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三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型
一．同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数的基本关系
2 2
（1）平方关系: sin cos 1 .
sin
（2）商数关系: tan .
cos
（3） (sin cos )2 1 2sin cos
cos2 1 , sin2 tan
2
（4）
1 tan2 1 tan2
2.同角三角函数的三大应用
2.1 正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
2.2 已知正切求齐次式的值
2.3 (sin cos )2 1 2sin cos
应用 1.正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
例 1．若 sin
3
，且 为第三象限角，则 tan （ ）
5
4 3 4 3
A． B． C． D．
3 4 3 4
解析：∵ sin
3
，且 为第三象限角，∴ cos 1 sin 2
4
，
5 5
3

∴ tan =
sin 3
54 ．故选:D． cos 4
5
应用 2. (sin cos )2 1 2sin cos
sin cos 12
π
例 2．已知 ， ,π ，则 sin cos （ ） 25 2
12 7 7 7
A． B． C． D．
25 5 5 5
π
解析： , π

， sin 0， cos 0， sin cos 0，
2
sin cos sin cos 2 1 2sin cos 7 .故选：D.
5
应用 3.已知正切求齐次式的值
例 3．已知方程 sin 2 2sin cos 2sin 4cos 0 ，则 cos 2 sin cos （ ）
4 3 3 4
A． B． C．- D．
5 5 5 5
解析：因为方程 sin 2 2sin cos 2sin 4cos 0 ，
所以 sin sin 2cos 2 sin 2cos 0，
即 sin 2cos sin 2 0，则 sin 2cos 0或 sin 2 0（舍去），
2
所以 tan = - 2，所以 cos2 sin cos cos sin cos
cos2 sin2
，

1 tan 1 2 3

1 tan2 2 5 ，故选：B 1 2
小结：已知 tan k ，我们可计算如下齐次式：（约定分母不为 0）
msin ncos
（1）
p sin q cos
msin 2 ncos2 r msin 2 ncos2 r(sin2 cos2 )
（2）
p sin 2 q cos2 s p sin 2 q cos2 s(sin2 cos2 )
2
3 msin 2 n cos2 r msin ncos
2 r(sin2 cos2 )
（ ）
sin 2 cos2
二．万能公式：（齐次式切弦互化）
作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.
sin 2 2sin cos 2 tan
2
cos 2 cos sin
2 1 tan2
2 ， ， sin cos2 1 tan2 sin2 cos2 1 tan2
tan 2 2 tan
1 tan2
4 0,
π
cos2 5例 ．已知 ，且 ，则 tan （ ）
4 3
A 3- 5． B 3 5． C 5 5． D． 或 5
2 4 5 5
2
cos 2 cos sin
2 1 tan2 5
解析：由 ，所以2 2 2 3 3tan
2 5 5 tan2 ，则
cos sin 1 tan 3
3 5 (3 5)2 πtan2 3 5，由 0, ，则 tan .故选：A
3 5 4 4 2
π 2
例 5．已知第二象限角 满足 tan tan


4 3
，则 cos 2 （ ）
4 4 3 3
A． B． C． D．-
5 5 5 5
解析：∵ tan tan
π
tan
tan 1 2
2
4 1 tan 3 ，∴ 3tan 5tan 2 0，解得 tan = - 2或
2 2 2
tan 1 （舍去），所以 cos 2 cos2 sin2 cos sin 1 tan 3 .故选：D
3 cos2 sin2 1 tan2 5
2
例 6．已知 为锐角，且 tan

m m ， cos 2 22 ，则 sin （ ） m 4 4
A 2 2 1
4 9
． 3 B． C． D． 3 2 5 5
分析：显然，解出参数m 的值是关键，这自然想到了万能公式.
2
∵ cos 2 cos sin
2 1 tan2 1 m2 m2
解析： 2 ，解得m
2 2 ，
cos sin2 1 tan2 1 m2 m2 4
∴ cos 2
1
，∵ 0

