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合江县部分学校高 2024 级高二下学期第一学月考试
数学试题参考答案
一、单项选择题
1、B 2、D 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C
二、多项选择题
9、ACD 10、ABD 11、BC
三、填空题
12、10 13、40 14、2020
四、解答题
15、【答案】（1）y＝13x－32；（2）y＝4x－18或 y＝4x－14．
【详解】（1）由函数 f (x)的解析式可知点(2，－6)在曲线 y＝f (x)上，∴f '(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f '(2)＝13，
∴切线的方程为 y－(－6)＝13(x－2)，即 y＝13x－32；
x
（2）∵曲线 f (x)的某一切线与直线 y＝－ ＋3垂直，∴该切线的斜率 k＝4，
4
设切点的坐标为(x0，y0)，
x0＝1， x0＝－1，
则 f '(x0)＝3x02＋1＝4，∴x0＝±1，∴ 或
y0＝－14 y0＝－18.
故切线方程为 y－(－14)＝4(x－1)或 y－(－18)＝4(x＋1)，
即 y＝4x－18或 y＝4x－14．
3 1
16 2、【详解】 n 1且 n N，有 Sn n n，2 2
n N,n 2 S 3 (n 1)2 1当 时，有 n 1 n 1 ，2 2
a 3 n2 1 n 3 (n 1)2 1两式相减得 n n 1
3n 1，
2 2 2 2
当 n 1时，由 S
3
n2 1n n a1 2，适合 an 3n 1，2 2
所以 an 3n 1；
1 1 1 1 1
（2）由（1）知，bn anan 1 3n 1 3n 2 3
，
3n 1 3n 2
第 1 页 共 4 页
所以Tn b b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 3 2 5 3 5 8 3 3n 1 3n 2
1 1 1 n n
3 2 3n 2 2 3n 2 6n 4 ．
17 n 1 1 2、【详解】（1）由 an an 1 2 1，则 a2 a1 2 1，a3 a2 2 1，…，a a
n 1
n n 1 2 1 (n 2)，
1 1 2n
累加得： an 1 2 2
2 ... 2n 1 n 1 n 1 2n n，验证 a1＝1成立，
1 2
a 2n所以 n n；
an n 1 2
n n n 1 1 1
（2）由（1），b n n a n n 1 n 1 ，nan 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1
所以
S b ... b 1 1 1 1 1 1 1 1n 1 n
21 1 22 2 22
...
2 23 3 2n n 2n 1 n 1 21
n 1 1 1 2 n 1
1
n 1 ．2 n 1
当 n 1时， 2n 1
1
n 1，则 n 1 ＞0，所以 S 1．2 n 1 n
18、【详解】（1）如图，取 AC的中点 O，连接 OD，OB，OA1，OC1．
因为 AB BC，所以 AC OB．
又 AC BD，BO BD B,BO,BD 平面OBD，
所以 AC 平面OBD，又OD 平面OBD，
所以 AC OD．………………2分
因为 AC∥A1C1，所以 A1C1 OD；
因为 AA1 C1C，所以四边形 ACC1A1为等腰梯形．
所以 A1AO C1CO，又 AA1 C1C， AO CO，
所以△A1AO≌△C1CO，所以OA1 OC1．
又 A1C1 OD，所以 D为 A1C1的中点．
第 2 页 共 4 页
（2）作Oz 平面 ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知OD AC，OB AC，
所以 BOD为二面角C1 AC B的平面角，即 BOD ．由题意知 A 1,0,0 ， B 0, 3,0 ，

C 1,0,0 D 0, 3， cos ,
3 sin ，
2 2

C 1 31 , cos ,
3 sin A 1 3 ， 1 , cos ,
3 sin ，
2 2 2 2 2 2



则CB 1, 3,0 1，CC1 ,
3 cos , 3 sin
2 2 2
．

设平面 BBC C n

1 1 的一个法向量为 x, y, z ，

CB n

0, x 3y 0
则

CC n
即 1 3
1 0, x ycos
3
zsin 0
2 2 2
y 1 z 1 cos

取 x 3，则 ， ，所以 n 3,1,
1 cos AA 1 3 3．又 , cos , sin ，
sin sin 1

2 2 2



sin cos AA ,n | A A 1 n| 3
所以 1 AA n 2 ．1 3
1 cos
π 2π 1 1
因为 , 3 3
，所以cos , ． 2 2

sin 21, 3 13
21 3 13
所以 7 13
，即 sin 的取值范围是 , ．
7 13


2
19 x、【答案】（1） y2 1；
4
2 y 2 x 3 3（ ） 或 y ．
2 2 2
【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；
（2）设D( 4, t)，由 kAD kBC 表示出直线 l的斜率，进而写出直线 l的方程，联立椭圆求出弦长 BC ，
由 BC AD 求出 t，即可求得直线 l的方程.
2
【详解】（1 x）由题意知：a 2, c 3 ，则b2 a2 c2 1，故椭圆M 的方程为 y2 1；
a 2 4
第 3 页 共 4 页
（2）

