资源简介

专题04 有关中点的辅助线添加
趋势领航练
考点突破练
考点01 多个中点构造中位线
考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线
考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一
考点04 三角形中线构造全等三角形
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新考法·阅读理解型问题】（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形．
（1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．
【详解】解：动手操作：∵中，，
∴是钝角三角形，
∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下：
迁移运用：
（1）∵正方形的边长为7，正方形，
∴，
∴，
∴为钝角三角形，
∴为最小覆盖圆的直径，
延长交于点，则：，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，作于点，延长交于点，
则：四边形为矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，即：，
∴，
∵过点，，
∴，为的直径，
又∵，
∴为锐角三角形，
∴即为的最小覆盖圆，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，即的最小覆盖圆的直径为；
（3）变化；
连接，交于点，交于点，连接，
∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，四边形的最小覆盖圆的直径为，
∴随着的变化而变化，
∵，即，
∴，
∴，即．
【新考法·回归教材类探究】（2025·江西九江·一模）课本再现
三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：，分别是的边，的中点．
求证：，且．
知识应用
（2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形．
②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
【详解】解：（1）证明：如图1，延长到点，使，连接，，．
，，
四边形是平行四边形，
，且，
，且，
四边形是平行四边形，
，且．
又，
，且．
（2）①如图，连接，
∵，，分别是，，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，都是平行四边形．
故答案为：3；
②证明：如图2，连接．
，，，分别是四边形各边的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
【新定义问题】（2025·吉林长春·模拟预测）我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【阅读材料】
（1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________；
【问题探索】
（2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明；
【拓展运用】
（3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围．
【详解】解：（1）∵是中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴，，，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
（2），理由如下：
如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，
∴是的中线，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的“旋补中线”，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如图，作于H，作交延长线于F，

∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵，，
结合（1）的结论可得：，即．
【新情境问题】（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值．
【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点，
，
．
故答案为：90．
（2）如图2，取的中点，连接、，
，点是的中点，，
，，
，
，
，
，
的最大值为．
（3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、，
菱形，
，，
，
，
，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
美食一条街长度的最大值为．
考 点 突 破 练
考点01 多个中点构造中位线
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
【详解】（1）证明：∵点分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：连接，，
∵点分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，为中点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
2．（2025·山西吕梁·三模）阅读下面材料，完成相应任务．
四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点分别是的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点分别是的中点．若，求． 解：如图2，取的中点，连接． ∵点、分别是的中点， ∴．（依据） ……
任务：
(1)上述材料中的依据是指___________．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点分别是的中点，，延长交于点，延长交于点，且．请直接写出的长度___________．
【详解】（1）解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理）．
（2）解：如图 2，取的中点，连接．
∵点分别是的中点，
∴．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）
，
，
，
在 中，由勾股定理，得．
（3）证明：如图，取的中点，连接．
∵点分别是的中点，
∴．
，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形，
，
∴．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质可得
过作于过点C作的延长线于，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（2）证明：延长至， 使得， 连接，
为中点
为的中位线
由旋转的性质可得，
，，
，
，
四点共圆，
，
，
连接，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
又，
P，Q，R三点共线；
（3）解：过点C作延长线于，
由旋转的性质可得，
由（1）得，由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
则S的最大值为25．
故答案为：25．
4．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
【详解】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为；
故答案为：；
（2）∵点的坐标为，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴，
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q，
∵点N是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线
5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
【详解】（1）①如图所示，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
为中点，
、为、的中点，
，
；
故答案为：2．
②连结，
，，
，
又点为的中点，
，，，
，
又，
，
，
．
（2）第一种情况如图所示，，设．则，
，
，
，
过点作于交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
第二种情况：如右图所示，，连接，
易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立；
由（1）可知：，
，
，
又，
．，
可得，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
6．（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F．
(1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______；
(2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：；
(3)若，试探究，的数量关系．
【详解】（1）解∶ 连接，
∵，，点D是的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，点E是的中点，，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）证明 ∶连接，
∵，，点D是的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G，
∴，
∴，，
∵，，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，，的数量关系是．
7．（2025·山西运城·一模）综合与探究
问题背景
数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接．
初步探究：
（1）与的数量关系为________；
深入探究
（2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
拓展延伸
（3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值．
【详解】解：（1）∵点D为的中点，G为的中点，
∴，
∵，F为的中点，
∴，
∴；
（2）①四边形为平行四边形；理由如下：
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∵点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形；
