考高频）：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，①d＜r：直线与圆相交（有两个公共点）；②d＝r：直线与圆相切（有一个公共点）；③d＞r：直线与圆相离（无公共点）； 2、解题技巧：①判定时，优先计算圆心到直线的距离d（利用点到直线的距离公式），再与半径r比较；②已知直线与圆的位置关系，可反向求r或d的取值范围；③结合几何图形，利用全等、相似求d或r，再进行判定； 3、易错点：混淆“圆心到直线的距离”与“点到直线的距离”，计算d时出错；忽略直线与圆相交时，弦长与d、r的关系；判定时，误将“公共点个数”作为唯一依据，忽略d与r的数量关系。
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
2．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点．
（1）点A和点B的距离为________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________．
4．（2026·湖南岳阳·一模）如图，已知为的直径，是弦，点D为半径的延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长度（结果保留）．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，是等腰三角形，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的垂直平分线，与交于点，以为圆心，长为半径画圆（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)判断（）所作圆与的位置关系，并说明理由．
6．（2026·江苏无锡·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，．
(1)判断与的位置关系并证明；
(2)若的半径为4，求的面积．
题型4 切线的判定与性质
1、核心判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（两个条件缺一不可：①过半径外端；②垂直于半径）； 2、核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角； 3、解题技巧：①切线判定：若直线过圆上一点，连接圆心与该点（半径），证明直线与半径垂直；若直线不过圆上一点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径；②切线性质应用：遇切线，必连切点与圆心，构造直角三角形，结合勾股定理、全等、相似解题；③切线长定理应用：利用切线长相等，转化线段长度，结合角平分线性质求解角度； 4、易错点：切线判定时，遗漏“过半径外端”或“垂直于半径”任一条件；切线性质应用时，未连接切点与圆心，无法构造直角三角形；切线长定理应用时，忽略“该点与圆心的连线平分夹角”这一衍生性质。
1．（2026·重庆·一模）如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东青岛·一模）如图，某模具是大半圆内部挖去小半圆而成．为了求该模具的面积，在图中作一条平行于大半圆直径且与小半圆相切的切线，分别交大半圆于A，B两点，已知，则图中阴影部分的面积为________．
4．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上．
（1）线段的长为______；
（2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________．
5．（2026·江西南昌·一模）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，为半径画半圆，分别与，相交于点D，E，过点E作，垂足为F．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)已知，，如图2，当与半圆O相切于点G时．
①求半圆O的半径；
②求图中阴影部分的周长．
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，为外一点，为上一点，是的直径，，且与相切于点，连接和．
(1)求证：；
(2)求证：与相切；
(3)若，求阴影部分的面积．
7．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接．
(1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数；
(2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径．
考向03 圆与其他知识综合
题型5 圆与全等、相似综合
1、核心综合形式：圆+三角形（全等、相似），考查线段长度、角的度数、面积计算、证明等，是中考圆综合的基础题型； 2、解题关键：以圆的性质（圆周角定理、切线性质等）为基础，构造全等或相似三角形，转化线段、角关系，进而完成计算或证明； 3、解题思路：①利用圆的性质（如圆周角相等、切线垂直于半径）构造相等的角，为全等、相似判定创造条件；②通过全等证明线段相等、角相等，补充圆综合所需的条件；③通过相似的比例关系，求线段长度、面积比，结合圆的半径、弦长等完成计算； 4、易错点：无法结合圆的性质构造全等、相似三角形；全等、相似的对应关系找错；忽略圆的性质与三角形性质的衔接，导致推理中断。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏无锡·一模）如图，点P是边长为1的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点E，作的外接圆，交于点F．连接，则的度数为_______；若，则______．
3．（2026·山东潍坊·一模）如图，四边形内接于，连接、，过点B向圆外方向作，点E在的延长线上．
(1)求证：；
(2)求证：为的切线．
4．（2026·江苏无锡·一模）如图，中，弦直径于点E，F为上一点，连接并延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，F是的中点，求的长．
