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2026年高考数学二模新题分类速递
考点5.1 正（余）弦定理的基本应用
考点5.1 正（余）弦定理的基本应用 1
一、已知部分边角关系求角或求值 1
（一）利用正弦定理边化角求角 1
（二）正弦定理结合和角公式求值 2
（三）利用余弦定理边角互化求角 2
（四）正余弦定理结合边角关系求值 2
（五）正余弦定理的综合应用（判断形状与边角互化） 3
二、结合三角形面积求值 3
（一）已知面积求边或周长 3
（二）利用面积公式和基本不等式求最值或取值范围 3
三、结合三角形的中线、高线、角平分线等几何特征求值 4
（一）结合中线求边长或角 4
（二）结合角平分线或特殊点求值 4
参考答案 5
第一部分：答案速查表 5
第二部分：逐题答案与详解 5
第三部分：试题来源表 14
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一、已知部分边角关系求角或求值
（一）利用正弦定理边化角求角
1.（2026·湛江·二模）
在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，且 ，求角 .
2.（2026·江西“三新”·联考）
已知△ABC的内角 的对边分别为 ，且 ，求 .
3.（2026·九江·二模）
在△ABC中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，求 .
4.（2026·宜春·二模）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 ，求角 .
5.（2026·山西·T8联盟·联考）
在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求角 的取值范围.
6.（2026·山西卓越联盟·联考）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ，求 .
7.（2026·云南昆明·二模）
在锐角△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，求 .
8.（2026·台州·二模）
在△ABC中，角 所对的边分别为 ，满足 ，求角 的大小.
（二）正弦定理结合和角公式求值
9.（2026·甘肃·二模）
在△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，求 .
10.（2026·湘豫联盟·联考）
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 .
证明： .
（三）利用余弦定理边角互化求角
11.（2026·安徽皖南八校·联考）
记△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 ，证明： .
12.（2026·新疆·二模）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且 ，求 .
（四）正余弦定理结合边角关系求值
13.（2026·宁波·二模）
在钝角△ABC中， ，则△ABC的面积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
14.（2026·毕节·二模）
在△ABC中，角 的对边分别为 ，已知 ，则△ABC的面积为___.
15.（2026·广州·二模）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，求 的值.
16.（2026·T8联盟·联考）
在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求角 的取值范围.
17.（2026·东营·二模）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足 ，求角 .
18.（2026·济南·二模）
记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 ，且 ，证明：△ABC为等腰三角形.
19.（2026·聊城·二模）
某夏令营在△ABC区域内活动，三个内角满足 ，求 的最小值.
20.（2026·四川德阳·二诊）
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知该三角形的面积 ，求角 的大小.
21.（2026·湖州/衢州/丽水·二模）
记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 ，求 的值.
22.（2026·温州·二模）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，求 .
（五）正余弦定理的综合应用（判断形状与边角互化）
23.（2026·孝感·二模）
在△ABC中， ，BC边上的高等于 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
24.（2026·安徽江淮十校·联考）
在△ABC中， 所在对的边分别是 ，且 ，则下列结论正确的有（ 　　）
A.
B. 若 ，则满足条件的△ABC有2个
C. 若 为AB中点，则 最大值为
D. 若 有两解 ，则
二、结合三角形面积求值
（一）已知面积求边或周长
25.（2026·安徽池州·二模）
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 ，若 ， ，求△ABC的面积.
26.（2026·安徽池州·二模）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足 ，若 ，D为AC中点， ，求 .
（二）利用面积公式和基本不等式求最值或取值范围
27.（2026·安徽合肥·二模）
在Rt△ABC中， ，D为BC边上一点，且 ， ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
28.（2026·T8联盟·联考）
在锐角三角形ABC中，角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围.
三、结合三角形的中线、高线、角平分线等几何特征求值
（一）结合中线求边长或角
29.（2026·安徽皖南八校·联考）
记△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 ，求 的取值范围.
30.（2026·揭阳·二模）
如图，在△ABC中，已知 ，点M在边BC上且 ，AM与AC边上的中线BN相交于点P，求 的余弦值.
（二）结合角平分线或特殊点求值
31.（2026·浙江金华十校·联考）
在△ABC中，内角A,B,C所在的边分别为a,b,c，若 ，△ABC的面积为 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
32.（2026·长望浏宁·二模）
在△ABC中，已知 分别为内角 的对边，且 ，D为AC边上一点， ，若 ，求 的值.
