资源简介

(共46张PPT)
综合与实践
命题点 2025 2024 2023 2022 2021
综合与实
践 题21，9分 题21，9分 题20，9分
年级 人教版新教材综合与实践 北师大版新教材综合与实
践
七上 进位制的认识与探究 设计学校田径运动会比赛场地 关注人口老龄化
制作一个尽可能大的无盖
长方体形收纳盒
七下 低碳生活 白昼时长规律的探究 设计自己的运算程序
制作万花筒
八上 确定匀质薄板的重心位置 最短路径问题 哪个城市夏天更热
神奇的加密术
八下 音乐与数学 学生体质健康调查与分析 开展垃圾处理宣传活动
设计美丽的镶嵌图案
九上 高铁列车运行中的数量关系 生活中的优化问题 猜想、证明与拓广
池塘里有多少条鱼
九下 停车位设计问题 建筑中的数学 制作遮阳篷模型
制作视力表
综合与实践之跨学科融合
1． (2025东莞市模拟)综合与实践
【主题】探究电流表读数的最小值
【素材】如图1所示电路图中，电源电压为6 V，电阻R1＝3 Ω，R2
＝5 Ω，滑动变阻器RP的最大电阻为10 Ω.
【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论：①串联电路
的总电阻等于各串联电阻之和；②并联电路总电阻的倒数等于各并联电
阻的倒数之和；③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系．
【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，RPa与
RPb分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即RPa＋RPb＝RP＝10
Ω，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设RPa＝x Ω.
【实践探索】(1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的
总电阻为多少？
解：(1) ＝ + ＝ + ＝ (Ω)．
∴电路中的总电阻为 Ω.
(2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值．
(2)∵I＝ ， ＝ + ，
∴R＝ (－x2＋12x＋45)＝－ (x－6)2＋ .
∵0≤x≤10，－ ＜0，∴当x＝6时，R有最大值 .
∴I＝ ＝ ＝ A ．
∴当x＝6时，电流表读数最小，最小值为 A．
综合与实践之几何图形操作探究
2． (2025广东省模拟)综合与实践
【主题】用竹棒搭建鲁班桥
【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的
力来维持稳固，是我国古代劳动人民智慧的结晶．
【素材】宽为3 cm的长方体竹棒、底面圆直径为2 cm的圆柱竹棒各
若干、尺子、小刀等．
【实践操作】步骤1：如图1，长方体竹棒上下共刻出3个半径为1
cm的半圆凹槽，圆心分别为O1，O2，O3，其中O1是竹棒中点，O2，
O3到竹棒两端的距离均为2 cm；
步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图
2，以此类推重复拼搭即可搭建出如图3的鲁班桥．
【实践探索】(1)步骤2图2中，3个长方体竹棒搭建，A，B为竹棒
与地面的交点，若竹棒长22 cm，跨度为32 cm，则凹槽圆心O1到AB的
距离为多少？
解：(1)如图，
作O1M⊥AB于点M.
由题意，得O1A＝O1B＝22－2＝20(cm)，
AB＝32 cm.
∵O1M⊥AB，∴AM＝BM＝ AB＝16 cm，∠AMO1＝90°.∴O1M
＝ ＝ ＝12(cm)．
答：凹槽圆心O1到AB的距离为12 cm.
(2)将鲁班桥首尾相连绕成环，图4为其侧面示意图，形状为两个完
全相同的正方形，则需要准备长方体竹棒的长为多少厘米？
(2)如图，作O1N⊥CE于点N.
由题意，得O1C＝O1E，∠CO1E＝90°.
∴△CO1E是等腰直角三角形，∠O1CE＝45°.
∵O1N⊥CE，长方体竹棒的宽为3 cm，
∴∠O1NC＝90°，O1N＝3 cm.
∴△O1NC是等腰直角三角形，CN＝O1N＝3 cm，O1C＝ ＝
N＝3 cm.
由条件可知四边形O1CO2D是平行四边形．
∵长方体竹棒的宽度相等，
∴平行四边形O1CO2D每条边上的高相等．
∴平行四边形O1CO2D每条边相等．
∴平行四边形O1CO2D是菱形．∴O2C＝O1C＝3 cm.
由中点性质可知长方体竹棒的长为2×(O2C＋CN＋2)＝2×(3
+3+2)＝(6 +10)cm.
答：需要准备长方体竹棒的长为(6 +10)cm.
1． (2025广东)综合与实践
【阅读材料】如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长
分别为a，b，c，则有 ＝ ＝ .这是解三角形的重要结论，
可用于解决实际问题．
【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某
综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中
A，B两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，
该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平
面高度)．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，
∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m，
AC≈388.5 m．
【问题解决】(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间
的距离．(参考数据： sin 43°≈0.682， sin 51°≈0.777， sin
86°≈0.998)
解：(1)∵∠A≈43°，∠B≈51°，∴∠C＝180°－∠A－∠B≈180°－
43°－51°＝86°.
由【阅读材料】知， ＝ .∴ ＝ .
∵AC≈388.5， sin 51°≈0.777， sin 86°≈0.998，∴AB＝
≈ ＝499(米)．
答：A，B两岛间的距离约499米．
【评价反思】(2)设计其他方案计算A，B两岛间的距离．要求：选
用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
(2)测量方案一：
①如答图1，在空地上找一点D，利用测角仪多次测得∠D≈90°；
②利用测距仪多次测量并取平均值，测出BD，AD长度；
③用勾股定理求出A，B两岛的距离．
测量方案二：
①如答图2，在空地上找一点E；
②利用测距仪多次测量并取平均值，测出AE，BE长度；
③延长AE至A′，延长BE至B′，利用测距仪多次测量并取平均
值，测出A′E＝ AE，B′E＝ BE(n为正整数)；
④利用测距仪多次测量并取平均值，测出A′B′；
⑤用三角形相似求出A，B两岛的距离．
2． (2024广东)
综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用
你所学的数学知识说明．
解：(1)能．理由如下：
∵表面贴紧的两个圆锥侧面展开图的圆心角相等，
∴表面是否贴紧只需要考虑展开图的圆心角是否相等．
由题可知，围成的圆锥展开图是半圆，其圆心角为180°.
∵漏斗的底面周长为7π cm，∴ ＝7π.∴n＝180.∴漏斗的侧面展开图扇形的圆心角为180°.
∴圆心角相等，该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥的体积．(结果保留π)
(2)设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为r cm，高为h cm.
根据题意，得2πr＝ .解得r＝ .
∴h＝ ＝ .
∴圆锥的体积为 πr2h＝ π× × ＝ π(cm3)．
