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专题07 一次函数与反比例函数综合
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数的图象和性质
题型02 一次函数与方程、不等式
题型03 一次函数与几何图形的综合
题型04 反比例函数的图象和性质
题型05 一次函数与反比例函数图象综合判断
题型06 一次函数与反比例函数交点综合
题型07 反比例函数与几何图形的综合
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2025·安徽宿州·模拟预测）下列关于函数的性质说法正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点
C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确；
该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误；
该函数y随x的增大而增大，故选项D错误．
故选：A．
【典例02】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标是 B．的面积是4
C．随的增大而减小 D．点在函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等；
当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D；
【详解】解：A.当时，，所以，故不符合题意；
B.当时，，的面积是，故符合题意；
C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不符合题意；
D.当时，，所以点不在函数图象上，故不符合题意；
故选：B．
方法透视
考向解读 1. 图象特征：主要考查一次函数y = kx + b的图象是一条直线，k决定增减性（k>0上升，k<0下降），b决定与y轴交点。 2. 系数意义：常考k和b的几何意义，通过图象位置判断系数符号，或根据系数画草图。 3. 平移规律：考查一次函数图象的平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项）。 4. 数形结合：常与方程、不等式结合，利用图象求方程解或不等式解集。
方法技能 1. 系数定象限：由k、b符号确定图象经过的象限（k>0过一三，k<0过二四；b>0交正半轴）。 2. 两点定直线：画一次函数图象时，找与坐标轴交点(0, b)和(- , 0) 或任意两点连线。 3. 平移看变化：平移时k不变，只变b，注意口诀“左加右减在x，上加下减在b”。 4. 比大小看位置：比较函数值大小，观察图象上对应点的上下位置，上方的点函数值大。
变式演练
【变式01】（2025·广东清远·二模）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象经过点
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是关键．根据函数的增减性、经过的象限、与坐标轴的交点等知识进行判断即可．
【详解】解：对于一次函数，
∵，，
∴函数图象经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误，
当时，，即函数图象经过点，故B正确，
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故C正确，
故选：D
【变式02】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．随的增大而减小
C．图象经过一、二、三象限 D．关于的方程的解是
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】解：由图象知，，且y随x的增大而增大，故A、B选项不符合题意；
图象经过一、三、四象限，故C选项不符合题意；
由图象知，图象与x轴的交点是，则关于的方程的解是，故D选项符合题意，
故选：D．
【变式03】（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．点A的坐标为 B．直线的解析式为
C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】去绝对值化简得当时，，，当时，，结合图象逐项判断即可求解．
【详解】解：当时，，令，则，解得：；
当时，，则；
当时，，令，则，解得；
A、当时，，则，解得，则，故此项错误，不符合题意；
B、当时，，即直线的解析式为，故此项正确，符合题意；
C、不等式的解集为，故此项错误，不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，故此项错误，不符合题意．
题型02 一次函数与方程、不等式
典例引领
【典例01】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而减小
B．
C．当时，
D．关于x,y的方程组的解为
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项B正确，不符合题意；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【典例02】（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ）
A．由图象可知； B．方程组的解为；
C．方程的解为； D．当时．
【答案】D
【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可．
【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以；
则A正确；
因为直线与直线的交点坐标是，
所以方程的解是，
则B正确；
因为直线与x轴交点的坐标是，
所以方程的解是，
则C正确；
因为从交点向左时直线在直线的上方，
所以当时，，
则D不正确．
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 函数与方程：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。 2. 两函数交点：两个一次函数图象的交点坐标即对应方程组的解，考查数形结合求交点。 3. 函数与不等式：不等式kx+b>0的解集对应图象在x轴上方的部分，考查根据图象位置写解集。 4. 综合应用：常与方案选择、最值问题结合，利用函数图象分析不等关系确定最优解。
方法技能 1. 看图写解：根据图象与 \(x\) 轴交点位置直接写出方程的解，注意交点对应y=0。 2. 交点即解：求两直线交点即联立方程组求解，交点坐标同时满足两个函数解析式。 3. 上下定解集：解不等式看图象上下位置，y1>y2对应y1图象在y2上方的x范围。 4. 临界点分析：方案选择问题中，先求两函数交点对应的值，再分段讨论不同范围的最优方案。
变式演练
【变式01】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大
B．方程的解为
C．
D．方程组的解为
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键．
根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答．
【详解】解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小，
故A错误，不符合题意；
B、一次函数的图象过点，
，
，
，
当时，，
∴，
方程的解为，
故B错误，不符合题意；
C、直线过，
，
，
；
故C错误，不符合题意；
D、由图象可知：方程组的解为，
故D正确，符合题意
故选：D．
【变式02】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ）
A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程的解为
D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意；
B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意；
C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意；
D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
【变式03】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；
③．由图象可知：当时，，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个，
故选：C．
题型03 一次函数与几何图形的综合
典例引领
【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键．
（1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答；
（2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
.