，∴ 0 2 ，∴
3 2 sin 2
2 2
1 cos2 2 ，
3
1 cos 2
∴ sin2
2 1 sin 2 2 1 ，故选：B． 4 2 2 2 3 2
三．诱导公式
诱导公式记不住，就利用两角和差公式现场推导即可，例如
cos( ) cos cos sin sin sin
2 2 2
sin 3π sin 2π
27 例 ．已知 1.
2cos 3π cos π
2
（1）求 tan 的值；
1
（2）求 的值.
sin 2 sin2
sin
3π
sin 2π
2 1 解析：（ ）由 1
cos sin
可得 1，
2cos π 3π cos 2cos sin
2
1 tan
即 1,
1
tan ；
2 tan 2
1
1 sin2 cos2 tan2 1 5
（2 1） 4 2 . sin 2 sin 2sin cos sin2 2 tan tan2 2 1 1 3
2 4
四.两角和与差与二倍角公式
1.两角和差公式
（1）C( ) : cos( ) cos cos sin sin ;
（2）C( ) : cos( ) cos cos sin sin ;
（3） S( ) : sin( ) sin cos cos sin ;
（4） S( ) : sin( ) sin cos cos sin ;
T : tan( ) tan tan （5） ( ) . 1 tan tan
T : tan( ) tan tan （6） ( ) . 1 tan tan
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1） S2a : sin 2 2sin cos ;
（2）C2a : cos 2 cos
2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ;
T 2 tan （3） 2n : tan 2 . 1 tan2
3.常见角的拆分与组合:
2 ( ) ( ), 2 ( ) ( )
( ) ( 3 ) , 4
4


, ( ) ( )2 3 6
例 8． cos20 cos385 cos70 sin155 （ ）
A 1 B 2． 2 ． C
3
． D．1
2 2
解析： cos 20 cos385 cos 70 sin155
cos 20 cos 360 25 cos 90 20 sin 180 25 cos 20 cos 25 sin 20 sin 25
cos 20 2 25 cos 45 ．故选：B．
2
下面讨论常见的三类应用
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊
角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三
角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
3π , 3π , π, 3π , cos π 39
π 5
例 ．（给值求值）已知 ,sin

，则
4 2 2 4 5 4 13
sin( )的值为（ ）
16 16 56 56
A． B． C． D．
65 65 65 65
解析： sin( ) cos(
π
) cos[( π π ) ( )] cos( π )cos( π ) π π sin( )sin( )， 2 4 4 4 4 4 4
3π , 3π π π因为 ，所以 ,
5π π
，则 在第二或第三象限，
4 2 4 2 4 4
π
cos( π 3 ) cos 5π 2因为 4 5 ，当 在第三象限时，由于 ， 4 4 2
y cos x x 3π 3 2 π π 5π又 在 π, 上递增，且 ，所以当 在第三象限时， ，与 2 5 2 4 4 4
π π 5π , π π 3 π 4 矛盾，所以 在第二象限，因为 cos( ) ，所以 sin( ) 2 4 4 4 4 5 4 5
．
3π
因为
π 3π 5π π
π, ，所以 , ，则 cos( ) 0．因为 sin(
π
) 5
2 4 4 4 4 4 13
，所以

cos( π ) 12 cos( π )cos( π π π 3 12 4 5 16 ．所以 ) sin( )sin( ) ( ) 4 13 4 4 4 4 5 13 5 13 65 ，
sin( ) 16即 ．故选：A．
65
π 3
例 10 5 10

．（给值求角）若 sin 2 ， sin ，且 , π ， π, π ，则5 10 4 2
（ ）
7π 9 4π 5π
A． B． C． D．
4 4 3 3
sin , cos π , π π π解析： sin 2 2sin cos 0， 符号相同，又 ， , ， 4 4 2
2 π , π sin2 5 cos 2 2 5
3π
，由 可得 ，又 π, ，
π 5π
, ，
2 5 5 2

2 4
10 π , π sin 0 3 10，所以 2 ， cos ， 10 10
cos cos 2 cos 2 cos sin 2 sin
2 5 3 10 5 10 2 π π 3π 5π
，由 , ， π, ，得
, 2π ，
5 10 5 10 2 4 2 2 4
7π ，故选：A．
4
例 11．（给值求角）已知 , 0, π tan 1，且 ， tan 1 ，则 2 的值___________
3 7
1 1
tan tan
解析： tan tan[( ) ]
1
3 7
1 tan ， tan 1 1 1 2
3 7
1 1
tan tan
tan(2 ) tan[( ) ] 3 21 1 1 ， 1 tan tan 1
3 2
tan 1 1, 0 π ， tan
1 1, π π π π 0 ， 2 ， 2 .
2 4 7 4 4 2 4
π
故答案为： .
4
, 例 12．已知 0,
π
， cos( )
1
， sin(
3
) ，则 cos 2 ___________
2 2 5
解析：因为 ,
π π
0, ，所以 0, π ，若 cos
1
，则 , π ，
2 2 2
2 3 , 0,
π π π , 所以 sin 1 cos ，因为 ，所以 ，若
2 2 2 2