33.（2026·安徽铜陵·二模）
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知 ，若 ，求 的值.
34.（2026·山西太原·二模）
已知函数 的周期为 ，且 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，求 的值域.
参考答案
第一部分：答案速查表
序号 1 2 3 4 5
答案
序号 6 7 8 9 10
答案 见详解
序号 11 12 13 14 15
答案 见详解 B
序号 16 17 18 19 20
答案 见详解
序号 21 22 23 24 25
答案 A BCD
序号 26 27 28 29 30
答案 B
序号 31 32 33 34
答案 C
第二部分：逐题答案与详解
1. 答案：
详解：由 及正弦定理，得 . 因为 ，所以 ，整理得 . 因为 ，所以 ，即 . 又 ，所以 .
2. 答案：
详解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 .
3. 答案：
详解：由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，，因为 ，所以 .
4. 答案：
详解：因为 ，所以 ，，，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，又 ，则有 ，所以 .
5. 答案：
详解：因为 ，由正弦定理得 ，即 . 因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，又 ，所以 . 由 为锐角三角形，得 ，，，由 且 ，得 ；由 ，得 . 取交集得 ，所以 ，由 ，得 ，，即角 的取值范围是 .
6. 答案：
详解：在△ABC中，由正弦定理及 ，得 ，所以 ，所以由余弦定理得 ，由 知 ，又 ，所以 .
7. 答案：
详解：由正弦定理可知：. 又因为 ，所以 . 在锐角△ABC中，因为 ，所以 .
8. 答案：
详解：已知 ，由正弦边角关系得 ，因为 ，两边约去 ，得 ，应用辅助角公式得 ，而 ，所以 ，故 .
9. 答案：
详解：由已知 ，得 ，即 ，因为 ，，所以 ，根据正弦定理 ，即 ，代入得 ，因为 ，，所以 ，即 ，由于 ，故 .
10. 答案：见详解
详解：由已知及正弦定理，得 ，展开得 ，移项得 . 因为 ，所以 . 由正弦定理 及 ，得 ，，，代入得 ，两边同乘 得 ，即 ，整理得 .
11. 答案：见详解
详解：因为 ，则代入 ，得 ，所以 ，即 . 由余弦定理得 ，两边同乘 ，得 ，所以 . 由正弦定理 （ 为△ABC外接圆半径），则 ，，，代入上式：，即 ，两边同除 ，所以 .
12. 答案：
详解：由题意，，即 ，即 ，两边同除 （），得 ，由射影定理 ，代入得 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 .
13. 答案：B
详解：由余弦定理得 ，代入 ，得 ，即 ，整理得 ，即 ，解得 或 . 当 时，，最大边为 ，最大角为 ，由余弦定理 ，所以角 为钝角，符合题意；当 时，，最大边为 ，，角 为锐角，不符合钝角三角形条件，故舍去. 所以 ，△ABC的面积为 .
14. 答案：
详解：由余弦定理可得，，因为 ，所以 ，故△ABC的面积为 .
15. 答案：
详解：在△ABC中，，由正弦定理得 ，又 ，两式联立得 ，两边消去 ，得 ，由题意得 ，，两边约去 ，得 ，所以 .
16. 答案：
详解：由（1）知 ，又 ，所以 . 由正弦定理得 ，利用三角公式 ，，代入得 ，利用 ，得 . 由△ABC为锐角三角形，且 ，，得 ，，，解得 ，所以 . 函数 在 上单调递增，当 时，原式 ，当 时，原式 ，所以 .
17. 答案：
详解：因为 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，代入得 ，两边消去 ，得 ，因为 ，两边约去 ，得 ，即 ，故 .
18. 答案：见详解
详解：因为 ，由正弦定理得：，展开得 ，移项得 ，由两角和的正弦公式，，所以 . 因为 ，所以 . 又因为 ，，所以 或 ，因为 ，所以 ，又因为 ，两式相减得 ，所以△ABC为等腰三角形.
19. 答案：
详解：设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，由 ，根据正弦定理，得 ，即 . 由余弦定理得 . 因为 ，由基本不等式 ，所以 ，当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立，此时 ，因为 （由 ），所以 ，又 （由 ，），且 ，所以 ，且 ，满足三角形三边关系，等号可以取到. 因此， 的最小值为 .
20. 答案：
详解：在△ABC中，三角形面积 ，由题意 ，两式相等得 ，因为 ，所以 ，两边约去 ，得 ，即 ，由余弦定理得 ，所以 .
