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专题06 锐角三角函数的实际应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 网格中求某角的三角函数值
题型02 几何图形中求某角的三角函数值
题型03 已知某角的三角函数值求线段的长
题型04 锐角三角函数中特殊角的计算问题
题型05 锐角三角函数中的仰角俯角问题
题型06 锐角三角函数中的方位角问题
题型07 锐角三角函数中的坡度坡比问题
题型08 锐角三角函数中的情景应用抽象几何图形问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 网格中求某角的三角函数值
典例引领
【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________．
【典例02】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是_______．
方法透视
考向解读 1. 网格特征应用：主要考查在正方形网格中，利用格点间的水平距离和竖直距离构造直角三角形求三角函数值。 2. 角的位置处理：常考角顶点在格点上或内部，需通过平移、作垂线等方法将角转化到直角三角形中。 3. 勾股定理配合：结合网格边长求三角形边长，再用三角函数定义（正弦、余弦、正切）计算。 4. 综合应用：常与相似、旋转、坐标系结合，考查学生数形结合与转化能力。
方法技能 1. 构造直角三角形：过角的一边上格点向另一边作垂线，或连接格点构造包含所求角的直角三角形。 2. 网格边长计数：利用小正方形边长为1，数出直角三角形的两条直角边长度（水平或竖直方向）。 3. 勾股求斜边：已知两直角边用勾股定理求斜边，再按定义sin = 、cos = 、tan = 计算。 4. 等角转化：若所求角位置不便，可找与之相等的角（平移或相似）转化到容易构造直角三角形的位置。
变式演练
【变式01】（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______．
【变式02】（2025·陕西咸阳·一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____．
【变式03】（2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是___________．
题型02 几何图形中求某角的三角函数值
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ________．
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______．
方法透视
考向解读 1. 构造直角三角形：主要考查在三角形、四边形或圆中，通过作垂线构造直角三角形，将所求角置于其中求值。 2. 等角转化：常考利用平行线、等腰三角形、相似三角形或圆的性质，将所求角转化为已知角或可求角。 3. 勾股定理配合：结合已知边长或特殊三角形性质，用勾股定理求出所需边长，再按定义计算三角函数。 4. 综合应用：多与折叠、旋转、动点问题结合，考查转化与化归思想。
方法技能 1. 构造直角三角形：过所求角顶点作对边垂线，或连接直径构造直角，将角置于Rt△中。 2. 等角转化：利用同位角、内错角、圆周角定理等，将所求角转化到已知边长的三角形中。 3. 特殊角优先：观察图形中是否有30°、45°、60°等特殊角，利用其三角函数值简化计算。 4. 设参列方程：未知边长较多时，设参数利用相似或勾股定理列方程求解，再求三角函数值。
变式演练
【变式01】（2025·上海杨浦·一模）在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E，，且，则_____．
【变式02】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为_____．
【变式03】（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为______．
题型03 已知某角的三角函数值求线段的长
典例引领
【典例01】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________．
【典例02】（2026·上海虹口·一模）在中，，如果，那么的长是___________．
方法透视
考向解读 1. 定义法应用：主要考查在直角三角形中，已知一锐角的三角函数值和一条边长，利用定义求另一条边长。 2. 构造直角三角形：在非直角三角形或四边形中，通过作垂线构造直角三角形，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 方程思想：常考设未知数表示各边，利用三角函数值列比例方程求解线段长度。 4. 综合应用：多与相似、勾股定理、圆、实际应用（仰角俯角）结合，考查建模能力。
方法技能 1. 定义式列比例：在直角三角形中，根据sin = 、cos = 、tan = 直接列比例式。 2. 构造直角优先：若无直角三角形，主动作垂线构造，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 设参求值：设未知数表示相关边长，利用三角函数值列方程，结合勾股定理求解。 4. 实际情境建模：仰角俯角问题中，画出示意图，标出已知角和边长，用三角函数列式求解。
变式演练
【变式01】（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为___________．
【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，的三个顶点在反比例函数上(点在点的右侧)，，，若点的坐标为，则的面积为___________．
【变式03】（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则____________
题型04 锐角三角函数中特殊角的计算问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）计算：．
【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：．
方法透视
考向解读 1. 特殊角函数值记忆：主要考查30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，要求准确记忆并熟练应用。 2. 混合运算：常考将特殊角三角函数值代入代数式进行计算，与实数运算、二次根式结合考查。 3. 方程中的应用：在含特殊角的直角三角形中，利用函数值列方程求边长或角度。 4. 综合应用：多与坐标系、几何图形、实际应用结合，考查学生灵活运用特殊角的能力。
方法技能 1. 口诀巧记值：30°、45°、60角函数值可口诀记忆：“一二三、三二一、三九二十七”对应正弦、余弦、正切。 2. 代入计算准：将特殊角函数值代入算式时，注意二次根式的化简和分母有理化，避免计算失误。 3. 图形结合快：遇到含特殊角的几何题，直接在图中标出边长比例（如1:√3:2或1:1:√2）快速解题。 4. 逆用求角度：已知三角函数值求角度时，直接对应特殊角取值，注意角度范围。
变式演练
【变式01】（2026·湖南·模拟预测）计算：．
【变式02】（2026·上海长宁·一模）计算：．
【变式03】（2026·上海闵行·一模）计算：．
题型05 锐角三角函数中的仰角俯角问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，）
【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：）
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）的定义，要求准确在图中标出。 2. 双直角三角形：常考两个直角三角形共用一条直角边（如高），通过仰角俯角分别列方程求解。 3. 实际建模：常与测量高度、距离的实际问题结合（如测楼高、河宽），考查将实际问题转化为数学模型的能力。 4. 方程思想：利用仰角俯角的三角函数值列方程，常需设未知数并解方程求线段长。
方法技能 1. 画图定角：根据题意画出示意图，在图中标出水平线、视线，准确标出仰角或俯角的位置。 2. 构造直角三角形：过观测点作垂线，将仰角俯角转化为直角三角形中的内角。 3. 设公共边：若两个直角三角形共用一边（如高），设该公共边为未知数，分别列方程求解。 4. 方程联立：遇到多个三角形时，分别列出三角函数关系式，联立方程解出所求量。
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，）
【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量校园内旗杆的高度，进行了以下操作：在旗杆前的平地上选择一点，测得旗杆顶端的仰角为；再往前走一段距离到点（点，，在同一条直线上），测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米，的距离为10米．
(1)求点到点的距离的长度（结果保留根号）；
(2)求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）．
【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为．