设D( 4, t),B(x1 , y1 ),C(x2 , y
t 3
2 )，又 A( 2,0)，故 kAD kBC，又直线 l经过点 0, ，故 l的方程2 2


y t为 x 3 ，
2 2

y t 3 x 2 2 1 t2 2联立椭圆方程 可得 x 2 3tx 1 0，显然 0，2 x1 x 2 3t2 2 ,x 11x2 ，x 2
y
2 1 1 t 1 t
4
2 2 2
BC 1 t x x 2 4x x 1 t 2 3 t
4 4 t2 4t2 1
则 1 2 1 2
2 4
1 t2
2 ，
1 t 1 t2
AD 4 t 2 BC AD 4 t
2 4t 2 1
又 ，由 ，可得 4 t 2 ，
1 t 2
解得 t 2或 t 0，
故直线 l 2 3 3的方程为 y x 或 y ．
2 2 2
第 4 页 共 4 页合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试
数学试题参考答案
一、单项选择题
1、B 2、D 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、C
二、多项选择题
9、ACD 10、ABD 11、BC
三、填空题
12、10 13、40 14、2020
四、解答题
15、【答案】（1）y＝13x－32；（2）y＝4x－18或y＝4x－14．
【详解】（1）由函数f (x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f (x)上，∴f '(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f '(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32；
（2）∵曲线f (x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4，
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f '(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，
即y＝4x－18或y＝4x－14．
16、【详解】且，有，
当时，有，
两式相减得，
当时，由，适合，
所以；
（2）由（1）知，，
所以
．
17、【详解】（1）由，则，，…，，
累加得：，验证a1＝1成立，
所以；
（2）由（1），，
所以...1．
当时，，则0，所以．
18、【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接OD，OB，，．
因为，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，
所以．………………2分
因为，所以；
因为，所以四边形为等腰梯形．
所以，又，，
所以，所以．
又，所以D为的中点．
（2）作平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，
所以为二面角的平面角，即．由题意知，，，，
，，
则，．
设平面的一个法向量为，
则即
取，则，，所以．又，
所以．
因为，所以．
所以，即的取值范围是．
19、【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；
（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长，由求出，即可求得直线的方程.
【详解】（1）由题意知：，则，故椭圆的方程为；
（2）
设，又，故，又直线经过点，故的方程为，
联立椭圆方程可得，显然，，
则，
又，由，可得，
解得或，
故直线的方程为或．合江县部分学校高 2024 级高二下学期第一学月考试
数学试题
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分）
1、下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列 1，0，1，0，…与数列 0，1，0，1，…是同一数列
3 4 n
C 1 2 *．数列 a n N2 ， ， ， ，…的一个通项公式是3 4 5 n n 1
1 1 1D．数列 2 ， ，…， 是递减数列4 2n
2、曲线 f x 3 x3 2在 x 1处的切线倾斜角是（ ）
3
1 1 5 2
A. B. C. D.
6 3 6 3
3、在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 1， AD 2， AA1 3，则异面直线 A1B1与 AC1所
成角的余弦值为（ ）
A. 14 B 13.
14 13
6 1C. D.
6 3
f 1 Δx f4 1 、设函数 f (x)在 x 1处存在导数为3，则 lim （ ）
Δx 0 3Δx
A．1 B．3 C．6 D．9
5、已知函数 f (x) f (1)x 3 x 2 ，则 f (3) f (2)（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
S
6、设 Sn为正项等比数列 an 的前 n项和， a5，3a 83， a4成等差数列，则 S 的值为（ ）4
1 1
A． B． C． 16 D． 17
16 17
第 1 页 共 4 页
1
a n 2,n 87、已知数列 an 满足 an 3 n N ，若对于任意n N 都有 an an 1，则实
an 7 ,n 8
数 a的取值范围是（ ）
1 1
A． 0, B．3
0,
2
1 1 1
C． ,1 D． ,
2 3 2
x2 y28、椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点 P为椭圆 C上的任
a2 b2