；
（2）解：设的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设点的横坐标为，则纵坐标为，
，，
垂直于轴，垂直于轴，，
，
四边形是矩形，
，
，
点在线段上，
，
当时，四边形的面积有最大值，
当时，点纵坐标为，
．
【典例02】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；
（2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可．
（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设，
根据折叠的性质，得，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
故，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
（3）由（1）得：，
∴直线与直线的交点在直线的左侧，
如图所示：
当时，，
∴，
∵直线与直线的交点在直线的左侧，
∴直线经过点N时恰好是临界点，
∴，
解得：，
∴t的取值范围为．
方法透视
考向解读 1. 面积问题：主要考查一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，或与几何图形（矩形、梯形）结合求面积。 2. 交点坐标：常考求一次函数与几何图形（如直线、线段、曲线）的交点坐标，作为进一步计算的基础。 3. 存在性问题：在几何图形背景下，探究满足某条件（如等腰三角形、平行四边形）的点是否存在。 4. 动点与函数：结合动点运动，建立线段长度与时间的函数关系式，分析运动过程中的几何量变化。
方法技能 1. 求交点坐标：联立函数解析式或直线方程求交点，作为面积计算或分类讨论的起点。 2. 面积分割法：不规则图形面积用割补法转化为三角形或梯形面积之和或差。 3. 分类讨论思想：存在性问题中，按顶点位置或边相等情况分类讨论，列出方程求解。 4. 动点设坐标：动点问题中设动点坐标(t, kt+b)，用含t的式子表示线段长，建立函数关系。
变式演练
【变式01】（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接．
(1)求k、b的值；
(2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，，即．
将点，代入得，，
解得：，．
（2）解：由（1）知直线的解析式为．
令，则，解得：，
．
是关于轴的对称点，
．
如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
直线的解析式为；
设直线的解析式为，则有，
，．
直线的解析式为，
联立可得：，解得，．
点，
当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点），
．
．
【变式02】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C．
(1)求直线的表达式；
(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标；
(3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)、、 、；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）先求得，然后代入求得a的值即可解答；
（2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可；
（3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可．
【详解】（1）解：直线交x轴于点A
，解得：，即，
将代入中可得：
，解得：，
直线的表达式：．
（2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B
∴令，则，即，
直线过点A交y轴于点C
令，则，即
∴，
设点P的坐标为，则
①当，
，即
，即，
∴，；
②当；
，即，
，即，
∴，．
综上，P的坐标为、、、．
（3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，
，解得： ，
∴
同理 ，解得：，即；
①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G，
，
∴，即，解得：；
②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q
，
，解得：．
综上所述：或．
【变式03】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和性质以及一次函数和坐标轴的交点问题．
（1）证明和即可得出结论；
（2）设直线的解析式为：，把A，C坐标代入可求出m和n的值，进而可求出的长，因为，所以M的坐标又可求出，再设直线的解析式为，把M和B点的坐标代入求出k和b的值即可求出直线的解析式．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为：，把A，C坐标代入得：
解得，
∴直线的解析式为，
令，可求得，
∴，
∴点M的坐标为，
设直线的解析式为，把和的坐标代入得：
解得：，
∴直线的解析式．
题型04 反比例函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ）
A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限
C．当时， D．函数值随的增大而增大
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项．
【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意；
B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意；
C、当时，，选项说法正确，不符合题意；
D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意．
故选：D．
【典例02】（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ）
A．其图象位于第一、三象限
B．当时，y随x的增大而减小
C．其图象经过点
D．当时，y的取值范围是
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
由点求出，得到函数解析式，再逐一判断选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
即，
∴，
∴图象在第二、四象限，当时，y随x的增大而增大，A、B错误；
当时，，即其图象经过点而非，C错误；
当时，，则当时，y的取值范围是，D正确；
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 图象特征：反比例函数y= 的图象是双曲线，关于原点中心对称，与坐标轴无限接近但永不相交。 2. 系数k的意义：k>0时图象在一三象限，k<0时在二四象限；|k|越大图象离坐标轴越远。 3. 增减性：在每个象限内，k>0时y随x增大而减小；k<0时y随x增大而增大（注意跨象限不具增减性）。 4. 几何意义：|k|等于图象上任意点向两坐标轴作垂线形成的矩形面积。
方法技能 1. k定象限：根据k符号直接判断双曲线所在象限，结合图象位置解决相关问题。 2. 面积定 k：利用矩形面积等于|k|求k值，注意符号由象限位置决定。 3. 增减看象限：比较函数值大小时，确保点在同一个象限内，跨象限不能直接比增减。 4. 对称性应用：利用双曲线的中心对称性，求交点坐标或线段相等关系。
变式演练
【变式01】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性．
【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意；
C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意；
