资源简介

专题03 二次函数综合题
趋势领航练
考点突破练
考点01 二次函数与线段有关问题
考点02 二次函数与图形面积有关问题
考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题
考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题
考点05 二次函数与相似三角形存在性问题
考点06二次函数与角度有关问题
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境问题】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【新考法·跨学科数学建模探究】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【新定义问题】（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．
(1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标．
(3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围．
(4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值．
【新考法问题·函数与几何模型综合】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，求线段长度的最大值；
(3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
考 点 突 破 练
考点01 二次函数与线段有关问题
1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5.（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点的纵坐标为．
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限的抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到线段（点在第一象限内），过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)如图，在（）的条件下，连接，过点作，射线交过点且与垂直的直线于点，过点作于点，点为上一点，过点作，交于点，交于点，连接，若，，求点的坐标．
考点02 二次函数与图形面积有关问题
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2026·新疆昌吉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标．
3．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
5．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求与的关系；
(2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；
(3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值．
6．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
(3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标．
(4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
7．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题
1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
考点05 二次函数与相似三角形存在性问题
1．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标；
(2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
考点06 二次函数与角度有关问题
1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
(1)当时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
(3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？
3．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
4．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
5.（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
压 轴 提 速 练
1．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
4．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．
5．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点．
①求线段的最大值及此时点的坐标；
②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值．
(3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
7．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 二次函数综合题
趋势领航练
考点突破练
考点01 二次函数与线段有关问题
考点02 二次函数与图形面积有关问题
考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题
考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题
考点05 二次函数与相似三角形存在性问题
考点06二次函数与角度有关问题
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境问题】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
，
解得，
所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到的距离均为，
当时，，
，
这两条灯带的总长为．
【新考法·跨学科数学建模探究】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢 12 10 8 6 4 2 …
运动路程 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
【检验】：设，把代入，得，
解得：，
∴，
验证：当时，，符合题意；
设，把点，代入，得，
解得，
∴，
验证：当时，，符合题意；
【应用】：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
【新定义问题】（2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”．
(1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标．
(3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围．
(4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值．
【详解】（1）解：∵点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”，
∴把代入，得，
即，
解得，
∴平衡点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）解：把代入，得，
整理得，，
∵二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，
∴，
∴①，
∵“平衡点”为，
∴，
整理得，②，
联立①②，得，
解得，
∴二次函数关系为，
∵，
∴顶点坐标为；
（3）解：由（）可得，，，
∴，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，如图，
当时，，
解得，
当时，，
∴；
（4）解：把代入，得，
整理得，，
∵关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，
∴，
解得，
∴，
由，整理得，
解得，
∴，
把代入，得，
整理得，，
∴，
解得，
∵，点在点的左侧，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得（不符合题意，舍去），
∴，
综上所述，．
【新考法问题·函数与几何模型综合】（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，求线段长度的最大值；
(3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，
则
解得，
直线的解析式为，
设，，
过点D作轴交于M点，如图1，
则，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，取最大值，最大值是；
