资源简介

专题05 几何综合题常见模型
趋势领航练
考点突破练
考点01 一线三等角模型
考点02 手拉手模型
考点03 对角互补模型
考点04 角含半角模型
考点05 十字架模型
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境问题】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴这两条路与等长，且它们相互垂直；
（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：
由（）得，，
∵米，米，
∴米，米，米，
∴，
∴，
∴，
又∵在中有，
∴，
∴，
∴，
如果另一端点在路段上，
则在中，，
∴此种情况不成立；
如果另一端点在花园边界上时，
设，则在中，有，
∴，
∴，
∵，
∴能修建成这样的一条直路．
【新考法问题】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
考 点 突 破 练
考点01 一线三等角模型
1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得：
，
，
作轴，轴，如图，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
∵，点的坐标为，
，
，，
，
，
在反比例函数的图像上，代入得：
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上，
∴设，，
∵，，
∴轴，且，
∵、与点A、构成以为边的平行四边形，
∴，且，如图，
∴轴，且，
∴
由②得：，
代入①得：
解得：（舍），
则，
∴．
故答案为：．
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，，，点D在上，．求证：；
(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
∴；
（2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
∴，
，，
，
∴，
．
3．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证：
(2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：
(3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证：
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
（3）∵，，
∴，
∴．
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
4．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，
(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则．
又 ，
．
设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为，
又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上，
，解得，
．
（2）由（1）知，
在正方形中，，
又
（点拨：也可通过证，求的值）．
如图，过点作轴于点，则．
，
，
．
又，
（提示：“一线三直角”相似模型），
，
设，则，，
（点拨：根据的几何意义建立方程），
解得 ，（舍去），
点的坐标为
5．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【详解】（一）解：，
，
故答案为：
（二）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
（三）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
考点02 手拉手模型
1．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：数量关系：，位置关系：．
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
（3）解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
【详解】解：（1）连接并延长交于，

∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，连接交于点，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图（3），设，，则，
∵，即，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴黄金比为；
（4）①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时：
如图，在，，底边与腰的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
②当等腰三角形的腰与底的比等于黄金比时：
如图，在，，腰与底边的长度之比为，，
过点作于点，
∴，，
在中，，
∴的值为．
3．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
【详解】[模型提出]
解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，
故答案为：；
[模型构造]
解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
，又，，，
∴,，
∴，又，
∴，
即；
[模型应用]
解：连接，
∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即
∴．
4．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，经检验符合题意；
（2）证明：如图，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
（3）∵，，D为的中点，
∴，，
∴，
过B作于M，过D作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，经检验，符合题意；
（4）解：∵，，，
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴， ，
设，则，
过A作于M，过F作于N，
∴，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值为，此时，
∴面积的最大值为，此时的长度为．
5．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
(2)将图1中的绕点顺时针旋转．
①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当最长时，与的交点记作．若，则_________．
【详解】（1）证明：在中，
，
在中，
，
点是的中点，
在中，，在中，，
，，
，
是等边三角形；
（2）①（1）中的结论还成立，理由如下：
如图，延长交于点，分别延长相交于点，
由旋转角为可得，
，
又，
，
，
，
是的中位线，
，
，
同理可得，
，
，
是的中位线，
，
，
是等边三角形；
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，
，
延长至点G，使，延长至点P．使，连接、、、，
，，
，
，，
，
同理，
，，，
，
，
，，
，F为中点，
∴，，
，
同理，，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
最大时，即取得最大值时，
当三点共线时，取得最大值，此时最大，
即绕点A顺时针旋转240度时，最大，
延长交于点，分别延长相交于点，
由①得是的中位线，是的中位线，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：3
考点03 对角互补模型
1．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．
(1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分；
(2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积；
(3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长．
【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵于点 M，于点 N，
∴平分；
（2）由（1）可知：平分，，
∴，
；
（3）∵ 四边形是奇异四边形，，
又∵，
∵平分，
，
由（1）知，平分，
，
∴，
又∵，
∴，
，
∵，即 ，
解得 或（舍去），
．
2．综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，，
求证：点四点共圆．
证明：过三点作，假设点D不在上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE，
是的外角，，
四边形ABCE是的内接四边形，，
又，．
这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形
【详解】（1）解：对角互补的四边形能内接于圆．（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）．
（2）解：如图1，为所求．
点D在上．
（3）证明：假设点D在外时，如图3，
CD交于点E，连结，
是的外角，
．
四边形是的内接四边形，
又，
．
这与相矛盾，所以假设不成立，
所以点D不可能在外．
3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】
