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专题02 一次函数与反比例函数
趋势领航练
考点突破练
考点01 一次函数
考点02 反比例函数
考点03 一次函数与反比例函数综合
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境·数学文化】（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（ ）
A． B． C． D．
【新情境·生产生活】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
【新考法·人工智能】（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
(2)求所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
【新考法·数学文化阅读理解】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
考 点 突 破 练
考点01 一次函数
1．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________．
2．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ．
3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可）
4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．
(1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积．
5．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
6．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
7．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升．
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式．
(1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
(2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
9．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
10．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
11．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；
(2)当时，求关于的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为．
12．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
考点02 反比例函数
1．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____．
2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______．
3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________．
4．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______．
5．（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中有一矩形，顶点、都在坐标轴上，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若，将矩形竖直向上平移，当反比例函数再次经过矩形的顶点时，求此时点的对应点坐标．
6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点．
(1)为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式．
由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ……
(2)通过计算判断点是否为线段的中点．
7．（2026·河北邢台·一模）如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．线段的垂直平分线交反比例函数图象于点．
(1)在图中用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不写画法）；
(2)连接，点一定在线段上吗？回答：___________（填“是”或“否”）；
(3)连接、．若．
①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式；
②连接，当时，求的长．
8．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，反比例函数的图象过点．
(1)的值为________；
(2)当时，求的取值范围；
(3)在图中用直尺和铅笔画出一个满足下列两个条件的三角形（不写画法）．
①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点，另一个顶点在坐标轴上；
②三角形的面积等于的值．
9．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
考点03 一次函数与反比例函数综合
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留）
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
(1)求出直线对应的函数表达式；
(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
8．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点．
(1)求m和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
10．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
11．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．
12．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
压 轴 提 速 练
1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______．
3．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________．
5．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
7．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，．
(1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时，
①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
②求此时直线的解析式；
(2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．
8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
9．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
10．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程：
(1)【基本操作】
第一步：对函数图象上的部分点列表如下：
… …
… …
求出表格中的值为_____．
第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．

(2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ．
(3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式．
(4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值．
11．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
12．（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，点是中点，连接，过作交于点．动点以每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动，同时动点从出发以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动，当有一个动点到达点时两个动点同时停止运动．点为射线上一点且满足．已知，连接．记为，线段的长度为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出的一条性质；
(3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且．
(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点C在上，过点C作的垂线，交于点E，交x轴于点D，连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接和，，点G是的中点，连接，，过点E作的平行线交于点H，延长到点K，点K的纵坐标为，点P在第四象限，连接、、，，平分，求点P的坐标．
14．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 一次函数与反比例函数
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考点01 一次函数
考点02 反比例函数
考点03 一次函数与反比例函数综合
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趋 势 领 航 练
【新情境·数学文化】（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：“漏壶”的漏水速度为：，
水面高度从变化到所用的时间是，
故选：A．
【新情境·生产生活】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：
款式 成本（元/件） 售价（元/件）
甲 700 1000
乙 800 1200
根据以上信息，解答下列问题：
(1)列方程（组）解应用题
若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？
(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？
【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件，