21. 答案：
详解：由余弦定理得 ，代入原式右边：，所以原式化为 ，即 ，移项得 ，由射影定理 ，所以 ，因为 ，所以 .
22. 答案：
详解：在△ABC中，因为 ，所以 ，代入得 ，由正弦定理 ，以及 ，分子分母同乘 ，得 . 由余弦定理得 ，，所以 ，代入得 ，即 ，因为 （否则分母为零），两边同乘 ，得 ，由余弦定理得 ，又 ，所以 .
23. 答案：A
详解：设BC边上的高为AD，由 ，设 ，则 ，因为BC边上的高等于 ，即 ，所以 ，从而点D在线段BC上，，在Rt△ABD中，，所以 ，在Rt△ADC中，，所以 ，，而 ，所以 .
24. 答案：BCD
详解：由题意，，由正弦定理得 ，展开得 ，所以 ，由余弦定理得 ，又 ，所以 ，故A错误.
对于B：若 ，，过点B作 于H，则 ，在CH上存在点A，使 ，且 ，故△ABC有两个，B正确.
对于C：由 且 ，得 ……①，延长CM至Q，使 ，设 ，则 ，连AQ、BQ，易知四边形AQBC为平行四边形，由平行四边形性质 ，即 ，即 ……②，由①得 ，解得 ，代入②得 ，即 ，所以 ，即 ，故C正确.
对于D：由 ，得 ，又 ，得 ，且A不为钝角，由题意A有两解且 ，可得 ，，，故D正确.
综上，选BCD.
25. 答案：
详解：（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 . 由 ，且 为三角形内角，得 ，则 ，因为 ，所以由 ，得 ，则△ABC的面积 .
26. 答案：
详解：由于D为AC中点，所以 ，两边平方得 . 由（1）知 ，即 ，又 ，，设 ，代入得 ，即 ，整理得 ，解得 或 （舍），所以 . 由余弦定理 ，所以 . 因为 ，所以 ，在Rt△BCD中，，因为 ，所以 .
27. 答案：B
详解：设 ，，则 ，（已知 ）. 在Rt△ABC中，，由勾股定理得 ，即 ，所以 . 在△ABD中，由正弦定理 ，在△ACD中，，因为 ，所以 ，又已知 ，设 ，则 ，，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，，利用三角恒等式 ，代入可解得比例关系，最终求得 .
28. 答案：
详解：由（1）知 ，又 ，所以 . 由正弦定理得 ，利用三角公式 ，，代入得 ，利用 ，得 . 由△ABC为锐角三角形，且 ，，得 ，，，解得 ，所以 . 函数 在 上单调递增，当 时，原式 ，当 时，原式 ，所以 .
29. 答案：
详解：由（1）知 ，所以 . 由余弦定理得 . 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号），得 . 又因为当 时，代入 ，得 ，解得 ，则满足三角形三边关系 ，故等号成立. 由 ，可知 为最大边，且 （因为 ），故 为钝角，因此 ，即 ，故 . 又由基本不等式得 ，所以 的取值范围为 .
30. 答案：
详解：以A为原点，建立如图所示直角坐标系，由 ，可得 ，因为 ，所以 ，又N为AC中点，所以 ，，，，，所以 .
31. 答案：C
详解：由 ，△ABC的面积为 ，得 ，即 ，得 . 由正弦定理得 ，所以 . 由 ，得 ，即 .
32. 答案：
详解：因为D为AC边上一点，且 ，设 ，则 ，. 因为 ，在△ABD和△CBD中分别用余弦定理，得 ，代入 ，得 ，即 ，两边同乘 ，得 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 .
33. 答案：
详解：因为 ，所以 ，由正弦定理 ，得 ，所以 ，因为 ，两边约去 ，得 . 因为 ，所以 . 又 ，所以 . 由正弦定理 ，得 .
34. 答案：
详解：由题意得 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 .