(1)求点的垂直高度(精确到)；
(2)求山体的垂直高度(精确到)．
(参考数据：，，，，)
题型06 锐角三角函数中的方位角问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【典例02】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的定义，要求准确在图中标出角度和方向。 2. 航海与测量：常与航海定位、两地距离测量结合，考查将实际问题转化为直角三角形模型的能力。 3. 多个方位交汇：常考两个观测点同时观测同一目标，通过两个方位角构造双直角三角形求解。 4. 方程思想：利用方位角的三角函数值列方程，常需设未知数并解方程组求距离或高度。
方法技能 1. 画方位图：以观测点为中心画十字方向标（上北下南左西右东），准确标出方位角。 2. 转化内角：将方位角转化为直角三角形中的内角，常用余角或补角关系简化计算。 3. 双三角形法：两个观测点时，分别构造直角三角形，利用公共边（如距离）列方程联立求解。 4. 勾股配合：求出两条直角边后，用勾股定理求斜边距离，注意单位换算和结果取舍。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米．
(1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）；
(2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．
本题参考数据：，
【变式02】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，）
(1)求路线①的长度．（结果精确到个位）
(2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场．
【变式03】（2026·重庆·模拟预测）期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：）
(1)求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；
(2)小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）
题型07 锐角三角函数中的坡度坡比问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高．
【典例02】（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内．
(1)求平台的高度．
(2)求建筑物的高度．（结果保留根号）
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查坡度（坡角的正切值）和坡比（垂直高度与水平距离之比i = h:l）的定义，要求准确理解两者的关系。 2. 梯形与三角形：常考在梯形、三角形或实际工程（如大坝、斜坡）中，利用坡比构造直角三角形求解。 3. 勾股定理配合：已知坡比和一段边长，用勾股定理求另一段边长或斜坡长度。 4. 工程应用：常与土方量计算、加固斜坡等实际问题结合，考查学生建模能力。
方法技能 1. 坡比即正切：坡比i = =tan（为坡角），直接用于列比例式。 2. 构造直角三角形：过坡顶作垂线，将坡比转化为直角三角形的两直角边之比。 3. 设参求解：设垂直高度为h，水平距离为kl，利用勾股定理 (kl)2 + h2 = 斜坡长2列方程。 4. 梯形分割：遇到梯形坡面，分割为矩形和直角三角形，分别计算各部分尺寸再求和。
变式演练
【变式01】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）．
(1)求仿真树信号塔的高度；
(2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，）
【变式02】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【变式03】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得．
(1)斜坡的坡角为___________；
(2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：）
题型08 锐角三角函数中的情景应用抽象几何图形问题
典例引领
【典例01】（2026·河北沧州·一模）如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知．
(1)如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离；
(2)如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：）
【典例02】（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米．
(1)求的长（精确到米）；
(2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：）
方法透视
考向解读 1. 情境建模：主要考查将实际情境（如测量旗杆高度、船航行、梯子滑动）抽象为几何图形，特别是直角三角形模型。 2. 数据提取：从情境描述中提取角度、距离等关键数据，准确标注在几何图形中。 3. 多步转化：复杂情境中需多次构造直角三角形，通过三角函数关系逐步求解未知量。 4. 方案设计：常考设计测量方案，选择合适观测点、测量工具，利用三角函数计算目标量。
方法技能 1. 画图建模：根据情境描述画出几何图形，标出已知量和所求量，将文字转化为图形语言。 2. 拆分为直角三角形：将复杂图形拆分为多个直角三角形，分别分析每个三角形中的边角关系。 3. 设未知数搭桥：多个三角形时，设公共边或中间量为未知数，利用三角函数列方程求解。 4. 检验合理性：求出结果后结合实际情境检验（如高度应为正数、距离是否合理）。
变式演练
【变式01】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．
(1)在图2中，_________
(2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于．
①___________°．
②求乘客水杯的最大高度．
（参考数据：）
【变式02】（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践：
左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题：
(1)点P与圆O的位置关系是： ；
(2)求的长以及扇形的面积；（结果保留）
(3)当时，求此时点P到直线的距离：
(4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值．
【变式03】（2025·贵州·模拟预测）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，．
(1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
【变式04】（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．
(1)当点D和点E重合时，求的度数；
(2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然．
（参考数据：，，，，，）
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
5．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．（2025·上海杨浦·一模）已知在锐角中，，点D在上，，，那么的值为__________．
7．（2026·重庆·模拟预测）如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
8．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______．
9．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________．
10．（2026·上海·一模）如图，矩形中，，其内部有一点，使得，若点与点关于直线对称，且落在直线上，那么的值为____．
三、解答题
11．（2026·安徽阜阳·一模）计算：．
12．（2025·安徽亳州·一模）计算：．
13．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接．
(1)求证：；
(2)求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：，，）
14．（25-26九年级上·广西梧州·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
15．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．
(1)的长为____________，____________；
(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．
①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；
