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解密中考数学：80大热点题型全预测（含解题大招）
内容导览 解密题型01 实数的性质 2 解密题型02 实数的非负性 4 解密题型03 比较有理数大小 6 解密题型04 科学记数法 10 解密题型05 实数的混合运算 12 解密题型06 整式的混合运算 13 解密题型07 整式的化简求值 15 解密题型08 因式分解 16 解密题型09 分式有、无意义的条件 18 解密题型10 规律探究 20 解密题型11 解方程（组）/不等式（组） 22 解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题 24 解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题 29 解密题型14 函数图像问题 36 解密题型15 坐标系上点的坐标特征 39 解密题型16 坐标系与图形变换综合 41 解密题型17 点坐标规律探索 45 解密题型18 待定系数法求函数解析式 49 解密题型19 一次函数的性质 51 解密题型20 反比例函数的性质 54 解密题型21 二次函数的性质 56 解密题型22 函数图像综合 58 解密题型23 反比例系数k的几何意义 61 解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系 66 解密题型25 函数与方程、不等式 70 解密题型26 反比例函数与一次函数综合 72 解密题型27 一次函数与实际问题 78 解密题型28 二次函数与实际问题 86 解密题型29 函数与图形变换问题 97 解密题型30 函数与图形面积问题 108 解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题 115 解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题 125 解密题型33 函数与特殊角存在性问题 133 解密题型34 函数与最值问题 140 解密题型35 整点问题 147 解密题型36 几何图形初步 152 解密题型37 正方形展开图 154 解密题型38 运用数学知识解决实际问题 155 解密题型39 利用平行线的性质与判定求解 157 解密题型40 三角形的三边关系 159 解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 160 解密题型42 三角形内角和与外角和综合 163 解密题型43 垂直平分线 166 解密题型44 三角形中位线 168 解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似 172 解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解 175 解密题型47 半角模型 177 解密题型48 一线三等角模型 186 解密题型49 手拉手模型 190 解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解 199 解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解 202 解密题型52 折叠问题 206 解密题型53 中点四边形 210 解密题型54 多边形及内角和 216 解密题型55 四边形与最值问题 219 解密题型56 十字架模型 225 解密题型56 勾股定理 235 解密题型57 垂径定理 238 解密题型58 圆周角定理 241 解密题型59 圆内接四边形 244 解密题型60 点、直线与圆的位置关系 246 解密题型61 切线的判定 247 解密题型62 切线长定理 250 解密题型63 正多边形与圆 253 解密题型64 弧长与扇形面积 257 解密题型65 计算不规则图形面积 260 解密题型66 圆与三角形综合 264 解密题型67 圆与四边形综合 277 解密题型68 阿氏圆模型 287 解密题型69 圆的综合问题 292 解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解 299 解密题型71 轴对称图形的识别 304 解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像 304 解密题型73 黄金分割 310 解密题型74 平行线分线段成比例 312 解密题型75 相似三角形的实际应用 316 解密题型76 解直角三角形 320 解密题型77 解直角三角形的应用 324 解密题型78 三视图的相关计算 332 解密题型79 计算概率 334 解密题型80 数据分析 338
解密题型01 实数的性质
实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。
1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 4）要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题.
1．（2026·陕西榆林·一模）在0，，，，中，无理数有________个．
【答案】2
【分析】先化简题目中的已知数，再根据无理数的定义判断得到无理数的个数．
【详解】解： 0是整数，属于有理数，
是分数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
是无限不循环小数，属于无理数，
因此无理数共有2个．
2．（2026·山东淄博·一模）下列运算结果为正有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据正有理数的定义，即大于0的有理数，对各选项逐一判断，需要掌握负整数指数幂，绝对值的计算，能区分有理数和无理数即可求解．
【详解】解：选项A中，是负有理数，不符合要求；
选项B中是开方开不尽的数，属于无理数，不符合要求；
选项C中，，且是分数，属于正有理数，符合要求；
选项D中，是负有理数，不符合要求．
3．（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由数轴可得，，再判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，．
4．（2026·江苏徐州·一模）下列说法正确的个数是（ ）
①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，乘积为1的两个数互为倒数．
【详解】解：①的相反数是2026，说法正确；
②的绝对值是，说法正确；
③的倒数是2026，说法正确，
故说法正确的有3个．
解密题型02 实数的非负性
实数非负性主要考查绝对值、平方、算术平方根三类非负模型，常以 “几个非负数之和为 0，则每一项均为 0” 的形式命题，侧重代数式求值与方程求解，属于中考高频基础考点，思路固定、易掌握。
常见的非负数有三种形式： ①绝对值的非负性：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②平方的非负性：任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③算术平方根的非负性：任何非负数a的算术平方根是非负数，即≥0且a≥0.
1．（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____．
【答案】1
【分析】根据非负数的性质求出，代入计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴，即，
∴，
∴．
2．（2026·四川内江·一模）在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______．
【答案】6
【分析】根据非负数的性质求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积．
【详解】解：
∴
∴
∴，
解得，
∵，即，
∴是直角三角形，a，b为直角边．
∴的面积为．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的度数为________．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性、特殊三角函数的值、三角形的内角和定理，能够根据三角函数值反推特殊角是解题的关键．
根据绝对值的非负性求出，，再根据特殊三角函数的值推出，，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
即，，
∵是锐角三角形，
∴ ，，
∴ ．
故答案为：．
解密题型03 比较有理数大小
中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对值法，正数大于 0、0 大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考点。
比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.
1．（2026·四川南充·一模）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________．
物质 铝 酒精 液态氧 水
凝固点（单位：） 660
【答案】液态氧
【分析】根据有理数比较大小的法则比较四个凝固点的大小，即可得到结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴凝固点最低的物质是液态氧．
2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键；
根据可得，，，即可得解．
【详解】解：因为，
所以，，，
所以；
故答案为：．
3．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴．
4．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查了实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，从而，，，又是A关于的对称点，故．再根据两点之间线段最短，，可得当P在F时，取最小值为．又，可得．进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D；
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段．
∵两点之间，线段最短，
∴．
∵，，
，，
∴．
∴；
（3）由题意，如图2，构造，，，点P是上一点，是A关于的对称点，与交于点F，设，则，
∴，
，
．
又∵是A关于的对称点，
∴．
又根据两点之间线段最短，，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最小值为．
故答案为：．
解密题型04 科学记数法
科学记数法是中考高频基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
1．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的定义，其表示形式为，满足，为整数，正确确定和的值即可求解．
【详解】解：．
2．（2026·河南周口·一模）据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：亿=．
3．（2026·山东济宁·一模）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为______秒．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先根据题意得到1皮秒对应的秒数，再计算400皮秒对应的秒数，最后将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：由题意得，1皮秒秒，
则400皮秒秒．
解密题型05 实数的混合运算
实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数30°45°60°sin αcos αtan α1
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
2．（2026·广东深圳·一模）计算：．
【答案】0
【详解】解：
．
解密题型06 整式的混合运算
整式的混合运算为中考基础计算题，重点考查幂的运算、乘法公式与合并同类项，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序运算，细心即可稳拿满分。
在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.
1．（2026·河南周口·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方与完全平方公式逐项分析判断．
【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算正确，符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意；
、，该选项运算错误，不符合题意．
2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________．
【答案】21
【分析】观察原式结构，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式简化计算，再根据二次根式的性质化简计算得到结果．
【详解】解：
．
3．（2026·广东广州·一模）计算：______．
【答案】
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：．
4．（2026·甘肃兰州·一模）计算：．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式、单项式乘以多项式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得解．
【详解】解：原式
．
解密题型07 整式的化简求值
整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。
整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入.
1．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】将所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可．
【详解】解：，
．
2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知代入分式化简，即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴
．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值．
【答案】4
【详解】解：
；
，
，
原式．
解密题型08 因式分解
因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循 “一提二套三检查” 步骤，是代数运算的重要基础。
1．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据提公因式法、平方差公式，判断分解结果是否符合要求，即结果为整式乘积形式且分解彻底．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，原分解未分解彻底，故B错误；
C、，分解符合要求，故C正确；
D、因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，故D错误．
2．（2026·陕西西安·三模）因式分解：___________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式
【详解】解：
3．（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．
【观察】，
，
．
【猜想】
（1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除．
【验证】
（2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想．
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的．
【答案】（1）9；（2）见解析；（答案不唯一）（3）见解析
【分析】本题考查尾数的特征，用代数式表示“对称数”减去各位数字之和的结果是正确解答的关键．
（1）任意取一个“对称数”，按照题意求出这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果化为含有因数9的代数式即可；
（2）根据题意写出一个“对称数”进行验证即可；
（3）用含有x、y的代数式表示这个“对称数”减去各位数字之和，再将结果写成含有因数9的代数式即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
∴“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
（2）例如：“对称数”为313，
∵，
∴“对称数”313减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除；
（3）一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，则这个对称数”为，
这个对称数减去其各位数字之和，所得的结果为：
，
∴一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，这个“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除．
解密题型09 分式有、无意义的条件
分式有、无意义的条件为中考基础考点，核心看分母取值：分母不为 0 时分式有意义，分母为 0 时分式无意义，概念清晰、判断直接，属于易得分题型。
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 【易错点】当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.