D、当时，，选项说法不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式02】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（ ）
若，则时， 随的增大而减小；
若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则；
若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了真假命题，一次函数的性质，平行四边形的判定，根据，，则 随的增大而减小，从而判断；根据点(，是常数)，在第一象限，从而可判断；根据一次函数与反比例函数交点，平行四边形的判定即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴随的增大而减小，原命题正确，不符合题意；
∵，，
∴点(，是常数)，在第一象限，
∵反比例函数的图像不经过点(，是常数)，
∴，原命题正确，不符合题意；
如图，
∵直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，原命题正确，不符合题意；
综上可知：假命题的个数为，
故选：．
【变式03】（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ）
A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限
C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可．
【详解】解：，
该函数可以看作向上平移1个单位得到的，
函数图象如图，
由图象可知其关于对称，故C选项正确；
函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确；
该函数图象不经过第三象限，故B选项正确；
当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围；
故选D．
题型05 一次函数与反比例函数图象综合判断
典例引领
【典例01】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案．
【详解】解：，
分两种情况：
（1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；
（2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．
故选D
【典例02】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合；
时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合．
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 图象共存：主要考查同一坐标系中一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象位置关系，根据系数符号判断可能组合。 2. 交点问题：常考求两函数图象的交点坐标，联立方程组求解，或根据交点位置判断系数符号。 3. 大小比较：利用图象比较函数值大小，根据交点划分区间，判断y1 > y2或 y1 < y2的x范围。 4. 面积综合：结合交点与坐标轴围成的三角形面积，考查数形结合与计算能力。
方法技能 1. 系数定位置：根据一次函数的 k、b和反比例函数的m符号，逐一排除不可能共存的选项。 2. 联立求交点：两函数解析式联立方程组求解，得到交点坐标，注意检验是否在各自图象上。 3. 交点分区间：用交点横坐标将x轴分段，在每个区间内观察图象上下位置比较函数值大小。 4. 面积割补法：求三角形面积时，常以坐标轴为底，用交点坐标表示高，或补成梯形计算。
变式演练
【变式01】（2025·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得，
一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误；
B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得，
一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误；
C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得，
一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确；
D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得，
一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误；
故选：C．
【变式02】（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据题意可得，再根据一次函数和反比例函数经过的象限分别求出对应选项中的符号，看是否一致即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴；
A、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第二、三、四象限，则，不符合题意；
B、反比例函数图象经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，符合题意；
C、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，不符合题意；
D、反比例函数图象经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，不符合题意；
故选：B．
【变式03】（2025·安徽宿州·一模）已知抛物线（，，为常数，且的顶点坐标为，则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了抛物线的解析式及图象的性质，反比例函数和一次函数图象的性质，解题的关键是根据图象确定系数的取值范围．
由抛物线的顶点坐标为，可知同号，，得到反比例函数的解析式为，然后逐项进行判断即可．
【详解】解：由抛物线的顶点坐标为，可知同号，当时，代入得，，
所以，反比例函数的解析式为，
所以，双曲线位于第三、第四象限，故选项B，D不符合题意；
A.该选项，同号，符合题意；
D. ，异号，故不符合题意．
故选：A．
题型06 一次函数与反比例函数交点综合
典例引领
【典例01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，将代入，求得，再将点代入即可求解；
（2）设点，则，则．可得，分类讨论计算即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入，
可知，
∴，
∴．
又点在上，
∴．
∴反比例函数为．
（2）解：如图，

设点，则，
∴．
∴,
由，
解得，，
则，
①由图可知，在第二象限当时，，
∴化简为，
∵，
∴此种情况不存在．
②由图可知，在第二象限当时，，
∴化简为，
解得或．
又∵，
∴．
综上，．
【典例02】（2026·河南周口·一模）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)8
【分析】（1）将点和点的坐标代入直线解析式即可求出m、n；
（2）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出；
（3）利用直线解析式求出点C坐标，根据，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：∵点和点在一次函数的图象上，
∴把点代入，得；
把点代入，得，解得；
∴，．
（2）解：把代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
（3）解：∵点为一次函数的图象与轴的交点，
∴当时，，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为8．
方法透视
考向解读 1. 交点坐标求解：主要考查联立一次函数y=k1x+b1与反比例函数 y= 方程组，求交点坐标。 2. 交点与不等式：利用交点横坐标划分区间，比较两函数值大小，解不等式y1 > y2或y1 < y2。 3. 交点与面积：常考以交点及坐标轴为顶点构成的三角形面积，需用割补法或铅垂高法求解。 4. 对称性应用：利用反比例函数的中心对称性，两交点关于原点对称，简化计算过程。
