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2025-2026学年第二学期八年级数学第九周滚动练习
一．选择题（共8小题）
1．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是矩形； B．对角线相等的菱形是正方形；
C．对角线相等的平行四边形是菱形； D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形。
4．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，P是射线AC上一动点，连接DP，以DP为边顺时针作等边△DPQ，连接BQ，已知OA＝6，AP＝m，有以下4个结论：①当0＜m≤6时，AP＝BQ；②当0＜m≤6时，AB⊥BQ；
③当6＜m≤12时，连接AQ，若，；
④当m＞12时，连接AQ，若，．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DA D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
第4题第6题
6．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（　　）cm．
A．10 B．20 C．30 D．40
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒．
A．2或 B． C．或 D．
8．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC＝90°，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
第7题第8题
二．填空题（共8小题）
9．关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的两实数根为x1，x2，且x12﹣2x1+x2＝2x1x2，则m的值为　 　 ．
10．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点，如果DR＝5，EF＝6.5，则BC的长为 　 　 ．
11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，BE平分∠ABD，交AD于F，BE⊥DE，EG⊥AD于G，则下列说法：①∠ADE＝∠ABE；②△BCD≌△BED； ③BF＝DE；④△BDF的面积为．其中正确的有 　 　 ．（填序号）
第10题第11题
12．菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是 　 　 ．
13．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个 ABCD为轴对称图形，可以添加的条件是 　 　 ．
14．若关于x的方程有增根，则m的值是 　 　 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长为 　 　 ．
第13题第15题
16．矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点M在AD边所在的直线上，且DM＝1，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，则线段EF的长度为 　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．计算：（1）； （2）．
18．先化简，再求值．（其中P是满足﹣3＜P＜3的整数）
19．已知： ABCD两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
20．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：
①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？
②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？
21．如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1＝2∠2，CF＝5，求AF+BC的值．
22．如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或DC于点Q，连接PQ，当Q与点C重合时点P停止运动，设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P与点B重合时，线段PQ的长为 　 　 ；
（2）当点Q与点D重合时，求AP的长；
（3）如图②，当点P在AD上运动时，证明△PEQ始终是等腰直角三角形；
（4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD的重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．
23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．
（1）求证：∠ABE＝∠CDF；
（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．
24．如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB）．
（1）尺规作图：作以AC为对角线，且点E、F分别在BC、AD上的菱形AECF；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB＝2，记菱形AECF的面积为S，且满足6≤S≤8，求BC长的取值范围为 　 　 ．
25．某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量和用150元购进B种套装的数量相同．
（1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？
（2）若A品牌套装每套售价为12元，B品牌套装每套售价为10.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？
26．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长．
27．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转，得到△ADE．
（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．
①求证：FA平分∠DFC；
②求△ABC的面积．
（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，请直接写出线段PG1长度的最大值与最小值的差 　 　 ．
∵∠ADB＝∠PDE＝60°，DA＝DB，DP＝DE，∴∠ADP＝∠BDE，
∴△ADP≌△BDE（SAS），∴AP＝BE，∠DAP＝∠DBE＝30°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝90°，∵AQ＝8，AB＝4，∴BQ20，
∴AP＝20，∴CP＝AP﹣AC＝20﹣12＝8，∴OP＝OC+CP＝6+8＝14，
∴DP4，故④正确．故选：B．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ADP≌△BDE．
5．【解答】解：如图所示，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有A符合条件．故选：A．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
第5题第6题
6．【解答】解：连接AC，∵H、G是AD与CD的中点，∴GH是△ACD的中位线，
∴GHAC＝5（cm），同理EF＝5cm，根据矩形的对角线相等，得到：EH＝FG＝5cm，
∴四边形EFGH的周长为20cm．故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7．【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，且P在BC上，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t，
∴16﹣t＝21﹣3t，解得t，∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形；
当点P在BC延长线上时，∴16﹣t＝3t﹣21，解得t，
∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．故选：C．
【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
8．【解答】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE＝∠BFM＝90°，AB＝BF＝BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM（HL），∴MF＝MC，
∴∠MFC＝∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM＝90°，∠MCF+∠FDM＝90°，
∴∠MFD＝∠MDF，∴MD＝MF＝MC，
∵正方形ABCD的边长为2，∴MF＝MC＝DM＝1，
设AE＝EF＝x，∵DE2+DM2＝EM2，即（2﹣x）2+12＝（x+1）2，解得：x．故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，翻折变换﹣折叠问题，全等三角形的判定和性质，