1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是
C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义
【答案】D
【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可．
【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误；
B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误；
C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误；
D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确．
故选：D．
2．（2026·河南南阳·一模）已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断的属性，根据不等式的性质求解即可；
【详解】解：式子，在实数范围内均有意义，
故即，
，
．
3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________
【答案】
【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，根据两种代数式有意义的要求列出不等式，取解集的公共部分即可得到自变量的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，
解不等式得，
解不等式得，
取两个解集的公共部分，得．
解密题型10 规律探究
规律探究是中考高频题型，常以数字、图形、等式变化呈现，关键在于观察序号与结果的关系，归纳通项公式，侧重逻辑推理与归纳总结能力。
1．（2026·重庆·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（ ）
A．40 B．53 C．68 D．85
【答案】B
【分析】根据题意得出第n个图形中棋子数为，据此求解．
【详解】解：图①数量是，
图②数量是，
图③数量是，
图④数量是，
，
图n中棋子的数量是，
当时，．
2．（2026·云南大理·一模）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，解题的关键是找出规律．
观察单项式的规律：符号交替变化，系数分子为从3开始的奇数序列，分母为项数，x的幂次与项数相同．
【详解】解：第n个单项式为 ，
当时，
符号：（负数），
系数分子：，
分母：2026，
x的幂：，
∴第2026个单项式为 ．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
【答案】5或
【分析】根据给出的规律得到，则，解方程即可．
【详解】解：由题意得，
即，
解得或．
4．（2026·甘肃天水·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，掌握相关知识是解题的关键．
观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律，即可求解．
【详解】解：第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为，
则第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为个，
第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为．
故答案为：．
解密题型11 解方程（组）/不等式（组）
解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。
解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
1．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
【答案】，11
【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可．
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6，
这个不等式组的所有整数解的和．
2．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：
得，
得，解得，
把代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
【答案】，
【分析】用公式法求解一元二次方程即可．
【详解】解：
解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题
解方程（组）/ 不等式（组）含参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。
1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________．
【答案】
【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次方程的判别式进行列式计算，即可得到答案．此题主要考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴当时，即，
则
解得，满足题意；
∴
当即时，是一元二次方程，
∴，
当即时，有实数根，
综上，的取值范围是，
故答案为：
2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键．
两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
可得：
∵，
∴，解得：．
故答案为：3．
3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键．
【详解】解：由条件得，
解得．
故答案为：．
4．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为_____．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的应用等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形得出，将代入变形后的式子计算即可．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：1
5．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______．
【答案】
或1
【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解．
【详解】解：，
变形得 ，
方程两边同乘最简公分母，
得，
整理得整式方程 ，
分式方程无解，分两种情况讨论：
整式方程无解，
令，得，此时方程变为，不成立，
整式方程无解，原分式方程无解．
整式方程的解为原分式方程的增根，
令，得增根，
将代入，
得，解得．
综上，实数的值为或．
6．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______．
【答案】1
【分析】先将分式方程化为整式方程，分式方程有增根，则增根使原分式分母为零，由此可得增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值．
【详解】解：
∵原方程有增根，且原方程的增根满足，即，
把代入得，
解得．
7．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____．
【答案】
且
【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可.
【详解】解：，
整理得，
方程两边同乘得，
，
展开整理得，
解得，
分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为，
且，即且，
解得且.
8．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】求解不等式组，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答此题即可得出答案．
【详解】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：
∵不等式无解,
∴
∴．
9．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______．
【答案】
【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可.
【详解】解：解不等式组，得，
∵关于的不等式组有4个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为，
∴，
∴.
解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题
解方程（组）/ 不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。
1．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解；
②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为．
根据题意，得，
解得．
答：需再接开水的时间为．
（2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为，
设水杯中水的温度为，由题意，
∴，
∴当时．
解得：
②∵饮水适宜温度是，
∴，
解得．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
【答案】(1)A种水果买了2千克，B种水果买了1千克
(2)小明买水果1.25千克
【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可；
（2）设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可．
【详解】（1）解：设A种水果买了千克，B种水果买了千克，
由题意得：，
解得：，
答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克；
（2）设小明买A水果千克，则小明买B水果千克，
由题意得：，
解得：，
答：小明买A水果1.25千克．
3．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；
(2)不能实现目标．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可；
（2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答．
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，，
解得或（舍去），
答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；
（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元，
答：不能实现目标．
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）
(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．
【答案】(1)
(2)小颖的说法正确，理由见解析
(3)7
【分析】（1）根据月历表的特点列式即可；
（2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为；
（2）解：小颖的说法正确，理由如下：
设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，
∵框出的4个数之和为45，
∴，
解得：，
根据题意得：m为整数，
∴不符合题意，
∴小丽一定算错了，小颖的说法正确．
（3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得或（舍去），
∴这4个数中最小的数为7．
5．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售．
(1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？
(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值．
【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元
(2)
【分析】（1）设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可；
（2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解且符合题意．
答：的值为．
6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践
年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务：
宇树科技机器人采购方案设计
素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元．
素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次．
素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元．
问题解决
(1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？
(2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？
【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元
(2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次
【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可；
（）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，
根据题意得：，
解得：，
答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元；
（2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，
根据题意得：，
解得：，
，即，
，
设每日总服务人次为，
，
，
随增大而减小，
当取最小值5时，有最大值，此时，
答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次．
7．（2026·山西吕梁·一模）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？
【答案】最多可购置55张阅读桌．
【分析】设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张，根据“某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍”列不等式组求解即可．
【详解】解：设购置阅读桌的数量为张，购置阅读椅的数量为张，
由题意得，
整理得，
解得，
答：最多可购置55张阅读桌．
解密题型14 函数图像问题
函数图像问题是中考常考题型，重点考查图像位置、增减性、交点及数形结合思想，根据解析式判断特征，结合图像分析取值范围，侧重直观推理。
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据时，；时，得出函数的图象分别在第一、第三象限，再根据时，即可判断出对应的函数图象．
【详解】解：函数中，
当时，；
当时，；
∴函数的图象分别在第一、第三象限，
又∵当时，，
∴只有选项C的图象符合题意．
2．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为
【答案】C
【分析】根据图可知，当时，，当时，点运动到点；当时，此时，利用勾股定理求出、，取的中点，连接，过点作于点，证明，进而得到，，利用勾股定理求出，最后再利用进行判断即可．
【详解】解：由图可知：当时，，即，
或（舍去），
当时，达到最大值，且为第一段图象的终点，说明点运动到点，
，此时，
当时，即，取得最小值，此时，
在中，由勾股定理得：，
，故选项错误；
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，故选项错误；
取的中点，连接，
∵点为的重心，
∴点在中线上，且 ，
，，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，故选项正确；
∵，，
∴，故选项错误．
3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
【答案】B
【分析】根据图像结合题目中给出的信息逐项进行判断即可．
【详解】解：由图像可知：
当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故A选项错误，不符合题意，
设时，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系式为，
∴当时，，即，
∴当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为，故B选项正确，符合题意，
当时，产生的气体的质量不变，都为，故C、D选项错误，不符合题意．
解密题型15 坐标系上点的坐标特征
坐标系上点的坐标特征是中考基础考点，重点考查各象限符号、坐标轴上点、对称点及中点坐标，概念直接、判断简单，属于送分基础题型。
1．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质对边平行且相等，结合点的坐标即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______．
【答案】2
【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答．
【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2，
∴，
解得，
当时，，符合题意，故的值为2
故答案为：2
3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
解密题型16 坐标系与图形变换综合
坐标系与图形变换综合是中考常考中档题，结合平移、旋转、对称、位似考查坐标变化，关键抓住变换规律确定对应点坐标，侧重数形结合与空间想象。
1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形在平面直角坐标系中的应用，勾股定理，平行线的判定和性质．正确作好辅助线并判定相似三角形，利用相似三角形的性质求长度是解题的关键．延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，根据点C在第三象限，得出点C坐标为．
【详解】解：延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，如图所示：
则，
由题意知，，，
∴，
根据旋转可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
解得：，，
∵点C在第三象限
∴点C坐标为．
故答案为：．
2．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，点是线段的中点，使用中点公式即可得到点的坐标．
【详解】解：∵线段由线段以点为位似中心，缩小为原来的后得到，且与在点的同一侧，
∴点是线段的中点，
∴点的坐标为，即．
3．（2025·湖北·二模）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，平行于轴，现将正方形向左平移2个单位，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，坐标与图形的性质，关键是由正方形的性质求出、的长．
由点的坐标得到，由正方形的性质推出，，，判定四边形是矩形，得到，求出，，即可得到点的坐标为．
【详解】解：如图，设、与y轴分别交于M、N，
的坐标是，
，
平行于轴，
轴，
四边形是正方形，且正方形的边长为5，
，，，
轴，
四边形是矩形，
，
，
，
点的坐标为．
故选：A．
解密题型17 点坐标规律探索
点坐标规律探索是中考高频题型，常以循环、平移、对称形式出现，关键找周期或通项公式，结合坐标符号变化规律求解，侧重归纳推理与数形结合。
1．（2026·河南南阳·一模）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，， ，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【分析】根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．
【详解】解：∵这10个点的横坐标从开始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
当时，，即，
∵关于点中心对称的点为，
即当时，，
∴．
2．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置．
【详解】解：如图，
根据题意得：
小球运动一周所走的路程，
∵小球以每秒个单位长度的速度运动，
∴小球运动一周所用的时间为：（秒），
∴，
∴第2026秒的小球所在位置为点，
∴第2026秒时点P的坐标为．
故选：C．
3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解．
【详解】解：∵风车图案的中心为正方形，
∴，
如图所示，作于点，
∴，
∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∵每次旋转，
∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则，
∵，
∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ．
4．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________．
【答案】
【分析】找到a的下标与层数n的变化规律即可．
【详解】解：设为第1层，为第2层，为第3层，……，
由图知，每一层末尾的点都在直线或直线上，
则第1层：的坐标为，，
第2层：的坐标为，，
第3层：的坐标为，，
第4层：的坐标为，，
第5层：的坐标为，，
……，
第n层：n为奇数时，的坐标为，n为偶数时，的坐标为，
∴即的坐标为，即，
∵，
∴由点的分布规律可知，和都在直线上，
∴的坐标为．
解密题型18 待定系数法求函数解析式
待定系数法求函数解析式是中考必考核心题型，根据函数类型设出解析式，代入点坐标列方程（组）求解系数，思路固定、步骤清晰，是函数问题的基础得分点。
1．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______．
【答案】11
【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值.