第三部分：试题来源表
序号 来源 题号
1 2026·湛江·二模 第15（1）题
2 2026·江西“三新”·联考 第15（1）题
3 2026·九江·二模 第15（1）题
4 2026·宜春·二模 第15（1）题
5 2026·山西·T8联盟·联考 第15（1）题
6 2026·山西卓越联盟·联考 第15（1）题
7 2026·云南昆明·二模 第15（1）题
8 2026·台州·二模 第15（1）题
9 2026·甘肃·二模 第15（1）题
10 2026·湘豫联盟·联考 第16（1）题
11 2026·安徽皖南八校·联考 第15（1）题
12 2026·新疆·二模 第15（1）题
13 2026·宁波·二模 第6题
14 2026·毕节·二模 第13题
15 2026·广州·二模 第15（1）题
16 2026·T8联盟·联考 第15（2）题
17 2026·东营·二模 第15（1）题
18 2026·济南·二模 第15（1）题
19 2026·聊城·二模 第15（1）题
20 2026·四川德阳·二诊 第15（1）题
21 2026·湖州/衢州/丽水·二模 第17（1）题
22 2026·温州·二模 第18（1）题
23 2026·孝感·二模 第6题
24 2026·安徽江淮十校·联考 第10题
25 2026·江西“三新”·联考 第15（2）题
26 2026·甘肃·二模 第15（2）题
27 2026·安徽合肥·二模 第8题
28 2026·T8联盟·联考 第15（2）题
29 2026·安徽皖南八校·联考 第15（2）题
30 2026·揭阳·二模 第16（2）题
31 2026·浙江金华十校·联考 第6题
32 2026·长望浏宁·二模 第15（1）题
33 2026·安徽铜陵·二模 第15（2）题
34 2026·山西太原·二模 第15（2）题2026年高考数学二模新题分类速递
考点5.2 有关三角形的面积及周长问题
考点5.2 有关三角形的面积及周长问题 1
一、已知条件直接求解三角形面积 1
（一）利用面积公式直接求面积 1
（二）结合正弦定理或余弦定理求面积 2
二、已知三角形面积反求边长或周长 2
（一）已知面积及部分边角，求周长 2
（二）已知面积与其他条件（向量、高线等）求周长 2
三、三角形面积或周长的最值问题 3
（一）求周长的最大值 3
（二）求面积的最值 3
四、选择条件型或探索型三角形面积/周长问题 3
（一）选择部分条件补全问题后求解 3
（二）含参数的三角形面积最值探索 3
五、几何背景下的三角形面积最值问题 4
（一）动点与三角形面积和的最值 4
参考答案 5
第一部分：答案速查表 5
第二部分：逐题答案与详解 5
第三部分：试题来源表 12
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第 2 页，共 17 页
一、已知条件直接求解三角形面积
（一）利用面积公式直接求面积
1.（2026·佛山·二模）
在 中， ， ， ，则 的面积为
A.
B.
C.
D.
2.（2026·南昌·二模）
在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，则 的面积为
A. 2
B.
C.
D. 4
（二）结合正弦定理或余弦定理求面积
3.（2026·江西·二模）
已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， ， ，求 的面积.
4.（2026·鞍山·二模）
在 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ，求 的面积.
5.（2026·资阳·二模）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，求 的面积.
6.（2026·宜春·二模）
在 中，角 所对的边分别为 ， ， ， ， 为 外一点，且与点 位于直线 的同侧， ， ，求 的面积.
二、已知三角形面积反求边长或周长
（一）已知面积及部分边角，求周长
7.（2026·广州·二模）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ， ， 的面积为2，求 的周长.
8.（2026·深圳·二模）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，若 的面积为1，求 的周长.
9.（2026·湛江·二模）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，且 的面积为 ，求 的周长.
10.（2026·东营·二模）
已知 的角 的对边分别为 ，满足 ， ， 的面积为1，求 的周长.
11.（2026·台州·二模）
在 中，角 所对的边分别为 ，满足 ， ， ，求 的周长.
（二）已知面积与其他条件（向量、高线等）求周长
12.（2026·九江·二模）
在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，若 ， ，求 的周长.
13.（2026·济南·二模）
记 的内角 的对边分别是 ，已知 ， ，若 边上的高为 ，且 ，求 的周长.
14.（2026·昆明·二模）
在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，若 的面积为 ，求 的值，并判断 是否为锐角三角形，再求其周长.
三、三角形面积或周长的最值问题
（一）求周长的最大值
15.（2026·蚌埠·二模）
在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ， ，求 周长的最大值.
16.（2026·山西·联考）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ， ，求 的最大值.
（二）求面积的最值
17.（2026·德阳·二诊）
在 中，内角 的对边分别为 ，已知该三角形的面积 ， ，求 面积的最大值.
18.（2026·安徽A10联盟·联考）
已知长方形 中， ，点 分别在线段 上（不含端点位置），且 .
