资源简介

2025———2026 学年第二学期期中考试
高一数学试卷参考答案
一、单选题
1 - 4 ACBD　 　 　 　 5 - 8 CDCB
二、多选题
9. ACD 10. AD　 　 　 　 11. BCD
三、填空题
12. 8 + 4 2 　 　 　 　 13. 49　 　 　 　 14. [2 6 ,31)
5
四、解答题
15. 解:(1) 设圆锥底面半径为 r,圆柱底面半径为 r′,
因为过 PO 的中点 O′ 作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,
r = a可得 ,r′ = a , ……2 分
2 4
a
且圆柱母线长 l′ = , ……3 分
2
∴ 　 :S = 2πr′2 + 2πr′l′ = 2π·( a ) 2 + 2π· a · a = 3圆柱的表面积为 πa2表 4 4 2 8
……6 分
(2) 圆锥 PO 的体积为 V = 1 πr21 ·OP =
1 π·( a ) 2·a = 1 πa3 ……8 分
3 3 2 12
挖去的圆柱体积为 V2 = πr′2·OO′ = π·(
a ) 2· a = 1 πa3 ……10 分
4 2 32
∴ 　 剩下几何体的体积 V = V1 - V
1
2 = πa3 -
1 πa3 = 5 πa3 . ……12 分
12 32 96
16. 解:(1) 与 b b 1方向相同的单位向量为 e = = b. ……2 分
| b | 4
1 1 3
所以向量 a 在向量 b 上的投影向量为 | a |·cos60°·e = 6 × × b = b
2 4 4
……5 分
(2) 1由已知得 a·b =| a | | b | cos60° = 6 × 4 × = 12. ……6 分
2
所以 b·(a - 3b) = a·b - 3b2 = 12 - 3 × 16 = - 36 ……7 分
又因为 | a - 3b | 2 = (a - 3b) 2 = a2 - 6a·b + 9b2 = 36 - 72 + 144 = 108, ……9 分
所以 | a - 3b | = 108 = 6 3 ……10 分
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{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
设 b 与 a - 3b 的夹角为 θ(0° ≤ θ ≤ 180°)
- -
则 cosθ = b·(a 3b) = 36 = - 3 , ……12 分
| b | | a - 3b | 4 × 6 3 2
所以 θ = 150°. ……13 分
z2 = - 1 + ai = ( - 1 + ai)(2 -17. 解:(1) i) ……1 分
z1 2 + i (2 + i)(2 - i)
= a - 2 + 2a + 1i ……3 分
5 5
ì a - 2
z = 02 5
因为 是纯虚数,所以í , ……5 分z1 2a + 1
≠ 0 5
解得 a = 2. ……6 分
(2) 由(1) 知,z2 = - 1 + 2i, ……7 分
因为 z2 是关于 x 的方程 2x2 + mx + n = 0(m,n ∈ R) 的一个根,
则 2( - 1 + 2i) 2 + m( - 1 + 2i) + n = 0, ……8 分
即( - 6 - m + n) + ( - 8 + 2m)i = 0, ……10 分
{ - 6 - m + n = 0所以 - + = , ……12 分8 2m 0
{m = 4∴ 　 . ……13 分n = 10
18. 解:(1)∵ 　 m ∥ n,∴ 　 asinB = 3 bcosA, ……2 分
a b
由正弦定理 = ,得 asinB = bsinA, ……3 分
sinA sinB
∴ 　 bsinA = 3 bcosA,　 ∴ 　 sinA = 3 cosA,即 tanA = 3 ……5 分
∵ 　 0 < A < π,　 ∴ 　 A = π . ……6 分
3
(2)∵ 　 点 M 为 △ABC 的内心,　 ∴ 　 AD 为 △ABC 的角平分线,
∴ 　 ∠BAD = ∠CAD = π ……7 分
6
∵ 　 S 1△ABD = AB·AD·sin∠BAD,S△ACD =
1 AC·AD·sin∠CAD,
2 2
S = 1△ABC AB·AC·sin∠BAC,而 S2 △ABD
+ S△ACD = S△ABC,
∴ 　 1 c·2·sin π + 1 b·2·sin π = 1 c·b·sin π ……8 分
2 6 2 6 2 3
整理得 2(b + c) = 3 bc ……9 分
高一数学答案　 第2 页　 (共 4 页)　 (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccosA,可得 b2 + c2 - bc = 12
