资源简介

专题01 数与式、方程与不等式
趋势领航练
考点突破练
考点01 实数及其运算
考点02 整式及其运算
考点03 分式及其运算
考点04 一元一次方程
考点05 二元一次方程组
考点06 一元二次方程
考点07 分式方程
考点08 不等式与不等式组
考点09 方程与不等式实际应用
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境】（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【新定义】（2026·重庆大渡口·一模）已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________．
【新考法数学文化】（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．
【新考法跨学科探究学习】（2025·江苏扬州·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足．
(1)如图③，已知，总电阻为，求的值；
(2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明）
【新考法阅读理解类规律探究】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
考 点 突 破 练
考点01 实数及其运算
1．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________．
2．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______．
3．（2025·陕西·中考真题）计算：．
4．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．
6．（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】
∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故
如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度：
将近似为估算；
从计算过程中发现，将近似为再估算．
【方案选择】
（1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或）
【近似计算】
（2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示）
考点02 整式及其运算
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
3．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________．
5．（2026·重庆·模拟预测）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数p的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则_______，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中(，，a、b均为整数)若能被5整除，能被11整除，则的最小值为________．
6．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______．
7．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
考点03 分式及其运算
1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
2．（2025·山东东营·中考真题）化简____________．
3．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小．
4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
6．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中．
8．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
考点04 一元一次方程
1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（ 处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
2．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
3．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
考点05 二元一次方程组
1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
3．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分．
4．（2025·西藏日喀则·三模）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______．
5．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
考点06 一元二次方程
1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
3．（2026·安徽安庆·模拟预测）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2026·湖南·模拟预测）在中，，若实数，是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．或
5．（2025·西藏日喀则·三模）关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
6．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________．
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？
8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
考点07 分式方程
1．（2025·四川成都·二模）方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．无解
2．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
6．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
考点08 不等式与不等式组
1．（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和______．
2．（2025·江苏南通·一模）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
3．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
考点09 方程与不等式实际应用
1．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
2．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
4．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
(1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
(2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
5．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
压 轴 提 速 练
1．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ）
①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16；
②若规定均为正整数，则的可能取值有3种；
③若，则的所有奇次项系数之和为．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____．
6．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
7．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
8．（2026·四川遂宁·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是______
9．（2026·重庆·模拟预测）对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的差的3倍，则称这样的四位数为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于．若，则__________；若一个四位数（均为整数，且）是“腰果数”，且被11除余4，则满足条件的的最大值和最小值的和为__________．
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）新定义：且，，若，则．
(1)直接写出答案：；
(2)解方程：；
(3)证明：．
11．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
12．（2026·湖南怀化·模拟预测）【知识储备】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．
【问题解决】
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________；
(2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）；
(3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
13．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由．
14．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：__________；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 数与式、方程与不等式
趋势领航练
考点突破练
考点01 实数及其运算
考点02 整式及其运算
考点03 分式及其运算
考点04 一元一次方程
考点05 二元一次方程组
考点06 一元二次方程
考点07 分式方程
考点08 不等式与不等式组
考点09 方程与不等式实际应用
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境】（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
【答案】(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采摘的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【新定义】（2026·重庆大渡口·一模）已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________．