数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明）
【问题整合】
若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：
问题1：含的互补四边形．
如图1，在四边形中，，且平分．
求证：．
数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题．
请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：
问题2：含的互补四边形．
（1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号）
①；②；③若，则．
（2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由．
问题3：含α角的互补四边形．
（3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示）
【详解】解：（1）过点作，垂足分别为，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故②正确；
若，
则，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴
故③正确．
故答案为：①②③．
（2）．理由如下：
∵平分，
．
过点D作于点E，于点F．
．
，
．
．
∵平分，，
．
．
．
在中，，
．
同理可得，
．
．
．
（3）过点D作于点E，于点F．
，
．
．
，平分，
．
．
在中，，，
，．
．
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
【详解】（1）①如图所示，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
为中点，
、为、的中点，
，
；
故答案为：2．
②连结，
，，
，
又点为的中点，
，，，
，
又，
，
，
．
（2）第一种情况如图所示，，设．则，
，
，
，
过点作于交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
第二种情况：如右图所示，，连接，
易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立；
由（1）可知：，
，
，
又，
．，
可得，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
5．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考
下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图1，（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2，连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ……
任务：
(1)材料中的依据1是指_____；
依据2是指_____．
(2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整．
(3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值．
【详解】（1）解：的依据是四边形的内角和等于；的依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
故答案为：四边形的内角和等于；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）证明：如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆．
，
．
四边形内接于，
，
，
，
即“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值．
（3）解：的值为；理由如下：
在矩形中，，，
，
，
设，则，
在直角三角形中，由勾股定理，得，
，
将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，
，
，
四边形为“垂直四边形”，
．
故答案为：
考点04 角含半角模型
1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
【实践探究】
(1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系；
(2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ；
(3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长．
【详解】（1）解：正方形，
，
由旋转的性质可知，，，，，
，
点、、三点共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
，
由（1）可知，，
，
，
，即正方形的边长是12；
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
在中，，
；
（4）解：如图，延长至点，使得，过点作的平行线交的延长线于点，延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
同（1）理可证，
设，则，，
在中，，
，
解得：，即的长为4．
3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
【详解】解：（1），理由如下：
∵将绕点D逆时针旋转得到，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）如图
在上取一点G，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
（3）在上截取，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的周长．
4．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰，
∴，,,
∴
∴
∵
∴
故答案为：5；
②同①可知，
故答案为：；
（2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得
∴
整理得
故答案为：；
（3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
∴
由勾股定理可得
∴
故答案为：；
②同①可得，，，，
∵
∴
整理得
故答案为：；
（4）如图，作交于M，交于N，交于H，
由（3）可知，，
由题意可知，
∴，，
∴，
解得
5．（2026·河北张家口·一模）数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究：
【探究1】
（1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)；
（2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值；
【探究2】
（3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)．
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
∵是等边三角形，边长为，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（2）解：连接，如图，
∵四边形是菱形，边长为6，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵菱形中，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴由（1）得，
要使的面积最小，只需使的长度最小，
根据垂线段最短，当时，取得最小值，
∵是等边三角形，，
∴在中，由勾股定理得，
∴面积的最小值为；
（3）解：∵为边上的高，
∴，
作关于对称的，作关于对称的，延长，交于点，如图，
则，，，，．
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形，正方形边长为．
设，，则，，，
在中，，由勾股定理得，
即，
展开化简得
由完全平方公式的非负性可知，变形得，
∴，即，
当时，
由求根公式得(舍去)，
∴的最小值为，即的最小值为，
根据的面积，
∴最小值为．
考点05 十字架模型
1．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示：
则
四边形是正方形
四边形是矩形
在中，
四边形是正方形
，
；
②过点P作、，如图所示：
由①可知四边形是正方形
、
故 为定值，该定值为；
（2）解：过点P作、，连接，如图所示：
四边形是正方形
射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F
、
同理可得
是等腰直角三角形
在中，
由勾股定理得
．
答：四边形的面积为．
2．阅读与思考
下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：
由一道习题引发的思考 “十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，． 又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， …
任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：
(1)画横线部分的“依据*”是__________________________．
(2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）．
A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想
(3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程．