sin 3 π 0, 2 4，则
5 2
，所有 cos 1 sin ，故
5
cos 2 cos cos cos sin sin
1 4 3 3 4 3 3 . 4 3 3 故答案为： .
2 5 2 5 10 10
注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函
数，若角的范围是 (0, ) ，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是 (0, ) ，则选余弦函数较
2

好；若角的范围为 ( , )，则选正弦函数较好．
2 2
五．辅助角公式
辅助角公式:形如 a sin bcos , (a,b不同时为零)的式子可做如下变换:
a sin bcos a2 a b b2 ( sin cos ) --------(1)
a2 b2 a2 b2
a
令 cos ,sin b
a2 b2 a2 b2
(1) = a2 b2式 (cos sin sin cos ) a2 b2 sin( ) b,其中 tan .
a
例 13．已知函数 f (x) 2 3 cos2 x 2sin x cos x 3 .
x π （1）当 0, 时，求 f (x) 的取值范围； 2
8 12
（2）若锐角 ， 满足 f ( ) cos( ) sin . 2 6 5 ， ，求13
解析：（1） f (x) 2 3 cos2 x 2sin x cos x 3 sin 2x 3 cos2x 2sin(2x
π
) ,
3
π π 4π π 3
因为 x [0,

] 2x ，则
2 3
, ，所以 sin 2x ,1 ，所以 f (x) [ 3,2] .
3 3 3 2
π π π 8
（2）由第（1）问知 f 2sin 2
4
2 6 2 6

3
，所以 sin = ，
5 5
π
因为 (0, )
3
，所以 cos ，因为 ， 为锐角，所以 0, π ，因为
2 5
cos( ) 12 sin( ) 5 ，所以 ，所以
13 13
sin sin[( ) ] sin( ) cos cos( )sin
5 3 12 4 63
.
13 5 13 5 65
例 14．已知函数 f x 2sin x 4cos x在 x 处取得最大值，则 cos （ ）
2 5 5 5 2 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
解析：因为 f x 2sin x 4cos x 2 5 sin x ，其中
sin 4 2 , cos 2 1 ，当 x 时， f x 取得最大值，
2 5 5 2 5 5
π 2kπ, k Z π即 ，所以 2kπ, k Z ，所以
2 2
cos cos π 2kπ

sin
2 2 5
故选：A
2 5 5
六．和差化积与积化和差公式
一．基本原理
1.公式汇编与 证明:
cos cos 1 [cos( ) cos( )] sin sin 1 ； [cos( ) cos( )]；
2 2
sin cos 1 [sin( 1 ) sin( )]； cos sin [sin( ) sin( )].
2 2
证明：由 cos( ) cos cos sin sin ， cos( ) cos cos sin sin ，得
cos cos 1 [cos( ) cos( )].
2
也可利用单位圆予以证明：
1
证明：线段 AB 的中点 M 的坐标为 (cos cos ),
1 (sin sin ) .过点 M 作MM2 2 1
垂直于

1 1
x 轴，交 x 轴于M1，如图，则 MOM1 ( ) ( ) .在Rt OMA中，2 2
OM OAcos cos .
2 2
在Rt OM1M 中，OM1 OM cos MOM1 cos
cos .
2 2
M1M OM sin MOM1 sin
cos
2 2
2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式
（1）平方差公式：
sin2 x sin2 y (sin x sin y)(sin x sin y) 2sin x y cos x y 2cos x y sin x y

2 2 2 2
2sin x y cos x y 2sin x y cos x y sin(x y)sin(x y),
2 2 2 2
即 sin2 x sin2 y sin(x y)sin(x y)
cos cos
（2） tan

sin sin 2
2sin sin sin
2 2 2 证明：左边
2sin

cos cos
tan tan 右边，所以原式
2 2
2 2 2
得证.
3 利用和差化积公式解决抽象函数
（1）将上述公式予以抽象，若令 f (x) cos x，则上述积化和差公式可进一步抽象得：
f (x y) f (x y) 2 f (x) f (y)
（2）若令 f (x) Acos x ，则有 f (x y) f (x y) 2Acos x cos y 2 f (x) f (y)
A