【答案】；
【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，
，得．
由“和九数”定义，，且，
故，
，
，
为整数， 能被13整除．
当时，能被13整除，．
当时，能被13整除，．
当时，能被13整除，．
的最大值为．
故填：和．
【新考法数学文化】（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．
【详解】解：
将，，代入上式：
故答案为：．
【新考法跨学科探究学习】（2025·江苏扬州·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足．
(1)如图③，已知，总电阻为，求的值；
(2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小？（在图中填写并证明）
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴；
（2）解：在串联电路上，在并联电路上，理由如下：
证明：①当在上方，在下方，则，
②当在上方，在下方，则，
∵，
∴，
∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小，
则如下图摆放能使得总电阻最小：
【新考法阅读理解类规律探究】（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题．
主题 两个正数的积与商的位数探究
提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数．
分析探究 问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例
推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立．
拓展迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论．
(1)解决问题1；
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2．
【详解】（1）解：小明的猜想不正确．
反例：．
（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；
②，所以，又，所以，
由（*）知，所以．
（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是．
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．
由小华的命题知，当时，必有，
此时，，所以；
当时，必有，
此时，，所以．
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；
当A的数字小于B的数字时，的位数是，
考 点 突 破 练
考点01 实数及其运算
1．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
2．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______．
【答案】
【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
……
画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，
∴，即，
又∵，，
∴至少要画的直线条数是条，
故答案为：．
3．（2025·陕西·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
4．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键．
分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．
【答案】4
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：，
，
，
．
6．（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】
∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故
如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度：
将近似为估算；
从计算过程中发现，将近似为再估算．
【方案选择】
（1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或）
【近似计算】
（2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示）
【详解】(1) 解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵近似为，
∴，
即，
解得，
故；
解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵将近似为，
∴，
即，
解得，
故；
∵，
∴，
故的精确度更高，
故答案为：②．
(2)解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵将近似为，
∴，
即，
解得，
故．
考点02 整式及其运算
1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____．
【答案】
【详解】解：由题意得，；
故答案为 ．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
【答案】
【详解】解：
．
3．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【详解】解：
，
当时，原式．
4．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________．
【答案】
【详解】解：设四位数
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
5．（2026·重庆·模拟预测）对于一个各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数p，将它各个数位上的数字分别乘以3后再取其个位数，得到三个新的数字，再将这三个新数字重新组合成不同的三位数，当的值最小时，称此时的为自然数p的“魅力数”，并规定．例如：时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、5、1，重新组合后的数为351、315、531、513、135、153，因为的值最小，所以315是157的“魅力数”，此时，则_______，若s、t都是各数位上的数字均不为0且互不相等的三位自然数，且，，其中(，，a、b均为整数)若能被5整除，能被11整除，则的最小值为________．
【答案】 144 49
【详解】解：由题意知，时，其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：6，2，8，重新组合后的数为628，682，862，826，286，268，
∵的值最小，
∴628是246的“魅力数”，此时；
故答案为：144．
∵，
∴，
，
∵能被5整除，
∴也能被5整除，
∵为整数，
或，
∵能被11整除，
∴也能被11整除，
∵为整数，
，
当时，；
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3，6，2，重新组合后的数为362，326，632，623，236，263，
∵的值最小，所以326是124的“魅力数”，
，
当时，；
其各个数位上数字分别乘以3后的三个数的个位数分别是：3、6、7，重新组合后的数为367、376、637、673、736、763，
∵的值最小，所以637是129的“魅力数”，
，
，
∴的最小值为49，
故答案为：49．
6．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______．
【答案】15
【知识点】数字类规律探索、整式加减中的无关型问题、同底数幂相乘、二元一次方程的解
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
7．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为，
∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，
∴三位数不是“极差数”
故答案为：不是
建模推理：
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，
根据题意可得，，
故答案为：；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除．
证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∵，
∴，
∴能被11整除，
∴任意一个“极差数”都能被11整除．
考点03 分式及其运算
1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得且且，
故选：D．
2．（2025·山东东营·中考真题）化简____________．
【答案】
【详解】解：
．
故答案为：．
3．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小．
【答案】
【详解】解：∵
，
∵，
∴，，，
∴，
∴．
4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：
，
当时，原式．
5．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
【答案】
【详解】解：
，
当时，
原式
．
6．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【详解】解：原式
，
，
，
∴原式
．
7．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【详解】解：
．
当时，
原式．
8．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
【答案】(1)
(2)或4
【详解】（1）解：∵，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
（2）由（1），得：，
∴，
当时，．
∵与均为整数，
∴或．
∴，
又∵且，
∴且．
∴或4．
考点04 一元一次方程
1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（ 处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】B
【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗，
，
解得：，
故答案为：B．
2．（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配名工人生产电压表．
【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，
依题意得，
解得，
答：应分配名工人生产电压表．
3．（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高．
【答案】
【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为，