③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．
16．（2026·山东滨州·一模）【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）．
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离．
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，）
【问题解决】
(1)请求出图③中圆心到的距离；
(2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题06 锐角三角函数的实际应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 网格中求某角的三角函数值
题型02 几何图形中求某角的三角函数值
题型03 已知某角的三角函数值求线段的长
题型04 锐角三角函数中特殊角的计算问题
题型05 锐角三角函数中的仰角俯角问题
题型06 锐角三角函数中的方位角问题
题型07 锐角三角函数中的坡度坡比问题
题型08 锐角三角函数中的情景应用抽象几何图形问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 网格中求某角的三角函数值
典例引领
【典例01】（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________．
【答案】
【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值．
【详解】解：如图，在图中标注，，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，（舍去），
∵
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【典例02】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是_______．
【答案】
【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可．
【详解】解：如图，连接，，
设菱形的边长为，由题意得，，，，
∴，
则，
∵，
∴，
∴、、共线，
在中，
．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 网格特征应用：主要考查在正方形网格中，利用格点间的水平距离和竖直距离构造直角三角形求三角函数值。 2. 角的位置处理：常考角顶点在格点上或内部，需通过平移、作垂线等方法将角转化到直角三角形中。 3. 勾股定理配合：结合网格边长求三角形边长，再用三角函数定义（正弦、余弦、正切）计算。 4. 综合应用：常与相似、旋转、坐标系结合，考查学生数形结合与转化能力。
方法技能 1. 构造直角三角形：过角的一边上格点向另一边作垂线，或连接格点构造包含所求角的直角三角形。 2. 网格边长计数：利用小正方形边长为1，数出直角三角形的两条直角边长度（水平或竖直方向）。 3. 勾股求斜边：已知两直角边用勾股定理求斜边，再按定义sin = 、cos = 、tan = 计算。 4. 等角转化：若所求角位置不便，可找与之相等的角（平移或相似）转化到容易构造直角三角形的位置。
变式演练
【变式01】（2026·湖南邵阳·一模）如图，网格图中每个小正方形的面积都为，经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则（1）______，（2）的值为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握以上性质是解题的关键．
设，根据相似三角形的判定和性质可求得，根据的面积为3，得到，求得，解方程得到，根据勾股定理求得，即可求出的值．
【详解】解：如图，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都为，
∴，
即，
，
∴，
解得，（舍去），
即；
在中，，
故，
∴．
故答案为：，．
【变式02】（2025·陕西咸阳·一模）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接、，则的值为_____．
【答案】/
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出．
【详解】解：连接、，
则，
，
，
，
是直角三角形．
，
故答案为：．
【变式03】（2025·新疆·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是2，是的外接圆，点，，在网格线的交点上，则的值是___________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，取格点D，连接，可根据网格的特点和勾股定理得到，则可解得到的正弦值，再由即可求出答案．
【详解】解：如图所示，取格点D，连接，
由网格的特点可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型02 几何图形中求某角的三角函数值
典例引领
【典例01】（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ________．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
故答案为：．
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
又∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 构造直角三角形：主要考查在三角形、四边形或圆中，通过作垂线构造直角三角形，将所求角置于其中求值。 2. 等角转化：常考利用平行线、等腰三角形、相似三角形或圆的性质，将所求角转化为已知角或可求角。 3. 勾股定理配合：结合已知边长或特殊三角形性质，用勾股定理求出所需边长，再按定义计算三角函数。 4. 综合应用：多与折叠、旋转、动点问题结合，考查转化与化归思想。
方法技能 1. 构造直角三角形：过所求角顶点作对边垂线，或连接直径构造直角，将角置于Rt△中。 2. 等角转化：利用同位角、内错角、圆周角定理等，将所求角转化到已知边长的三角形中。 3. 特殊角优先：观察图形中是否有30°、45°、60°等特殊角，利用其三角函数值简化计算。 4. 设参列方程：未知边长较多时，设参数利用相似或勾股定理列方程求解，再求三角函数值。
变式演练
【变式01】（2025·上海杨浦·一模）在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E，，且，则_____．
【答案】/
【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，翻折变换，由四边形都是菱形，推出A，C关于对称，由，推出点E在线段上，证明四边形是菱形，推出，推出，设，，利用勾股定理求出可得结论．
【详解】解：如图，
∵四边形都是菱形，
∴A，C关于对称，
∵，
∴点E在线段上，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式02】（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在平行四边形中，F是的中点，点E在射线上，且，连接．若，则的值为_____．
【答案】或
【分析】当点E在线段上时，利用平行四边形的判定和性质，结合特殊角三角函数计算即可；当点E在线段的延长线上时，过点F作于点M，利用三角函数解答即可．
【详解】解：当点E在线段上时，
∵平行四边形中，F是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
当点E在线段的延长线上时，
过点F作于点M，
∵，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【变式03】（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为______．
【答案】或
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可．
【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接，
由旋转，得，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接，
同理可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或．
题型03 已知某角的三角函数值求线段的长
典例引领
【典例01】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________．
【答案】16
【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：∵的余弦值是，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：16．
【典例02】（2026·上海虹口·一模）在中，，如果，那么的长是___________．
【答案】
【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解．