②连接、，如图所示：
∵，
∴，
根据旋转可知：，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴点D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
∵点D为的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵点D为的中点，
∴，
当在旋转过程中时，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴是以为底的等腰三角形，
∴此时符合题意，
∵，
∴；
当在旋转过程中时，过点D作于点H，连接，过点B作于点G，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是以为底的等腰三角形，
∴此时符合题意，
∵，，
∴．
综上分析可知：．满足条件的的值为或．
考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一
8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至，
∴，，，，
∴，，
∴点M在的延长线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
②∵，，，
，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为；
（2），理由如下：
将绕点B逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）过C作于H，连接，设交于K，如图：
∵四边形是正方形，，
∴H为中点，是等腰直角三角形，
，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即的值为．
9．（2025·江苏泰州·二模）如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G．
(1)求证：；
(2)取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上；
(3)在（2）的条件下，
①当点G是中点时， ；
②当点E是中点时，求的值．
【详解】（1）证明：正方形，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图，作于点，作于点，连接，
，，
是等腰直角三角形，
点P是的中点，
，，
，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，即，
，
，
点P在的平分线上，
正方形，
点D在的平分线上，
点B、P、D在同一条直线上．
（3）解：①如图，连接，
由（2）得，点B、P、D在同一条直线上，
点G是中点，
，
正方形，
，，
，
．
故答案为：2；
②如图，作、，垂足分别为、，则，
设正方形的边长为，
则，
点E是中点，
，
，，，
，
，，
，
，
又，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
考点04 三角形中线构造全等三角形
10．（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围．
（2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明．
【详解】解：（1）延长到E，使得；连接，
∵点为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；
（2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2：
则，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）结论：．
理由：延长到G使，连接．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴．
11．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点．
(1)当是边中点时，
①如图（1），联结，如果，求证：；
②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值；
(2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长．
【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵是边中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，，
设，则，
∴，
∴；
（2）解；如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，即
∴，
∵，即，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
∴．
12．（2025·宁夏银川·二模）兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长．
【问题拓展】
（3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
【答案】（1）；；（2）8；（3）见解析
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点，使，连接，利用证明，可得，在中，利用三角形三边关系解答即可；
（2）证明，即可解答；
（3）延长至点G，使，连接，由（1）得：，可得，，再由垂直平分，可得，然后根据勾股定理证明即可．
【详解】解：（1）延长到点，使，连接，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图，延长至点G，使，连接，
由（1）得：，
∴，，
∵是边的中点，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
压 轴 提 速 练
1．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点G，过点F作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
同理可得，即，
解得，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作于点P，作于点Q，设，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在射线上截取，在射线上截取，
∵是菱形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
同理：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵O是的中点，
∴，
∴．
2．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
(3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】
（1）如图①，在中，，点为斜边的中点，若，则的长为_____________；
【深入探究】
（2）如图②，在中，，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，求的长；
【问题解决】
（3）如图③，某社区有一块健身器材区，其中．为方便居民使用，决定改建，按照设计要求，在中点处建一个休息凉亭，过点作的垂线，交的延长线于点，在点处增加一个小门方便居民通行．点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，点为的中点，延长交于点，连接，在处建一个便民休闲区，引入商家方便居民随时购买饮品．为充分满足居民需求，想让区域的面积尽可能大，若，求区域的最大面积．
【详解】解：（1）在中，，点为的中点，，
∴，
故答案为：3．
（2）点是中点，，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
（3）如图③，延长，在延长线上取一点，使，连接．
则．
，
，
，
四点共圆，
点为中点，
是中位线．
．
四点共圆，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
如图④，作的外接圆，连接，
则，
为等边三角形，
过点作于点，并延长交于点，过点作交的延长线于点，则，
当点与重合时，此时的高最大，即的面积最大，
，
，
此时，
区域的最大面积为．
4．（2025·重庆江津·一模）已知是等腰直角三角形，，为平面内一点．
(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长；
(2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：；
(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．
【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，
∵点D是的中点，且，
∴，
在中，，
∴，，
由旋转得：，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）解：证明：如图2，连接，过点F作交于H，
∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点，
∴AE=EF，，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，
∵将绕点D逆时针旋转，得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵Q是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设则
在中，，，
当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为．
5．（2025·河南·模拟预测）综合与实践
【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线．
如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长．
【特例感知】
（1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示）
【深入探究】
（2）如图3，折线是的折中线．
①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”）
②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由．
（3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长．
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）①如图，延长交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，（三角形三边关系：两边之和大于第三边），即，
故答案为：>；
②平分，
理由：延长交的延长线于点G.