由，可得：，解得：；
所以这只风筝的骨架的总高．
答：这只风筝的骨架的总高．
考点05 二元一次方程组
1．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两，
∴；
∵2头牛、5只羊，共值金8两，
∴．
∴根据题意可列出方程组．
故选：D．
2．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
【答案】B
【详解】解：令，
则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13
∴的正整数解有组，
又∵的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
∴方程的正整数解组数为：．
故选：B．
3．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分．
【答案】6
【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，
根据题意得：，
解得：，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．
4．（2025·西藏日喀则·三模）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______．
【答案】
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是，
∴关于的二元一次方程组中，
解得：，
故答案为：．
5．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
【答案】，
【详解】解：由题意，得方程组
，得③
，得．
把代入②，得
，
．
∴这个方程组的解是
考点06 一元二次方程
1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
【答案】C
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
【答案】B
【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小
∴
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴
即
解得
∴
又∵为整数
∴可取1，2，3
∴满足条件的整数的值之和为
故选：B．
3．（2026·安徽安庆·模拟预测）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，即，
，，
，，
即为，故位于第二象限，
故选．
4．（2026·湖南·模拟预测）在中，，若实数，是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【详解】解：如图，在中，，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∵，是方程的两根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系得：，，
∵，
将代入得：，
整理得：，
两边同乘（）：，
整理得：，
解得，
即或，
∵，，
∴，得，
∴，
故选：．
5．（2025·西藏日喀则·三模）关于的一元二次方程有实数根．求的取值范围；如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】；的值为
【详解】解：，
根据题意得，
解得；
∵是符合条件的最大整数，
∴，
方程变形为，
解得：，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．
6．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________．
【答案】2
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得，，
，
，
，
则，
故答案为：2．
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？
【答案】每件玩具应降价元
【详解】解：设每件玩具应降价元．
根据题意得，，
整理得，，即，
解得．
答：每件玩具应降价元．
8．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
【详解】（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
考点07 分式方程
1．（2025·四川成都·二模）方程的解为（ ）
A． B． C．或 D．无解
【答案】D
【详解】解：，
方程两边同乘,
得：，
∴ ，矛盾，
∴ 原方程无解，
故选：D．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，
根据题意，可得．
故选：A．
3．（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【详解】解：∵方程，
∴分母，即．
方程两边乘得：，
移项得：．
当时，．
解为负数，即，
∴．
∵分子，
∴分母，即．
当时，方程无解，不符合题意．
又∵，即，
∴，
综上，当时解为负数．
故选B．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
【答案】D
【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨．
，
解得，
∴智能机器人每小时装载货物吨．
故选：D．
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位）
【答案】模型A每小时能处理数据
【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
答：模型A每小时能处理数据．
6．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动．
(1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度；
(2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？
【答案】(1)80
(2)190
【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时．
根据题意，可列方程：，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：大巴车的速度是80千米/小时．
（2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人，
根据题意，可列方程：，
解得．
答：参加本次活动的学生人数是190人．
考点08 不等式与不等式组
1．（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和______．
【答案】0
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的整数解是，，0，1，2，
，
故答案为：．
2．（2025·江苏南通·一模）解不等式组：，并在数轴上表示解集．
【答案】数轴表示见解析，
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
数轴表示如下：
∴不等式组的解集为：．
3．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
考点09 方程与不等式实际应用
1．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．
(1)求型、型两种机器人的单价；
(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案．
【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元
(2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台
【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，
所以，．
所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元．
（2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，
根据题意，得，
解得，
∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数
∴的取值为1，2，3，共有3种方案：
方案一：型机器人1台，型机器人9台；
方案二：型机器人2台，型机器人8台；
方案三：型机器人3台，型机器人7台．
2．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．
(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？
(2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？
【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元
(2)4种
【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元；
（2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为，，，，
∴共有4种进货方案．
答：该超市共有4种进货方案．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元，
由题意，得
，
解得，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
（2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏，
由题意，得
解得，，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
4．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
(1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价；
(2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元
(2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾
【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，
根据题意得：，
解得．
答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元．
（2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，
按方案1购买时，
，解得，
∴（条）．
按方案2购买时，
，
∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买．
答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
压 轴 提 速 练
1．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，则，
由题意得，则，
∴
，
∴，，，
代入得：，，，
∴或，
故选：．
2．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟）,