【详解】（1）∵
∴
∴，
∴
根据同角的余角相等即可得到
故答案为：同角的余角相等．
（2）在小论文的分析过程，体现了转化思想和由特殊到一般的思想
故答案为：A、C．
（3）∴
∵
∴
∵
∴，
∴
3．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴
∵
∴
∵
∴
在和中，
∴；
（2）①证明：∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵四边形为正方形，
∴
∵，
∴，
∴．
∴四边形为正方形；
②证明：延长交于点K，
∵四边形为正方形，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴．
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
③解：取中点O，连接，
∵
∴
延长交于P，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴
∴
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
4．（2026·四川南充·一模）按要求解决问题：
(1)证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2中，作于，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交的延长线于．
∵，
∴，
∴，
∴设，，则，
∴，
由（2）可知，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍弃），
∴，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
5．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M，
∵四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作交于点Q，
∴；
同理可证明四边形是平行四边形，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
如图所示，延长到点P，使得，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
压 轴 提 速 练
1．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现
(1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____．
类比探究
(2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：．
拓展应用
(3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长．
【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O．
根据折叠的性质可得垂直平分，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∵由（1）有，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：线段的长为2或8．
连接，设，
∵，，
∴，，
在中，，
当点Q落在线段上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
当点Q在延长线上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
综上，线段的长为2或8．
2．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形中，相交于点O．
（1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________；
（2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值
类比探究
（3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）．
【详解】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
（2）如图，
根据题意得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）的值与α无关，理由如下，
如图，
同理可证，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵O是的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴的值与α无关；
（3）同理可证，，，
∴，，
∵，
∴
，
即．
3．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
【详解】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
4．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
【详解】（1）解：，理由如下：
在正方形中，，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）证明：，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，
正方形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点P是的中点，，正方形，
，
，
设，则，
，
，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作，
矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
；
当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作，
矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，，矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
综上：的值为．
5．（2025·山东东营·中考真题）
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
【详解】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
（2）方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
6．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点G，过点F作于点，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
同理可得，即，
解得，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点D作于点P，作于点Q，设，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在射线上截取，在射线上截取，
∵是菱形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
同理：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵O是的中点，
∴，
∴．
7．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质可得
过作于过点C作的延长线于，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
（2）证明：延长至， 使得， 连接，
为中点
为的中位线
由旋转的性质可得，
，，
，
，
四点共圆，
，
，
连接，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
在中，点是的中点，
，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
又，
P，Q，R三点共线；
（3）解：过点C作延长线于，
由旋转的性质可得，
由（1）得，由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，
则S的最大值为25．
故答案为：25．
8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至，
∴，，，，
∴，，
∴点M在的延长线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴成立；
②∵，，，
，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的周长为；
（2），理由如下：
将绕点B逆时针旋转得，连接，如图：
由旋转性质可得：，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）过C作于H，连接，设交于K，如图：
∵四边形是正方形，，
∴H为中点，是等腰直角三角形，
，
∵E为的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即的值为．
9．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则
，解得，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
则，；
（2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，
则，
∴，
∴，
∴，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
则，
那么，点；