根据题意得，
解得：，
答：生产甲、乙两款服装分别为件，件；
（2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，
根据题意得，
解得，
设获得的总利润为元，
∴，
∵，且为正整数，
∴当时，最大利润为（元），
则（件），
答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润．
【新考法·人工智能】（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
(2)求所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：；
（3）解：当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
【新考法·数学文化阅读理解】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴；
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
考 点 突 破 练
考点01 一次函数
1．（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________．
【答案】
【详解】解：当时，，，
∵直线与直线的交点在轴上，
∴，
∴．
2．（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ．
【答案】
【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为，
设甲的函数图象为，乙的函数图象为，
则，，
解得，，
甲的函数图象为，乙的函数图象为，
联立，
解得
即他们相遇时距离A地．
故答案为：．
3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可）
【答案】6（答案不唯一，大于5均可）
【详解】解：直线经过点，
，即
设直线分别交x轴和y轴与、两点，
当时，；当时，，
即，，
∴，
，
过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图，
则轴，，
∴，
∴
∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置，
∵点在上，
∴当，则点在点的右上方，此时，
故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）．
4．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．
(1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式；
(2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积．
【详解】（1）解：如图1，当时，，
如图2，当时，；
综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：；
（2）解：，
当时，，
，
当时，（不符合题意），
答：播放结束时展开的画面面积是．
5．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示．
(1)求所在直线的函数表达式；
(2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长．
【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为，
把代入，
，
，
当时，，
即点坐标为，
设所在直线的函数表达式为
得，
解得，
∴所在直线的函数表达式为；
（2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为；
依题意，当时，
解得，
，
该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为．
6．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个
(1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）；
(2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
【详解】（1）解：
∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为；
（2）解：将，代入得，
，
解得，
∴；
其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个；
当时，，
∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个．
7．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升．
(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式；
(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
把 代入中得，
∴．
∴当时，与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
把和代入中得，
∴，
∴当时，与的函数关系式为．
综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是．
（2）解：在中，当时，，
在中，当时，，
小时，
答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时．
8．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式．
(1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润；
(2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；
∴合作社每天芒果的销售利润为（元）；
答：合作社每天芒果的销售利润为元；
（2）由题意，得：，
解得：，
又∵，
∴．
故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间．
9．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同．
(1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？
(2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案．
【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元；
（2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台，
根据题意得：，
解得：，
设购买成本为万元，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，，
答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台．
10．（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．
11．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________；
(2)当时，求关于的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：，
设乙的速度为，由题意，得：，解得：，
故乙的速度为；
之间的路程为：；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知：点的纵坐标为，
∴，
当时，设，把，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）当时，令，解得：；
当时，，解得：；
综上：当甲出发或时，两人之间的路程为．
12．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
（2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数，
根据题意，得，
由，得随a的增大而减小，
故当时，取得最小值，且最小值为（元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．
考点02 反比例函数
1．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点，
则，
即，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______．
【答案】
【详解】解：由题意得，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
，当时，有最小值；
；
，当时，有最小值；
故答案为：．
3．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则___________．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______．
【答案】或
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∵点，在双曲线上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，则，
当时，，则，
故N的坐标为或.
5．（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中有一矩形，顶点、都在坐标轴上，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若，将矩形竖直向上平移，当反比例函数再次经过矩形的顶点时，求此时点的对应点坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：过点作，垂足为，如下图所示：
在中，，，
根据勾股定理可知：，
∴
根据矩形的性质可知，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，解得，
将矩形竖直向上平移时，
根据题意可知，只有顶点满足条件，
平移后点对应点为，
当反比例函数经过该点时，，
即向上平移的距离是，
故此时点A的对应点坐标为．
6．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点．
(1)为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式．
由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ……
(2)通过计算判断点是否为线段的中点．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
∵点落在反比例函数的图像上，
∴，解得：，
∴；
（2）解：点是线段的中点．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴设直线的解析式为，
联立，解得：（与C重合舍弃）或，
∴，
∵，
∴线段的中点为，即，
∴点是线段的中点．