意一点，且 P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆 C的右焦点，则OP PF 的取值范围
为（ ）
A． 16, 10 10, 39 16, 39 39B． C． D． , 4 4 4
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共计 18分）
9、近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调
控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间 T内完成
房产供应量任务 Q．已知房产供应量 Q与时间 t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案
中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ）
A． B．
C． D．
第 2 页 共 4 页
10、记 Sn为等差数列{an}的前 n项和，则（ ）
A．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列 B． ， ， 成等差数列
C．S9＝2S6﹣S3 D．S9＝3（S6﹣S3）
11、已知等比数列 an 满足： an 0， a2 a5 8a3， a3 a4 6a2，则下列结论中正确的有（ ）
A． a1 2 B． an = 2
n- 1
C．若 m， n N*， am an 16
1 4 3
，则 的最小值为是
m n 2
D．存在 m，n， p N*，且m n p，使得 am an ap
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分）
12、等比数列 an 的各项均为正数，且 a5a6 a4a7 18，则
log3 a1 log3 a2 log3 a10 __________．
13、已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝__________．
14、在数列 an 中，已知 a1 2， anan 1 2a n 1 1 (n≥2， n N )，记数列 an 的前 n项之积为Tn，
若Tn 2021，则 n的值为__________．
四、解答题（本大题共 5小题，共计 77分）
15、（本题满分 13分）
已知函数 f (x)＝x3＋x－16．
（1）求曲线 y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的方程；
1
（2）如果曲线 y＝f (x)的某一切线与直线 y＝－ x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
4
16、（本题满分 15分）
a 3 2 1已知数列 n 的前 n项和为 Sn ,Sn n n n N,n 1 ．2 2
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）若bn a a ，求数列 bn 的前 n项和Tn ．n n 1
第 3 页 共 4 页
17、（本题满分 15分）
在数列{an}中， a1 1， an a 2
n 1
n 1 1 (n 2)．
（1）求{an}的通项公式；
a n 1
（2）设 bn n ，记数列{bn}的前 n项和为 Sa a n，证明：
Sn 1．
n n 1
18、（本题满分 17分）
如图，在三棱台 ABC - A1B1C1中， AB BC CA 2， AA1 A1C1 C1C 1，点 D在棱 A1C1上，且
AC BD．
（1）求证：D为 A1C1的中点；
π 2π
（2）记二面角C1 AC B的大小为 ，直线 AA1与平面 BB1C1C所成的角为 ，若 , 3 3
，求

sin 的取值范围．
19、（本题满分 17分）
2 2
M : x y 3椭圆 2 2 1(a b 0) 的左顶点为 A 2,0 ，离心率为 ．a b 2
（1）求椭圆M 的方程；
3
（2）已知经过点 0, 的直线 l交椭圆M 于 B,C两点，D是直线 x 4上一点.若四边形 ABCD为
2
平行四边形，求直线 l的方程．
第 4 页 共 4 页合江县部分学校高2024级高二下学期第一学月考试
数学试题
（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）
1、下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，，，，…的一个通项公式是
D．数列，，…，是递减数列
2、曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
3、在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
4、设函数在处存在导数为，则（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数，则（ ）
A．－12 B．12 C．－26 D．26
6、设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ）
A． B． C． 16 D． 17
7、已知数列满足，若对于任意都有，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8、椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分）
9、近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ）
A． B．
C． D．
10、记Sn为等差数列{an}的前n项和，则（ ）
A．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列 B．，，成等差数列
C．S9＝2S6﹣S3 D．S9＝3（S6﹣S3）
11、已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若m，，，则的最小值为是
D．存在m，n，，且，使得
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12、等比数列的各项均为正数，且，则__________．
13、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝__________．
14、在数列中，已知， (n≥2，)，记数列的前n项之积为，若，则n的值为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分）
15、（本题满分13分）
已知函数f (x)＝x3＋x－16．
（1）求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的方程；
（2）如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
16、（本题满分15分）
已知数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17、（本题满分15分）
在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设bn，记数列的前n项和为，证明：．
18、（本题满分17分）
如图，在三棱台中，，，点D在棱上，且．
（1）求证：D为的中点；
（2）记二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．
19、（本题满分17分）
椭圆的左顶点为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平行四边形，求直线的方程．

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