【详解】解：设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
点，，在同一条直线上，即点在直线上，
把代入得：，
的值为.
2．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点
∴
∵点在反比例函数的图象上
∴，即
解得
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 …
y … 3 0 m …
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为
C．若点在该函数图象上，则 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案．
【详解】解：将点、代入中，
得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
A、∵，
∴函数图象开口向上，
故A不符合题意；
B、∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
故B不符合题意；
C、当时，，
故C符合题意；
D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故D项不符合题意．
解密题型19 一次函数的性质
一次函数的性质是中考高频考点，重点考查 k、b 对图像位置与增减性的影响，结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。
正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系.
【详解】解：∵直线的一次项系数.
∴随的增大而减小.
∵，可得.
∴，
即.
2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值．
【详解】解：∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，
∵，函数的最大值为，
∴当时，取得最大值，
将代入函数得
，
整理得，
解得．
3．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数图象性质，先根据一次函数的增减性得出，函数图象经过第二、四象限，再根据一次函数与y轴的交点位置，确定该函数经过第一、二、四象限．
【详解】解：∵一次函数，函数值y随着自变量x的增大而减小，
∴，
∴此时一次函数图象经过第二、四象限，
又∵一次函数与y轴的交点为，
即该一次函数与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限．
4．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及不等式恒成立问题，熟练掌握一次函数表达式的变形和不等式恒成立的条件是解题的关键．先将两个一次函数整理成一般式，根据无论取何值都有，得出关于的不等式恒成立的条件，进而求解的取值范围．
【详解】解：，．
，
，
整理得．
因为无论取何值，该不等式始终成立，所以一次项系数，即，
此时不等式变为，
，
，
．
故答案为：．
解密题型20 反比例函数的性质
反比例函数的性质是中考常考内容，重点考查 k 的几何意义、图像所在象限与增减性，注意在每个象限内讨论单调性，常结合面积、交点综合命题。
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：∵、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，
∴时，随着的增大而增大，
∴，
当时，点在第二象限，；点、在第四象限，，此时满足，
∴的取值范围是．
2．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　）
A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧
C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧
【答案】C
【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴，
∵数轴上点表示的数为，
∴点一定在的左侧．
3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．图象与轴有一个交点
C．当时，随的增大而减小
D．如果点和点均在该函数的图象上，那么
【答案】D
【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 反比例函数为，，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误．
∵ 反比例函数中，恒不为，
∴ 图象与轴没有交点，B选项错误．
∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大，
∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误．
∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且，
∴ ，D选项正确．
解密题型21 二次函数的性质
二次函数的性质是中考核心考点，重点考查开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，常结合图像与代数综合考查，侧重数形结合与综合分析能力。
1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或
【答案】A
【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当时，有，得，再根据当时，最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可．
【详解】解：，
该抛物线的对称轴为：直线，
∵当时，有，
∴，
∴抛物线开口向下，
∵在范围内，且，
∴当时有最大值，时有最小值，
∴，
整理得，，
解得（舍）
故选： A．
2．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … 0 1 …
y … …
下列关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．对称轴为直线
C．有最大值 D．图象与x轴有两个交点
【答案】C
【分析】先利用表格中的点坐标求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可．
【详解】解：由表格可知，当时，代入得，
将，和，代入解析式得：
，
解得，
二次函数解析式为，
该二次函数图象开口向下，函数有最大值，即最大值为，
故选项A错误、C正确；
对称轴为直线，
故选项B错误；
令，得方程，即，
判别式，方程无实根，
因此，图象与轴没有交点，
故选项D错误．
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可.
【详解】解：联立两个函数的解析式得
，
整理，得，
∵两个图象至少有一个交点，
∴该一元二次方程有实数根，
∴，
解得.
解密题型22 函数图像综合
函数图像综合是中考压轴高频考点，结合一次、二次、反比例函数图像，考查交点、取值范围、最值与存在性问题，侧重数形结合与综合分析能力。
1．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，
对称轴在轴右侧，
，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
；
一次函数经过第一、二、四象限，
反比例函数图象在第一、三象限；
只有C选项同时符合两个函数的位置特点．
2．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得到，，然后判断一次函数的图象．
【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限
∴
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限
∴，
∴
∴
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∴一次函数的图象大致是：
3．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断点与点关于原点中心对称，再结合点到的增减性，逐项分析选项图像的增减性与中心对称特征，筛选出符合条件的函数图像．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴、关于原点中心对称，
∵，，
∴时，y随x增大而增大，
A选项：时随增大而减小，不符合增减性，排除．
B选项：时随增大而增大，且时，、关于原点中心对称，符合条件．
C选项：不存在m的值，使得、关于原点中心对称，排除．
D选项：时随增大而减小，排除．
故只有B项符合题意．
解密题型23 反比例系数k的几何意义
反比例系数k的几何意义是中考高频考点，核心为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为∣k∣、三角形面积为2/∣k∣，常与面积、坐标结合考查。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________．
【答案】/
【分析】过点A作轴于C，过点B作轴于D，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
【答案】 或
【分析】（1）根据的几何意义，即可求解；
（2）设，则，，，进而分类讨论，当为直角三角形的顶点，当为直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴与的面积之和为
（2）解：设，则，，
∴，，
当为直角三角形的顶点时，
如图，
∵
∴
∴
∴
∴
解得：
∴
当为直角三角形的顶点时，
如图，
同理可得
∴
∴
解得：
∴
综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为或
3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______．
【答案】
【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】解：过点作轴于，如图：
∵矩形的面积为24，
∴，
，
，，
，
设，
则，，
与x轴负半轴的夹角为，
，
，
，即：，
解得：，
，
由图得：，
故答案为：．
4．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________．
【答案】
【分析】过分别作轴，轴，先证，再利用面积比等于相似比的平方，得到的面积，结合反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：过分别作轴，轴，
在菱形中，为中心，，，
，，
又轴，轴，
，
即，
，
，
又点在，
，，
设经过两点的反比例函数解析式为，
，即反比例函数解析式是
解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系
二次函数图像与各项系数的关系是中考必考重难点，由a、b、c及判别式判断开口、对称轴、与坐标轴交点等，侧重数形结合与符号推理。
1．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
【答案】①②③
【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用到对称轴的距离进行判定求解；⑤当时，取得最大值求解．
【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴，
，
∵对称轴为直线，
，
∴，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
，即，
∴，故结论②正确；
∵图象过点，对称轴为直线，
∴当时，，
∴，即，故结论③正确；
∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，
∴到对称轴的距离分别为，
∴，故结论④错误．
∵当时，取得最大值，
∴当时，，
∴，故⑤错误，
综上所述，正确的结论是①②③．
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有，
∴，故①错误；，故②正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，即，故③正确；
由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误；
∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等，
∴当时，，故④正确；
综上所述：正确的结论有②③④共3个．
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论：
①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∴，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
而，
且，
∴，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，故④正确；
由④得当时，，
即，故⑤错误；
综上可得，只有②④正确．
解密题型25 函数与方程、不等式
函数与方程、不等式的综合是中考数学的核心重难点，常作为压轴题出现，核心在于数形结合。 核心逻辑关系 函数值等于 0：对应函数图像与x 轴交点的横坐标。 函数值大于 0：对应函数图像在x 轴上方部分的横坐标范围。 函数值小于 0：对应函数图像在x 轴下方部分的横坐标范围。 两个函数值相等：对应两个函数图像交点的横坐标。
1．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个．
【答案】3/三
【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求抛物线与坐标轴的交点个数，分别计算抛物线与y轴和x轴的交点个数即可得出答案．
【详解】解：当时，，故与y轴交于点，
当时，解方程，
判别式，
方程有两个不相等的实数根，
故与x轴有两个交点，
因此，抛物线与坐标轴共有3个交点．
故答案为：3．
2．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围．
【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，
∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方，
∴若，则的取值范围是或．
3．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为
(2)或
【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可；
（2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
解得：，
，
∵直线经过点 B， C，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点，
∴不等式的解集是或．
解密题型26 反比例函数与一次函数综合
这是中考数学高频中档题，常以选择、填空或解答题形式出现，是函数模块的核心综合考点，侧重考查数形结合与代数运算能力。
1．（2026·安徽宣城·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
(1)求k的值及点B的坐标．
(2)连接，求．
【答案】(1)，点B的坐标为
(2)
【分析】（1）先求得点A坐标，进而可求得k值，得到，联立方程组可求得点B坐标；
（2）设直线与轴交于点D，先求得点D坐标，再利用求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，解得，
∴点A的坐标为，
∵反比例函数的图象经过点A，
∴，
∴，
联立方程组，解得或，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图，设直线与轴交于点D，
令，则，
∴点D的坐标为，则，
∴．
2．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
【答案】(1)；
(2)
(3)5
【分析】（1）将代入直线中，即可求解；
（2）先求出点，再代入反比例函数中，即可求解；
（3）设直线向下平移了个单位长度，得到平移后的直线表达式为，再求出点，代入中，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，
∴当时，，解得，
∴点的坐标为；
（2）解：将代入直线中，得，
∴点，
∴将代入反比例函数中，得，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：设直线向下平移了个单位长度，
平移后的直线表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，
代入，得，
，
直线向下平移的距离为5个单位长度．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点P的坐标为
【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值；
（2）利用函数图像即可求出不等式的解集；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，．
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，
不等式的解集为：
或；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示：
根据轴对称可得：，
∴，
∴此时最大，
点关于轴的对称点，
设直线的关系式为，代入和得，
，
解得，
∴直线的关系式为，
令，，
∴直线与轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
4．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
画出函数图象
（1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线．
观察函数图象
（2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
得出结论
（3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________．
【答案】（1）见解析；（2）0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，；（3）
【分析】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
（1）直接画出图象即可；
（2）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（3）运用（2）的相关结论即可．
【详解】解：（1）图象如下所示：
（2）在直线平移的过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况，
联立和并整理得．
，
0个交点时，即；即1个交点时，；2个交点时，，．
（3）由（2）得：．
解密题型27 一次函数与实际问题
一次函数与实际问题是中考数学的高频中档应用题，以成本、行程、方案选择、分段收费等生活情境为载体，考查从实际问题中抽象出一次函数模型的能力，核心是利用函数的增减性、定义域及与不等式的结合，解决最值、最优方案与实际取值范围问题，侧重建模思想与实际应用检验。
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．
(1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
【答案】(1)A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元
(2)有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱
【分析】（1）设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，根据“购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元”列方程组求解即可；
（2）设购进A型设备m台，则购进B型设备台，根据“总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半”列不等式组求出m的值，得出方案；再列出总费用的函数关系，根据一次函数的性质求解即可；
【详解】（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，
根据题意得：．
解得：．
答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元．
（2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台，
根据题意得：，
解得：．
∵m为整数，
∴，8，9，10，
∴共4种购进方案；
总费用，
∵，故W随m增大而减小，
∴当时，W最小，此时，
最小费用（万元），
答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱．
2．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，．
【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N；
(2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式；
②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可）
【答案】(1)4；2.8；2.5
(2)①当时，,当时,；②
(3)；
【分析】（1）①根据解答；②和③，观察图象可得答案；
（2）观察图象根据待定系数法求出关系式即可；
（3）先将代入第一个函数关系式求出，再根据题意将代入第二个函数关系式可得答案
【详解】（1）解：①当小铝块下降时，小铝块位于液面上方，此时，所以弹簧测力计A的示数为；
②当小铝块下降时，
观察图象可知弹簧测力计A的示数是；
观察图象可知弹簧测力计B的示数是；
（2）解：①当时，弹簧测力计A的示数.