（3）存在．
假设存在这样的点D，中有一个角与相等，
点F为的中点，
，，
过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2，
①若，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
联立，
解得，或（舍），
②若，
同理可得，，，
，
同理可得，直线的解析式为，
，
解得或（舍），
综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为．
考 点 突 破 练
考点01 二次函数与线段有关问题
1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最大值；
③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
【详解】（1）解：①∵，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线经过、两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②设直线的解析式为，将点A、B代入得：
，解得：，
∴，
∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
∴，，
∴，
由题意得：，
∴当时，取得最大值为9；
③∵，，
∴当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
当，时，即时，的最大长度在处取得；
（2）解：不发生变化，理由如下：
∵抛物线经过、两点．
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵点是线段上的动点，
∴，
∵点Q在抛物线上，
∴点Q的坐标为，
∴，
∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致，
∴问题（1）中③的结论未发生变化．
2．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点
∴设，；
∵旋转，
∴，
当点在轴上方时，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或；
（3）存在；
在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：，的最小值为．
4．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值是，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∵，
∴；
设点P到直线的距离为h，
∴，
∴，
∵当有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为，
∴点P到直线的最大距离为；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
∵，
∴；
设点Q的坐标为，则；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或．
5.（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，交x轴于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P在直线上方抛物线上，作轴，交线段于点D，作轴，交抛物线于另一点E，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线平移至顶点在原点，直线分别与x，y轴交于E，F两点，与新抛物线交于P、Q两点，作的垂直平分线交y轴于点N，若，设．问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过．，两点，
，
解得：，
解析式为：；
（2）解：设直线，代入，，得，
解得：，，
直线．
点在抛物线上，点在上，
设，．
在直线上方，
，
轴，
，关于对称轴对称，
，
，
，即．
①当时，，
解得：，，
在上方，
，
，
；
②当时，，
解得：（舍），，
；
综上：P点坐标为或．
（3）解：平移后的解析式为：，
设，
，，，，
，
联立，得，
，，
连接，，过作轴，作于，作于，
根据垂直平分线可得，，，
∵，
∴，
、都是等腰直角三角形，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
∴，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
整理，得，
，，
，
∴．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点的纵坐标为．
(1)如图，求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第一象限的抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转后得到线段（点在第一象限内），过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于点，设点的纵坐标为，线段的长为，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)如图，在（）的条件下，连接，过点作，射线交过点且与垂直的直线于点，过点作于点，点为上一点，过点作，交于点，交于点，连接，若，，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴顶点的坐标为，
∵顶点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：过点作直线轴，交轴于点，交于点，设对称轴交轴于点，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
当时，代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上，
∴点的纵坐标为，
即；
（3）解：过点作，过点作，
∵顶点，，
∴，
，
在中和中，
，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作交的延长线于点，
∵，，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为．
考点02 二次函数与图形面积有关问题
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线，
当，，
解得：，
当，
∴，，
∵，
∴，
过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，
∴，
∴，
过点作平行线与抛物线交点即为点，
∵，，
∴，
设直线，
则，
∴，
∴直线，
∵∥，
∴设直线，
代入得：，
解得：，
∴直线，
与抛物线解析联立得：，
整理得：
解得： 或，
∴点P的横坐标为或．
2．（2026·新疆昌吉·一模）如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标．
【详解】（1）解：将点A，点B的坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，令，则y=5，
∴，
设直线解析式为，把点B、点C的坐标代入得：
解得，
∴直线解析式为，
设点，则点，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或5，
∵点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），
∴，则，
∴点．
3．（2025·安徽芜湖·三模）已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
【详解】（1）解： ，
顶点的坐标为，
点始终在直线上，
，，
当时，取得最小值，最小值为；
（2）①的长为定值，理由如下：
由（1）知，
令得，
，．
令，，
，，
或，
或，
把代入，得，
点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，
，
的长为定值；
②如图，延长交轴于点，则点的坐标为，
，，，，
，且，
，
，
而，，
，解得或（不合题意，舍去），
的值为2．
4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由．
【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为，
∴由顶点公式，其中即
∴
∴抛物线表达式为 ．
（2）当时，即
解得或（舍去），
故．
当时，故．
设直线的方程为
将点与点代入得
∴直线的方程为．
向上平移m个单位后，直线方程为．
与抛物线联立：
整理得：
抛物线与直线有交点时，，
解得，又 ，
∴m 的取值范围为．
（3）抛物线对称轴为．
直线当时，故．
顶点当故．
点．
设在抛物线上，．
如图，
情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时，
因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为，
联立抛物线方程，
解得：或，
∴点P坐标为.
情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因，
∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离，
当过点时，代入
∴解析式为，
联立，
整理得：，
解得：，
即点的横坐标是，点的横坐标是.
综上所述，存在点横坐标为.