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故选：A．
3．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当时，满足条件的所有整式M的和为；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】解：当时，，
当，时，整式M为，
当时，整式M不可能为单项式，
当时，
，，…，为正整数，
整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当时，，
当时，，
则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，，
当时，，
则故会有一种情况，对应的整式M为，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
满足条件的所有整式M的和为，故②错误；
多项式为二次三项式，
，
，
因为多项式为三项式，故，
当时，，
则有两种，
，，
两种都满足条件，
当时，，
则有一种，
，
满足条件，
当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确，
其中正确的个数是个，
故选：C．
4．（2026·重庆·模拟预测）已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（ ）
①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16；
②若规定均为正整数，则的可能取值有3种；
③若，则的所有奇次项系数之和为．
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①：
当时，，
，
是正整数，
，
又，或，
当，仅，
此时，，
当，
正整数解共3种：，
此时，每个．
所有的值总和为，①正确；
验证②：
若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1，
．
，
，解得．
是正整数，
，共3种可能，②正确．
验证③
∵，
∴的所有奇次项系数之和为，
令，∴，
即（1），
令，∴，
即（2），
得，
∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确；
综上，正确的说法共3个．
5．（2026·四川成都·一模）若，则m的值为____．
【答案】或
【详解】由，得．
代入，
分子，
所以，
即．
两边乘以2，得．
所以，
整理得，
因式分解得，
解得或．
检验：当时，分母，；当时，分母，，均满足．
故答案为：或．
6．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
【答案】
【详解】解：由题意可知，，，
将两式相减得
，
，
，
，
，
将两式相加得，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
7．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
【答案】1
【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为．
设三阶幻方的9个数字分别为：
y
2 x
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得：
解①得，解②得：，则
再代入①得：
．
故答案为：1．
8．（2026·四川遂宁·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“积方和数”．例如：四位数1732，因为，所以1732是“积方和数”．已知四位数是“积方和数”，将“积方和数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被22整除，则满足条件的的最小值是______
【答案】1842
【详解】设，则，
有．
∵需被22整除，且11已整除，
故需为偶数，
即为偶数．
同时需满足，且数字互异且非0．
为求最小，取，
则，故．
∵，
有，推出（若，则，，，矛盾）．
若，
则，
但与重复，
违反互异条件，故．
若，
则，且，
故．
数字互异要求，，
故，，
∴，，
即．
需为偶数，
即为偶数：
时奇数，无效；
时偶数，有效；
时奇数，无效．
故唯一解，，．
验证：，，
满足；数字互异；
（千位百位对调为81，十位个位对调为24），
，
，整除成立．
且时无其他更小，
故最小值为1842．
故答案为：1842．
9．（2026·重庆·模拟预测）对于一个四位自然数，若它的各数位数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的差的3倍，则称这样的四位数为“腰果数”．规定百位数字与千位数字组成的两位数加上个位数字与十位数字组成的两位数的和等于．若，则__________；若一个四位数（均为整数，且）是“腰果数”，且被11除余4，则满足条件的的最大值和最小值的和为__________．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵（为整数），且是互不相等，
∴是正整数，是正整数，且是的整数倍，，
∴或或或或，
∵，
∴，
当时，则，（不符合题意）；
当时，则，（不符合题意）；
当时，则，（不符合题意）；
当时，则，（不符合题意）；
当时，则，（符合题意）；
∴；
∵是“腰果数”，
∴四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且，
∴，
∵均为整数，且，
∴是整数，且是的整数倍，
∵，
∴，
∴或或或或，
∵，
∴，
∵被11除余4，
∴是11的整数倍，
当，时，则，即，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴（都不是的整数倍，舍去），
当，时，则，即，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴（除都不是的整数倍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或或或，
∴或或或；
当，时，则，即，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴（除都不是的整数倍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或或或或或，
∴或或或或或；
当，时，则，即，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴（除都不是的整数倍），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或；
当，时，则，即，
∵，
∴，
∵，且为整数，
∴（除都不是的整数倍），
∴，
∴，
∴（舍去），
∵，
∴满足条件的的最大值和最小值的和为．
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）新定义：且，，若，则．
(1)直接写出答案：；
(2)解方程：；
(3)证明：．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴不符合，舍去，
故；
（3）证明：设，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
11．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，
依素材1，可得：，
解得，（不合题意，舍去）．
答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为．
（2）解：设应降y元，依素材2，可列方程，
解得．
答：应降5元．
（3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得：
，
当时，W取得最大值为3310．
答：售价为元时，每天最大利润为3310元．
12．（2026·湖南怀化·模拟预测）【知识储备】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．
【问题解决】
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________；
(2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）；
(3)通过计算说明，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：点表示数，点表示数，点表示数，
的距离为；
点与点的中点为,表示的数为：．
故答案为：，．
（2）解：点以每秒2个单位长度的速度在数轴上向左运动，
运动秒后，点表示的数为：；
故答案为：．
（3）解：根据题意得：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
当点是点、的中点时，
解得：；
当点是点,的中点时，
解得：；
当点是点,的中点时，,
解得：；
综上所述,的值为或或．
13．（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由．
【答案】(1)，
(2)10分钟
(3)小州应选择东方之门站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少
【详解】（1）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏，
由题意得：，
解得：，
此时距起点千米．
故答案为：，．
（2）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏，
由题意得：，
解得：，
小时10分钟．
答：若小苏提前出发15分钟，小州才从起点追赶，小州出发后10分钟首次追上小苏．
（3）解：设金鸡湖环湖步道一圈的长度为千米，
当小州选择李公堤站通话时，如图所示：
由题意得：千米，千米，
∵小州到达李公堤站即C点的时间为：小时，停车通话时间为小时，
∴小州总用时为小时，
∵小苏提前出发小时，
∴小苏总用时为小时，
∴千米，
∴千米，
∴千米，
∴小州追上小苏需要用时为小时，
当小州选择东方之门站通话时，如图所示：
∵小州到达东方之门站即D点的时间为：小时，停车通话时间为小时，
∴小州总用时为小时，
∵小苏提前出发小时，
∴小苏总用时为小时，
∴千米，
∴千米，
∴千米，
∴小州追上小苏需要用时为小时，
∵，
∴小州选择李公堤站通话后追上小苏所用时间比选择东方之门站通话后追上小苏所用时间多小时，
∴小州应选择东方之门站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少．
14．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：__________；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________．
【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3）
【详解】（1）解：由新定义得，；
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）由题意得，，
∴，
∵，，且，正方形的面积为26，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∴，
∵正方形的面积为16，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍负），
∴，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