2
（3）进一步，倘若令 ，那么上述和差化积公式可以表示为：
2
cos cos 2cos cos ，抽象为： f (x) f (y) 2Af ( x y ) f ( x y )
2 2 2 2
（4）若令 f (x) Acos(x t)，那么：
f (x y) f (x y) Acos(x t y) Acos(x t y) 2Acos(x t) cos y
则有： f (x y) f (x y) 2Af (x) cos y
综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型；
①. f (x) Acos x f (x 2 y) f (x y) f (x) f (y)
A
②. f (x) Acos x f (x) f (y) 2 f ( x y ) f ( x y )
A 2 2
③. f (x) Acos(x t) f (x y) f (x y) 2 f (x) cos y
二．典例分析
★应用 1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简
例 1．如图，在平面直角坐标系中，以OA为始边，角 与 的终边分别与单位圆相交于 E, F
两点，且

0,
π π
, , π ,
1
若直线 EF 的斜率为 ，则 sin( ) （ ）
2 2 3
3 3 4 4
A．- B． C． D．
5 5 5 5
解析：由题意可设 E(cos ,sin )， F (cos ,sin )，则直线 EF 的斜率

k sin sin
2cos sin
2 2 1 1 ，所以 tan 3， cos cos 2sin sin tan 3 2
2 2 2
2sin cos 2 tan
所以 sin( ) 2 2 2
3
sin2 cos2
．故选：A．
1 tan2 5
2 2 2
cos cos 12 sin sin 5例 2．已知 ， ，则 tan 的值为（ ）
13 13
119 120 119 120
A． B． C． D．
120 119 120 119
解析：由和差化积公式，得 cos cos 2 cos
cos 12 ，
2 2 13
sin sin 2 cos sin 5 5 ，两式相除，所以 tan .
2 2 13 2 12
2tan

tan tan 2 2 120所以 .故选：B． 2 1 tan2 119
2
π
例 3．如图所示，已知角 , 0 的始边为 x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交
2
点分别为 A, B, M 为线段 AB 的中点，射线OM 与单位圆交于点C ，则（ ）
A． AOC


2

B．OA OC cos

2
C．当VAOB 3 1面积为 时，点M 在圆 x2 y2 上运动
4 2

D．点M 的坐标为 cos cos ,sin cos2 2 2 2
解析：由已知，得 AOx , BOx ，则 AOB ，依题意M 为 AB 的中点，则
AOC 1 AOB ，故 A 正确；
2 2
A cos ,sin C

由题意，得 ， cos ,sin ，则OA cos ,sin ，
2 2

OC cos ,sin ，所以
2 2

OA OC cos cos sin sin cos cos ，故 B 正确；
2 2 2 2
由题意可得 A cos ,sin ， B cos ,sin ，因M 为 AB 的中点，则
M cos cos , sin sin ，其中0

，因
2 2 2
cos cos cos cos , sin sin sin cos
2 2 2 2 2 2
M 故 cos
cos ,sin cos ，故 D 正确；
2 2 2 2
S 1 OA OB sin AOB 1 sin 3 sin 3
1
由 AOB ，则 ， cos ， 2 2 2 4 2 2 2 2
设M x, y ，则 2x cos , 2y sin 2 2 1，将两式平方相加得 4x2 4y2 1，即 x y ，
2 2 4
x2 y2 1即点M 在园 上运动，故 C 错误.故选：ABD
4
例 4．已知函数 f x sin 3x sin 2x，则（ ）
A． f x 的一个周期为 2π B． f x 的图像关于 (π,0) 中心对称
C． f x 的最大值为 2 D． f x 在 (0,2π)上的所有零点之和为5π
解析：对于 A， f (x 2π)=sin(3x 6π) sin(2x 4π) sin 3x sin 2x f (x)，所以 A 正确；
对于 B， f (2π x) sin(6π 3x) sin(4π 2x) sin 3x sin 2x f (x)，所以 B 正确；
对于 C，若最大值为 2，则 sin3x 1， sin2x 1，
当3x 2kπ
π 2kπ π
， k Z，此时 x ， k Z， sin 2x 1，故 C 不正确；
2 3 6
对于 D， f x sin3x sin2x 5 1 sin x x
sin 5 x 1 x 5 1 2cos x sin x，
2 2 2 2 2 2
令 f x 0得 cos 5 x sin 1 x 0 sin 1 ，所以 x 0或 cos 5 x 0 ，又 x 0, 2π ，
2 2 2 2
5 x π 5 x 3π 5 x 5π 5 x 7π 5 x 9π π 3π所以 或 或 或 或 ，解得 x 或 x 或 x π 或
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5
x 7π 9π 或 x ，即 f x 所有零点之和为5π ，故 D 正确.故选：ABD
5 5
★应用 2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数
例 5.（2022 新高考 2 卷）
22
已知函数 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x y) f (x y) f (x) f (y), f (1) 1，则 f (k)
k 1
A. 3 B. 2 C.0 D.1