5．（2025·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求与的关系；
(2)如图①，当时，点在抛物线上，，求点的坐标；
(3)如图②，若抛物线上一点关于直线的对称点是的外心，求的值．
【详解】（1）解：将代入得
∴即
（2）解：∵
∴
∴抛物线解析式为
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
得
解得：
∴
当在的下方时，如图，过点作轴，交于点，
设，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，则
∴，且轴，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴到的距离为
如图，延长交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，且
∴到的距离为，
∵
∴当在上方时，点在过点与的平行线上，设过点与的平行线交抛物线于点,
设直线的解析式为
代入
∴
解得：
∴
联立
解得：或
∴或
综上所述，或或
（3）抛物线方程为，由（1）知，
当时，，则
故抛物线为：
设，
当时，
∵
∴
∴
即，解得
∴
∵是直角三角形，
∴的外接圆的圆心在上，且为的中点，
∵，
∴的外接圆的圆心坐标为：
因为直线的解析式为
如图，设，的中点为，过点作轴交于点
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵关于对称，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴，
∵在上，
∴
∴即①
∵
∴
∴②
联立①②得，
∴
∵在抛物线上，代入抛物线方程：
解得：或
∵
∴
6．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由．
(3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标．
(4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：将代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，面积比保持不变为，理由如下：
根据题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则或.
∴这个面积比为或；
（3）解：如图所示，经过最低点，即经过顶点，
该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴，且相似比为，
根据顶点纵坐标可得，，
则，
即
解得，
①当时，即为如图所示，
此时，
点在第四象限，故；
②如图所示，
当时，此时点在第一象限，点在第三象限，
此时，
故；
综上，或；
（4）解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点，
由得，，
∴，
即，
解得（舍去），或，
∴当点向左运动时，满足题意，
∴；
②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点，
同理，，相似比仍为，
此时，，代入抛物线解析式得，
，
解得（舍去），或，
此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意，
当时，解得，
∴当时，符合题意；
③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限，
思路同②，此时，代入抛物线解析式得，
，
解得（舍去），或，
此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意，
∵点不在坐标轴上，
∴当时，符合题意；
综上，当或或时，符合题意．
7．（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：已知抛物线过，
，解得，
所以抛物线表达式：；
（2）解：令，得，
则可设直线的解析式：，
代入，得，解得，即，
设点，，
过D作轴交于，
则，，
，
这是开口向下的二次函数，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为8，
此时D的坐标为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为，
∴，
过作轴交于，
设，则，
，
又与面积相等，
，即，
，解得（与点P重合，舍去）或，此时，
或，解得或，
对应Q的坐标为：，
综上，点Q的坐标为，．
8．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【详解】（1）依题意，，
解得
二次函数的解析式为．
（2）①依题意，即该一次函数的解析式为．
将代入，得，
即点的坐标为，
代入，得，
即一次函数的解析式为，
由，
解得点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，
所以，
由图像可知不等式解为．
②设，，则，．
将代入，得，
则，
解得，
，，
依题意得，
，
，
．
而
．
，，
，．
故
所以，，
即的值为定值，且该定值为．
考点03 二次函数与特殊三角形存在性问题
1．（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
【详解】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
2．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
②根据图象可知，当时，x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标．
(3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵中，当时，，
∴，
∴设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
当时，
，，
∵，
∴，
解得（舍去），或（舍去），
∴点P不存在；
当时，，
∴，
解得解得，或（舍去），
∴，
∴；
当时，，点P不存在；
当时，，，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
故点坐标为，

（3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则，
∵是以为斜边的等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，，
∴P坐标为，或；
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
解得，（舍去），
∴P坐标为；
故P坐标为，或，或．

4．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
设抛物线的解析式为，
把代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，即；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线图象的对称轴为：，
设，
∵轴，
∴，
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，
∴四边形是矩形，
∴四边形的周长
，
∵，
∴当时，四边形的周长最大，则，
∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为；
（3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，
∴，
由翻折得，
∵．
∴，
∴，
∵对称轴于H，
∴轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为：，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
将代入，则，
∴，
设，
∴，，，
分两种情况：
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴
解得：，
∴点的坐标为；
综上，所有符合条件的点P的坐标为或．
考点04 二次函数与特殊四边形存在性问题
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
2．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．
(1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，
∴，
∵以原点为中心，把点A顺时针旋转，
∴，
此时点在轴正半轴上，
∴；
∵，
∴对称轴为直线；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴当，有最大值为，
∴，
∴；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
设，，
由（1）知：；
当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况：
①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，，
∴轴，
∴轴，
∴，；