当时，设弹簧测力计A的示数，根据题意，得
，
解得，
∴；
②当时，设弹簧测力计B的示数，根据题意，得
，
解得，
∴；
（3）解：当时，，
当小铝块浸入液面后，且甲，乙两个弹簧测力计上的小铝块重力相同，甲乙液体的浮力相同，所以两个小铝块所受的相等，
∴，
解得，
即．
3．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元．
(1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元；
(2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时；
②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米．
【答案】(1)甲种粽子每箱进价元，乙种粽子每箱进价元
(2)共6种方案，购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元
(3)①75，60；②出发，3，小时
【分析】（1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元，根据题意可得二次方程，解方程即可；
（2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，根据题意可得关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得m的取值范围，m取整数即可得购进方案；设所需资金为W，根据题意得：，根据一次函数的性质求最小值即可；
（3）①根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解；
②先根据图象求出大货车休息后的速度，再分三种情况：大货车休息前；大货车休息后再次出发前；大货车再次出发后；分别列方程求解．
【详解】（1）解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元．
，
解得，
答：甲种粽子每箱的进价是48元，乙种粽子每箱的进价是32元；
（2）解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，
，
解得，
又∵m为正整数，
∴m可以取75，76，77，78，79，80，
∴该商店有6种进货方案；
设所需资金为W元，根据题意得：
，
∵，
∴时，所需资金W最小，
此时，，
答：购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元；
（3）解：①根据题意，得：
大货车休息前的速度为千米/时；
小货车的速度为千米/时；
②当时，大货车开始休息；
当时，大货车休息后再次出发；
小货车到达超市时间，大货车到达超市时间，
∴大货车休息后的速度为千米/时；
大货车休息前：
∵两车相距30千米，
∴，
解得：；
大货车休息后再次出发前：
，
解得：；
大货车再次出发后，大货车行驶与起点的距离
∴，
解得：或；
即出发2小时或3小时或小时两车相距30千米．
4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)2，14
(2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟
(3)
【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为；
（2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可；
（3）根据函数图象，得出答案即可．
【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化，
此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为．
（2）解：如图，
设的解析式为，
将点代入得：
，解得，
的解析式为，
设的解析式为，将点代入得：
，
解得，
的解析式为，
，
解得，
答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同．
（3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为．
解密题型28 二次函数与实际问题
二次函数与实际问题是中考必考解答题，常以利润最值、抛物线拱桥、抛射物体、几何面积等为背景，考查建立二次函数模型的能力，核心是利用开口方向、顶点坐标求最值，并结合自变量实际范围确定合理结果，侧重数学建模与数形结合应用。
1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)这两盏路灯的坐标分别为
【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果；
（2）令，求解对应自变量的值即可；
（3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果．
【详解】（1）解：据题意，可得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点，点到的距离均为，
∴令，
解得，
∴．
（3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，
可得垂直于轴，垂足为，且，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
可得，
解（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
即这两盏路灯的坐标分别为或．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数）
【答案】(1)
(2)干粉罐会撞到树木．调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木
【分析】（1）根据抛物线的顶点为，设抛物线的函数关系式为，再把点代入，求出a的值，即可解答；
（2）距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为，把代入函数关系式，求出函数值，与树高10米比较即可判断干粉罐是否会撞到树木．设调整后空投点的高度为h米，设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，将点代入，求出h的值即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的函数关系式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的函数关系式为．
（2）解：距离空投点A水平距离20米的位置，则该点的横坐标为，
当时，
，
∴干粉罐会撞到树木．
设调整后空投点的高度为h米，
∵平抛运动轨迹抛物线形状不变，
∴设调整后空投轨迹抛物线的函数关系式为，
由题意可得，当该抛物线过点时，
，
解得，
∴调整后空投点的高度至少为50米，干粉罐才能避开树木．
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)圆弧 所在圆的半径为
(3)锅盖能正常盖上
【分析】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，使用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，由题意可知，，，则，由垂径定理可得，，，在中，使用勾股定理构造方程，解出圆的半径；
（3）作组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，根据垂径定理和勾股定理容易计算出，则点，点．将代入抛物线解析式求出点，因此，由可判断锅盖能盖上．
【详解】（1）解：根据题意，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设圆弧的中点为点，所在圆的圆心为点，连接交于点，连接，设圆的半径为，
由题意可知，，，
∴，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴圆弧 所在圆的半径为；
（3）解：如图，矩形是组合图形的内接矩形，且，轴，设交于点，连接，
由（1）和（2）可知，组合图形关于直线对称，
∴结合图形可知，当矩形关于直线对称时，最大，
∵点为圆弧的中点，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴锅盖能正常盖上．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）综合与实践
【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律．
【项目准备】
模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．

核心条件：
①，；
②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行；
③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面；
④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上．
【项目任务】
(1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式；
(2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求；
(3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并解密中考数学：80大热点题型全预测（含解题大招）
内容导览 解密题型01 实数的性质 2 解密题型02 实数的非负性 3 解密题型03 比较有理数大小 4 解密题型04 科学记数法 6 解密题型05 实数的混合运算 7 解密题型06 整式的混合运算 7 解密题型07 整式的化简求值 8 解密题型08 因式分解 9 解密题型09 分式有、无意义的条件 9 解密题型10 规律探究 10 解密题型11 解方程（组）/不等式（组） 11 解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题 12 解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题 13 解密题型14 函数图像问题 15 解密题型15 坐标系上点的坐标特征 16 解密题型16 坐标系与图形变换综合 17 解密题型17 点坐标规律探索 18 解密题型18 待定系数法求函数解析式 20 解密题型19 一次函数的性质 21 解密题型20 反比例函数的性质 21 解密题型21 二次函数的性质 23 解密题型22 函数图像综合 23 解密题型23 反比例系数k的几何意义 24 解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系 26 解密题型25 函数与方程、不等式 27 解密题型26 反比例函数与一次函数综合 28 解密题型27 一次函数与实际问题 31 解密题型28 二次函数与实际问题 33 解密题型29 函数与图形变换问题 36 解密题型30 函数与图形面积问题 38 解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题 40 解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题 42 解密题型33 函数与特殊角存在性问题 43 解密题型34 函数与最值问题 44 解密题型35 整点问题 46 解密题型36 几何图形初步 47 解密题型37 正方形展开图 48 解密题型38 运用数学知识解决实际问题 49 解密题型39 利用平行线的性质与判定求解 50 解密题型40 三角形的三边关系 51 解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算 51 解密题型42 三角形内角和与外角和综合 52 解密题型43 垂直平分线 54 解密题型44 三角形中位线 54 解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似 56 解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解 57 解密题型47 半角模型 58 解密题型48 一线三等角模型 60 解密题型49 手拉手模型 61 解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解 63 解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解 64 解密题型52 折叠问题 65 解密题型53 中点四边形 66 解密题型54 多边形及内角和 69 解密题型55 四边形与最值问题 70 解密题型56 十字架模型 71 解密题型56 勾股定理 73 解密题型57 垂径定理 74 解密题型58 圆周角定理 75 解密题型59 圆内接四边形 76 解密题型60 点、直线与圆的位置关系 76 解密题型61 切线的判定 77 解密题型62 切线长定理 78 解密题型63 正多边形与圆 79 解密题型64 弧长与扇形面积 80 解密题型65 计算不规则图形面积 82 解密题型66 圆与三角形综合 83 解密题型67 圆与四边形综合 84 解密题型68 阿氏圆模型 86 解密题型69 圆的综合问题 88 解密题型70 利用平移、轴对称、旋转的性质求解 89 解密题型71 轴对称图形的识别 90 解密题型72 画平移、轴对称、旋转的图像 91 解密题型73 黄金分割 93 解密题型74 平行线分线段成比例 94 解密题型75 相似三角形的实际应用 95 解密题型76 解直角三角形 97 解密题型77 解直角三角形的应用 98 解密题型78 三视图的相关计算 101 解密题型79 计算概率 102 解密题型80 数据分析 103
解密题型01 实数的性质
实数的性质是中考基础必考内容，常以选择、填空形式考查相反数、倒数、绝对值、数轴与无理数辨识，核心围绕概念辨析、符号判断、运算性质展开，侧重基础应用，难度低但易因概念混淆失分，是必须稳拿的送分考点。
1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 4）要判断一个数是有理数还是无理数，首先看该数是有限小数还是无限小数，再看是循环小数还是不循环小数.分数和整数是有理数，无限不循环小数是无理数.区分有理数和无理数既是一个重要的知识点，也是易错的问题.