解析：方法 1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数 f (x) 2cos x ，则 f (x) 满足题
3
意. 于是， f (x) 周期为6，且 f (1) 1, f (2) 1, f (3) 2, f (4) 1, f (5) 1, f (6) 2，
22
进一步 f (k) f (1) f (2) f (3) f (4) 3，故选 A.
k 1
方法 2.因为 f x y f x y f x f y ，令 x 1, y 0可得， 2 f 1 f 1 f 0 ，所以
f 0 2 ，令 x 0可得， f y f y 2 f y ，即 f y f y ，所以函数 f x 为偶函数，
令 y 1得， f x 1 f x 1 f x f 1 f x ，即有 f x 2 f x f x 1 ，从而可
知 f x 2 f x 1 ， f x 1 f x 4 ，故 f x 2 f x 4 ，即 f x f x 6 ，
所以函数 f x 的一个周期为6．因为 f 2 f 1 f 0 1 2 1，
f 3 f 2 f 1 1 1 2， f 4 f 2 f 2 1， f 5 f 1 f 1 1，
f 6 f 0 2 ，所以一个周期内的 f 1 f 2 f 6 0．由于 22 除以 6 余 4，
22
所以 f k f 1 f 2 f 3 f 4 1 1 2 1 3．故选：A．
k 1
例 6．已知函数 y f x 对任意实数 x ， y 都满足 2 f x f y f x y f x y ，且
f 1 1，则（ ）
A． f x 是偶函数 B． f x 是奇函数
2023
C． f x f 1 x 0 D． f k 1
k 1
解析：（方法 1.函数模型）由①，构造 f (x) cos x，易得结果选 AC.
（方法 2.赋值分析）：在 2 f x f y f x y f x y 中，
令 x 1, y 0，可得 2 f 1 f 0 2 f 1 ，即 2 f 0 2，解得 f 0 1 0，故 B 错误；
令 x 0可得 2 f 0 f y f y f y ,即 f y f y ，故函数 f y 是偶函数，即 f x
是偶函数,故 A 正确；
1
令 x y ，则 2 f 2
1
f 1
1
f 0 0 ，故 f
2 2
0，
2
令 x
1
2 f
1
，可得 f y f
1 y f
1
y
0
2 2 2 ,故
f x f 1 x 0，故 C 正确；
2
因为 f x 是偶函数，所以 f x =f x ，故 f x f 1 x 0 ,即 f x f 1 x 0，
所以 f x 1 f 2 x 0 ,所以 f x 2 f x ，故函数 f x 的周期为 2，
因为 f 1 f 0 0， f 1 1，所以 f 1 f 2 f 1 f 0 0， f 2023 f 1 1.
2023
所以 f k f 1 f 2 f 2023 f 2023 f 1 1，故 D 错误.故选：AC.
k 1
例 7．已知定义域为R 的函数 f x 对任意实数 x 、 y 满足 f x y f x y 2 f x cosy，
f 0 0 f π 且 ， 1．其中正确的是（ ）
2
f π 1A． B． f x 为奇函数
4 2
C． f x 为周期函数 D． f x 在 (0, π) 内单调递减
解析：（方法 1.函数模型）由③，构造 f (x) Acos(x t)，且 f 0 0， f π 2 1，易
Acos t 0 t