5．（2026·河南信阳·一模）如图，为⊙O的直径，弦于点E，于点F，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
6．（2026·四川巴中·一模）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)判断线段、、之间的数量关系，并加以证明．
(3)若，，求的半径的长．
题型6 圆与四边形综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与都相切，且经过矩形的顶点D，与相交于点E．点A的坐标是，则点E的坐标是________．
2．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数为_____．
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
4．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知四边形内接于，为的直径．N是延长线上一点，连接．
(1)如图①，若交于点M，，，，求的度数；
(2)如图②，若与相切于点D，延长交于点P，，，，求的长度．
5．（2026·广西南宁·一模）综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点．
(1)如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形；
(2)如图2，当时，交于点，以为直径作经过点．
①求的长；
②求证：是的切线；
(3)当点落在的三等分线上时，请直接写出的长．
6．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为．
(1)当点在边．上运动时，证明：；
(2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由；
(3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围．
题型7 圆与函数、动点综合
1、核心综合形式：圆+一次函数/二次函数+动点，考查动点运动过程中圆的位置变化、切线判定、线段最值、点的坐标等，是中考几何压轴题的高频形式； 2、解题关键：数形结合，将圆的性质、函数解析式、动点运动规律结合，用代数方法解决几何问题；抓住动点的运动轨迹，分情况讨论（如动点在直线、抛物线上运动的情况）； 3、解题思路：①建立平面直角坐标系，确定圆心、圆上关键点的坐标，写出圆的解析式；②结合动点运动规律，用含参数的式子表示动点坐标；③利用圆的性质（如切线判定、圆心到直线的距离）、函数解析式，建立与参数相关的等式，求解未知量；④分情况讨论，确定符合条件的参数取值范围，求最值或特殊点坐标； 4、易错点：动点运动情况考虑不全面，遗漏分类讨论；无法用参数表示动点坐标或圆的解析式；忽略函数自变量与圆的半径、圆心距的取值限制，导致结果不合理。
1．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以为直径画半圆交y轴负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接．
①点E在的内部；
②的长为；
③若P与C重合，则；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，半圆的半径为2．半圆经过点，且分别与圆切于点，点，都是圆弧上的点．动点从点出发沿着圆弧，依次经过点，最后回到点．在运动过程中，点运动的路程为，的度数为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·浙江衢州·一模）如图，的周长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示．
(1)试确定动点的速度．
(2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值．
(3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长．
题型8 圆的实际应用
1、常见应用场景：车轮滚动、拱桥模型、管道截面、视角问题、测量问题（如测量圆的半径、物体高度）等，核心是将实际问题转化为圆的几何问题； 2、解题技巧：①提取实际问题中的圆的模型（如拱桥为圆弧，车轮为圆），确定已知条件（如弦长、拱高、半径等）；②转化为圆的几何问题，利用垂径定理、圆周角定理、切线性质等求解；③结合实际意义，对结果进行取舍（如半径、长度不能为负）； 3、易错点：无法将实际问题转化为圆的几何模型；忽略实际场景中的隐含条件（如拱高是弦心距与半径的差）；计算后未结合实际意义验证结果合理性。
1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）合肥逍遥津公园的“庐州之眼”摩天轮是城市地标之一，如图所示，该摩天轮的高度为（即最高点离地面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点表示邓州市某地的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
4．（2026·山东青岛·一模）问题提出：测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
测量工具：一块三角板、一把刻度尺和一张宽度为2的矩形硬纸板（厚度忽略不计）．
测量方法：
甲组的测量方法：如图2，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C，D，利用刻度尺测得的长．
乙组的测量方法：如图3，将三角板按照如图所示的方式摆放在杯口上，三角板的直角顶点C靠在杯口上，直角的两边、与杯口的交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长为10．
问题解决：
(1)甲组同学认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是： ；
(2)根据乙组的测量方法可知，该水杯的杯口直径为 ．
交流讨论：
(3)丙组的测量方法：如图4，将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于F，G两点，利用刻度尺测得的长为8．请根据丙组的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