②当以为对角线时，则：，解得，
∴，，
∵，
∴，解得；
∴；
③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在；
综上：或．
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）当时，解得：，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
作轴，垂足为点，设，则：，
∴，
∵与的面积相等，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
（3）存在点，使四边形为正方形，
如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，
由（2）可知，直线的解析式为，
设，直线解析式为，
联立得：，
消去得：，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵四边形为正方形，
∴，
，
整理得：，
解得：或，
正方形边长为，
或．即正方形的边长为或．
考点05 二次函数与相似三角形存在性问题
1．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：由题意得：，则，
则抛物线的表达式为：．
（2）解：存在，
理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：，
当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形，
当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点，
当时，，即点，则，符合题意；
当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点，
当时，，即点，
则，符合题意；
综上，点或．
2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为M．
(1)求抛物线的解析式，并写出M点的坐标；
(2)若点P是线段上一个动点，连接，问是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将点、代入，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
∵，
∴M点的坐标为；
（2）解：存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似，理由如下：
当时，，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
当时，，
∴，
解得：，
∴，解得：或2（舍去），
∴；
当时，，
∴，解得：，
∴，
解得或（舍去），
∴P点的坐标为；
综上所述：P点的坐标为或．
3．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
令，即，
解得，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
所以直线的解析式为，
设点的坐标是，
点是直线下方抛物线上的动点，
，
过点作于点，则，
，
的面积，
当时，的面积最大值为，
当时，；
（3）解：，
，
如图，连接，
设的解析式为，
将、代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
令，即，解得，
点的坐标为，
，且，
，
，
设点，
点在线段上，
，
则，
，
分情况讨论：
①当时，有，
，
解得，满足，
则此时，
此时点的坐标为．
②当时，有，
，
解得，满足，
此时，
此时点的坐标为，
点的坐标为或．
4．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上对称轴右侧的点．
①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标；
②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：①令，解得，，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴，
过P作轴，交于Q，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得（不符合题意舍去），，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点在对称轴上，且与相似，
∴当时，
或，
设，
则或，
解方程，得，，
∴，
∴，
解，得，，
∴，
∴，
当时，
过P作于H，
则，
又，
∴，
又与相似，
∴与相似，，
∴或，
同理可求或，
综上：或．
考点06 二次函数与角度有关问题
1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为．
①求旋转角度的正切值；
②当时，求原抛物线平移的距离．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得，
解得，
∴抛物线的表达式，
（2）∵，
∴当时，，
∴，
作的中垂线交轴于点，连接，则：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得，解得，
∴，
过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：，
设直线的解析式为，把代入，得，解得，
∴，
联立，
解得或，
∴；
∵，
∴当时，，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，则：，，
∴直线与抛物线的交点也满足题意，
同法可得：直线的解析式为，
联立，解得或，
∴；
综上：或；
（3）①∵，
∴，
∵，
同法可得直线的解析式为，
由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：，
∴，
同法可得直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移，
∵，
∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等，
设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为，
∴，
联立，
解得：，
∴，
作轴，交的延长线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）或（舍去）；
∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为，
∴抛物线的平移距离为；
当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为；
综上：抛物线的平移距离为．
2．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点．
(1)当时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式；
(3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？
【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于，
∴设二次函数的交点式为，
，，
∴，
解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：对于二次函数，
令，可得，则点的坐标为，则
∵，
∴，
∵
∴，
如图，作的角平分线交轴于点，则，
∴，
设到的距离为，则，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，则，
∴．
∴．
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式．
（3）解：当时，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，则重合，重合，
又∵是第四象限的点，
∴当时，则，．
∴要使得成立， 的取值范围为；
（4）解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
在中，．
如图所示，取．
∴．
∴是等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
3．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
【详解】（1）将点代入中得：
解得：，
∴．
（2）根据抛物线对称轴公式可知：
抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，
∴、中点在对称轴上，
∴，
，
解得：，
∵点是该抛物线上的点，
将代入抛物线解析式得，
，
即
设是A关于的对称点，则：
解得，，
∴点坐标为．
（3）∵抛物线顶点为，开口向上，，，
当时，包含，最低点为。
当时，，最高点为A，纵坐标差为：，
解得：；
当时，，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得：．
综上，m的值为或．
（4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：
∴，，，，
∴，，，，