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴平分（等腰三角形三线合一）；
（3）或.
观察图形可知，，而，故，
∴折中线中的线段或只能与中较短的对角线相等，
分情况讨论：①当时，
如图，过点作于点G，过点B作，交的延长线于点K，
设，则，，
∴四边形是矩形，
则，
解得，
在中，由勾股定理，得；
在中，由勾股定理，得，
故折中线的长为；
②当时，如图，过点A作交的延长线于点F，过点A作于点M，过点E作于点N，
设，则，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，∴，
∴（等腰三角形三线合一），
即，
解得，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
故折中线的长为，
综上所述，折中线的长为或．
6．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践
【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线．
【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等．
【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法）
【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由：
【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值．
【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长．
【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求，
（2），理由如下：
如图，连接，
∵为边上的中线，为边上的中线，
∴，，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴,
∴；
（3）如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（4）∵在中，，点为的中点，，
∴，
由（3）得：，
∴，
∵，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，
如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，
∴，
即当最大时，的长为．
7．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】
如图1．在中，D、E分别为的中点，连接：
操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ．
【结论应用】
（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．

【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．

【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，，
∴，即，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
操作2．延长到点F，使，连接．
∵E分别为的中点，
∴，又，
∴,
∴，，
∴，即，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
（2）∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形；
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
过H作于M，则，
∴四边形的面积为；
（3）连接，取的中点M，连接，，
∵点P和点Q分别为边和边的中点，，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即小路的长度为5．
8．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(1)如图1，中，是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2．
(2)如图2，在，点是上一点，过点作，连接并取其中点，连接．求证：．
(3)如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点旋转至，连接，取其中点，连接．请判断与是否相等？并说明理由．
【详解】（1）证明：延长至点E，使得，连接．
∵点D是的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
即是直角三角形，
又∵点F是的中点，
∴，
同理，在中有，
∴．
（3）解：成立，理由如下：
取的中点G，和的中点H，连接，，，，
∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵在（2）的基础上将图2中绕顶点A旋转至，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴．
9．（2025·江苏盐城·二模）【定义】在三角形中，一边的中线把这边所对的内角分成两个两倍关系的角，那么这条中线叫作这个三角形的“倍中线”．如图，在中，是的中线，，则中线是的“倍中线”．

【判定】（）已知：如图，在中，对角线、交于点，．证明：是的“倍中线”．
【作图】（）如图，，点是边上一点，的边与射线交于点，是的“倍中线”，且，用直尺和圆规作点．（保留作图的痕迹）
【运用】（）如图，是的“倍中线”，，点是直线上一动点，且．
①如图，若，，则__________．
②若点在射线上，且，求的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的“倍中线”；
（2）解：如图所示，点即为所求：
先作与相等的角，射线与射线交于点并延长，
即，
再以点为圆心，为半径画圆，交于点，连接，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴是的“倍中线”．
（3）解：①当在点上方时：
∵是的“倍中线”，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵
∴
∴，
∴
设，，
即
∴，
∴以为未知数，以为字母，用求根公式可得：（舍负数），，
∴；
当在点下方时：延长至点，令，连接，，如图所示：
∵是的“倍中线”，
∴，
又∵，，，
∴，，
∴，，，，
∵是的“倍中线”，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
即，
∴，，
∴以为未知数，以为字母，用求根公式可得：（舍负数），，
∴；
综上可得：的值为：或．
故答案为：或．
②延长至点，令，在上取点，令，连接，，如图所示：
∵是的“倍中线”，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
即，
∴，，
∴以为未知数，以为字母，用求根公式可得：（舍负数），，
∴，
的值为：．
10．（2025·广西河池·一模）【课本再现】
如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．
【问题解决】
（1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探究】
在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M．
（2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______；
（3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
【详解】解：（1），证明如下：
如图：在取点G，使得，连接．则，
∴
∵在正方形中，
∴，，
∴，即，
∵交正方形外角的平分线于点F，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2），证明如下：
如图：在取的中点H，，
∵点E在边的中点，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∵为的平分线，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3），证明如下：
如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形，
∴，，即，