适的辅助线是解题的关键．本题综合性较强，难度较大．
12．【解答】解：菱形的面积24，故答案为24．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．
13．【解答】解：当 ABCD为菱形时， ABCD为轴对称图形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形．故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查的是菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
14．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得：m﹣1﹣x＝0，
∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．故答案为：2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．【解答】解：取AB的中点F，连接NF，MF，
∵∠CAB+∠CBA＝90°，∵点M是AD的中点，∴MF是△ABD的中位线，
∴，MF∥BD，∴∠AFM＝∠CBA，∵NF是△ABE的中位线，
∴，NF∥AE，∴∠BFN＝∠BAC，∴∠BFN+∠AFM＝∠BAC+∠CBA＝90°，
∴∠MFN＝90°，∴MN2＝MF2+NF2，∴MN2＝32+22＝13，∴．故答案为：．
【点评】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用．
第15题图1图2
16．【解答】解：设BM，EF交于点O，∵将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点M重合，折痕与AD，BC分别交于点E，F，∴OM＝OB，EF⊥BM，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠M＝∠OBF，∠MEO＝∠BFO，
又OM＝OB，∴△OEM≌△OFB（AAS），∴OE＝OF，
①当M点在D点的右侧时，如图1所示，∵BC＝5，DM＝1，
∴AM＝AD+DM＝BC+DM＝6，Rt△ABM中，BM3，
∴OMBM，∵tanM，∴，∴EO，∴EF＝2EO；
当M点在D点的左侧时，如图2所示，∵AB＝3，BC＝5，DM＝1，
∴BM5，∴OMBM，
∵tan∠EMO，∴，∴EO，∴EF＝2EO，
综上所述，EF的长为或．故答案为：或．
【点评】本题考查矩形中的折叠问题，涉及勾股定理，锐角三角函数等知识，分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共11小题）
17．【解答】解：（1）原式 ＝15；
（2）原式 ．
【点评】考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．【解答】解：．
在﹣3＜p＜3中的整数p是﹣2，﹣1，0，1，2；
根据题意，这里p仅能取﹣1，此时原式．
【点评】取适当数代入求值时，要注意数的值需使原式及化简过程中的每一步都有意义．
19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，
∴Δ＝0，即m2﹣4（）＝0，整理得：（m﹣1）2＝0，解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2﹣x0，解得：x1＝x2＝0.5，
故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB＝2代入原方程得，m＝2.5，
把m＝2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1＝0，解得x1＝2，x2＝0.5，
∴C ABCD＝2×（2+0.5）＝5．
【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
20．【解答】解：①设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，能使每天利润为640元．
②设利润为y：则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200＝﹣20（x﹣14）2+720，
∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，
又∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，
∵E是AB边的中点，∴AE＝BE，
在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG＝BC，∠G＝∠2，∴AF+BC＝AF+AG＝FG，
∵∠1＝∠2+∠G＝2∠2，∴∠2＝∠G，∴FG＝CF＝5，∴AF+BC＝5．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用勾股定理才能得出结果．
22．【解答】解：（1）如图1所示，连接BQ，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAQ＝∠ABE＝90°，∠PEQ＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，
当点P和点B重合时，QE＝AB＝3，BE＝2，
在Rt△QBE中，BQ，故答案为：；
图1图2
（2）如图2，设AP＝x，则BP＝3﹣x，在Rt△APQ中，AP2+AQ2＝PQ2，∴PQ2＝52+x2，
在Rt△PBE中，PB2+BE2＝PE2，∴PE2＝（3﹣x）2+22，
在Rt△ECQ中，EC2+CQ2＝EQ2，∴PQ2＝32+32，∵∠PEQ＝90°，
∴PE2+EQ2＝PQ2，∴22+（3﹣x）2+32+32＝52+x2，故x＝1，即AP长为1；
（3）证明：如图3，过点P作PH⊥BC于点H，则PH＝3，
同理可得∠EPH＝∠QEC，∵EC＝BC﹣BE＝3，∴PH＝EC，又∠PHE＝∠C＝90°，
∴△PHE≌△ECQ（ASA），∴PE＝HE，∴△PQE是等腰直角三角形；
图3图4
（4）①如图4所示，当点P在BE上时，∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2，
在Rt△AQF中，AF，则BF＝3，
∵PE＝t，∴BP＝2﹣t，PF＝PE＝t，在Rt△PBF中，PF2＝PB2+FB2，
∴t2＝（3）2+（2﹣t）2，解得：t，
t时，点F在矩形内部，∴0＜t，符合题意，
②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图5，
则PB＝t﹣BE＝t﹣2，PE＝AP＝AB﹣PB＝3﹣（t﹣2）＝5﹣t，
在Rt△PBE中，PE2＝PB2+BE2，∴（5﹣t）2＝（t﹣2）2+22，解得t，
图5图6
③当点P在AD上，当F，D重合时，此时点Q与点C重合，图6，
则PFQE是正方形，此时t＝2+3+2＝7，∴0＜t或t或t＝7．
【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，解题的关键是分类讨论，分别画出图形，数形结合．
23．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE＝∠CDF；
（2）由题意可得：AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BC，∴四边形BFDE是平行四边形．
∵AB＝8，∴AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，如图所示：
∴PM＝2，AM＝2，∵AD＝12，∴DM＝10，
∴PD4．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质、菱形面积的计算等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
第26题第27题
27．【解答】（1）①证明：如图1，作AM⊥BC，AN⊥DE于点M，N，
根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，
∴△ABC的面积＝△ADE的面积，∴AM＝AN，∴AF平分∠DFC；
②由①知，∠AMC＝∠AMB＝90°，
∵∠C＝30°，AC＝8，∴AMAC＝4，CMAC＝12，
∵AB＝6，∴BM2，∴BC＝BM+CM＝212，
∴△ABC的面积BC AM（212）×412；
（2）①如图a，过点A作AF⊥BC，F为垂足，
∵△ABC为钝角三角形，∴点F在线段BC上，
在Rt△ACF中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AFAC＝4，
∵AB＝6，点P为线段AB中点，∴APAB＝3，
当G在BC上运动，AG与BC垂直时，即点F与点G重合时，
△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小，
最小值为：PG1＝AG1﹣AP＝AF﹣AP；
②如图b，当G在BC上运动至点C，
△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，
最大值为：PG1＝AP+AG1＝AP+AC＝3811．
综上所述，线段PG1长度的最大值为11，EP1长度的最小值，
∴线段PG1长度的最大值与最小值的差10，故答案为：10．
【点评】几何变换综合题，考查旋转性质、全等三角形判定与性质以及含30度角的直角三角形．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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