【详解】解：在中，，，，
所以．
由勾股定理，，即，
解得：．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 定义法应用：主要考查在直角三角形中，已知一锐角的三角函数值和一条边长，利用定义求另一条边长。 2. 构造直角三角形：在非直角三角形或四边形中，通过作垂线构造直角三角形，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 方程思想：常考设未知数表示各边，利用三角函数值列比例方程求解线段长度。 4. 综合应用：多与相似、勾股定理、圆、实际应用（仰角俯角）结合，考查建模能力。
方法技能 1. 定义式列比例：在直角三角形中，根据sin = 、cos = 、tan = 直接列比例式。 2. 构造直角优先：若无直角三角形，主动作垂线构造，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 设参求值：设未知数表示相关边长，利用三角函数值列方程，结合勾股定理求解。 4. 实际情境建模：仰角俯角问题中，画出示意图，标出已知角和边长，用三角函数列式求解。
变式演练
【变式01】（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，即，解得：，
∴，
∴，
如图：过B作于G，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵的边上的高相等，
∴，
如图：过D作，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【变式02】（2026·湖南·模拟预测）如图，的三个顶点在反比例函数上(点在点的右侧)，，，若点的坐标为，则的面积为___________．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质结合反比例函数解析式求出对应线段的长度，最终计算直角三角形的面积．
【详解】解：∵点在反比例函数上，
∴，即反比例函数解析式为．
过点作平行于轴的直线，过点作于点，过点作于点，则．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵中，，
∴．
设，，则，．
由点的坐标为，可得点的坐标为，点的坐标为．
∵点、均在反比例函数上，
∴
由①得，③
由②得，④
③+④得：，即．
将代入③，得：，
化简整理得：，
解得(舍去)，则．
在中，，
∴．
∴的面积．
故答案为：．
【变式03】（2024·湖北·模拟预测）点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图象经过的三等分点，则____________
【答案】3或12
【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，解直角三角形．利用正切函数的定义求得，，得到点的坐标为，再分两种情况求得的三等分点的坐标，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴设的三等分点为点，，则，
∵，
∴，
解得，
∴，则，
∴点的坐标为，
当点靠近点时，则点的坐标为，
∴；
当点靠近点时，则点的坐标为，
∴；
故答案为：3或12．
题型04 锐角三角函数中特殊角的计算问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）计算：．
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，二次根式性质，进行计算即可．
【详解】解：
．
【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
方法透视
考向解读 1. 特殊角函数值记忆：主要考查30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，要求准确记忆并熟练应用。 2. 混合运算：常考将特殊角三角函数值代入代数式进行计算，与实数运算、二次根式结合考查。 3. 方程中的应用：在含特殊角的直角三角形中，利用函数值列方程求边长或角度。 4. 综合应用：多与坐标系、几何图形、实际应用结合，考查学生灵活运用特殊角的能力。
方法技能 1. 口诀巧记值：30°、45°、60角函数值可口诀记忆：“一二三、三二一、三九二十七”对应正弦、余弦、正切。 2. 代入计算准：将特殊角函数值代入算式时，注意二次根式的化简和分母有理化，避免计算失误。 3. 图形结合快：遇到含特殊角的几何题，直接在图中标出边长比例（如1:√3:2或1:1:√2）快速解题。 4. 逆用求角度：已知三角函数值求角度时，直接对应特殊角取值，注意角度范围。
变式演练
【变式01】（2026·湖南·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，分别根据相关运算法则对各项进行化简，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
【变式02】（2026·上海长宁·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：
．
【变式03】（2026·上海闵行·一模）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入，利用二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
题型05 锐角三角函数中的仰角俯角问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（点在同一平面内，参考数据：，，，）
【答案】
【分析】解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可．
【详解】解：由题意得：，，，．
在中，，，
，，
在中，，
，
答：无人机从A点到B点的上升高度为．
【典例02】（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：）
【答案】石鼓阁的高度为57米
【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键．
设米，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：设米，
在中，
，
（米），
由题意得：，，
，
，即，
解得：，即米，
石鼓阁的高度为57米．
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）的定义，要求准确在图中标出。 2. 双直角三角形：常考两个直角三角形共用一条直角边（如高），通过仰角俯角分别列方程求解。 3. 实际建模：常与测量高度、距离的实际问题结合（如测楼高、河宽），考查将实际问题转化为数学模型的能力。 4. 方程思想：利用仰角俯角的三角函数值列方程，常需设未知数并解方程求线段长。
方法技能 1. 画图定角：根据题意画出示意图，在图中标出水平线、视线，准确标出仰角或俯角的位置。 2. 构造直角三角形：过观测点作垂线，将仰角俯角转化为直角三角形中的内角。 3. 设公共边：若两个直角三角形共用一边（如高），设该公共边为未知数，分别列方程求解。 4. 方程联立：遇到多个三角形时，分别列出三角函数关系式，联立方程解出所求量。
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，山坡长为26米，坡度为，底端A在地面上，山坡与对面的山之间有一条小河，对面山顶D处立有高15米的铁塔．数学实践小组的同学欲测量山高，他们在B处测得塔顶C的仰角，又测得塔底D的仰角．已知点C，D，E在同一条直线上，与水平线垂直，图中点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，请计算山高．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，）
【答案】山高为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．过作于，于，则四边形是矩形，，由坡度为，求出，，再根据，，得到，，最后根据，求出，最后根据计算即可．
【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，，
∵山坡长为26米，坡度为，
∴设，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴（米），
答：山高为米．
【变式02】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，某数学兴趣小组为测量校园内旗杆的高度，进行了以下操作：在旗杆前的平地上选择一点，测得旗杆顶端的仰角为；再往前走一段距离到点（点，，在同一条直线上），测得旗杆顶端的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米，的距离为10米．
(1)求点到点的距离的长度（结果保留根号）；
(2)求旗杆的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）．
【答案】(1)点到点的距离的长度为米；
(2)旗杆的高度约为米．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题．
（1）设，在和中，利用三角函数的定义分别求得，，根据，列式求解即可；