1．（2026·陕西榆林·一模）在0，，，，中，无理数有________个．
2．（2026·山东淄博·一模）下列运算结果为正有理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏徐州·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·江苏徐州·一模）下列说法正确的个数是（ ）
①的相反数是2026；②的绝对值是2026；③的倒数是2026．
A．3 B．2 C．1 D．0
解密题型02 实数的非负性
实数非负性主要考查绝对值、平方、算术平方根三类非负模型，常以 “几个非负数之和为 0，则每一项均为 0” 的形式命题，侧重代数式求值与方程求解，属于中考高频基础考点，思路固定、易掌握。
常见的非负数有三种形式： ①绝对值的非负性：任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②平方的非负性：任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③算术平方根的非负性：任何非负数a的算术平方根是非负数，即≥0且a≥0.
1．（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____．
2．（2026·四川内江·一模）在中，、，的对边分别为、、，且，则的面积为______．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在锐角中，若，则的度数为________．
解密题型03 比较有理数大小
中考常以选择、填空考查有理数大小比较，核心方法有数轴法、作差法、绝对值法，正数大于 0、0 大于负数，两负数比较时绝对值大的反而小，题型基础、思路直接，是必拿分考点。
比较实数大小的方法，常见的有作差法、作商法、倒数法、数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下平方法：对任意正实数a，b，若a＞b；对任意负实数a，b，若a＜b.
1．（2026·四川南充·一模）在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示，其中凝固点最低的物质是__________．
物质 铝 酒精 液态氧 水
凝固点（单位：） 660
2．（2025·四川资阳·模拟预测）若， 比较四个数的大小，并用“”连接__________________．
3．（2026·安徽阜阳·一模）比较大小：______．
4．（2025·江苏宿迁·二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造（点A，B，C都为小正方形的顶点）．
（构造图形），
（三角形任意两边之和大于第三边）．
，，（勾股定理），．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是__________（填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当为__________时，的值最小，且最小值为__________．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
解密题型04 科学记数法
科学记数法是中考高频基础考点，主要考查大数与小数的表示形式，关键在于确定a×10n中a的范围与指数n的取值，题型简单、计算直接，属于易得分基础题型。
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为： 1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法：①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
1．（2026·浙江杭州·一模）2026年4月，国际能源署（）发布报告指出，全球数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南周口·一模）据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东济宁·一模）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为______秒．
解密题型05 实数的混合运算
实数混合运算为中考必考计算题，核心考查零指数、负指数、绝对值、根式与三角函数的综合计算，按运算顺序逐步化简即可，注重步骤规范与符号判断。
1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）， 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数30°45°60°sin αcos αtan α1
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）计算：．
2．（2026·广东深圳·一模）计算：．
解密题型06 整式的混合运算
整式的混合运算为中考基础计算题，重点考查幂的运算、乘法公式与合并同类项，按先乘方、再乘除、最后加减的顺序运算，细心即可稳拿满分。
在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项.
1．（2026·河南周口·模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·天津河西·一模）计算的结果为________．
3．（2026·广东广州·一模）计算：______．
4．（2026·甘肃兰州·一模）计算：．
解密题型07 整式的化简求值
整式化简求值是中考常考解答题，先利用公式与运算法则化简，再代入数值计算，步骤规范、思路固定，是典型的基础得分题型。
整式化简求值一般分两步，先化简，然后代入求值，其中化简是解决问题的关键.整式的化简应遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序，能运用乘法公式的运用公式.未直接给出字母的取值时，考虑整体代入.
1．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______．
2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，求代数式的值．
解密题型08 因式分解
因式分解是中考基础必考内容，常结合分式运算考查，核心掌握提公因式法与公式法，遵循 “一提二套三检查” 步骤，是代数运算的重要基础。
1．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·陕西西安·三模）因式分解：___________．
3．（2025·河南信阳·三模）一个三位数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”．
【观察】，
，
．
【猜想】（1）将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被________整除．
【验证】（2）请你写出一个“对称数”（除101，232，555以外），并通过计算验证猜想．
（3）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过推理说明猜想是正确的．
解密题型09 分式有、无意义的条件
分式有、无意义的条件为中考基础考点，核心看分母取值：分母不为 0 时分式有意义，分母为 0 时分式无意义，概念清晰、判断直接，属于易得分题型。
1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可. 【易错点】当分式值为0时，忽略分母不能为0的限制条件而导致结果错误.
1．（2026·甘肃平凉·一模）关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是
C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义
2．（2026·河南南阳·一模）已知式子，在实数范围内均有意义，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）函数 的自变量 x的取值范围是_________________
解密题型10 规律探究
规律探究是中考高频题型，常以数字、图形、等式变化呈现，关键在于观察序号与结果的关系，归纳通项公式，侧重逻辑推理与归纳总结能力。
1．（2026·重庆·一模）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，则图⑦的棋子颗数为（ ）
A．40 B．53 C．68 D．85
2．（2026·云南大理·一模）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…．按照上述规律，第2026个单项式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．
当代数式的值为81时，则的值为__________．
4．（2026·甘肃天水·一模）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有个氢原子，……按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________．
解密题型11 解方程（组）/不等式（组）
解方程（组）与不等式（组）是中考必考基础题，侧重步骤规范与解集表示，方程组用代入或加减消元，不等式注意变号问题，属于必拿满分题型。
解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
1．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组：，并求出它的所有整数解的和．
2．（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组）
(1)解方程：；
(2)解方程组．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：
解密题型12 解方程（组）/不等式（组）的含参问题
解方程（组）/ 不等式（组）含参问题是中考中档热点，先按常规方法求解再结合解集、整数解、交点等条件列不等式，关键注意分类讨论与不等号方向，侧重逻辑严谨性。
1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________．
2．（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
3．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______．
4．（2025·四川眉山·一模）已知是方程的两个根，则的值为_____．
5．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______．
6．（2026·四川巴中·一模）关于的方程有增根，则的值为______．
7．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____．
8．（2026·四川宜宾·一模）已知不等式无解,则a的取值范围是__________.