方法技能 1. 联立方程求解：将两解析式联立，消去y得一元二次方程，解出x再求y，注意增根检验。 2. 交点分区间：用交点横坐标将数轴分段，在每个区间内任取一点比较函数值大小，确定不等式的解集。 3. 面积公式巧用：求三角形面积时，以坐标轴为底，用交点纵坐标的绝对值作为高，或补成矩形减去直角三角形。 4. 对称简化计算：已知一个交点坐标，由对称性直接写出另一个交点（关于原点对称）。
变式演练
【变式01】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值．
（1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解；
（2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
，
将代入反比例函数中，得，
则反比例函数的表达式为：．
在中，令，则，
令，则．
在中，．
（2）由（1）得，，
，
．
，
在中，当时，，此时；
当时，，此时．
故点的坐标为或．
【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)M点的坐标为或
(3)Q点坐标为
【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式；
（2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；
（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
【变式03】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①，；②
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解；
（2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解；
②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下：
设点，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图，连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
代入得，
，
解得；
②∵点在轴上，
∴，，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号；
延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点；
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故当最大时，点P的坐标为．
题型07 反比例函数与几何图形的综合
典例引领
【典例01】（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征．正确的作出辅助线是关键．
（1）过点B作轴于点D，证明，可得，可求出点C的坐标，即可求解；
（2）先求出时，可得此时点A移动了个单位长度，即C也移动了个单位长度，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点的坐标为，顶点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴设反比例函数的式为，
将代入得：，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：把代入，得，
解得：，
当顶点A恰好落在该双曲线上时，
此时点A移动了个单位长度，
∴C也移动了个单位长度，
∵点的坐标为，
∴点C的对应点的坐标为．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式．
【答案】(1)点D的坐标为；
(2)直线的解析式为或．
【分析】（1）先求出点的坐标，从而求出反比例函数的解析式，再求出，即可得出点的坐标；
（2）按照和进行分类讨论，计算每种情况对应的点和点的坐标，用待定系数法即可得直线的解析式．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，为的中点，
∴，，．
∴，
∴．
∴双曲线的解析式为，
∵点在双曲线上，
∴．
∴，
∴点的坐标为．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴当和相似时，可分两种情况：
当时，，
即，
∴．
∴易得，即与重合．
此时设直线BF的解析式为，
把点的坐标代入，得，
∴，
∴直线的解析式为．
当时，，
即，
∴,
∴,
∴此时设直线的解析式为，
把，的坐标代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述，若和相似，则直线的解析式为或．
方法透视
考向解读 1. 面积定值应用：主要考查反比例函数中k的几何意义，即双曲线上一点向坐标轴作垂线形成的矩形面积为|k|。 2. 三角形面积计算：常考以双曲线上的点与坐标轴或原点构成的三角形面积，利用k的几何意义转化求解。 3. 特殊图形结合：与等腰三角形、平行四边形、菱形等特殊图形结合，利用顶点在双曲线上求坐标或k值。 4. 动态探究：结合点的运动，探究图形形状变化或面积最值问题，考查函数与几何的综合分析能力。
方法技能 1. 面积转化：利用k的几何意义，将三角形面积转化为矩形面积的一半或相关图形面积。 2. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t, )，用含t的式子表示线段长，建立方程求解。 3. 分类讨论：涉及特殊图形时，按顶点位置或边相等情况分类，列出几何条件转化为代数方程。 4. 对称性应用：利用反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，简化点的坐标关系。
变式演练
【变式01】（2025·江西·二模）如图，菱形中，在x轴的正半轴上，点A的坐标为．反比例函数的图象经过点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)试判断线段的中点E是否在反比例函数的图象上，若在，请说明理由：若不在，请你将线段沿x轴方向平移，使得的中点E落在反比例函数的图象上，直接写出平移方向和距离．
【答案】(1)
(2)不在，沿x轴向左平移个单位长度
【分析】（1）如图，过点作，垂足为．根据，四边形是菱形，得出，，即可得，结合勾股定理求出，，则，即可求解．
（2）根据四边形是菱形，，，，得，则的中点的坐标为，判断出点不在反比例函数的图象上，在中，令，解得．则点在反比例函数的图象上，可得出将线段沿轴向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为．
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
，
，即，
∴，，
∴．
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：∵四边形是菱形，，，，
∴，
∴的中点的坐标为．
，
∴点不在反比例函数的图象上．
在中，令，
解得．
∴点在反比例函数的图象上，
，
∴将线段沿轴向左平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上．
【变式02】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E；
(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意易得点、的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标；
（2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到、的值，再利用计算即可；
（3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式．
【详解】（1）解：、，
、，
点F是边的中点，
，
点F在反比例函数的图像上，
，
，