（2）先得到，由（1）知，据此计算求得的长．
【详解】（1）解：设，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到点的距离的长度为米；
（2）解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
由（1）知，
∴，
∴旗杆的高度约为米．
【变式03】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点处测得山顶的仰角为，沿坡面倾角为的坡面向上行进到达点，此时测得山顶的仰角为．
(1)求点的垂直高度(精确到)；
(2)求山体的垂直高度(精确到)．
(参考数据：，，，，)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用直角三角形中正弦函数的定义，直接计算点的垂直高度；
（2）通过作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，将未知线段转化为含山体高度的表达式，再结合角的三角函数关系列方程求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
．
答：点的垂直高度约为．
（2）解：过点作于点，
，，
∴四边形是矩形，
，．
设山体的垂直高度，则．
，，
是等腰直角三角形，
．
在中，，
，
．
在中，，，
，
解得．
答：山体的垂直高度约为．
题型06 锐角三角函数中的方位角问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【答案】
【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案．
【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．
由题意得，，，，
，之间的距离为，在的中点处，
，
∵中，，
，，
，为中点，
∴，
为的中点，
即，，
设，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴,
,
，
，
解得，
答：甲航行的距离约为．
【典例02】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)是否穿过古建筑保护群？为什么？
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？
【答案】(1)不能穿过，理由见解析
(2)米
【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得
，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论；
（2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解．
【详解】（1）解：不能穿过，理由如下：
如图，过作于，
设，
，，，，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得：(米)(米)，
不会穿过古建筑保护群；
（2）设原计划每天完成修建a米公路，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，
答：原计划每天完成修建米公路．
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的定义，要求准确在图中标出角度和方向。 2. 航海与测量：常与航海定位、两地距离测量结合，考查将实际问题转化为直角三角形模型的能力。 3. 多个方位交汇：常考两个观测点同时观测同一目标，通过两个方位角构造双直角三角形求解。 4. 方程思想：利用方位角的三角函数值列方程，常需设未知数并解方程组求距离或高度。
方法技能 1. 画方位图：以观测点为中心画十字方向标（上北下南左西右东），准确标出方位角。 2. 转化内角：将方位角转化为直角三角形中的内角，常用余角或补角关系简化计算。 3. 双三角形法：两个观测点时，分别构造直角三角形，利用公共边（如距离）列方程联立求解。 4. 勾股配合：求出两条直角边后，用勾股定理求斜边距离，注意单位换算和结果取舍。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）今年年初西南五省的持续干旱，让许多网友感同身受、焦灼不安，更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水．功夫不负有心人，终于有人在山洞处发现了暗河（如图）．经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着，两村庄，山洞位于村庄南偏东方向，且位于村庄南偏东方向．为方便，两村庄的村民取水，社会爱心人士准备尽快从山洞处向公路紧急修建一条最近的简易公路现已知，两村庄相距千米．
(1)求这条最近的简易公路的长（保留3个有效数字）；
(2)每修建千米的简易公路需费用16000元，请求出修建该简易公路的最低费用．
本题参考数据：，
【答案】(1)这条最近的简易公路长为5.20千米
(2)修建简易公路的最低费用为83200元
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）过作于，根据垂线段最短得到为最近的简易公路，设，解直角三角形，求出的长，根据线段的和差关系列出方程进行求解即可；
（2）用路长乘以单价，进行计算即可．
【详解】（1）解：如图：过作于，为最近的简易公路．
设，依题意得：
在中，，，
，
，
同理：．
，
，
解得：；
答：这条最近的简易公路长为5.20千米；
（2）元．
答：修建简易公路的最低费用为元．
【变式02】（2025·重庆·模拟预测）如图是某湿地公园健身步道示意图．小明准备从点A出发到公园广场点F处玩耍，已知从点A到点F有两条路线可以选择：①A→B→C→F；②A→D→E→F．经勘测，F在A的正东方向，且在C的正南方向450米处，在E的正北方向360米处，A在B的南偏西方向，D在A的东南方向，C、E分别在B、D的正东方向且米．（参考数据：，）
(1)求路线①的长度．（结果精确到个位）
(2)由于路线②道路较窄，平均步行速度为，路线①平均步行速度，请通过计算说明小明应该选择哪条路线才能尽快到达广场．
【答案】(1)1369米
(2)选择路线①
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；
（1）过点B作于点M．由题意知，四边形是矩形，，，则有，然后根据三角函数可进行求解；
（2）过点D作于点N，由题意，四边形是矩形，，，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）解：过点B作于点M．
由题意知，四边形是矩形，，，
∴．
∵在中，
∴（米）．
∴路线①的长度为：
．
答：路线①的长度约为1369米．
（2）解：过点D作于点N，
由题意，四边形是矩形，，，
∴，
在中，∴米，米，
由（1）知，（米），
米，
∴米．
∴米，
∴路线②需要的时间为：
，
路线①需要的时间为：
，
∵，
∴小明应选择路线①才能尽快到达广场．
答：小明应选择路线①才能尽快到达广场．
【变式03】（2026·重庆·模拟预测）期末考试完后，小金约小月周末去逛购物中心．如图，A，B，C，D在同一平面内，小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，地铁站C在购物中心D北偏西方向．由于之间的道路施工，小金只得先到位于家正西方向的地铁站C，再乘坐地铁前往购物中心D．（参考数据：）
(1)求小金家B和购物中心D之间道路的长度（结果保留根号）；
(2)小月得知小金要先前往地铁站坐地铁，便决定等小金进地铁站时再出发．当小金刚上地铁便立即给小月发信息，小月收到消息后立即从家中乘私家车沿方向行驶（接收信息时间忽略不计）．地铁开车后，由于小金乘坐的路段处于地下深处信号弱的地段和小金通讯设备的自身原因，导致远距离无法和小月通信，只有当小金和小月直线距离不超过千米时，通讯才能恢复．已知小金所乘坐的地铁和小月所乘坐的私家车同时沿各自路线出发，且地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，求小金乘坐地铁行走多远时，方可再次向小月发送信息（结果保留1位小数）
【答案】(1)千米
(2)千米
【分析】（1）由方位角得到，，，在中通过解直角三角形求出即可解答；
（2）设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，根据路程速度时间三者关系得到小金乘坐地铁行走了千米，即．过点F作于点N，根据解直角三角形表示出，的长，再在中由勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】（1）解：小金家B位于小月家A北偏西方向，购物中心D在小月家南偏西方向30千米处，
∴，，
小月家A在购物中心D的北偏东方向，
∴，
∴在中，，
∴小金家B和购物中心D之间道路的长度为千米．
（2）解：如图，设当小金乘坐的地铁到达点E，小月所乘坐的私家车到达点F时，两人的直线距离恰好为千米，通讯开始恢复．
设此时小金小月乘坐私家车行走了x千米，即，则，
∵地铁的平均速度是私家车平均速度的2倍，
∴在相同的时间内，小金乘坐地铁行走的路程是小月乘坐私家车行走的路程的2倍，
∴小金乘坐地铁行走了千米，即．
∵，，
∴在中，，
∴．
过点F作于点N，
∵，
∴在中，，
，
∴，
∵在中，，
∴，
整理得，
解得，
即，，