9．（2026·黑龙江·一模）若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______．
解密题型13 解方程（组）/不等式（组）与实际问题
解方程（组）/ 不等式（组）与实际问题是中考必考应用题，关键是找准等量或不等关系列方程（组）、不等式（组）求解，注意检验结果是否符合实际意义，侧重建模与应用能力。
1．（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）．
(1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____；
(2)设小明接温水的时间为，
①若最终杯子中水的温度是，求的值；
②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克．
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
(2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？
3．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．
(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；
(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？
4．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示）
(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数．
5．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售．
(1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？
(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值．
6．（2026·广东深圳·二模）综合与实践
年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务：
宇树科技机器人采购方案设计
素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元．
素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次．
素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元．
问题解决
(1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？
(2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？
7．（2026·山西吕梁·一模）2026年2月1日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年4月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，持续改善阅读环境，某图书馆花60000元购置阅读桌和阅读椅，已知阅读桌的单价为600元/张，阅读椅的单价为120元/把，且要求购置的阅读椅的数量不少于阅读桌的4倍，则最多可购置多少张阅读桌？
解密题型14 函数图像问题
函数图像问题是中考常考题型，重点考查图像位置、增减性、交点及数形结合思想，根据解析式判断特征，结合图像分析取值范围，侧重直观推理。
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）小明在数学课上看到老师用画板生成了丰富的函数图象，课后自己也尝试利用网络画板研究函数的图象．请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构判断小明得到的图象是（ ）
A．B．C． D．
2．（2026·浙江金华·一模）如图，点为的重心，当动点从点出发沿的边逆时针运动一周，设点的运动路程为，为，关于函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为
3．（2026·山西朔州·一模）某化学兴趣小组的同学完成了一个实验：测定小苏打样品中的含量．将一定质量的小苏打样品加水溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
B．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
C．当加入的稀盐酸的质量为时，产生的气体的质量为
D．随着加入的稀盐酸的质量增多时，产生的气体的质量逐渐增多
解密题型15 坐标系上点的坐标特征
坐标系上点的坐标特征是中考基础考点，重点考查各象限符号、坐标轴上点、对称点及中点坐标，概念直接、判断简单，属于送分基础题型。
1．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，在第一象限内，且轴，各顶点坐标如图所示，则的值是_____．
2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______．
3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
解密题型16 坐标系与图形变换综合
坐标系与图形变换综合是中考常考中档题，结合平移、旋转、对称、位似考查坐标变化，关键抓住变换规律确定对应点坐标，侧重数形结合与空间想象。
1．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为_______．
2．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025·湖北·二模）如图，正方形的边长为5，点的坐标为，平行于轴，现将正方形向左平移2个单位，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
解密题型17 点坐标规律探索
点坐标规律探索是中考高频题型，常以循环、平移、对称形式出现，关键找周期或通项公式，结合坐标符号变化规律求解，侧重归纳推理与数形结合。
1．（2026·河南南阳·一模）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，， ，，都在函数图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．0
2．（2026·河南洛阳·一模）如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山东聊城·一模）如图，平面直角坐标系中，网格边长为单位1，在一次函数与之间，存在若干横纵坐标均为整数的点，坐标为，根据这个规律，的坐标是__________．
解密题型18 待定系数法求函数解析式
待定系数法求函数解析式是中考必考核心题型，根据函数类型设出解析式，代入点坐标列方程（组）求解系数，思路固定、步骤清晰，是函数问题的基础得分点。
1．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______．
2．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为_________．
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（a、c为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 …
y … 3 0 m …
则下列关于二次函数的说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为
C．若点在该函数图象上，则 D．当时，y随x的增大而增大
解密题型19 一次函数的性质
一次函数的性质是中考高频考点，重点考查 k、b 对图像位置与增减性的影响，结合图像判断取值范围，侧重数形结合与性质应用。
正比例函数和一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关.当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2026·贵州遵义·一模）已知一次函数（k为常数，且），如果函数值y随着自变量x的增大而减小，那么在平面直角坐标系中，这个函数的图象经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限
4．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值始终有，则m的取值范围是 _________．
解密题型20 反比例函数的性质
反比例函数的性质是中考常考内容，重点考查 k 的几何意义、图像所在象限与增减性，注意在每个象限内讨论单调性，常结合面积、交点综合命题。
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）若点、、都在反比例函数（为常数，）的图象上，且，则的取值范围是______．
2．（2026·安徽芜湖·一模）数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　）
A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧
C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧
3．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象在第一、三象限
B．图象与轴有一个交点
C．当时，随的增大而减小
D．如果点和点均在该函数的图象上，那么
解密题型21 二次函数的性质
二次函数的性质是中考核心考点，重点考查开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，常结合图像与代数综合考查，侧重数形结合与综合分析能力。
1．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（ ）
A． B． C．1或 D．或
2．（2026·陕西汉中·一模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … 0 1 …
y … …
下列关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．对称轴为直线
C．有最大值 D．图象与x轴有两个交点
3．（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________．
解密题型22 函数图像综合
函数图像综合是中考压轴高频考点，结合一次、二次、反比例函数图像，考查交点、取值范围、最值与存在性问题，侧重数形结合与综合分析能力。
1．（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·安徽·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
3．（2026·安徽芜湖·一模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解密题型23 反比例系数k的几何意义
反比例系数k的几何意义是中考高频考点，核心为双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积为∣k∣、三角形面积为2/∣k∣，常与面积、坐标结合考查。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，则的值为________．
2．（2026·安徽合肥·一模）如图，为坐标原点，点在坐标轴上，四边形是矩形，且点在函数的图象上，边与函数的图象分别交于点．
（1）与的面积之和为______；
（2）若为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为______．
3．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______．
4．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________．
解密题型24 二次函数图像与各项系数的关系
二次函数图像与各项系数的关系是中考必考重难点，由a、b、c及判别式判断开口、对称轴、与坐标轴交点等，侧重数形结合与符号推理。
1．（2026·四川内江·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则；⑤；其中结论正确的是______（填写序号）
2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026·陕西宝鸡·一模）已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为直线，有下列五个结论：
①；②；③若点，是抛物线上的三点，则；④，是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，若，则；⑤．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解密题型25 函数与方程、不等式
函数与方程、不等式的综合是中考数学的核心重难点，常作为压轴题出现，核心在于数形结合。 核心逻辑关系 函数值等于 0：对应函数图像与x 轴交点的横坐标。 函数值大于 0：对应函数图像在x 轴上方部分的横坐标范围。 函数值小于 0：对应函数图像在x 轴下方部分的横坐标范围。 两个函数值相等：对应两个函数图像交点的横坐标。
1．（25-26九年级上·山东威海·期中）抛物线与坐标轴的交点个数为_______个．
2．（2026·山东东营·一模）如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____．
3．（2026·江西鹰潭·一模）如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
解密题型26 反比例函数与一次函数综合
这是中考数学高频中档题，常以选择、填空或解答题形式出现，是函数模块的核心综合考点，侧重考查数形结合与代数运算能力。
1．（2026·安徽宣城·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．
(1)求k的值及点B的坐标．
(2)连接，求．
2．（2026·甘肃临夏·一模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)点的坐标为 ．
(2)求反比例函数的解析式．
(3)将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点，求直线向下平移的距离．
3．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
4．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标．
画出函数图象
（1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线．
观察函数图象
（2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．
得出结论
（3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________．
解密题型27 一次函数与实际问题
一次函数与实际问题是中考数学的高频中档应用题，以成本、行程、方案选择、分段收费等生活情境为载体，考查从实际问题中抽象出一次函数模型的能力，核心是利用函数的增减性、定义域及与不等式的结合，解决最值、最优方案与实际取值范围问题，侧重建模思想与实际应用检验。
1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．
(1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
2．（2026·天津河西·一模）【物理知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：①物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
②当小铝块位于液面上方时，；当小铝块浸入液面后，．
【建立数学模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A、B各自的示数（N）与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)填空：①当小铝块下降5cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
②当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为________N；
③当小铝块下降10cm时，弹簧测力计B的示数为________N；
(2)①当时，直接写出弹簧测力计A的示数关于的函数解析式；
②当时，直接写出弹簧测力计B的示数关于的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中小铝块受到的浮力为（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块下降的高度为，求，的值．（直接写出结果即可）
3．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元．
(1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元；
(2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时；
②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米．
4．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示．
(1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________；
(2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间；
(3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围．
解密题型28 二次函数与实际问题
二次函数与实际问题是中考必考解答题，常以利润最值、抛物线拱桥、抛射物体、几何面积等为背景，考查建立二次函数模型的能力，核心是利用开口方向、顶点坐标求最值，并结合自变量实际范围确定合理结果，侧重数学建模与数形结合应用。
1．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）某林区消防大队利用无人机进行消防演练，无人机升空后在点C所在高度水平匀速飞行，到达指定位置A时，空投一枚模拟灭火干粉罐．干粉罐灭火弹离开无人机后，在空中做平抛运动，轨迹为一段抛物线，如图所示，空投点A即为抛物线的最高点．若无人机程序设计空投点坐标，投放目标点坐标．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)如果在距离空投点A水平距离20米处有一棵高10米的树木．请通过计算判断干粉罐是否会撞到树木；如果干粉罐会碰到树木，保持无人机原有速度不变（即平抛运动轨迹抛物线形状不变）且水平位置不变，仅调整无人机空投点高度，求调整后空投点的高度至少为多少米时，干粉罐才能避开树木（结果保留整数）
3．（2026·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学 ”为主题的综合实践活动．
研究背景：炒菜锅的纵截面是抛物线面，锅盖的纵截面是球面，经过盖心的纵截面圆弧与经过锅心的纵截面抛物线组合而成的封闭图形．
【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为轴，在该直径左端点处作该直径的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为 ，．
【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为 ，锅深为，锅盖高为．
【建立模型】
(1)请求出抛物线 的解析式；
(2)求出圆弧 所在圆的半径；
【应用模型】
(3)将一个底面直径为 ，高度为的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
4．（2026·安徽阜阳·模拟预测）综合与实践
【项目背景】点茶是中国古代的一种沏茶方法，始于唐，盛于宋，是宋代斗茶与文人雅士日常品饮的核心沏茶技艺，其中“分茶”更是将沏茶升华为兼具实用性与观赏性的艺术．茶艺师复刻“分茶”技艺时，倒茶的水流轨迹、茶壶壶嘴造型、茶碗的移动与承接，看似是行云流水的技艺展现，实则暗藏着丰富的数学规律．
【项目准备】
模型抽象：在一次茶会上，我们将茶艺师表演“分茶”技艺时倒茶的情景抽象为如图所示的数学模型．已知茶壶壶嘴由线段与曲线组成，壶口为点C，曲线与茶水轨迹在同一条抛物线上；点B、C所在直线与x轴（桌面）平行，茶碗边沿点E与壶口C的连线垂直于x轴．

核心条件：
①，；
②壶柄与竖直方向夹角为，，线段AB与壶柄平行；
③茶碗的底面直径为，碗口直径为，高度为，茶碗的侧内壁剖面图可以抽象为二次函数的部分图象，茶碗底部中心初始坐标为，茶碗碗口中心F与底部中心的连线垂直于桌面；
④当点A相对桌面的高度时，点A的横坐标为0，抛物线水流恰好经过F点，且抛物线的顶点在线段的垂直平分线上．
【项目任务】
(1)任务一：求曲线BC所在抛物线的解析式；
(2)任务二：点茶时，前期调膏要低注慢淋，避免冲散茶末，因此要求茶艺师在前期注水时水流距离茶碗壁的竖直高度不得超过．判断此次倒茶过程中，水流距离茶碗壁的竖直高度是否符合要求；
(3)任务三：若为了节目效果，茶碗盛水后会匀速上浮，上浮速度为，同时沿x轴正方向以的速度平移．茶艺师手持茶壶竖直向上平移（横坐标不变），平移高度为，平移后茶水轨迹为原抛物线竖直平移后的图形．设茶碗移动时间为，当茶水轨迹经过茶碗上沿点E处时，分茶效果最佳，因此要求茶水落点始终在茶碗边沿E，求h与t的函数关系式，并求出当时，点A距离桌面的高度．
5．（2026·广西桂林·一模）【综合与实践】
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：
时间
速度
路程
【问题探究】
(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；
(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．
解密题型29 函数与图形变换问题