反比例函数的解析式为，
将点的纵坐标代入得：，
，
；
（2）解：点的横坐标为，
，
，
点的纵坐标为，
，
，
在中，；
（3）解：过点E作于点H，如图：
、，
，
由折叠可知，、、，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
此时反比例函数的解析式为．
【变式03】（2026·全国·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，，反比例函数经过点，与对角线的另一个交点为点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)如图2，点是线段下方反比例函数图像上的一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值是， 的坐标为．
【分析】（1）先求出的长，在通过平行四边形的性质推出点的坐标，最后将点代入反比例函数中求解即可；
（2）先求出直线的解析式，根据轴，设坐标，推出坐标，得出的长度，再延长，分别交轴于点，，证明，推出的长，最后三角形面积公式求出，配方求出最值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴轴，．
∵，
∴点的横坐标：，纵坐标与的纵坐标一样，
∴．
∵经过点，
∴．
∴反比例函数表达式是．
（2）∵设直线的解析式为：，
将，代入得：
，
由②①得：
，
，
将代入①中，得，即，
∴直线的解析式为：．
∵设，
又∵轴，
∴的纵坐标的纵坐标，
∴，
∴．
如图，延长，分别交轴于点，．
∵，轴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
．
∴当时，的最大值是．
∵将代入中，
∴．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·山东临沂·二模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小 B．当时，
C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；
B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小，
∴当时，，原说法错误，符合题意；
C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意；
D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意．
故选B．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出函数图象一定经过点；又因为，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当时，则，再结合函数图象性质进行分析，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴函数图象一定经过点，
故①符合题意；
∵此函数中，
∴函数图象在第一、三象限，
故②符合题意；
∵
∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小，
故③不符合题意；
∵，
∴当时，则
∴当时，y的取值范围为，
∴故④不符合题意；
故选：B．
3．（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，分及两种情况寻找函数图象是解题的关键．分析当及时，两函数图象经过的象限，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限．
故选：C
4．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解．
【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意；
B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象得：当时，，故本选项符合题意；
D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为．
∵对于一次函数，令，则；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∴，故B选项正确；
，故C选项错误；
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴由图象可得当时，，故D选项正确．
故选：C．
二、填空题
6．（2026·湖北·模拟预测）已知一次函数，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的整数k的值是____．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的性质，当一次项系数时，y随x的增大而减小解答即可．
【详解】解：由题意得，一次函数，y随x的增大而减小，
，
解得，
可取任意小于1的整数，如，
故答案为：0（答案不唯一）．
7．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______．
【答案】
【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：因为一次函数的解析式为，
所以y随x的增大而减小．
又因为，
所以
故答案为：
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据函数图像解答即可求解．
【详解】解：由函数图像可知，当时，函数的图像不在函数图像的上方，即，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
9．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点A的坐标为，点C在y轴上，若反比例函数的图象过点B，则k的值是__________．
【答案】3
【分析】过点作轴，垂足为，先利用勾股定理求出的长，再利用证明，得到点B坐标，最后将点B坐标代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，
∵点A的坐标为，
∴,
∵，
∴,
∴点C的坐标为，
∵，，
∴
又∵，,
∴
∴，，
∴，
∴点B坐标为，
把代入，得，
∴．
10．（2026·陕西·一模）如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图象恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．
【详解】解：过点作，垂足为，则，
在中，，，
，
又，
，
设，则，
点，，
又反比例函数的图象恰好经过点，．
，
解得，，，
故答案为：．
三、解答题
11．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于和两点．
(1)求m、n的值和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出点A和点B的坐标是解题的关键．
（1）把点A和点B的坐标代入反比例函数解析式中可求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）设直线交x轴于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于和两点，
∴，
∴，
∴，
把代入一次函数解析式得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围为或；
（3）解：如图所示，设直线交x轴于点C，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴．
12．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，
(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过设交点坐标表示出线段的长度，再利用勾股定理求出点的坐标，将点的坐标代入函数解析式即可求出的值；
（2）过点作轴于点，则点的横坐标是线段的长度，纵坐标是线段的长度，利用可以求出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则．