如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作
∴
∴
∴
当点在上时，
∴
∴
解得，
当点在上时
∴，
∴，
∴，
解得，．
其中，，时，如图，经检验符合，
综上，．
4．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，把和代入得：
，解得，
∴，
设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，
则点F的坐标为，
∴，
∵轴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为，
把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，
即，
由A，B关于对称性可得点A的坐标为，
连接，则的最小值为长，
即，
即的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即，
过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，
设点N的坐标为，
由平移得，
∴，
如图所示，∵，
即，解得（舍去）或，
这时点N的坐标为；

如图所示，则∵，
即，解得或（舍去），
这时点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或．
5.（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线．
(1)求二次函数关系式．
(2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
(3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即
∴二次函数解析式为
将代入得，
解得：，
∴二次函数关系式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴，
当时，，则
∴，，
设，则
①当在直线的下方时，
如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，
∴，，
设关于的对称点为，则，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴点与点重合，
∴
当在的上方时，作点关于的对称点
∵都是等腰直角三角形，
∴在轴上，
同理可得直线解析式为
联立
解得：或
∴
综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为，
（3）解：如图，在上取一点，使得
∴
设，则
在中，
∴，即
解得：
∴
∴
∵，
在上取一点，使得，垂足为，
∴
∴
即,
如图，作关于的对称点，连接交于点
∴
∴当在上时取得最小值，最小值为的长，
在中，
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴的最小值为．
压 轴 提 速 练
1．（2025·甘肃·中考真题）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；
(3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．
①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）当时，则：，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，
∴，
∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，
∴，，
∴，
∴的面积；
（3）①由题意，作图如下：
连接，作于点，
由（2）可知：，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
对于，当时，，
∴点在抛物线上；
②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴当三点共线时，最小，
同①可得，，
∴点在射线上运动，
∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【详解】（1）解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
3．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
4．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，，
解得
抛物线的解析式为．
（2）与相切，
理由：如图（1），令，
解得，．
，
，
又
，
，
过点作轴于点．
抛物线的对称轴为直线，顶点．
，
，
，
又为直径，
与相切．
（3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则．
，且点在抛物线对称轴上．
若与相似，则分以下两种情况：
当时，点与点重合，
当时，如图（2），
，
，
．
点的坐标为或．
5．（2025·海南·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点．
①求线段的最大值及此时点的坐标；
②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：将代入，
得
解得
该抛物线的表达式为；
（2）①当时，，
∴，
设直线的解析式是：，
则，解得：，
∴直线的解析式是：，
如图1，设，则，其中，
则，
当时，线段有最大值，为，，
此时点的坐标为．
②存在，理由如下：
，
使用待定系数法同理可得：直线的解析式为．
令，则，
点的坐标为．
，
，且，
．
如图1，分别过点、作轴于点轴于点．
由，得，
∴．
分两种情况讨论：
I．当时，，
即，
解得，满足，
此时点的坐标为．
II．当时，，
即，
解得，满足，此时，点的坐标为．
综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，
点的坐标为或．
6．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值．
(3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【详解】（1）解：把代入，
．
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
；
（2）解：∵，N是抛物线顶点，
∴，
设直线的解析式为，
，，
∴，解得：，
直线的解析式为，
，
可设直线为，
设点，，
且．
解得：．
（3）解：存在定点满足条件．
设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，
，
．
，，．
作，，，，，．
，
．
即，
，
，
．
．
．
，
直线不垂直于轴，
，
，
，
直线解析式，
无论为何值，，，
∴过定点，故存在定点．
7．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：当时，代入，解得，
∵抛物线交轴于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交轴于，且过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为：，
不妨设点，那么，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴此时，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为：，
∵，
∴不妨设直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，最小，
过点作，过点作交于，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为，
如下图所示，、、三点共线：
不妨设点，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴，
同理，∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知，，，，
∴，且点为的中点，
∵轴于点，交于点，
∴，垂直平分线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当点满足时，
则，
∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，
如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T，
∴，
在上取，连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点在第一象限，
如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，
则四边形和为矩形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
不妨设，则，
∵四边形和为矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点Q的坐标为或．
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