函数与图形变换问题是中考常考中档综合题，以平移、对称、旋转、位似为背景，考查函数图像变换后解析式的变化规律，核心是抓住关键点坐标变换，再用待定系数法求新函数解析式，侧重数形结合与空间想象能力。
1．（2026·四川绵阳·一模）如图，已知锐角的边的长为，面积为，，点在上，点在上，四边形为正方形（与在的异侧），其边长为，正方形与的公共面积为．
(1)当正方形的边恰好落在上时，求边长．
(2)当不落在上时，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．（可以将图形画在备用的图形中）
(3)求的最大值．
2．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板绕点顺时针旋转至，
①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标；
②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由．
3．（2026·广东惠州·一模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值；
(3)如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围．
4．（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
解密题型30 函数与图形面积问题
函数与图形面积问题是中考高频中档压轴题，以一次、反比例、二次函数图像为载体，考查图像与坐标轴、直线围成图形的面积计算，核心是利用坐标法、割补法、铅垂高公式及反比例函数k的几何意义求解，常结合交点坐标、最值问题综合考查，侧重数形结合与转化思想。
1．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？
(1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标．
(2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论．
(3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论．
3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集
(3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
解密题型31 函数与特殊三角形存在性问题
函数与特殊三角形存在性问题是中考几何压轴高频考点，以函数图像为背景，结合等腰三角形、直角三角形、等边三角形等判定条件，核心是分类讨论 + 坐标运算 + 勾股定理 / 距离公式，通过设点坐标列方程求解，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合能力。
1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由：
(4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为．
(1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴；
(2)若，求的取值范围；
(3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解密题型32 函数与特殊四边形存在性问题
函数与特殊四边形存在性问题是中考压轴高频考点，以函数图像为载体，考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的存在性判定，核心是利用对边平行且相等、对角线互相平分 / 垂直 / 相等等性质，结合坐标平移、中点公式、距离公式列方程求解，关键是按顶点顺序或边 / 对角线分类讨论，侧重数形结合、分类思想与代数几何综合运算能力。
1．（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点B，与反比例函数相交于点．
(1)求出一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点且在点C下方，连接并延长，交x轴正半轴于点D，若时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，若M为一次函数的图象上一点，是否存在平面内一点N，使得以B，P，M，N为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．
解密题型33 函数与特殊角存在性问题
函数与特殊角存在性问题是中考几何压轴难点题型，常以一次、二次函数为背景，围绕 45°、60°、90°、135° 等特殊角展开探究，核心是利用三角函数、相似三角形、斜率关系、构造直角三角形转化角度条件，结合坐标列方程求解，侧重分类讨论、数形结合与角度转化能力。
1．（2026·黑龙江·一模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解密题型34 函数与最值问题
函数与最值问题是中考核心高频考点，常以一次、二次、反比例函数为载体，结合实际应用与几何背景考查最大值、最小值。核心是利用函数增减性、顶点坐标、自变量取值范围求解，几何背景下常用对称转化最短路径、铅垂高求面积最值，侧重数形结合与建模思想。
1．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求、的值；
(2)点为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标；
(3)在线段上是否存在点，使存在最小值？若存在，请直接写出点的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
3．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图象直接写出中的取值范围；
(3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
解密题型35 整点问题
整点问题是中考函数与几何中小压轴常见题型，主要考查平面直角坐标系内横、纵坐标均为整数的点。常结合一次函数、二次函数、反比例函数及几何图形出现，核心方法是枚举取值、分类讨论、利用不等式确定范围，侧重有序枚举与严谨筛选，避免漏解或多解。
1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
解密题型36 几何图形初步
几何图形初步是初中几何入门基础题型，主要考查直线、射线、线段、角的概念与计算，包括线段和差、中点、角平分线、余角、补角、对顶角等内容，侧重基础计算与简单推理，是后续几何学习的必备铺垫。
1．（2026·辽宁营口·一模）紫砂壶是我国非物质文化遗产之一，成型工艺特别，造型样式丰富，陶器色泽古朴典雅如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，从上面看到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南周口·一模）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为____．
解密题型37 正方形展开图
正方体展开图是中考基础几何必考点，主要考查11 种标准展开图的识别、折叠还原及相对面判断，核心是通过 “一四一、一三二、三三、二二二” 四种模型快速判断，侧重空间想象与面的对应关系。
由正方体平面展开图的特点可知，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形或位于“Z”字形的两端，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”.
1．（2026·河南周口·二模）新情境 河南南阳拥有南北过渡、东西交融的独特地理位置，素有“中国玉雕之乡”的美誉，一个不透明的正方体的六个面上分别写着“中”“国”“玉”“雕”“之”“乡”六个汉字，如图是我们能看到的三种情况，那么“中”的对面汉字是（ ）
A．国 B．玉 C．雕 D．乡
2．（2026·河南·一模）如图是一个正方体纸盒的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数；则的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
3．（2026·河北保定·模拟预测）将如图1所示的正方体按如图2所示的方式展开，则在展开图中表示棱的线段可以是（ ）
A． B． C． D．
解密题型38 运用数学知识解决实际问题
运用数学知识解决实际问题是中考核心应用类必考板块，以生活情境为载体，综合考查建模、计算与推理能力，常结合方程、不等式、函数、统计与几何知识，将实际问题转化为数学模型求解，强调结果合理性检验，突出学以致用与数学应用意识。
1．（2026·吉林辽源·一模）某班同学在操场上站成笔直的一排，只要确定两个同学的位置，这一排的位置就确定了，依据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．过不共线的三点可以确定三条直线
2．（2025·吉林·三模）下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直
3．（2025·吉林·模拟预测）如图所示，小明到小颖家有三条路，小明想尽快到小颖家，请你帮他选线路______，用数学知识解释为______．
解密题型39 利用平行线的性质与判定求解
利用平行线的性质与判定求解是中考几何基础必考题型，常以填空、选择和简单证明出现，核心是通过同位角、内错角、同旁内角的数量关系判断线线平行，或由平行推导角相等、角互补，侧重逻辑推理与角度转化。
1.在利用平行线的性质或判定时，一定要看清楚直线与角的位置关系，看同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的. 2.搞清平行线的判定与性质的区别，在由已知角的关系得平行时用判定，由已知平行的关系得角的关系时用性质.
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）把两块分别含角和含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽安庆·一模）如图，已知四边形是矩形，点D在直线上，若平分，则下列结论不正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．是等边三角形
3．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____．
解密题型40 三角形的三边关系
三角形三边关系是中考基础必考知识点，核心为：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，主要用于判断三条线段能否构成三角形、确定第三边的取值范围，常与等腰三角形、周长计算结合考查，侧重简单推理与取值范围分析。
解密题型41 与三角形高、中线、角平分线有关的计算
与三角形高、中线、角平分线有关的计算是中考基础几何常考题型，主要考查三条重要线段的定义与性质，结合面积、角度、线段长度进行简单计算，侧重公式应用与几何转化思想。
1．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
52．（2026·广东湛江·一模）先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
3．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________．
解密题型42 三角形内角和与外角和综合
三角形内角和与外角和综合是中考几何基础必考题型，核心围绕三角形内角和 180°、外角等于不相邻两内角和、外角和 360°展开，常结合角平分线、平行线、折叠问题进行角度计算与推理，侧重角度转化与简单逻辑证明。
1．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026·辽宁营口·一模）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·广东东莞·一模）如图，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，，若， 则的度数是 ．
解密题型43 垂直平分线
垂直平分线是中考基础高频考点，核心性质为线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，常用来转化线段相等、构造等腰三角形，多用于几何证明、求边长与周长问题，侧重等量代换与几何推理。
1．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，交于点O，若点N恰为的中点，则的长为______，的长为________．
2．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知矩形的顶点，按以下步骤作图：
①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N；
②作直线，分别交边，边于点E，D．
若D点坐标为，连接，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解密题型44 三角形中位线
三角形中位线是中考几何基础常考点，核心定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，常用于求线段长度、证明平行关系、判断中点四边形，侧重等量转化与简单几何推理。
1．（2026·四川达州·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，则的长为__________．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．如图，在中，分别是边上的中线，三条中线交于重心G．
【性质探究】(1)小颖发现点E、D分别是的中点，由此联想到三角形中位线，请你根据小颖的思路，证明：；
【迁移应用】(2)经过探究，小颖进一步发现：以的三条中线为边，一定可以构成一个新的三角形．请你帮助小颖完成这一结论的证明．
【创新研究】
(3)探究由三条中线为边构成的三角形与的面积之间的数量关系．若设的面积为S，由三条中线构成的三角形的面积为，请写出S与之间的数量关系．
解密题型45 添加一个条件使两个三角形/全等相似
添加条件判定三角形全等或相似，是中考几何基础必考题型，核心是紧扣判定定理，结合已知边、角信息补充一组对应相等条件，全等侧重SSS、SAS、ASA、AAS、HL，相似侧重AA、SAS、SSS，侧重观察图形、挖掘隐含条件与严谨推理。
1．（2026·湖南湘潭·一模）如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）．
3．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在和中，，若添加一个条件，仍不能使得和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
解密题型46 利用全等/相似三角形的性质求解
利用全等 / 相似三角形性质求解，是中考几何核心必考方法。 全等侧重对应边相等、对应角相等，用于直接求长度与角度； 相似侧重对应边成比例、对应角相等，常用比例式求未知线段，结合面积比等于相似比平方计算，贯穿几何计算与证明全程。
1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，已知，，，将绕点A逆时针旋转得到，点B与点D对应，点C与点E对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为_____．
3．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．9
解密题型47 半角模型
半角模型（角含半角模型）是初中几何压轴必考模型，核心是共顶点、大角含半角、邻边相等，通过旋转构造全等，解决线段和差、角度、周长、面积问题。
1．（2026·江苏盐城·一模）主题式学习：实验初中九年级某学习小组围绕“半角”问题开展主题学习活动．
如图1，E、F分别为正方形的边上的动点，连接，且满足．
(1)【常规探究】在图1中，线段之间的数量关系为____．
(2)【变式思考】如图（2），正方形的边长为6，点E为边上的点，连接，取的中点G，F为边上的点，且，若，求的长．
(3)【拓展应用】如图（3），点E，F为正方形的边所在直线上的动点，点E在点F的左侧，且满足，求的最大值，请直接写出结果．
2．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
【模型应用】
（2）当时，①____________；
②求的长．
【模型拓展】
（3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长．
3．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】
（1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
解密题型48 一线三等角模型
一线三等角是中考几何高频相似模型，尤其在函数与几何综合题里必考，用来快速证相似、列比例。
1．（2025·山东济南·三模）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
解密题型49 手拉手模型
手拉手模型是中考几何全等、相似核心模型，以共顶点、等线段为特征，通过旋转构造全等或相似三角形，核心是证拉手线段相等、夹角相等，常结合等腰、等边、正方形考查线段、角度及面积问题，突出旋转转化思想。
1．（2026·河南周口·一模）综合探究
(1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________；
(2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值；
(3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长．
2．（2026·广东深圳·一模）如图1为正方形和正方形，连接．
(1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由；
(2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由；
(3)[应用]：在（2）问的情况下，连接（点在上方），若，且，，求的长．
3．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题：
(1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明．
(2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接．
①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________；
②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长．
(3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围．
解密题型50 利用平行四边形的性质与判定求解
利用平行四边形的性质与判定求解，是中考基础几何必考题型，核心是用对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质求边长、角度与线段长度，再结合判定定理证明四边形为平行四边形，侧重等量代换与简单逻辑推理。
1．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______．
2．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．48
3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，菱形的对角线相交于点，，点，分别是边，的中点，连接，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
解密题型51 利用特殊四边形的性质与判定求解
利用特殊四边形性质与判定求解，是中考几何核心必考题型，围绕矩形、菱形、正方形的边角与对角线特征，先判定图形类型，再用其特有性质计算边长、角度、对角线长度，常结合全等、相似、勾股定理综合考查，侧重性质辨析与几何推理。
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·甘肃平凉·一模）如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．10
3．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，测得A、C两点之间的距离为，B、D两点之间的距离为，则这两张纸条的宽为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
解密题型52 折叠问题
折叠问题是中考几何高频常考题型，核心是折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴；常结合勾股定理、相似、特殊四边形设未知数列方程求解，侧重转化思想与方程思想。
1．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南南阳·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______．
解密题型53 中点四边形
中点四边形是中考几何基础常考结论题，核心是：任意四边形各边中点顺次连接所得四边形一定是平行四边形；原四边形对角线相等则为菱形，对角线互相垂直则为矩形，既相等又垂直则为正方形，侧重快速判断形状与性质应用。
1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形. 2）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和. 3）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半. 4）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 5）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形. 6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形. 7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形. 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.