当时，小金乘坐地铁行走的路程为，不合题意；
当时，小金乘坐地铁行走的路程为（千米）．
∴小金乘坐地铁行走千米时，方可再次向小月发送信息．
题型07 锐角三角函数中的坡度坡比问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北·模拟预测）如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为时，大树在斜坡上的影子的长为，求大树的高．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形．如图，过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，设米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求解即可．
【详解】解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于点，则，
在中，，
设米，米，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
答：大树的高度为．
【典例02】（2026·上海长宁·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内．
(1)求平台的高度．
(2)求建筑物的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)20米
(2)建筑物的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点C作于点M，则，
∵斜坡的坡度，
∴，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
又米，
∴，
解得，
∴米，
所以，平台的高度为20米；
（2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，，
∴，
∵米，
∴米，
∴，
在中，，则；
在中，，则：，
∴
解得：，
所以，建筑物的高度为米．
方法透视
考向解读 1. 概念理解：主要考查坡度（坡角的正切值）和坡比（垂直高度与水平距离之比i = h:l）的定义，要求准确理解两者的关系。 2. 梯形与三角形：常考在梯形、三角形或实际工程（如大坝、斜坡）中，利用坡比构造直角三角形求解。 3. 勾股定理配合：已知坡比和一段边长，用勾股定理求另一段边长或斜坡长度。 4. 工程应用：常与土方量计算、加固斜坡等实际问题结合，考查学生建模能力。
方法技能 1. 坡比即正切：坡比i = =tan（为坡角），直接用于列比例式。 2. 构造直角三角形：过坡顶作垂线，将坡比转化为直角三角形的两直角边之比。 3. 设参求解：设垂直高度为h，水平距离为kl，利用勾股定理 (kl)2 + h2 = 斜坡长2列方程。 4. 梯形分割：遇到梯形坡面，分割为矩形和直角三角形，分别计算各部分尺寸再求和。
变式演练
【变式01】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，是斜坡上的一个仿真树信号塔，斜坡的长为20米，坡角为，在坡底C处测得塔尖A的仰角为，在水平地面的点D处测得塔尖A的仰角为（图中的点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，，）．
(1)求仿真树信号塔的高度；
(2)求C，D两点之间的距离．（结果精确到米）（参考数据：1.73，，，）
【答案】(1)仿真树信号塔的高度为20米
(2)C，D两点之间的距离约为米
【分析】（1）延长交于点G，根据已知易得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，米，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：延长交于点G，
∵，，
∴，
在中，，米，
∴（米），（米），
在中，，
∴（米），
∴（米），
∴仿真树信号塔的高度为20米；
（2）解：在中，，米，
∴（米），
∴（米），
∴C，D两点之间的距离约为米．
【变式02】（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内．
(1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）；
(2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点作于，根据正弦的定义求出；
（2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于，
在中，，m，
则m，
答：小明一家步行上升的垂直高度约为；
（2）解：如图，过点作于，
则四边形为矩形，
，
，
，
在中，，
则，
答： 缆车的行驶路线的长约为．
【变式03】（2025·河南焦作·二模）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得．
(1)斜坡的坡角为___________；
(2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：）
【答案】(1)
(2)5.4米
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键．
（1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角；
（2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高．
【详解】（1）解：米，米，
，
，
是的外角，
，
斜坡的坡角为．
（2）解：如图，
，，米，
（米），
在中，，
，解得米，
米，
（米），
小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，
太阳光与地面的夹角为，
，
米，
（米）．
答：古塔的高约为5.4米．
题型08 锐角三角函数中的情景应用抽象几何图形问题
典例引领
【典例01】（2026·河北沧州·一模）如图1是一个手机支架的截面图，由底座、连杆和托架组成，可以绕点自由转动，的长度可以进行伸缩调节，已知．
(1)如图2，若，在同一条直线上，，求点到底座的距离；
(2)如图3，调节长度为，并转动连杆使时，达到最佳视觉状态，求的度数．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点作于，过点作于，证明出四边形是矩形，在中，得出，根据即可求解；
（2）作于点，于点，在中，，，算出，证明四边形是矩形，得出，在中求解即可．
【详解】（1）解：如图2，过点作于，过点作于，
则，
四边形是矩形，
．
在中，，，
，
，
点到底座的距离为．
（2）解：如图3，作于点，于点，
在中，，，
∴，
∵，
，
四边形是矩形，
∴，
在中，
，
∴，
∴．
【典例02】（2026·上海虹口·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米．
(1)求的长（精确到米）；
(2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：）
【答案】(1)7.6米
(2)正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，说明见解析
【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度．
（1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长；
（2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到．
【详解】（1）解：如图，记与交于点，
四边形是边长为米的正方形，
，米，
，
，
，
，
，
在中，，
由得，（米），
由得，（米），
在中，
，（米），
由得，（米），
（米），
答：的长约为7.6米；
（2）解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输，
如图，正方形扩大2倍后为正方形，
则新正方形边长米，
在中，，
由得，（米），
（米），
由（1）得米，米，
，
不能继续利用该传送带运输，
答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输．
方法透视
考向解读 1. 情境建模：主要考查将实际情境（如测量旗杆高度、船航行、梯子滑动）抽象为几何图形，特别是直角三角形模型。 2. 数据提取：从情境描述中提取角度、距离等关键数据，准确标注在几何图形中。 3. 多步转化：复杂情境中需多次构造直角三角形，通过三角函数关系逐步求解未知量。 4. 方案设计：常考设计测量方案，选择合适观测点、测量工具，利用三角函数计算目标量。
方法技能 1. 画图建模：根据情境描述画出几何图形，标出已知量和所求量，将文字转化为图形语言。 2. 拆分为直角三角形：将复杂图形拆分为多个直角三角形，分别分析每个三角形中的边角关系。 3. 设未知数搭桥：多个三角形时，设公共边或中间量为未知数，利用三角函数列方程求解。 4. 检验合理性：求出结果后结合实际情境检验（如高度应为正数、距离是否合理）。
变式演练
【变式01】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．
(1)在图2中，_________