（1） 若 ，求 的面积；
（2） 求 面积的最小值.
四、选择条件型或探索型三角形面积/周长问题
（一）选择部分条件补全问题后求解
19.（2026·湖州/衢州/丽水·二模）
记 的内角 的对边分别为 . 已知 .
（1） 求 的值；
（2） 若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，并求边长 的值.
条件①： ；条件②： ；条件③：
（二）含参数的三角形面积最值探索
20.（2026·绍兴·二模）
在 中，角 的对边分别为 ，面积为 ，当 （ 为常数）时， 的最大值为 ，则 ____.
五、几何背景下的三角形面积最值问题
（一）动点与三角形面积和的最值
21.（2026·聊城·二模）
如图，线段 ， 和 为其三等分点， 为半圆 上一动点， 为等边三角形，则 和 面积之和的最大值为____.
参考答案
第一部分：答案速查表
序号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C
序号 8 9 10 11 12 13 14
答案 20 a=3，周长为8
序号 15 16 17 18 19 20 21
答案 （1） ; （2） （1） ; （2） 选①， 或
第二部分：逐题答案与详解
1. 答案：C
详解：在 中，已知 ， ， 首先利用正弦定理 ，可得 因为 ，所以 由于 为钝角，因此 必为锐角，故 ，则 最后利用三角形面积公式 对应选项 C.
2. 答案：C
详解：在 中，已知 由正弦定理 （其中 为外接圆半径），可将该等式转化为边的关系 另一方面，由余弦定理知 ，对比两式可得 ，因为 ，所以 由于 ，可得 已知 ，则三角形的面积 对应选项 C.
3. 答案：
详解：（1） 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，由 ，得 （2） 由 ，得 ，则 ，因为 ，所以由 得 ，则 的面积
4. 答案：
详解：（1） 由正弦定理可得 ，因为 , , ，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 （2） 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，，因为 ，，所以 ，又 ，所以
5. 答案：
详解：（1） 由 及正弦定理，得 ，因为 ，，所以 ，即 ，得 ，因为 ，（2） 将 代入 ，得 ，解得 ，，所以 的面积
6. 答案：
详解：（1） 因为 ，所以 ，即 ，整理得 ，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，又 ，则有 ，所以 （2） 因为 ，，，所以在 中，，所以 ，所以 ，由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以
7. 答案：
详解：（1） 在 中，由 ，及正弦定理得 ，又 ，所以有 ，由题意得 ，，所以 ，得 （2） 由 ，解得 ，由 ，解得 ，由余弦定理得 ，则 ，所以 的周长为
8. 答案：
详解：（1） 由余弦定理：，及已知 ，可得 ，即 ，且 ，则 ，由正弦定理及 ，得 ，又 ，故 ，从而 ，由 ，不妨设 ，由余弦定理得 ，即 ，由正弦定理，（2） 由（1），，，可得 ，由正弦定理，，，由 ，解得 ，则 ，故 的周长为
9. 答案：
详解：（1） 由 及正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以 （2） 由 且 得 ，由余弦定理 及 得 ，所以 (负值舍去)，故 的周长为
10. 答案：
详解：（1） 因为 ，由正弦定理得 ，因为 ，故 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，故 （2） 因为 的面积为1，所以 ，即 ，由余弦定理得 ，则 ，所以 ，所以 的周长为
11. 答案：
详解：（1） 已知 ，由正弦边角关系得 ，因为 ，所以 ，应用辅助角公式可得 ，而 ，所以 （2） 由余弦定理得 ，代入 得 ，又 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ，故 的周长为
12. 答案：
详解：（1） 由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，即 ，由 ，得 （2） 由 得 ，又 ，所以 ，由余弦定理及 ，得 ，即 ，得 ，所以 ，所以 ，故 的周长为
13. 答案：20