3． (2023广东)综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正
方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折
成无盖正方体纸盒．
猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系；
解：(1)∠ABC＝∠A1B1C1.
(2)证明(1)中你发现的结论．
解：(2)∵A1B1为正方形对角
线，∴∠A1B1C1＝45°.
如图，连接AC．
设每个方格的边长为1，则AB＝ ＝ ，
AC＝BC＝ ＝ .
∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°.∴∠ABC＝∠A1B1C1.
1． 跨学科(2025兰州)综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物
种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的
问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓
度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以
借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓
度x(标准单位)为自变量，种子的发芽率y(%)为因变量，进行“生长素
浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度 x/标准单位 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y/% 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在
平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种
子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该
函数的表达式；
解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数．
设该二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
将(0，35)，(1，56)，(2，63)代入，得
解得
∴该二次函数的解析式为y＝－7x2＋28x＋35.
(2)请计算抑．制．种子发芽时的生长素浓度范围．
(2)当x＝0时，y＝35.∴种子自然发芽率为35.
当y＝35时，－7x2＋28x＋35＝35.解得x1＝0，x2＝4.
当y＝0时，－7x2＋28x＋35＝0.解得x3＝－1(舍去)，x4＝5.
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为42． (2025山西)项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外
栏墙与内栏墙，
外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水
清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践
小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活
动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活
动
过
程 方
案
说
明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平
行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一
条直线上．
活
动
过
程 方
案
说
明 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别
交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE＝
DF. BE，CF均表示步道的宽，BE＝CF. 图中各点都在同一
竖直平面内
活动过程 数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 …
交流展示 …
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长．(结果精确
到1米，参考数据： sin 8.5°≈0.15， cos 8.5°≈0.99，tan 8.5°≈0.15，
sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
解：由题意得EF＝AD＝26米，AD∥EF.
∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°.
设BE＝CF＝x米，则CE＝EF－CF＝(26－x)米，BC＝EF－
CF－BE＝(26－2x)米．
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，tan ∠ABE＝ ，∴AE＝BE·tan
∠ABE＝x·tan 37°.
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tan ∠ACE＝ ，
∴AE＝CE·tan ∠ACE＝(26－x)·tan 8.5°.
∴x·tan 37°＝(26－x)·tan 8.5°.解得x≈ .
∴BC＝26－2× ≈17(米)．
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
3． 跨学科(2025中山市三模)综合与实践
【主题】曲轴连杆机构的运动分析与设计
【素材】在某小型发动机的机构中，曲轴连杆的工作原理如图1所
示：O为连杆轴，B为圆柱形气缸中活塞的圆心，直线OB平行于气缸
内壁，连杆OA在活塞的带动下绕O轴匀速转动，连杆AB拖动活塞做
往复运动．连杆OA长6 cm，连杆AB长12 cm.
【实践操作】
模拟曲轴连杆机构的运动过程，研究不同位置下连杆与活塞的
关系．
【实践探索】
(1)活塞在气缸内最大移动的距离是 cm；
12
(2)点C为直线OB与⊙O的交点，当连杆OA从OC位置按顺时针方
向旋转120°时，求活塞移动的距离；(计算结果保留根号)
解：(2)如图所示，过A作AH⊥OB于H.
当连杆OA从OC位置按顺时针方向旋转120°时，∠AOC＝120°.
∴∠AOB＝60°.∴∠OAH＝30°.∴OH＝ OA＝3 cm.
∴AH＝ ＝3 (cm)．∴BH＝ ＝3
(cm)．
∴OB＝OH＋BH＝(3+3 )cm.∴BD＝OB－OD＝3＋3 －6＝(3 -3)cm.
∵CD＝12 cm，AB＝12 cm，∴当连杆OA在OC位置时，活塞在点D处．
∴当连杆OA从OC位置按顺时针方向旋转120°时，活塞从点D处
移到点B处．
∴活塞移动的距离是(3 -3)cm.
(3)如图2，发动机气缸底部开口EF的宽度为10 cm(与活塞直径相
等)，开口圆心为P，曲轴支点O位于气缸外部．当连杆支点A进入气
缸内部时，需满足点A到气缸内壁的距离至少为1 cm，且活塞运动时不
能脱离气缸．请确定满足条件时O，P之间距离的取值范围．(结果保
留一位小数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
(3)∵P为EF的中点，∴PE＝ EF＝5 cm.
当点A在EF上时，点A进入气缸内部，且离气缸内壁最近，此时
AE≥1 cm.∴AP≤5－1＝4(cm)．
∵OP⊥EF，∴∠OPA＝90°.
当AP＝4 cm时，OP＝ ＝2 ≈4.5(cm)，∴OP≥4.5
cm.
当点A与点C重合时，AB－CP≥0，∴12－(6＋OP)≥0.
∴OP≤6 cm.∴4.5 cm≤OP≤6 cm.

展开更多......

收起↑