又 ，
．
设，则点关于直线对称的点的坐标为，点的坐标为，
又点 关于直线 对称的点和点 都在反比例函数上，
，解得，
．
（2）由（1）知，
在正方形中，，
又
（点拨：也可通过证，求的值）．
如图，过点作轴于点，则．
，
，
．
又，
（提示：“一线三直角”相似模型），
，
设，则，，
（点拨：根据的几何意义建立方程），
解得 ，（舍去），
点的坐标为
【点睛】本题是一道反比例函数与几何综合题，主要考查了求反比例函数的解析式、勾股定理、正方形的性质和用相似三角形求点的坐标等，熟练掌握勾股定理、三角形相似求点的坐标是解题的关键．
13．（2025·宁夏银川·三模）如图，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点落在处，过点作正比例函数和反比例函数 的图象．
(1)求和的值．
(2)求所在直线的解析式．
(3)在第二象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了求函数解析式，求一次函数解析式，三角形的面积．
（1）把代入，得：；把代入，得：；
（2）作轴，作轴，则：，证明，得到，可知，进而可得点C的坐标，进而待定系数法求解析式即可；
（3）勾股定理求得，根据是等腰直角三角形，为斜边，得出的长，进而可得，设，，根据建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得：；
∴
把代入，得：；
∴反比例函数解析式为
（2）作轴，作轴，则：，
，
，
，
，
，
．
设直线的解析式为
代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
（3）解：设，
∵，
∴
又∵是等腰直角三角形，为斜边，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
14．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)_____，点的坐标为_____．
(2)求出直线的函数解析式．
(3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围）
【答案】(1)1；
(2)
(3)
【分析】（）把代入一次函数解析式可求出的值，把代入一次函数解析式可求出点的坐标；
（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解；
（）求出点坐标，进而可得的长，由题可知点的坐标为，把代入一次函数解析式分别求出和，再根据列出函数解析式即可；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数的几何应用，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴直线的函数解析式为，
把代入，得，即，
∴点的坐标为，
设直线的函数解析式为，把点，代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为；
（3）解：把代入，得，
解得，
∴，
，
由题可知点的坐标为，
将分别代入直线，的解析式，得，，
，
．
15．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l 上．
(1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”）
(2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值．
【答案】(1)过；
(2)；
(3)4或．
【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可；
（2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式；
（3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值．
【详解】（1）解：在中，令得，
∴直线过定点，
故答案为：过；
（2）在中，令得，
∴，
∵点B、O关于点D对称，
∴D是的中点，
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为为；
（3）在中，令得，
∴在直线上，
∴直线：与直线：的交点为，
在中，当时，；
当时，，解得：，
∴，，
∴，
当时，如图：
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴；
当时，如图：
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴；
综上所述，m的值为4或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用．
16．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)正确，见解析
(2)见解析
(3)k
【分析】（1）由，可得，求证，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）解：正确．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
（2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 一次函数与反比例函数综合
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数的图象和性质
题型02 一次函数与方程、不等式
题型03 一次函数与几何图形的综合
题型04 反比例函数的图象和性质
题型05 一次函数与反比例函数图象综合判断
题型06 一次函数与反比例函数交点综合
题型07 反比例函数与几何图形的综合
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2025·安徽宿州·模拟预测）下列关于函数的性质说法正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点
C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小
【典例02】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法正确的是（ ）
A．点的坐标是 B．的面积是4
C．随的增大而减小 D．点在函数图象上
方法透视
考向解读 1. 图象特征：主要考查一次函数y = kx + b的图象是一条直线，k决定增减性（k>0上升，k<0下降），b决定与y轴交点。 2. 系数意义：常考k和b的几何意义，通过图象位置判断系数符号，或根据系数画草图。 3. 平移规律：考查一次函数图象的平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项）。 4. 数形结合：常与方程、不等式结合，利用图象求方程解或不等式解集。
方法技能 1. 系数定象限：由k、b符号确定图象经过的象限（k>0过一三，k<0过二四；b>0交正半轴）。 2. 两点定直线：画一次函数图象时，找与坐标轴交点(0, b)和(- , 0) 或任意两点连线。 3. 平移看变化：平移时k不变，只变b，注意口诀“左加右减在x，上加下减在b”。 4. 比大小看位置：比较函数值大小，观察图象上对应点的上下位置，上方的点函数值大。
变式演练
【变式01】（2025·广东清远·二模）对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限
B．函数图象经过点
C．函数图象与y轴的交点坐标为
D．y随x的增大而减小
【变式02】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）一次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．随的增大而减小
C．图象经过一、二、三象限 D．关于的方程的解是
【变式03】（2026·山东滨州·一模）已知函数的图象如图，根据图象，下列结论正确的是（ ）
A．点A的坐标为 B．直线的解析式为
C．不等式的解集为 D．当时，y随x的增大而减小
题型02 一次函数与方程、不等式
典例引领