方法反思：
(4)丁组提出是否可以用下面的方法测量，老师说测量方法能行，你能说出其中的理由吗？
如图5，将刻度尺有刻度的一边与杯口相切，切点为M，将三角板直角边CA落在刻度尺有刻度的一边上，另一条直角边与杯口相切，切点为N，利用刻度尺测得的长即可算出杯口直径．若丁组的操作和测得数据都是正确的，已知图5中的长为5，请求出杯口的直径．
5．（2026·陕西西安·模拟预测）提出问题以及解决问题：
(1)问题提出
如图1，在直角中，，是的内切圆，若的半径是1，则的斜边长为 ．
(2)问题解决
小方的爸爸是一位翡翠设计师，一位顾客想将一块如图2所示的四边形原石进行切割设计．顾客首先需要切割出一个玉镯，再根据剩料进行其他设计．由于该原石成色最好的部分在附近区域，所以玉镯要尽可能贴着边和边，观察到和的边缘都有杂质和细小裂隙，因此切割线不能经过边和边．根据原石情况和切割工艺，设计师需要先切割出能覆盖玉镯的三角形，再进行后期精细化打磨．为了最大限度地利用该石材，切割出的（点A在上，点C在上），应使得尽可能短，同时的周长和面积尽可能的小．经过测量，，，根据顾客的需求，手镯的内圈直径为，外圈直径为，即小圆的直径为，大圆的直径为
请你通过计算，帮助小方爸爸说明是否存在和上的点A和点C使得覆盖大圆的周长取得最小时，面积也取得最小值？若存在，请求出的周长及面积；若不存在，请说明理由．
（建议用时：100分钟）
1．（2026·山东青岛·一模）如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（ ）
A．0 B．0.5 C．1 D．1.5
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·山东日照·模拟预测）如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点，，且，，，求阴影部分的面积为______．
5．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在正方形中，，E为上一动点，连接，以的长为直径的与边交于点F．
(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，若与相切于点H，求的长．
6．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，是的直径，C是延长线上的一点，点F是的中点，于，与交于点，连接，．
(1)写出一个与相等的角：__________；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，求的长．
7．（2026·内蒙古通辽·一模）如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长．
8．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在中，为非直径弦，弦于点E．

(1)如图1，不经过圆心，连接，，，．求的度数；
(2)如图2，经过圆心，且使得，点是弧上一点，连接交于点，连接并延长交的延长线于点，当，求的值．
9．（2026·陕西西安·二模）探究圆与直角三角形结合的几何性质与动态路径的关系，并完成以下问题
(1)【问题提出】如图1，四边形内接于，，则的度数为______°；
(2)【问题探究】如图2，在四边形中，，连接，，过点C作交于点E，，，求的长；
(3)【问题解决】如图3，是某公园的一个三角形水池，现要对该水池进行重新规划与扩建，在边上修一个入水口，再修一个经过点、、的圆形水池，为的直径，沿、和架设木桥，在区域内种植荷花，已知，，，设的长为，区域的面积为．（木桥的宽度及入水口的大小均忽略不计）
①求与之间的函数关系式；
②由于预算有限，要求区域的面积尽可能的小，求种植荷花面积的最小值（即面积的最小值）．
10．（2026·浙江台州·一模）综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）．工具：自制的矩形直尺（边长，边从点A至点D标有刻度）．小明的做法：如图1，将矩形直尺放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出．小明认为线段就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出长度．如图2，将矩形直尺放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边与薄板的边缘交于点M，边与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
(1)请你帮助小明说出图1中是圆形薄板甲的直径的理由，并求出的长度．
(2)按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度．
11．（2026·广东佛山·模拟预测）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像交x轴于点，交y轴于点C．
(1)此二次函数图像是否过定点，若是求出定点坐标，若不是请说明理由；
(2)若以线段为直径的圆恰好经过点C．
①求二次函数的表达式；
②如图2，点L是的中点，点K、N分别在线段、上，满足，作线段交x轴于点M，求证：；
(3)在（2）的条件下，对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出t的取值范围．
12．（2025·湖北随州·三模）已知：如图，在中，．以点为原点，斜边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，以点为圆心，长为半径画圆，与轴的另一交点为，点在上，且满足以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动时间为，解答下列问题：
【发现】
(1)的长度为多少；
(2)当时，求扇形（阴影部分）与重叠部分的面积．
【探究】
(3)当和的边所在的直线相切时，求点的坐标．
【拓展】
(4)当与的边有两个交点时，请你直接写出的取值范围．
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