(2)靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于．
①___________°．
②求乘客水杯的最大高度．
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
（1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出；
（2）①根据平行线的性质可得；
②过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为．
【详解】（1）解：如图，作，
由题意可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案为：．
②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴乘客水杯的最大高度约为．
【变式02】（2026·广东中山·模拟预测）综合与实践：
左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国．走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来．水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作．水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源．水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示．水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是，水面（看成直线）与圆O交于，两点，水车的轴心O到的距离为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据，，）回答下列问题：
(1)点P与圆O的位置关系是： ；
(2)求的长以及扇形的面积；（结果保留）
(3)当时，求此时点P到直线的距离：
(4)若接水槽所在的直线是圆O的切线，且与射线交于点M，，当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，求t的值．
【答案】(1)点P在圆O上
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意判断即可得出结果；
（2）由勾股定理可得，由垂径定理可得．再证明为等边三角形，得出，再由弧长公式和扇形面积公式计算即可得出结果；
（3）连接，过点P作，垂足为D，由题意得，解直角三角形得出，求出， 再解直角三角形得出， 最后再由计算即可得出结果；
（4）延长交于点C，则点C为最高点，由题意可得当点P在上，此时点P是切点，连接，则， 解直角三角形得出，，求出， ，即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：点P与圆O的位置关系是：点P在圆O上，
故答案为：点P在圆O上；
（2）解：∵在中， ， ，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为，扇形的面积；
（3）解：连接，过点P作，垂足为D，
由题意得：，
在中， ，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴5秒后，点P到直线的距离是；
（4）解：延长交于点C，则点C为最高点，
∵点P在上，且与相切，
∴当点P在上，此时点P是切点，
连接，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
由知：，
∴， ，
∴，
∴当竹筒P第二次恰好在所在直线上时，t的值为．
【变式03】（2025·贵州·模拟预测）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，．
(1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度；
(2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)旋转的角度为
(2)点D到直线EF的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可求出，从而求出；
（2）过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：旋转的角度为；
（2）如图③，过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点D到直线的距离为．
【变式04】（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然．
(1)当点D和点E重合时，求的度数；
(2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)
(2)此时操作人员取盘手势不自然
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果；
（2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，
∵在中，，，
，
．
同理可得，，
点D，E重合，
．
（2）解：如图，连接，过A点作于点H，
，，
，
在中，
，
，
，
，
此时操作人员取盘手势不自然．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·上海松江·一模）在中，，、、分别是、、的对边，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了锐角三角函数，直角三角形中，一个锐角的正弦值等于这个锐角所对的直角边的长与斜边长的比值，余弦值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与斜边长的比值，正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一直角边的长的比值，余切值等于另一直角边（不是该锐角的对边）的长与该锐角所对的直角边的长的比值，据此可得答案．
【详解】解：∵在中，，、、分别是、、的对边，
∴，，，，
故选：B．
2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，是的高，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴
解得：，
∴，
故选：C．
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，熟悉三角函数的定义并灵活运用是关键．
过点A作于点D，在中利用三角函数分别求得，在中由余弦函数值，设，由勾股定理得，从而求得x的值，即可求得，则．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得：
∴，
∴．
故选：B．
4．（2026·湖南·模拟预测）如图，是的直径，是上两点，于点，若，则（ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握相关的性质．连接，根据垂径定理得出，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，得出，根据，求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：或（舍去），
即，，
∴，
∴．
故选：A．
5．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
四边形是菱形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故选：C
二、填空题
6．（2025·上海杨浦·一模）已知在锐角中，，点D在上，，，那么的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查三线合一，平行线分线段成比例，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键：作，得到，平行线分线段成比例得到，设，得到，三线合一，得到，求出，易得为等腰直角三角形，求出，进而求出，即可．
【详解】解：作，则，
∴，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：．
7．（2026·重庆·模拟预测）如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
【答案】
【分析】连接，根据，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，最后根据线段间关系求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可得：，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
．
8．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，点为边上一点，将沿着翻折得到．点为中点，连接，过点作于点．若，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，利用全等三角形得出，得到当点共线时，的值最小，即为线段的长度，然后解直角三角形即可．