详解：（1） 因为 ，由正弦定理得：，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 或 ，因为 ，所以 ，又因为 ，得 ，所以 为等腰三角形.（2） 因为 ，所以 ，代入 得：，所以 ，解得 (舍)或 ，因为 ，所以 ，又 边上的高为 ，不妨设该高为 ，则 ，由 得 ，由 ，由余弦定理 ，代入 ，得 ，解得 ，所以 的周长为
14. 答案：，周长为 8
详解：（1） 由正弦定理可知：，又因为 ，所以 ，在锐角 中，因为 ，所以 （2） 因为 的面积为 ，所以 ，由余弦定理，得 ，因为 ，且 ，所以 是锐角三角形，所以 符合题意，故周长为
15. 答案：
详解：（1） 由 ，得 ，在 中，由正弦定理，得 ，因为 ，所以 ，即 ，则 ，得 ，又 ，所以 （2） 在 中，由余弦定理，，化简得 ，所以 ，即 ，当且仅当“”时等号成立，从而 ，即 周长的最大值为
16. 答案：
详解：（1） 在 中，由正弦定理及 ，得 ，所以 ，所以由余弦定理得 ，由 知 ，又 ，所以 （2） 在 中，，由正弦定理得 ，所以 ，其中锐角 满足 ，当 时， 取得最大值 ，此时 ，所以 的最大值为
17. 答案：
详解：（1） 在 中，，而 ，即 ，所以 ，由余弦定理得 ，故 （2） 由（1）知，，，而 ，于是 ，即 ，当且仅当 时取等号，因此 的面积 ，所以当 时， 面积取得最大值
18. 答案：（1） ; （2）
详解：（1） 因为 ，故 ，则 ，，所以 （2） 设 ，则 ，，所以 ，因为 ，当且仅当 时等号成立，故 面积的最小值
19. 答案：（1） ; （2） 选①， 或
详解：（1） 由余弦定理得 ，整理得 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以 （2） 若选择条件①：由（1）可知，，由 得 （i），又由余弦定理得 ，解得 （ii），由（i）（ii）式得 ，或者 ，因此所求 的值是 或者 若选择条件③：由（1）可知，，又 ，所以 ，故 ，所以 ，化简得 ，得 ，因此所求 的值是3.
20. 答案：
详解：由题意，三角形面积 ，余弦定理 ，已知 ，则 ，代入余弦定理整理得：设 ，则 ，目标式子 所以 令 ，分子为 ，分母为 欲使 的最大值为 ，则上述关于 的分式函数最大值应为 此函数取最大值时，对应导数为零，可解得参数 的值.通过最值分析（求导或利用二次分式最值条件），可推得 时满足题意.此时，存在 使得函数取得最大值 ，从而 的最大值恰为
21. 答案：
详解：由题意，， 为三等分点，故 在以 为圆心， 为半径的上半圆上 为等边三角形.设 ，则 所以等边三角形 的面积 的面积 所以面积之和 当 ，即 时， 取得最大值，此时 的最大值为
第三部分：试题来源表
序号 来源 题号
1 2026·佛山·二模 第5题
2 2026·南昌·二模 第6题
3 2026·江西·二模 第15(2)题
4 2026·鞍山·二模 第15(2)题
5 2026·资阳·二模 第15(2)题
6 2026·宜春·二模 第15(2)题
7 2026·广州·二模 第15(2)题
8 2026·深圳·二模 第15(2)题
9 2026·湛江·二模 第15(2)题
10 2026·东营·二模 第15(2)题
11 2026·台州·二模 第15(2)题
12 2026·九江·二模 第15(2)题
13 2026·济南·二模 第15(2)题
14 2026·昆明·二模 第15(2)题
15 2026·蚌埠·二模 第15(2)题
16 2026·山西·联考 第15(2)题
17 2026·德阳·二诊 第15(2)题
18 2026·安徽A10联盟·联考 第16(2)题
19 2026·湖州/衢州/丽水·二模 第17(2)题
20 2026·绍兴·二模 第14题
21 2026·聊城·二模 第13题2026年高考数学二模新题分类速递
专题5 解三角形 剩余考点
专题5 解三角形 剩余考点 1
一、三角形中线的计算与证明 1
（一）利用中线向量关系求边或角 1
（二）中线长与三角形面积、最值问题 2
二、三角形角平分线的计算 2
三、三角形高线与等分点综合问题 2
四、四边形中的解三角形问题 2
五、解三角形与向量交汇 3
（一）向量数量积与三角形边角关系 3
（二）向量条件转化为几何约束求最值 3
（三）建立坐标系求解向量与面积最值 3
六、解三角形背景下的费马点应用 4
参考答案 5
第一部分：答案速查表 5
第二部分：逐题答案与详解 5
第三部分：试题来源表 10
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一、三角形中线的计算与证明
（一）利用中线向量关系求边或角
1.（2026·广东揭阳·二模）
如图，在 中，已知 ，点 在边 上且 ， 与 边上的中线 相交于点 .