∴ 　 (b + c) 2 - 3bc = 12, ……10 分
将 3 bc = 2(b + c) 代入可得,(b + c) 2 - 2 3 (b + c) - 12 = 0 ……11 分
解得 b + c = 3 ± 15 ,　 ∵ 　 b + c > 0,　 ∴ 　 b + c = 3 + 15 . ……12 分
∴ 　 △ABC 的周长为 a + b + c = 2 3 + 3 + 15 = 3 3 + 15 ……13 分
19. 解:(1) 证明:在四棱锥 P - ABCD 中,BC ∥ 平面 PAD,BC 平面 ABCD,
平面 ABCD ∩ 平面 PAD = AD,
∴ 　 BC ∥ AD. ……1 分
取 PA 的中点 F,连接 BF,EF,
∵ 　 E 是 PD 的中点,　 ∴ 　 EF ∥ AD, EF = 1且 AD. ……2 分
2
∵ 　 BC ∥ AD BC = 1且 AD,　 ∴ 　 EF ∥ BC 且 EF = BC, ……3 分
2
∴ 　 四边形 EFBC 为平行四边形,　 ∴ 　 CE ∥ BF. ……4 分
又 BF 平面 PAB,CE 平面 PAB, ……5 分
∴ 　 CE ∥ 平面 PAB. ……6 分
(2) 解:线段 AD 上存在点 N,使得 MN ∥ 平面 PAB, ……7 分
理由如下:
取 AD 中点 N,连接 CN,EN.
∵ 　 E,N 分别为 PD,AD 的中点,　 ∴ 　 EN ∥ PA, ……9 分
∵ 　 EN 平面 PAB,PA 平面 PAB,
∴ 　 EN ∥ 平面 PAB. ……10 分
又 CE ∥ 平面 PAB,CE ∩ EN = E,CE,EN 平面 CEN,
∴ 　 平面 CEN ∥ 平面 PAB. ……11 分
∵ 　 M 是 CE 上的动点,MN 平面 CEN,　 ∴ 　 MN ∥ 平面 PAB, ……12 分
∴ 　 线段 AD 上存在点 N,且 N 是 AD 的中点,使得 MN ∥ 平面 PAB. ……13 分
20. 解:(1)∵ 　 D 为 BC 中点,　 ∴ 　 A→D = 1 A→B + 1 A→C ……1 分
2 2
→ 2 → 1 → 1 →
又 　 ∵ 　 G 为 △ABC 的重心,　 ∴ 　 AG = AD = AB + AC,
3 3 3
　 ∴ 　 λ = μ = 1 ……2 分
3
∴ 　 2λ - 3μ = 2 - 1 = - 1 . ……3 分
3 3
(2) 由(1) 得A→G = 1 A→B + 1 A→C = 1 A→P + 1 A→Q,
3 3 3x 3y
∵ 　 G,P,Q 1三点共线,　 ∴ 　 + 1 = 1 ……4 分
3x 3y
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{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
又 　 ∵ 　 x > 0,y > 0,
∴ 　 4x + y = (4x + y)( 1 + 1 ) = 1 (4x + y)( 1 + 1 ) = 1 (5 + y + 4x)
3x 3y 3 x y 3 x y
≥ 1 (5 + 2 y ·4x ) = 3( y 4x 1当且仅当 = ,即 x = ,y = 1 时取等号) ……5 分
3 x y x y 2
∴ 　 4x + y 的最小值为 3. ……6 分
(3)G→P =A→P -A→G = xA→B - ( 1 A→B + 1 A→C) = (x - 1 )A→B - 1 A→C
3 3 3 3
G→Q =A→Q -A→G = yA→C - ( 1 A→B + 1 A→C) = - 1 A→B + (y - 1 )A→C ……7 分
3 3 3 3
∵ 　 | A→B | =| A→C | = 1,∠BAC = 60°,
∴ 　 A→B·A→C =| A→B | | A→C | cos60° = 1 × 1 × 1 = 1 ……8 分
2 2
∴ 　 | G→P | 2 = [(x - 1 → - 1 → 2 = - 1 2 →
2
)AB AC] (x ) AB - 2 (x - 1 )A→
2
B·A→C + 1 A→C
3 3 3 3 3 9
　 = (x - 1 ) 2 - 1 (x - 1 ) + 1 = x2 - x + 1
3 3 3 9 3
| G→Q | 2 = [ - 1 A→B +
2 2
(y - 1 )A→C] 2 = 1 A→B - 2 (y - 1 )A→B·A→C + (y - 1 ) 2A→C
3 3 9 3 3 3
= 1 - 1 (y - 1 ) + (y - 1 ) 2 = y2 - y + 1
9 3 3 3 3
∴ 　 | G→P | 2 +| G→Q | 2 = (x2 + y2) - (x + y) + 2 = (x + y) 2 - 2xy - (x + y) + 2
3 3
……10 分
由(2) , 1 + 1知 = 1,即 x + y = 3xy.