得结果： 2 f (x) cos(x ) sin x ,故选：BC
Asin t 1 A 1 2
（方法 2.赋值分析）：
π
对于 A，令 x y
π
，得 f f 0 2 f
π
cos
π
，因为 f 0 0， f π 1， 4 2 4 4 2
所以1 2 f
π π 2
，所以 f ，所以 A 错误，
4 4 2
对于 B，令 x 0，则 f y f y 2 f 0 cosy，因为 f 0 0，所以 f y f y 0，
所以 f x 为奇函数，所以 B 正确，
π
对于 C，令 y ，则 f

x
π π π π π
f x 2 f x cos 0，所以 f

2 2 2 2
x f x ，
2 2
f x 3π π所以

f

x

，所以 f
x 3π π

2 2 2
f x ，所以 f x 2π f x ，
2
所以 f x 的周期为 2π，所以 C 正确，
π
对于 D，因为 f 0 0， f 1 f
π 2
， ， f x 的周期为 2π，
2 4 2
f 3π f π f π 1 3π f 3π f 0 2 f 3π 3π所以 2 2 ，令 x y ，则2 4
cos ，所
2 4 4
1 2 f 3π f 3π 2 f 3π f π 2以 ，得 ，所以
4 4 2 4
，所以 f x 在 (0, π) 上不单
4 2
调，所以 D 错误，故选：BC
例 8．已知函数 f x 的定义域为R ，且 f (x y) f (x y) f 2 (x) f 2 (y), f (1) 1, f (2) 0，
则下列说法中正确的是（ ）
2023
A． f (x) 为偶函数 B． f (3) 1 C． f ( 1) f (5) D． f (k) 1
k 1
解析：方法一：由于 sin2 A sin2 B sin(A B)sin(A B)．
由题意，可以令 f (x) sin
π x ，因为 f (x) sin
π x 为奇函数，故选项 A 错误．
2 2
因为 f (3) 1，故选项 B 正确．因为 f ( 1) 1 f (5)，故选项 C 正确．
2023
因为T 4,2023 4 505 3，故 f (k) f (1) f (2) f (3) 0，故选项 D 错误．
k 1
方法二：对于选项 A，因为 f (x) 的定义域为 ，令 x y 0 ，则 f (0) f (0) f 2 (0) f 2 (0)，
故 f 2(0) 0 ，则 f (0) 0，令 x 0，则 f (y) f ( y) f 2 (0) f 2 (y) ，
又 f (y) 不恒为 0，故 f ( y) f (y)，所以 f (x) 为奇函数，故 A 错误．
对于选项 B，令 x 2, y 1，则 f (3) f (1) f 2 (2) f 2 (1)．而 f (1) 1, f (2) 0，所以
f (3) 1，故选项 B 正确．
对于选项 C，由选项 B 可知， f (3) 1，令 x 3, y 2，则 f (5) f (1) f 2 (3) f 2 (2) ，所以
f (5) 1．又因为 f (x) 为奇函数，所以 f ( 1) f (1) 1，故 C 正确．
对于选项 D，由选项 B 以及 f (x 2) f (x 2) f 2 (x)，可得 f (7) 1, f (9) 1, f (11) 1，
所以 f (2k 1) ( 1)k ，同理可得 f (2k) 0．因为 2023 4 505 3，故
2023
f (k) f (1) f (2) f (3) 0，故 D 错误．故选：BC
k 1
七．二次函数型
（1）把形如 y a sin 2 x bsin x c 2或 y a cos x bcos x c的三角函数最值问题看成
与 sin x 或 cos x 2有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为 y a(sin x m) n或
y a(cos x m)2 n ，最后根据已知变量的范围求最值.
（2） f (x) a cos 2x bcos x 或 f (x) a cos 2x bsin x .
对于 f (x) a cos 2x bcos x ,由二倍角公式 cos 2x 2cos2 x 1 ,得
f (x) 2a cos2 x bcos x a ,令 t cos x [ 1,1] ,则问题转化为关于 t 的二次函数问题.
类似地,对于 f (x) a cos 2x bsin x , 2用二倍角公式 cos 2x 1 2sin x ,使其转化为二次
函数问题.
例 16．函数 y sin2
3π
x 2 2 cos x 的定义域为 ,
3
，值域为 , 2 2 ，则 α 的取值范 4 2
围是（　　）

A． 0,
3π
B． [0, π] 4
C
π π
． ,0
D ． , π
4 2
解析：由 y sin2 x 2 2 cos x 1 cos2 x 2 2 cos x (cos x 2)2 3，令 t cos x，得：
y (t 2)2 3，二次函数开口向下，对称轴为 t 2 1，因为 t cos x 1，所以函数为
2 3
递增函数，因为当 t cos( 3π )时， y ，当 t 1时， y 2 2 ，所以
2 4 2
2
t 1，即 x [
3π
, ]时， cos x
2 ,1 3 ，使函数的值域为 , 2 2