【详解】解：如图所示，过点作于点，作线段的中点，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴
根据翻折的性质可得，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点共线时，的值最小，即为线段的长度，
∵，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，
∴，
即的最小值为．
9．（2026·上海徐汇·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________．
【答案】或
【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∵，
∴，，
∵旋转，
∴，
①当时，过点作于点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时；
∵，，
∴，，
∵
∴，
设，则
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
解得：或（舍）
③当时，
∵，
∴，此时不成立，
综上：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解．
10．（2026·上海·一模）如图，矩形中，，其内部有一点，使得，若点与点关于直线对称，且落在直线上，那么的值为____．
【答案】或
【分析】先设，则；利用轴对称性质得到，垂直平分；连接，通过角度关系证明；再分点在线段上和延长线上两种情况，用勾股定理求出，进而求出得到的值．
【详解】解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴,
∴，
∵点与点关于直线对称，
∴垂直平分，，
情况1：如图1，点在线段上，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
情况2：如图2，点在的延长线上，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角函数的定义及分类讨论思想，熟练掌握轴对称的性质，通过角度转化证明是解题的关键．
三、解答题
11．（2026·安徽阜阳·一模）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
12．（2025·安徽亳州·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，先将特殊角的三角函数值代入，然后计算乘法和绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
．
13．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接．
(1)求证：；
(2)求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：，，）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高约为
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到、，进而得到，再利用三角形内角和定理求出；
（2）过点E作，交于点F，利用和求出即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）解：过点E作，交于点F，
在中，，，
，
，
在中，，
，
雕塑的高约为．
14．（25-26九年级上·广西梧州·期末）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且．
(1)求点A的铅直高度；
(2)求A，E两点的水平距离．
（以上结果精确到．参考数据：，，．）
【答案】(1)点A的铅直高度是
(2)A，E两点的水平距离约为
【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和解直角三角函数的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
（1）作，，，垂足分别为点G，H，M，根据含的直角三角形的性质可得，再在中运用三角函数进而即可求解；
（2）在中，根据含的直角三角形的性质可得，最后在中运用三角函数进而即可求解．
【详解】（1）解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M，
在中，，，
，
，
在中，，
，
．
点A的铅直高度是；
（2）解：在中，，
在中，，
，
，
答：A，E两点的水平距离约为．
15．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．
(1)的长为____________，____________；
(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．
①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；
③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．
【答案】(1)，
(2)①，②可以，理由见解析③见解析
【分析】（1）设，，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可；
（2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；
②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可；
③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可．
【详解】（1）解：由题意得：的长为，的长为，
设，，则，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图，
则，
四边形为矩形，
四边形，为矩形，
，
由题意得：，，，，
为等边三角形，
，，，
，，
，，
，
．
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由：
将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，
由题意得：，，，，
，，，
，
，，
，，
用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片．
③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点，
则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值．
延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，
由题意得：，，，，
与边相切于点，
，
，，四边形为矩形，
四边形，四边形，四边形为矩形，
，，，
，．
求得，的值即可求得的最小值；
由于，解和即可求得结论．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2026·山东滨州·一模）【问题情境】
在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图①），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图②）．
【问题提出】
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
图③是图①门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且 ，圆心是倒锁按钮点 ，若 的弓形高，，此时可求出图③中圆心到的距离．
图④是图②门锁的工作简化图，锁芯O固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点O顺时针旋转得到，过点作于点．若 所在圆的半径，此时可求出的长度．(参考数据： ，，）
【问题解决】
(1)请求出图③中圆心到的距离；
(2)请求出图④中的长度(结果保留小数点后一位)．
【答案】(1)圆心到的距离为
(2)的长度约为
【分析】（1）连接，延长交 于点，设圆的半径为，由可得，．根据垂径定理可得，在直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值，进而计算出的长；
（2）延长，交于点，容易证明四边形是矩形，则，在直角和直角中，利用三角函数计算出和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交 于点，设圆的半径为，
由题意可知，，
∴，，
∵，
∴弓形高，，
∴，，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
答：圆心F 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在直角中，，
∴，
∵由绕点O顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
答：的长度约为．
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