∴，即，
∵为的平分线，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
11．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ……
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____．
依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
【详解】（1）解：三角形的中位线平行且等于底边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，连接，
，分别为，的中点，
，（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半），
同理可得，，
，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
同时可得，连接，同理可得，
．
故答案为：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：
如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到，
则，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
同理可证，，
．
（3）解：连接，，如图，
和是等边三角形，
，，，
，
，
，
；
由性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和，
；
，
，
，
，
，
，
，
四边形的周长为20；
故答案为：20．
12．（2026·山西运城·一模）综合与探究
问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为．
猜想证明：
（1）如图1，若，求证：．
拓展延伸：
（2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长．
（3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离．
【详解】解：（1）证明：由等边知，，．
，
，
．
，
．
（2）如图，过点作于点，在上取一点，使得．
旋转，
，，
．
为的中点，
，，
，，
，
，．
，
，
．
设，则，，
，解得，
．
（3）平移的距离为6或10．
由题意可知，是等边三角形．
由平移的性质可得，
如图，当时，
．
，
，
．
是的中点，
，
；
如图，当时，令与的交点为．
，
，
，，
．
综上所述，平移的距离为6或10．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 有关中点的辅助线添加
趋势领航练
考点突破练
考点01 多个中点构造中位线
考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线
考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一
考点04 三角形中线构造全等三角形
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新考法·阅读理解型问题】（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形．
（1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．
【新考法·回归教材类探究】（2025·江西九江·一模）课本再现
三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
定理证明：
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：，分别是的边，的中点．
求证：，且．
知识应用
（2）①如图2，在中，，，分别是，，的中点．以这些点（，，，，，）为顶点，在图中能画出 个平行四边形．
②如图3，在四边形中，，，，分别是四边形各边的中点．求证：四边形是平行四边形．
【新定义问题】（2025·吉林长春·模拟预测）我们定义：如图①，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
【阅读材料】
（1）如图②，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是__________；
【问题探索】
（2）如图①，是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图①中与的数量关系，并给予证明；
【拓展运用】
（3）如图③，当时，是的“旋补三角形”， ，垂足为点E，的反向延长线交于点D．若，，直接写出的取值范围．
【新情境问题】（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值．
考 点 突 破 练
考点01 多个中点构造中位线
1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
2．（2025·山西吕梁·三模）阅读下面材料，完成相应任务．
四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点分别是的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点分别是的中点．若，求． 解：如图2，取的中点，连接． ∵点、分别是的中点， ∴．（依据） ……
任务：
(1)上述材料中的依据是指___________．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点分别是的中点，，延长交于点，延长交于点，且．请直接写出的长度___________．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
4．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
考点02 直角三角形斜边中点构造斜边上的中线
5．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
6．（2025·贵州遵义·一模）中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F．
(1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______；
(2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：；
(3)若，试探究，的数量关系．
7．（2025·山西运城·一模）综合与探究
问题背景
数学课上、同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开数学活动，如图1，在中，，点是的中点，过点作交于点，连接，点是的中点，点是的中点，连接．
初步探究：
（1）与的数量关系为________；
深入探究
（2）如图2将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接，点是的中点，点是的中点，连接，，和．
①试判断四边形的形状，并说明理由；
②求证：；
拓展延伸
（3）如图3，在中，，，，点是的中点，过点作于点，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出所有满足条件的的值．
考点03 等腰三角形底边中点构造三线合一
8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
9．（2025·江苏泰州·二模）如图，正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，连接交于点G．
(1)求证：；
(2)取的中点P，求证：点B、P、D在同一条直线上；
(3)在（2）的条件下，
①当点G是中点时， ；
②当点E是中点时，求的值．
考点04 三角形中线构造全等三角形
10．（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到E，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围．
（2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明．
11．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点．
(1)当是边中点时，
①如图（1），联结，如果，求证：；