【典例01】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随的增大而减小
B．
C．当时，
D．关于x,y的方程组的解为
【典例02】（2025·宁夏吴忠·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ）
A．由图象可知； B．方程组的解为；
C．方程的解为； D．当时．
方法透视
考向解读 1. 函数与方程：一次函数y=kx+b的图象与x轴交点横坐标即方程kx+b=0的解。 2. 两函数交点：两个一次函数图象的交点坐标即对应方程组的解，考查数形结合求交点。 3. 函数与不等式：不等式kx+b>0的解集对应图象在x轴上方的部分，考查根据图象位置写解集。 4. 综合应用：常与方案选择、最值问题结合，利用函数图象分析不等关系确定最优解。
方法技能 1. 看图写解：根据图象与 \(x\) 轴交点位置直接写出方程的解，注意交点对应y=0。 2. 交点即解：求两直线交点即联立方程组求解，交点坐标同时满足两个函数解析式。 3. 上下定解集：解不等式看图象上下位置，y1>y2对应y1图象在y2上方的x范围。 4. 临界点分析：方案选择问题中，先求两函数交点对应的值，再分段讨论不同范围的最优方案。
变式演练
【变式01】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大
B．方程的解为
C．
D．方程组的解为
【变式02】（2025·宁夏银川·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ）
A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程的解为
D．当时，
【变式03】（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型03 一次函数与几何图形的综合
典例引领
【典例01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标．
【典例02】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
方法透视
考向解读 1. 面积问题：主要考查一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积，或与几何图形（矩形、梯形）结合求面积。 2. 交点坐标：常考求一次函数与几何图形（如直线、线段、曲线）的交点坐标，作为进一步计算的基础。 3. 存在性问题：在几何图形背景下，探究满足某条件（如等腰三角形、平行四边形）的点是否存在。 4. 动点与函数：结合动点运动，建立线段长度与时间的函数关系式，分析运动过程中的几何量变化。
方法技能 1. 求交点坐标：联立函数解析式或直线方程求交点，作为面积计算或分类讨论的起点。 2. 面积分割法：不规则图形面积用割补法转化为三角形或梯形面积之和或差。 3. 分类讨论思想：存在性问题中，按顶点位置或边相等情况分类讨论，列出方程求解。 4. 动点设坐标：动点问题中设动点坐标(t, kt+b)，用含t的式子表示线段长，建立函数关系。
变式演练
【变式01】（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接．
(1)求k、b的值；
(2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围．
【变式02】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C．
(1)求直线的表达式；
(2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标；
(3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值．
【变式03】（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的负半轴上，且．点C是第一象限内一动点，直线交y轴于点F．射线与直线垂直，垂足为点D，且交x轴于点M．，交射线于点E．
(1)求证：；
(2)若点C的坐标为，求直线的解析式．
题型04 反比例函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ）
A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限
C．当时， D．函数值随的增大而增大
【典例02】（2026·湖北襄阳·二模）已知反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（ ）
A．其图象位于第一、三象限
B．当时，y随x的增大而减小
C．其图象经过点
D．当时，y的取值范围是
方法透视
考向解读 1. 图象特征：反比例函数y= 的图象是双曲线，关于原点中心对称，与坐标轴无限接近但永不相交。 2. 系数k的意义：k>0时图象在一三象限，k<0时在二四象限；|k|越大图象离坐标轴越远。 3. 增减性：在每个象限内，k>0时y随x增大而减小；k<0时y随x增大而增大（注意跨象限不具增减性）。 4. 几何意义：|k|等于图象上任意点向两坐标轴作垂线形成的矩形面积。
方法技能 1. k定象限：根据k符号直接判断双曲线所在象限，结合图象位置解决相关问题。 2. 面积定 k：利用矩形面积等于|k|求k值，注意符号由象限位置决定。 3. 增减看象限：比较函数值大小时，确保点在同一个象限内，跨象限不能直接比增减。 4. 对称性应用：利用双曲线的中心对称性，求交点坐标或线段相等关系。
变式演练
【变式01】（2025·广东佛山·三模）点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【变式02】（2025·湖北武汉·模拟预测）关于反比例函数，下列几个命题中，是假命题的有（ ）
若，则时， 随的增大而减小；
若反比例函数的图像不经过点(，是常数)，则；
若直线和()与反比例函数的图像交于，，，四点，则以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式03】（2025·江苏淮安·一模）猜想函数的性质，下面说法不正确的是（ ）
A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限
C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大
题型05 一次函数与反比例函数图象综合判断
典例引领
【典例01】（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【典例02】（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
方法透视
考向解读 1. 图象共存：主要考查同一坐标系中一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象位置关系，根据系数符号判断可能组合。 2. 交点问题：常考求两函数图象的交点坐标，联立方程组求解，或根据交点位置判断系数符号。 3. 大小比较：利用图象比较函数值大小，根据交点划分区间，判断y1 > y2或 y1 < y2的x范围。 4. 面积综合：结合交点与坐标轴围成的三角形面积，考查数形结合与计算能力。
方法技能 1. 系数定位置：根据一次函数的 k、b和反比例函数的m符号，逐一排除不可能共存的选项。 2. 联立求交点：两函数解析式联立方程组求解，得到交点坐标，注意检验是否在各自图象上。 3. 交点分区间：用交点横坐标将x轴分段，在每个区间内观察图象上下位置比较函数值大小。 4. 面积割补法：求三角形面积时，常以坐标轴为底，用交点坐标表示高，或补成梯形计算。
变式演练
【变式01】（2025·辽宁盘锦·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　）
A．B．C． D．
【变式02】（2025·广东广州·二模）若，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【变式03】（2025·安徽宿州·一模）已知抛物线（，，为常数，且的顶点坐标为，则一次函数与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
题型06 一次函数与反比例函数交点综合
典例引领