7．（2026·河北邢台·一模）如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．线段的垂直平分线交反比例函数图象于点．
(1)在图中用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不写画法）；
(2)连接，点一定在线段上吗？回答：___________（填“是”或“否”）；
(3)连接、．若．
①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式；
②连接，当时，求的长．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求：
（2）解：如图，连接，设线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
则，，
∴，
∴，即点F是的中点，
设，则，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，点D的纵坐标为4，
∴点D的横坐标为，即，
∴只有当，即时，点F和点D为同一点，
∴点D不一定在线段上；
故答案为：否．
（3）解：①如图，设线段的垂直平分线交于点E，过点D作轴于点M，
则，，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
②∵，
∴，
设，由①可知，
∴，
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，反比例函数的图象过点．
(1)的值为________；
(2)当时，求的取值范围；
(3)在图中用直尺和铅笔画出一个满足下列两个条件的三角形（不写画法）．
①三个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点，另一个顶点在坐标轴上；
②三角形的面积等于的值．
【详解】（1）解：由图可得点P的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
解得．
（2）解：由（1）可得反比例函数为，
当时，，
∴当时，．
（3）解：如图，为所求．
由图可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【详解】（1）解：正确．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
（2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
考点03 一次函数与反比例函数综合
1．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留）
【答案】
【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴轴，轴，
∵半径为1，
∴，
∴A点的纵坐标为1，
把代入，求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴第一象限中阴影的面积，
同理，第三象限中阴影的面积，
∴．
故答案为：．
2．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________．
【答案】
【详解】解：令，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______．
【答案】
【详解】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：
4．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
5．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数和的图象相交于A、B两点．
(1)点的坐标为__________，点的坐标为__________；
观察图象，不等式的解集为__________；
(2)若轴上存在点，使，求点的坐标．
【详解】（1）解：联立方程组得，
解得或’
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围，
∴不等式的解集为或．
故答案为：，，或；
（2）解：设与y轴的交点为M，
令时，，
则点M的坐标为，
设C点的坐标为，
由题意知， ，
解得，
当时，解得，
当时，解得，
∴点C的坐标为或．
6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点．
(1)求出直线对应的函数表达式；
(2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【详解】（1）解：把代入得，
∴点A的坐标为，
把代入得，
∴点C的坐标为，
把点和代入得：
，解得，
∴直线对应的函数表达式；
（2）解：由作图可得，即，
设点D的坐标为，
则，
解得，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：令，
解得，，
由图像可得关于的不等式的解集为或．
8．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点．
(1)求m和直线的表达式；
(2)根据函数图象直接写出不等式的解集；
(3)求的面积．
【详解】（1）解：点在双曲线上，
，
又在双曲线上，
，解得．
由题意得：，解得，
．
（2）解：由（1）可知，，
所以不等式可化为，
根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是，
所以不等式的解集为．
（3）解：如图，设直线与轴交于点，
当时．，
，
，
．
9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C．
(1)求一次函数、反比例函数的表达式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．
（1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可；
（2）先求出，再利用求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，
得：，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
∴．
10．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
【详解】（1）解∶∵一次函数的图象与x轴交于点，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为．
∵一次函数过点，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：射线与反比例函数的图象交于点C，
结合函数图象关于原点中心对称可知，
过点作轴于点E，过点作轴于点D，
∴，，
∵，
∴，
∴．
11．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点P为y轴负半轴上一点，连接．若的面积为6，求点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为：；
∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴点，
∵点在反比例函数图象上，
∴
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
由题意得，
解得，
∵点P为y轴负半轴上一点，
∴，
∴点P的坐标为．
12．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积；
(3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点，
，，
， ，
∴一次函数为，反比例函数为；
（2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，
当时，，当时，，
，，
∵点是反比例函数图象上一点，
，
，
过点B作轴，交直线于点E，
设直线的解析式为，把，代入得到
解得
∴直线的解析式为，
∵点，轴，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴
∴
∴的面积．
（3）解：设，
∵，，
则，
当时，
即，得到
解得：或，
故点P的坐标为或；
13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标及的面积；
(3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
（3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，
∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
压 轴 提 速 练
1．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________．
【答案】6
【详解】解：∵
∴直线过定点，
∵点，
∴，
又∵的半径为，
∴，
∴点P在内部，
由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：
由垂径定理得：，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
即的最小值为6．
故答案为：6．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是______．
【答案】
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故答案为：．
3．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是_________．
【答案】
【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G，
根据题意得平分，，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
解法二：解：∵，，设直线的解析式为：,
∴，
解得：，
直线的解析式为：,
是的角平分线，，
所在直线的解析式为．
联立方程组：
将代入中，得到：
，
解得．
，
．
所以，直线与的交点F的坐标为．
故答案为：．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________．
【答案】
【详解】解：一次函数中，
令，得，
令，则，
解得，
∴B点坐标为，C点坐标为，
过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴A点坐标为，
将代入反比例函数
解得，
故答案为：．
5．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【详解】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的时间为，
小明到达点A的时间为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用时间为，
则点B的时间为，
点
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
6．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