（1）求中线 的长；
2.（2026·湘豫联盟·联考）
在 中，内角 的对边分别为 ，，，设 为 的中点，且 ，求 的面积.
3.（2026·湖北孝感·二模）
已知函数 在区间 单调，其中 为正整数，，且图象关于点 对称.
在 中，，， 边上的中线长为 ，求 的面积.
4.（2026·长郡二十校联盟·二模）
在 中，已知 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 为 中点，且 ，求 的面积.
5.（2026·四川眉山·二模）
在 中，已知内角 满足 .
（1）求 ；
（2）设 边上的中线为 ，若 ，求 面积的最大值.
（二）中线长与三角形面积、最值问题
6.（2026·河南许昌·二模）
的内角 的对边分别为 .已知 ，，若 是 的中点，则 的最小值为（ 　　）
A.
B. 1
C.
D. 2
二、三角形角平分线的计算
7.（2026·安徽铜陵·二模）
在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，.已知 为 边上一点，，若 ，求 的值.
8.（2026·新疆·二模）
在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， 的平分线交 于点 ，，求 的面积.
三、三角形高线与等分点综合问题
9.（2026·福建宁德·二模）
在 中，，.点 在边 上，， 为 中点，且 ，求角 的大小.
四、四边形中的解三角形问题
10.（2026·广东惠州·二模）
在平面四边形 中，，，， 与 均是正整数且 ，则四边形 的面积的取值范围是 ____.
11.（2026·山东德州·二模）
在凸四边形 中，已知 ，，.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
五、解三角形与向量交汇
（一）向量数量积与三角形边角关系
12.（2026·河南·二模）
在 中，，，则 的面积的最大值为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
13.（2026·四川南充·二诊）
在 中， 分别是边 的中点，若 ，，，则 的长度为 ____.
（二）向量条件转化为几何约束求最值
14.（2026·浙江温州·二模）
已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，点 在 上，直线 上一点 满足 ，在点 和点 的变化过程中，
（i）求 的最小值；
（ii）当 最小时，求 的值.
（三）建立坐标系求解向量与面积最值
15.（2026·福建福州·二模）
在平面凸四边形 中，，，， 的面积为 .当 最大时，四边形 的面积为 ____.
六、解三角形背景下的费马点应用
16.（2026·山西太原·二模）
费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当 的三个内角均小于 时，则使得 的点 为 的费马点；当 有一个内角大于或等于 时，则最大内角的顶点为 的费马点.已知 中， 分别为内角 的对边，且 ，点 为 内（含边界）一动点，则 的最小值为 ____.
参考答案
第一部分：答案速查表
序号 1 2 3 4 5
答案 （1） ; （2） （1） ; （2）
序号 6 7 8 9 10
答案 B （1） ; （2）
序号 11 12 13 14 15
答案 （1） ; （2） B （1） ; （2）（i） ; （ii）
序号 16
答案
第二部分：逐题答案与详解
1. 答案：
详解：已知 ，因为点 是边 的中点，所以 .在 中，，由余弦定理，可得 ，所以 .
2. 答案：
详解：方法一：由（1）得 .因为 ，所以 .由余弦定理，得 ，将 代入，得 .化简，得 ，解得 （舍去）或 ，所以 .由余弦定理，得 ，所以 .所以 的面积 .
方法二：因为点 是 的中点，所以可延长 至点 ，构造平行四边形 .则由平行四边形的性质，得 ，即 ，所以 .所以 ，所以 .由余弦定理，得 ，所以 .所以 的面积 .
3. 答案：
详解：由 可得 ，又 ，，从而 ，故 .设 边上的中线为 ，，则 ，，，，解得 .所以 的面积 .
4. 答案：（1） ; （2） 1
详解：（1） 因为 ，所以 ，即 ，所以 .所以 或 .又因为 为三角形的内角且 ，所以 ，故 .
（2） 在 中，由余弦定理，得 ①.在 中，因为 为 中点，所以 ，由余弦定理，得 ②.由 ②×2 ①，得 ③.将 代入 ③ 式，解得 .将 代入 ② 式，解得 .所以 的面积 .
5. 答案：（1） ; （2）
详解：（1） 因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2） 因为 为 边上的中线，有 ，两边同时平方可得：，即 .由重要不等式：（当且仅当 时取得等号）得 .由三角形面积公式 （当且仅当 时取等），故 存在最大值，最大值为 .