【典例01】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
【典例02】（2026·河南周口·一模）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点．
(1)求点和点的坐标；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)连接，直接写出的面积．
方法透视
考向解读 1. 交点坐标求解：主要考查联立一次函数y=k1x+b1与反比例函数 y= 方程组，求交点坐标。 2. 交点与不等式：利用交点横坐标划分区间，比较两函数值大小，解不等式y1 > y2或y1 < y2。 3. 交点与面积：常考以交点及坐标轴为顶点构成的三角形面积，需用割补法或铅垂高法求解。 4. 对称性应用：利用反比例函数的中心对称性，两交点关于原点对称，简化计算过程。
方法技能 1. 联立方程求解：将两解析式联立，消去y得一元二次方程，解出x再求y，注意增根检验。 2. 交点分区间：用交点横坐标将数轴分段，在每个区间内任取一点比较函数值大小，确定不等式的解集。 3. 面积公式巧用：求三角形面积时，以坐标轴为底，用交点纵坐标的绝对值作为高，或补成矩形减去直角三角形。 4. 对称简化计算：已知一个交点坐标，由对称性直接写出另一个交点（关于原点对称）。
变式演练
【变式01】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标．
【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
题型07 反比例函数与几何图形的综合
典例引领
【典例01】（2026·河南周口·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上．
(1)确定反比例函数的关系式；
(2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式．
方法透视
考向解读 1. 面积定值应用：主要考查反比例函数中k的几何意义，即双曲线上一点向坐标轴作垂线形成的矩形面积为|k|。 2. 三角形面积计算：常考以双曲线上的点与坐标轴或原点构成的三角形面积，利用k的几何意义转化求解。 3. 特殊图形结合：与等腰三角形、平行四边形、菱形等特殊图形结合，利用顶点在双曲线上求坐标或k值。 4. 动态探究：结合点的运动，探究图形形状变化或面积最值问题，考查函数与几何的综合分析能力。
方法技能 1. 面积转化：利用k的几何意义，将三角形面积转化为矩形面积的一半或相关图形面积。 2. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t, )，用含t的式子表示线段长，建立方程求解。 3. 分类讨论：涉及特殊图形时，按顶点位置或边相等情况分类，列出几何条件转化为代数方程。 4. 对称性应用：利用反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，简化点的坐标关系。
变式演练
【变式01】（2025·江西·二模）如图，菱形中，在x轴的正半轴上，点A的坐标为．反比例函数的图象经过点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)试判断线段的中点E是否在反比例函数的图象上，若在，请说明理由：若不在，请你将线段沿x轴方向平移，使得的中点E落在反比例函数的图象上，直接写出平移方向和距离．
【变式02】（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E；
(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【变式03】（2026·全国·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，，反比例函数经过点，与对角线的另一个交点为点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)如图2，点是线段下方反比例函数图像上的一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，过点作的平行线交轴于点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·山东临沂·二模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．y的值随着x增大而减小 B．当时，
C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限
2．（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当时，y的取值范围为．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·山东济南·模拟预测）在同一坐标系中，函数与函数的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．随x的增大而增大
C．当时，
D．关于x，y的方程组的解为
5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
二、填空题
6．（2026·湖北·模拟预测）已知一次函数，y随x的增大而减小．写出一个符合条件的整数k的值是____．
7．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______．
8．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为 ______ ．
9．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，，点A的坐标为，点C在y轴上，若反比例函数的图象过点B，则k的值是__________．
10．（2026·陕西·一模）如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图象恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．
三、解答题
11．（2026·山东临沂·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数交于和两点．
(1)求m、n的值和一次函数的解析式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)连接，求的面积．
12．（2025·江西·模拟预测）如图，将反比例函数 的图象沿直线向下翻折，翻折后的图象与轴交于点，点在该反比例函数图象上，以为边在上方作正方形，点恰好落在轴上，已知点的纵坐标为2，
(1)求的值．
(2)设边与反比例函数 的图象的交点为，求点的坐标．
13．（2025·宁夏银川·三模）如图，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点落在处，过点作正比例函数和反比例函数 的图象．
(1)求和的值．
(2)求所在直线的解析式．
(3)在第二象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
14．（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
(1)_____，点的坐标为_____．
(2)求出直线的函数解析式．
(3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围）
15．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l 上．
(1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”）
(2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式；
(3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值．
16．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
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