②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值；
(2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长．
12．（2025·宁夏银川·二模）兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长．
【问题拓展】
（3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
压 轴 提 速 练
1．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
2．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
(3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
3．（2025·陕西商洛·模拟预测）【问题提出】
（1）如图①，在中，，点为斜边的中点，若，则的长为_____________；
【深入探究】
（2）如图②，在中，，点是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点．若，求的长；
【问题解决】
（3）如图③，某社区有一块健身器材区，其中．为方便居民使用，决定改建，按照设计要求，在中点处建一个休息凉亭，过点作的垂线，交的延长线于点，在点处增加一个小门方便居民通行．点在线段上，连接，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，点为的中点，延长交于点，连接，在处建一个便民休闲区，引入商家方便居民随时购买饮品．为充分满足居民需求，想让区域的面积尽可能大，若，求区域的最大面积．
4．（2025·重庆江津·一模）已知是等腰直角三角形，，为平面内一点．
(1)如图1，当点在的中点时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若，求的长；
(2)如图2，当点在外部时，、分别是、的中点，连接、、，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，若，求证：；
(3)如图3，当在内部时，连接，将绕点逆时针旋转，得到，若经过中点，连接、，为的中点，连接并延长交于点，当最大时，请直接写出的值．
5．（2025·河南·模拟预测）综合与实践
【问题情境】定义：四边形一边的中点与它所在边的对边的两个端点的连线所形成的折线，叫作四边形的折中线．
如图1，在四边形中，是边的中点，连接，，则由线段，组成的折线叫作四边形的折中线，折线的长叫作折中线的长．
【特例感知】
（1）如图2，若四边形是矩形，当时，折中线的长与边的长的数量关系是______．（用含的代数式表示）
【深入探究】
（2）如图3，折线是的折中线．
①若，折中线的长为，则与的数量关系是_______．（填“>”“=”或“<”）
②当时，写出图3中的一条角平分线及其平分的角，并说明理由．
（3）如图4，在中，，，当折中线的其中一条线段与的一条对角线相等时，直接写出折中线的长．
6．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践
【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线．
【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等．
【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法）
【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由：
【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值．
【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长．
7．（2026·江西·模拟预测）【猜想探究】
如图1．在中，D、E分别为的中点，连接：
操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点F，使，连接． 试探究与有怎样的位置关系和数量关系？
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理， ．
【结论应用】
（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．若，，，求四边形的面积．

【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．

8．（2025·山东潍坊·二模）我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
(1)如图1，中，是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2．
(2)如图2，在，点是上一点，过点作，连接并取其中点，连接．求证：．
(3)如图3，在（2）的基础上将图2中绕顶点旋转至，连接，取其中点，连接．请判断与是否相等？并说明理由．
9．（2025·江苏盐城·二模）【定义】在三角形中，一边的中线把这边所对的内角分成两个两倍关系的角，那么这条中线叫作这个三角形的“倍中线”．如图，在中，是的中线，，则中线是的“倍中线”．

【判定】（）已知：如图，在中，对角线、交于点，．证明：是的“倍中线”．
【作图】（）如图，，点是边上一点，的边与射线交于点，是的“倍中线”，且，用直尺和圆规作点．（保留作图的痕迹）
【运用】（）如图，是的“倍中线”，，点是直线上一动点，且．
①如图，若，，则__________．
②若点在射线上，且，求的长．
10．（2025·广西河池·一模）【课本再现】
如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴．
【问题解决】
（1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探究】
在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M．
（2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______；
（3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由．
11．（2025·山西吕梁·一模）阅读与思考
下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
勤思小组关于“中点四边形”的研究报告研究对象：中点四边形 研究思路：按“概念—性质—应用”的路径进行研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明． 研究过程： 【概念呈现】顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是中点四边形． 【性质探索】根据“中点四边形”的定义，探索其性质： （1）如图2，连接，，分别为，的中点， ，（依据1）， 同理可得，， ，，∴四边形是平行四边形（依据2）． 同时可得，连接，同理可得， ． 性质1：中点四边形是平行四边形． 性质2：中点四边形的周长等于原四边形对角线的和． （2）进一步研究发现： 性质3：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半． 勤思小组证明过程如下： 如图3，将沿向左平移，使得点与点重合，点与点重合，得到， 则，，， ，， ……
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____．
依据2是指：_____．
(2)依照材料中提供的思路，完善勤思小组对性质3的证明过程．
(3)如图4，在中，，，，分别以，为边向外侧作等边和等边，连接，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为_____．
12．（2026·山西运城·一模）综合与探究
问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为．
猜想证明：
（1）如图1，若，求证：．
拓展延伸：
（2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长．
（3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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