②一次函数的图象与y轴交于点C，
令，则，
∴，
∵，
∴，
过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
∵点，
∴，
∵，
∴点M与点K重合，，
∴点，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴，
设点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴，解得，或，
∵D的横坐标大于1，
∴，
∴，
故点．
10．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形．
（1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．
【详解】解：动手操作：∵中，，
∴是钝角三角形，
∴的最小覆盖圆为以为直径的圆，作图如下：
迁移运用：
（1）∵正方形的边长为7，正方形，
∴，
∴，
∴为钝角三角形，
∴为最小覆盖圆的直径，
延长交于点，则：，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，作于点，延长交于点，
则：四边形为矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴，
∵，即：，
∴，
∵过点，，
∴，为的直径，
又∵，
∴为锐角三角形，
∴即为的最小覆盖圆，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，即的最小覆盖圆的直径为；
（3）变化；
连接，交于点，交于点，连接，
∵分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，四边形的最小覆盖圆的直径为，
∴随着的变化而变化，
∵，即，
∴，
∴，即．
11．（2026·安徽蚌埠·二模）综合与探究
【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
(1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：；
(2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值；
(3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长．
【详解】（1）证明：于点于点，
，
，
；
；
（2）解：过点作的延长线于点，连接．
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（3）解：过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，如图，
，
，，
，
于点于点，
，
，
，
，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 几何综合题常见模型
趋势领航练
考点突破练
考点01 一线三等角模型
考点02 手拉手模型
考点03 对角互补模型
考点04 角含半角模型
考点05 十字架模型
压轴提速练
趋 势 领 航 练
【新情境问题】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）．
(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；
(2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．
【新考法问题】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
考 点 突 破 练
考点01 一线三等角模型
1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
(1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式；
(2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____．
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：
(1)如图2，，，点D在上，．求证：；
(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值．
3．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？
(1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证：
(2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证：
(3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证：
4．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，
(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．
5．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
考点02 手拉手模型
1．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
2．（2025·江苏无锡·三模）同学们，你们在初三数学学习中一定有许多收获．我在模型上加以创新，你快来试试，我相信这一定难不倒你们！
【Ⅰ．“手拉手”模型】
如图，在中，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是的中点，连接．
（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当时，与的位置关系是 ， ．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
【Ⅱ．“黄金三角形”】
（3）如图3，点C将线段分成两部分，较长线段为，如果，这个比值叫黄金比，称点C为线段的黄金分割点．在求黄金比时，通常设整个线段的长为单位1，较长线段的长为x，请你利用定义求出黄金比．
（4）进一步探究发现：①当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比；②腰与底的比是黄金比．
满足以上两种情况之一的三角形叫做黄金三角形，设黄金三角形顶角的角度为．请你利用所学知识，选择其中一种并画出图形，求的值．
3．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
4．（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
5．（2025·宁夏·中考真题）如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
(1)如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
(2)将图1中的绕点顺时针旋转．
①当旋转角为时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当最长时，与的交点记作．若，则_________．
考点03 对角互补模型
1．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形．
(1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分；
(2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积；
(3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长．
2．综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形中，，请在图1中作出过点三点的，并直接判断点D与的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中，，
求证：点四点共圆．
证明：过三点作，假设点D不在上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在内时，如图2，延长交于点E，连结AE，
是的外角，，
四边形ABCE是的内接四边形，，
又，．
这与相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在外”（如图3）的情形
3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】
数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明）
【问题整合】
若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：
问题1：含的互补四边形．
如图1，在四边形中，，且平分．
求证：．
数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题．
请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：
问题2：含的互补四边形．
（1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号）
①；②；③若，则．
（2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由．
问题3：含α角的互补四边形．
（3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示）
4．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
(2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
5．（2025·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考