1．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ……
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____．
依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
解密题型54 多边形及内角和
多边形及内角和是中考基础必考知识点，核心公式为n 边形内角和 =(n 2)×180°，外角和恒为360°；常考查边数计算、内角度数、正多边形边长与对角线，侧重公式直接应用与简单角度推理。
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（）
A．该正八边形的每个内角为
B．该正八边形的对角线共有条
C．该环状图案的对称轴有条
D．该正八边形的每个外角为
2．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·湖南岳阳·一模）苯环是由6个碳原子组成的环状结构，外形是一个完美的正六边形．如图，与分别为正六边形的两条对角线，则__________．
解密题型55 四边形与最值问题
四边形与最值问题是中考几何高频压轴题型，常结合对称、平移、两点之间线段最短、垂线段最短等模型，利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性转化线段，核心思路是化折为直、构造直角三角形，侧重几何直观与最值模型的综合应用。
1．（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______．
3．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ．
4．（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是______________．
解密题型56 十字架模型
十字架模型是中考几何高频压轴模型，集中于正方形、矩形两类特殊四边形，核心是垂等互推（正方形）与垂比固定（矩形），常结合全等、相似、勾股定理综合考查，侧重几何构造与比例推理。
1．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
2．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
3．（2026·安徽阜阳·一模）菱形中，，为边，上的点，，相交于点．
(1)如图，若，，求证：；
(2)如图，若．试探究此时和满足什么关系？并证明你的结论；
(3)如图，在（）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，求的值．
解密题型56 勾股定理
勾股定理是中考几何计算核心考点，主要考查直角三角形三边数量关系及其逆定理；常结合折叠、矩形、坐标系、动点问题求边长与距离，侧重方程思想、面积法与分类讨论，是几何综合题的基础工具。
1．（2026·辽宁营口·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，．是的中点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖北襄阳·一模）在中，所对的边分别为、、．下列所给数据中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东济宁·一模）如图，边长为的正方形网格中，与交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
解密题型57 垂径定理
垂径定理是圆的核心基础考点，核心是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；常结合勾股定理构造直角三角形求弦长、半径、弦心距，侧重知二推一的简单推理与计算。
1．（2026·陕西咸阳·二模）桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．5米
2．（2026·四川绵阳·一模）如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A．4cm B． C． D．
解密题型58 圆周角定理
圆周角定理是圆的基础必考点，核心为同弧所对圆周角等于圆心角的一半，同弧或等弧所对圆周角相等；常结合直径所对圆周角为直角、圆内接四边形对角互补进行角度计算与证明，侧重倒角推理。
1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏连云港·一模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点、、都在格点上，过、、三点的圆与网格线交于点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．3
3．（2026·江苏无锡·一模）如图，为的直径，，为的切线，C为上一个动点，连接交于点D，过点D作，垂足为点E．当时，则的长为__________若，，则y关于x的函数关系式为__________．
解密题型59 圆内接四边形
圆内接四边形是圆的高频考点，核心性质为对角互补，且外角等于内对角；常与圆周角定理结合进行角度推导，多用于几何证明与计算，是圆综合题里关键的倒角依据。
1．（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（ ）
A．55° B．65° C．70° D．78°
2．（2026·重庆巴南·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解密题型60 点、直线与圆的位置关系
点、直线与圆的位置关系是中考圆基础必考点，通过距离与半径比较判断位置：点与圆看点到圆心距离，直线与圆看圆心到直线距离；重点考查切线判定与性质，常结合勾股、相似进行计算与证明。
1．（2026·云南·一模）已知的半径为，点到圆心的距离为，若点在内，则的取值范围中整数的个数为___________
2．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，，若以点为圆心，长为半径作圆，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
3．（2025·广东揭阳·一模）已知的半径是关于的方程的增根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
解密题型61 切线的判定
切线的判定是中考圆综合核心考点，核心思路为有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径；常结合等腰、全等、圆周角定理推导垂直关系，是圆证明题中最常用的关键步骤。
1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知是的直径，点F在上，点C为延长线上一点，，垂足为E，平分，，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求线段的长．
2．（2026·湖北随州·一模）如图，已知中，，O是底边边的中点，腰与相切于点D，分别交底边于F、G两点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求优弧的长．
解密题型62 切线长定理
切线长定理是圆的高频考点，核心是从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；常结合直角三角形、内切圆进行边长与角度计算，侧重快速转化等量关系。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·江苏徐州·一模）如图，四边形与分别相切于点，，，，其中，四边形的周长为，，则长度为______．
3．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
解密题型63 正多边形与圆
正多边形与圆是中考基础考点，核心是将正多边形转化为中心角、边长、边心距、半径构成的直角三角形，利用勾股定理与三角函数求解；常考查周长、面积及角度计算，侧重图形分解与基本运算。
1．（2026·山东枣庄·一模）如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2026·山西长治·一模）如图，在正六边形中，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径作，与正六边形交于点D．若正六边形的边长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·河北廊坊·一模）如图，O为正六边形内部（不含边界）的任意一点，边的延长线交于点G，若，，用含a，b的代数式表示的面积为_________．
4．（2026·广东东莞·一模）《墨子 天文志》记载： “执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美、如图，正方形的边长为1，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为__________．
解密题型64 弧长与扇形面积
1．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为____________．
2．（2026·湖南湘潭·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）．
3．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______．
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知扇形的面积为，半径是，则此扇形的圆心角度数为______．
解密题型65 计算不规则图形面积
不规则图形面积计算是中考几何高频考点，核心思路是割补法、和差法、等积变换，将不规则图形转化为扇形、三角形、矩形等规则图形的面积组合；常结合圆、平移、对称综合考查，侧重整体减空白与模型转化。
1．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，于点．分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧分别交于点．再以点为圆心，的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为______．
2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，以边的中点O为圆心的半圆与相切，切点为D，连接，与半圆交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在中，，，，以为圆心、的长为半径画弧交于点，以为圆心、的长为半径画弧交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______．
解密题型66 圆与三角形综合
圆与三角形综合是中考几何压轴核心题型，常结合垂径定理、圆周角、切线、内心外心等知识点，通过倒角证垂直、用相似与勾股定理列方程求解，侧重几何推理与计算结合。
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知内接于，圆心O在的内部，于点D，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点G为的中点，连接，过点C作于点F，交于点E，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，连接，若平分，，，求的面积．
2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，，与相切于点（点和在直线同侧），交于点，延长交于点，连接和交于点，连接．
(1)证明：；
(2)①证明：平分；
②连接，若，，，求的长．
3（2026·陕西西安·一模）问题提出
(1)如图①，在中，，，求面积的最大值______．
问题探究
(2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值；
问题解决
(3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值．
解密题型67 圆与四边形综合
圆与四边形综合是中考圆综合常考题型，以圆内接四边形、切线与特殊四边形为载体，利用对角互补、圆周角、切线性质进行倒角与等量转化，结合勾股、相似求解边长与面积，侧重图形性质融合与逻辑推理。
1．（2026·广东江门·一模）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连接，．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，连接，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系

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