6. 答案：B
详解：由 ，利用和差化积公式，左边 ，右边 .又 ，故左边为 .利用和差化积 ，得左边为 .因此原等式化为 .因为 为三角形内角，，两边约去得 ，即 ，故 ，，所以 .
由已知 ，得 .因为 是 的中点，由中线公式得 .在 中，由余弦定理及 得 .代入中线公式，.将 代入，得 .又由 且 ，得 ，故当 时， 取最小值 1，即 的最小值为 1.
7. 答案：
详解：因为 为 边上一点，且 ，则 ，所以 ，即 .将 代入得 ，即 ，得 ，故 .
8. 答案：（1） ; （2）
详解：（1） 原式 ，由正弦定理得 ，所以 ，故 .
（2） 由余弦定理得 ，代入 可得：.在 中，由等面积法有 ，代入 可得 ，所以 ，解得 ，故 .
9. 答案：
详解：因为 ， 为 中点，所以 ，.在 中，由正弦定理，得 ，即 .所以 ，，所以 ，所以 .因为 ，所以 .
10. 答案：
详解：如图，因为 ，，由四边形内角和得 .因为 与 均是正整数且 ，则 或 3，可得 或 或 .① 当 时，，不合题意；② 当 时，，合题意；③ 当 时，，不合题意.所以 .延长 交于点 ，过点 作 于点 .向左平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 .在 中，，由正弦定理得 ，所以 .向右平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 .因为 ，所以 ，所以 .所以四边形 的面积的取值范围是 .
11. 答案：（1） ; （2）
详解：（1） 过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，易知 .因为 ，所以 ，所以 .在直角 中，.
（2） 在直角 中，由勾股定理知 .在直角 中，因为 ，所以 .于是有 .在 中，由余弦定理可知 .所以 的值为 .
12. 答案：B
详解：由 ，利用正弦定理，，，代入得 .由余弦定理，，代入上式得 ，整理得 .已知 ，所以 .
的面积 ，由余弦定理得 ，故 .从而 .由基本不等式，，即 ，得 ，当且仅当 时取等.又由余弦定理，此时 ，，且 ，三角形存在.所以 ，故 ，，即 面积的最大值为 .
13. 答案：
详解：设 ，由中线长公式得：，即 ①；，即 ②；，即 ③.三式相加得 ，故 .由①得 ，将 代入得 ，整理得 ，解得 ，故 ，即 .
14. 答案：（1） ; （2）（i） ; （ii）
详解：（1） 在 中，因为 ，所以 ，代入得到 .由正弦定理得 .由余弦定理得 ，化简得 ，所以 ，故 .
（2） （i） 因为 ，所以 ，所以 .如图，建立平面直角坐标系，，设 .因为 ，所以 .设 ，代入得 ，整理得 ，解得 ，当且仅当 时取得等号.又因为 ，当且仅当 时取得等号，所以 的最小值为 .
（ii） 此时 ，所以直线 ，，所以直线 .联立 解得 ，所以 .
15. 答案：
详解：在 中，，，.由余弦定理可得 ，即 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，故 .以点 为坐标原点，、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，则 、、，则点 在第一象限，设点 ，则 ，解得 ，则 .因为 ，而 ，，则 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时 取最大值 ，则点 .故 .
16. 答案：
详解：由 及正弦定理得 ，整理得 ，因 ，故 ，.又 ，由余弦定理得 ，即 .再求 ，得 ，从而 ，三个内角均小于 ，故费马点 满足 .以 为原点建立直角坐标系，则 ，设 ，利用向量夹角公式结合费马点条件解得 ，计算得 ，故 ，即最小值为 .
第三部分：试题来源表
序号 来源 题号
1 2026·广东揭阳·二模 第16（1）题
2 2026·湘豫联盟·联考 第16（2）题
3 2026·湖北孝感·二模 第16（2）题
4 2026·长郡二十校联盟·二模 第16题
5 2026·四川眉山·二模 第15题
6 2026·河南许昌·二模 第8题
7 2026·安徽铜陵·二模 第15（1）题
8 2026·新疆·二模 第15题
9 2026·福建宁德·二模 第15（2）题
10 2026·广东惠州·二模 第14题
11 2026·山东德州·二模 第15题
12 2026·河南·二模 第8题
13 2026·四川南充·二诊 第13题
14 2026·浙江温州·二模 第18题
15 2026·福建福州·二模 第14题
16 2026·山西太原·二模 第14题

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