下面是数学小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
在四边形中，．我们把这种有一组对角相等，且都为，另一组对角不相等的四边形称为“垂直四边形”．“善思”小组对“垂直四边形”的性质，展开了探究． 初步得到三条性质： ①“垂直四边形”对角互补； ②“垂直四边形”是圆内接四边形； ③“垂直四边形”的对角线的比值（短比长）等于该四边形最小内角的正弦值． 性质证明： 如图1，（依据1），， ， “垂直四边形”对角互补． 如图2，连接，取的中点，连接． ， （依据2）， 四边形内接于以点为圆心，的长为半径的圆， “垂直四边形”是圆内接四边形． 如图3，连接相交于点，过的中点作于点，以点为圆心，的长为半径作圆． ， ． 四边形内接于， ， ……
任务：
(1)材料中的依据1是指_____；
依据2是指_____．
(2)将材料中第三条性质的证明过程补充完整．
(3)如图4，将矩形沿对角线所在直线折叠，点的对应点为点，且交于点，连接交于点．若，请直接写出的值．
考点04 角含半角模型
1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
2．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
【实践探究】
(1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系；
(2)在图①条件下，若，，则正方形的边长是 ；
(3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
(4)如图③，在矩形中，，，点、分别在边上，连接，，已知，，直接写出的长．
3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当时，求出的周长．
4．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
5．（2026·河北张家口·一模）数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究：
【探究1】
（1）如图1，已知等边三角形的边长为，则 (用含的代数式表示)；
（2）如图2，菱形的边长为6，，点和点分别在边和边上，，连接，求面积的最小值；
【探究2】
（3）如图3，在中，，为边上的高，(为定值)，求面积的最小值(用含的代数式表示)．
考点05 十字架模型
1．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．
(1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：；
②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）．
2．阅读与思考
下面是小宇同学写的一篇数学小论文，请认真阅读并完成相应的任务：
由一道习题引发的思考 “十字架模型”的拓展研究 在我们教材上，有这样一道习题：如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，要修建两条路和，且使得，那么这两条路等长吗？为什么？ 对于上面问题，我是这样思考的： ∵四边形是正方形，∴，． 又∵，∴ ∴，（依据*） ∴，∴． 有趣的是对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，是否这两条线段仍然相等呢？对此我们可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，若点M、N、P、Q分别是、、、上的任意四点，且，垂足为O，则仍然与相等．理由如下： 过点M作，垂足为E，过点P作，垂足为F．则容易证明四边形和均为矩形， ∴，．∵，∴ 在四边形QOND中，∵， …
任务：任务：根据上面小论文的分析过程，解答下列问题：
(1)画横线部分的“依据*”是__________________________．
(2)在小论文的分析过程，主要运用的数学思想有：_______．（从下面选项中填出两项）．
A．转化思想 B．方程思想 C．由特殊到一般的思想 D．函数思想
(3)请根据小论文提供的思路，补全图2剩余的证明过程．
3．（2026·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别是边上的动点（不包含端点），于点G，于点M，．
(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过点E作分别交于点H，N．
①求证：四边形为正方形；
②求证：；
③若，请直接写出的取值范围．
4．（2026·四川南充·一模）按要求解决问题：
(1)证明推断：如图1，在正方形中，点分别在边上，于点，点分别在边上，．求的值；
(2)类比探究：如图2，在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：连接，在（2）的条件下，当时，若，求的长．
5．（2026·四川南充·一模）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于E，过点O的直线与边分别交于F，G．
(1)如图1，若，求证：．
(2)如图2，将所在直线绕点O顺时针旋转使得，若，，求的长．
压 轴 提 速 练
1．（2026·甘肃平凉·一模）观察发现
(1)如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____．
类比探究
(2)在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：．
拓展应用
(3)如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长．
2．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形中，相交于点O．
（1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________；
（2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值
类比探究
（3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）．
3．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
4．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题．
【尝试解决】
如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且．
(1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ．
(2)在（1）的基础上，求证：．
(3)【类比应用】
如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长．
(4)【拓展提升】
如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值．
5．（2025·山东东营·中考真题）
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
6．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
7．（2025·江苏徐州·中考真题）如图1，将绕直角顶点O旋转至，点A，B的对应点分别为C，D．连接，直线与交于点E．
(1)与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，连接，若的中点分别为P，Q，R．求证：P，Q，R三点共线；
(3)已知，随着及旋转角的变化，若存在以A，B，C，D为顶点的四边形，其面积为S，则S的最大值为_______．
8．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上．
①证明，并判断是否成立；
②若，，请计算正方形的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值．
9．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标；
②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标．
10．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】
最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．
【动手操作】
如图1，中，，请作出的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【迁移运用】
正方形的边长为7，在边上截取，以为边向外作正方形．
（1）如图2，连接，求的最小覆盖圆的直径；
（2）将图2中的正方形绕点C逆时针旋转（如图3），经过A，D，F三点，且与边分别交于点I，L，求的最小覆盖圆的直径；
（3）将正方形绕点C旋转，分别取的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形（如图4）．在旋转过程中，四边形的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．
11．（2026·安徽蚌埠·二模）综合与探究
【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
(1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：；
(2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值；
(3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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