7．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，．
(1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时，
①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
②求此时直线的解析式；
(2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：①连接，交于点，
四边形是矩形，的中点与坐标原点重合，
轴是矩形的对称轴，
点在轴上，
直线将矩形分成周长相等的两部分；
②，
，
，
设直线的解析式为，代入，得，
，
，
直线的解析式为；
（2）设直线对应一次函数为：，
经过点时，即经过和两点，
，
解得：，，
当直线经过点和点
解得：，
综上所述，当时，直线与线段有公共点．
8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，即．
将代入得，
∴．
∴直线即为．
令，则，
∴．
的坐标为．
∴．
综上所述，．
（2）解：设点C的坐标为．
若和为对角线，
根据平行四边形对角线互相平分可得：，
解得
∴，
把代入得：．
若和为对角线，同理可得，．
若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．
故点C的坐标为或，．
（3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．
∴．
∴．
设，，则，．
∴，，，，
∵，，
∴，
∴．
∴．
解得，
．
∵点E与点D关于y轴对称，
∴．
∵，
∴直线表达式为．
将代入得，
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
∴，．
直线的表达式为．
∵有且只有一点，使得，
∴直线与只有一个交点，
联立方程组
消去，整理得．
．
解得．
9．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
由题意得点的运动路程为，
∴与点的运动路程的比为；
当在上时，，此时，
当在上时，，此时，
∴由等高可以得
∴，
综上所述，，；
（2）解：函数图象如图所示：
由函数图象可得，当时，有最大值；
（3）解：根据函数图象可得，当时，，
∴结合函数图象，当时，的取值范围为．
10．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程：
(1)【基本操作】
第一步：对函数图象上的部分点列表如下：
… …
… …
求出表格中的值为_____．
第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．

(2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ．
(3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式．
(4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值．
【答案】(1)，图见解析
(2)向右平移3个单位长度得到；．
(3)对称中心为，对称轴为直线和直线；
(4)或
【分析】（1）将代入函数表达式，求出的值，并用描点法画出函数图象；
（2）对比两个函数的图象，得出平移过程，并按照这个平移方式，写出平移后的函数解析式即可；
（3）根据的对称中心坐标和对称轴的解析式，结合平移过程，得出的对称中心坐标和对称轴的解析式；
（4）联立直线和双曲线，得到关于的一元二次方程，由交点个数为推断出判别式为，得到关于于的一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴，
函数图象如图所示：
（2）解：观察两个函数的图象可知，
函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到；
将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为．
故答案为：向右平移3个单位长度；．
（3）解：∵的对称中心为，对称轴为直线，
又∵函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到，
∴的对称中心为，对称轴为直线和直线；
（4）解：当直线与双曲线相交时，
，
化简，得，
∵直线与双曲线只有一个交点，
∴判别式，
化简，得，
解得或．
11．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长．
(2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明．
【详解】（1）解：设，则，
根据题意，得：，即，
整理，得：，解得：，，
，
舍去，
．
（2）解：如图所示，点为所求．
设，
根据题意，得：，，
，
，，
，，
，
点为线段的中外比点．
（3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下：
第一种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第二种情况：当，则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设点，
，，则，
点、在反比例函数的图象上，
得：，
由①得：，将其代入②，得：，
整理，得：，
解得：，
，（舍去），
，，，
，，，
，，，
，，
点、为、的中外比点．
点在反比例函数的图象上，，
，
反比例函数为，
，
设直线的函数解析式为，
将点，代入，得：，
直线的函数解析式为，
联立方程组，解得：，
，
，
点为的中外比点．
第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点．
12．（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，点是中点，连接，过作交于点．动点以每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动，同时动点从出发以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动，当有一个动点到达点时两个动点同时停止运动．点为射线上一点且满足．已知，连接．记为，线段的长度为．
(1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出的一条性质；
(3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是中点，
∴，，
∴，
∴，点Q最长的运动时间为秒，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即为的中位线，
∴，，
∴点P最长的运动时间为秒，
∵当有一个动点到达C点时两个动点同时停止运动，
∴点P，Q最长的运动时间为13秒，
当点P在线段上，即时，如图1，点P在上，，
则；
当点P在线段上，即时，如图2，点P在上，过点C作，则，
∵，
∴，
∴；
当点P在线段上，即时，如图3，点P在上，过点O作，
，，
∴；
∴；
如图4，过点Q作，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即；
（2）解：的图像如图所示，结合图像可知的最大值为60（答案不唯一）；
（3）解：根据图像，可知当时的取值范围是或，
故答案为：或．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，且．
(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点C在上，过点C作的垂线，交于点E，交x轴于点D，连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接和，，点G是的中点，连接，，过点E作的平行线交于点H，延长到点K，点K的纵坐标为，点P在第四象限，连接、、，，平分，求点P的坐标．
【详解】（1）解：在中，当时，，即点B的坐标为，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
把代入中可得：，
解得．
（2）解：过点C作交于点M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知： ，，，
∴，
∴，
∵G为中点，
∴，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得，（舍），
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴E为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点H作的垂线交延长于V，过点H作x轴的垂线交于W，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点K作于点R，交y轴于Q，
∵K的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
过点P作x轴的垂线，垂足为N交的延长线于点L，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点是反比例函数的图象上一点，点是一次函数的图象上一点．
(1)连接，与一次函数的图象相交于点．
i）求点的坐标及的长；
ii）连接，若点在直线的上方，当四边形是矩形时，求的值；
(2)连接，是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：(i)设直线的解析式为，
∵点的坐标为，代入解析式，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立与一次函数，得
，
解得，
所以点的坐标为，
∴的长为，
(ii)如图，
∵四边形是矩形，
∴， ，
∵直线的表达式为，
∴设直线的表达式为，
∵，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
联立，
解得或，
∵点在直线的上方，
∴点的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：存在点使得为等边三角形，
理由如下：设直线为直线，
令得，，令得，，
∴，，
∴直线与两坐标轴的坐标为，即直线与两坐标轴围成了等腰，
∴直线与轴夹角为，
∵直线的解析式为，
∴直线是两坐标轴的夹角平分线，
∴，，
过点作点，
∴，
设点，设直线的表达式为，
∴，
联立，
解得，
∴，
则，
∴，即，
①如图，当点在直线下方时.过点作轴，交直线于点，
∴，
∴在中，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴点即为点，
∵是等边三角形，轴，
∴由等边三角形的性质，点的横坐标与的中点坐标的横坐标相等，即即，
∴设，则，
∵点在双曲线上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
②当点在直线上方时，
∵直线和反比例函数图象都关于直线对称，点在直线上，
∴由对称性得点关于直线的对称点也满足题意，
如图，连，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与对应边与边上的高相等，即的纵坐标等于的横坐标，
∴将代入中得，
∴；
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
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