，所以由余
2 4 2

2
3π 3π
弦函数图象与性质可知，0 ，所以 的取值范围是： 0， ．故选：A 4 4
八.和差与乘积结合型函数
如求三角函数 y sin x cos x a sin x cos x b的最值，可将 sin x cos x 看作 t ，则原函
2
y t a(t 1)数可变形为 b ，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.
2
例 17．已知函数 f x sin x cos x 2sin x cos x 2，则 f x 的最大值为（ ）．
A．3 2 B．3 2 C． 2 2 D． 2 2
解析： f x sin x cos x 2sin x cos x 2 sin x cos x sin x cos x 2 1 2 ，

令 t sin x cos x 2
2 sin x 2 cos x 2 sin x 2, 2 ，
2 2 4
2
即 f x g t t 2 1 t 1 t 3 ，由 t 2, 2 ，则
2 4
g t g 2 2 2 1 3 2max .故选：A.
九．三倍角公式：
sin 3 3sin 4sin3
cos3 3cos 4cos3
例 18．函数 f x sin 3x 3sin x 的值域为____________．
解析： f x sin 3x 3sin x sin x 2x 3sin x sin x cos 2x cos x sin 2x 3sin x
sin x 1 2sin2 x 2sin x cos2 x 3sin x 2sin3 x sin x 2sin x 1 sin2 x 3sin x
4sin3 x 6sin x ，设 t sin x ， t 1,1 ，则 y g t 4t3 6t ，
g t 12t 2 6 g t 0 t 2
2
，令 ，解得 ，所以函数 g t 在 1, 上单调递减，在
2 2
2 2
,
2 2
上单调递增，在 ,1 上单调递减，又 g 1 2， g 2 2 ，
2 2

2 2
2 g 2 2 ， g 1 2 ，所以值域为 2 2,2 2 .
2
十．其他
例 19. cos 20 cos 40 cos80 .
解析：

cos 20 cos 40 cos80 sin 20 cos 20 cos 40
cos80 sin 40 cos 40 cos80

sin 20

2sin 20
sin80

cos80 sin160 sin 180 20 sin 20 1

4sin 20 8sin 20 8sin 20 8sin 20 8 .
1 cos 20 1
例 20.（1） sin10 ( tan 5 )；
2sin 20 tan 5
cos 40
（2） .
cos 25 1 sin 40
1 cos 20 sin10 ( 1 tan 5 ) 2cos
2 10 sin10 (cos5 sin 5 解析：（1） )
2sin 20 tan 5 4sin10 cos10 sin 5 cos5
cos10 2sin10 cos 5 sin
2 5 cos10
sin10 cos10
2sin10 sin 5 cos5 2sin10 1 sin10
2
cos10 cos10 2sin 20 cos10 2sin(30 10 )
2cos10
2sin10 2sin10 2sin10
cos10 2sin 30 cos10 2cos30 sin10 3
.
2sin10 2
cos 40 cos 40 cos 40
（2）
cos 25 1 sin 40 cos 25 1 cos50 cos 25 2sin2 25
cos 40 2 cos 40 2 cos 40
2 .
2 cos 25 sin 25 sin 50 cos 40
习题演练
sin 1 sin 2 1．若 tan 2 ，则 （ ）
sin cos
6 2 2 6
A． B． C． D．
5 5 5 5
解析：将式子进行齐次化处理得：
sin 1 sin 2 sin sin2 cos2 2sin cos
sin sin cos
sin cos sin cos
sin sin cos tan2 tan 4 2 2

sin2 2
2 ．故选：C． cos 1 tan 1 4 5
cos
2．若 0,

2
, tan 2 ，则 tan （ ）
2 sin
A 15 5． B． C 5． D 15．
15 5 3 3
tan 2 cos tan 2 sin 2 2sin cos cos 解析： 2 ，