3x 3y
∴ 　 | GP | 2 +| GQ | 2 = 9(xy) 2 - 5xy + 2 = 9(xy - 5 ) 2 - 1 ……11 分
3 18 36
又 x + y ≥ 2 xy ,　 ∴ 　 3xy ≥ 2 xy ,
∴ 　 xy ≥ 4 (当且仅当 x = y = 2 时取等号) ……12 分
9 3
∵ 　 4 > 5 ,
9 18
∴ 　 当 xy = 4 →时, | GP | 2 +| G→Q | 2 4 5 1 2取得最小值:9 × ( - ) 2 - =
9 9 18 36 9
即 GP2 + GQ2 2的最小值为 . ……13 分
9
高一数学答案　 第4 页　 (共 4 页)　 (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}2025—2026学年第二学期期中考试
高一数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。
h
2.回答选择题时，选每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
兼
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在木试卷上无效。
3.考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.设a,b都是非零向量，下列四个条件巾，使，日=b成立的充分条件是
河

1a11b1
A.a=2b
B.a∥b
如
C.a=-b
D.a∥b且Ial=lbI
2.已知i是虚数单位，z,=a+bi(a,b∈R),复数z2是z,的共轭复数，则下列结论错误的是
A.z1+22∈R
B.z122∈R
C.z1-z2为纯虚数
D.|z11=lz21
长
3.下列说法正确的是

A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B.棱锥的所有侧面都是三角形
都
C过空间内不同的三点，有且只有一个平面
D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
4.如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折
翔
痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方
形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，
把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图
2,是一个纸风车示意图，则
挡
北
A.0元=0E
B.0A.0B>0
C.0A+0元+0i=0
D.0A+0D=20E
5.已知圆台0,02的上、下底面面积分别为4π，36m,其外接球球心0满足0,0=300，则
圆台0,02的外接球体积与圆台0,02的体积之比为
20W5
A.
B.105
c.
00
D.
13
13
13
3
高一数学第1页（共4页）(2026.4)
6.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=1,a(2sinB-√3cosC)=
5caA,点G是△MBC的重心，且AG=,则△ABC的面积为
A.√3
5
C.3或2√5
35
B.
2
D.4
或5
7.下列四个正方体图形中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,P分别为其所在棱的中点，能
得出AB∥平面MNP的图形的序号是
④
②
③
A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
8.在△ABC中，已知A店，AC=9,sinB=cosAsinC,SaHc=6,P为线段AB上的一点，且C
CA
=·
正，则片+的最小值为
ICAI ICBI x y
A.
6
3
c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中错误的为
A.已知a=（1,2),b=（1,1),且a与a+入b的夹角为锐角，则实数入的取值范
用是(-子，+m)
&向量e,=(2-3),4=(分，一子)不能作为平面内所有向量的-个基底
4
C.已知c≠0，且4·c=b·c,则a=b
D.非零向量a和b满足Ia1=lb1=la-b1,则a与a+b的夹角为60°
10.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若4 sinBcosC+4 sinCcosB=asinA,且
A=行则下列说法正确的是
A△MABC的外接圆的半径为4
3
B若△MBC只有-个解，则6的取值范周为1610<6<4，或6=号5！
C若日为脱角.则：的取值范围为(4,8
D.△ABC面积的最大值为4√万
高一数学第2页（共4页)(2026.4)

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