0,

，
2 sin cos 2 1 2sin 2 sin 2
2sin 1 sin 1 cos 0， 2
15
，解得 ， 2 ，
1 2sin 2 sin 4 cos 1 sin 4
sin 15
tan .故选：A.
cos 15
1 1
3．已知 sin ,cos sin ，则 cos 2 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
解析：因为 sin( ) sin cos cos sin
1
cos sin 1 1，而 ，因此 sin cos ，
3 6 2
则 sin( ) sin cos cos sin
2
，
3
cos(2 2 ) 2 1所以 cos 2( ) 1 2sin2 ( ) 1 2 ( )2 .故选：B
3 9
4．已知 (0, π)，且3cos2 8cos 5，则 sin （ ）
A 5 B 2
1
． ． 3 C． D
5
．
3 3 9
解析：3cos2 8cos 5，得6cos2 8cos 8 0，
2
即3cos2 4cos 4 0，解得 cos 或 cos 2（舍去），又3
(0, ), sin 1 cos2 5 .故选：A.
3
5．若函数 f x 3sin2x 3sin2x cos2x 在 a, a 上为增函数，则实数 a的取值范围为
（ ）
π
A． 0, B． 0,
π π , π π π C． D． ,
3 6 6 3 6 2
解析： f x 3sin2x 3sin2x cos2x 3sin2x 2sin2x 1 3sin2x cos2x 2
2sin 2x π 2 π 2kπ 2x π π 2kπ, k Z π kπ x π ，令 ，得 kπ，∴6 3 函数
f x
6 2 6 2
π
在 kπ,
π
kπ ， k Z单调递增，由题知 f (x) 在 a，a 上单调递增，∵ 0 a, a ，
6 3
π
a
6
π π∴ a ，解得 a 0, .故选：B.
3 6
a a

6 f x sin ．已知 x cos x
1
sin 2x 3 .求 f x 的单调递增区间.
3 2 3 4

解析：化简得 f (x) cos x
1 3 1 1
sin x cos x sin 2x
3
cos 2x 3
2 2 2

2 2 4
1 sin 2x 3 1 cos2x 1
1 3
sin 2x 3 cos2x 3 sin 2x cos2x sin 2x

， 4 2 2 4 4 4 2 2 3
2k 令 2x

2k ， k Z，解得 k
5 x ， k Z
2 3 2 12 12
5
所以单调递增区间为 k , k

， k Z .
12 12
7．当 x 时，函数 f (x) 2sin x cos x 取得最小值，则 sin

．
3
2 1
解析：由函数 f (x) 2sinx cos x 5 sin(x )，其中 cos ,sin ，且 为锐角，
5 5
当 x 时，函数取得最小值，所以 5 sin( ) 5 ，即 sin( ) 1，
cos( ) 0 3 所以 ，令 ，即
3
，
2 2
故 sin( ) sin(3 ) cos( ) 1 cos 3 sin
3 2 3 3 2 2
1 2 3 1 2 5 15
.
2 5 2 5 10
x x f x sinx 2cosx tan x 3 8．当 0时，函数 取得最大值，则 0 .
4
解析：利用辅助角公式 f x sin x 2cos x 5 sin x ，其中 tan 2当 x x0时，函数
f x 取得最大值，则 x0

2k k Z ，所以 x 0 2k k Z ，所以2 2
sin 3
tan x 3 3 0 tan
2k tan 3 4 2
4 2 4 4 2 cos 3
4 2
cos 3
4 1 tan 3 tan 1 2 1 1 又 3 3 ，所以
sin tan 4 1 tan 1 2 3 4 4
tan 3 x0 3故答案为： 3 .
4
9 2．已知函数 f x 2sin x cos x 2 3 cos x 3 ．
（1）求函数 f x 的单调增区间；
2
π
（ ）函数在区间 0, 2 上的最大值和最小值．
1 f x 2sin x cos x 2 3 cos2 x 3 sin 2x 3 cos 2x 2sin 解析：（ ） 2x
π
，
3
π
则由 2kπ 2x
π π 5π π
2kπ,k Z ，得 kπ x kπ,k Z，
2 3 2 12 12
f x 5π kπ, π 所以函数 的单调递增区间为 kπ , k Z 12 12
0 x π π 2x π 4π2 3 sin 2x π （ ）因为 ，所以 ，所以 1，
2 3 3 3 2 3
3 2sin 2x π所以
π 4π π
3
2，所以当 2x ，即 x 时， f x 取的最小值 3 ，
3 3 2
2x π π当 ，即 x
π
时， f x 取的最大值 2；
3 2 12

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