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专题09 函数选填压轴题
（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数与反比例函数
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题
题型04 二次函数的图象和性质与系数a,b,c有关式子正误问题
题型05 反比例函数与特殊四边形
题型06 几何图形中动点之函数综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数与反比例函数
典例引领
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．且 D．或
【典例02】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
方法透视
考向解读 1. 图象共存：同一坐标系中判断一次函数y=kx+b与反比例函数y= 图象是否可能共存。 2. 交点综合：联立方程组求交点坐标，利用交点解决面积问题或比较函数值大小。 3. 实际应用：结合实际问题建立两种函数模型，分析变量关系进行方案决策。
方法技能 1. 系数定符号：由一函数图象确定系数符号，代入另一函数判断是否一致，排除矛盾选项。 2. 联立求交点：两解析式联立消元求解交点，利用对称性直接写出另一交点坐标。 3. 面积割补法：求三角形面积时以坐标轴为底，用交点坐标表示高，或补成规则图形计算。
变式演练
【变式01】（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　）
A．矩形和矩形的面积相等
B．矩形的周长是12
C．矩形的周长大于矩形的周长
D．k的取值范围是
【变式02】（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型02 二次函数的图象与性质
典例引领
【典例01】（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… …
… …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象经过第二、三、四象限
C．当时，的值随的值增大而增大
D．图象的对称轴是直线
【典例02】（2025·河北石家庄·二模）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
方法透视
考向解读 1. 图象特征：考查抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，以及a,b,c符号判定。 2. 增减最值：结合开口与对称轴，判断函数增减区间，求顶点最值或区间内最值。 3. 图象平移：考查抛物线平移规律（左加右减x，上加下减y），求平移后解析式。
方法技能 1. 配方找顶点：将一般式化为y=a(x-h)2+k，直接读出顶点和对称轴，便于分析性质。 2. 符号巧判断：开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a,b同异号。 3. 平移看变化：平移时a不变，只变顶点坐标，根据平移方向确定h,k变化。
变式演练
【变式01】（2025·河北·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（ ）
A．C 与C 交点为 B．；
C． D．A，D两点关于对称
【变式02】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法：
①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点
②若，则当时，y随x的增大而增大
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③
题型03 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题
典例引领
【典例01】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
方法透视
考向解读 1. 系数一致性：同一坐标系中三个函数的系数必须保持一致，根据一函数图象确定的系数符号需同时满足另两个函数。 2. 图象位置矛盾：根据开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，排除不符合系数关系的选项。 3. 特殊点验证：取x=0、x=1等特殊值，验证三个函数图象是否同时经过某些特殊点。
方法技能 1. 系数定范围：由一函数图象确定系数符号，代入另两个函数逐一检验是否矛盾。 2. 逐项排除法：先看二次函数开口与a符号，再看反比例函数象限与m符号，最后验证一次函数b。 3. 特殊值检验：取x=1看三个函数值符号是否一致，快速验证图象是否可能共存。
变式演练
【变式01】（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型04 二次函数的图象和性质与系数a,b,c有关式子正误问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个．
【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______．
方法透视
考向解读 1. 单一符号判断：根据抛物线开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a,b关系，判断a,b,c符号。 2. 组合式子判断：结合特殊点（x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c）与图象位置，判断代数式正负。 3. 综合关系推导：利用对称轴x= - 与特殊点，推导b与a,c的关系式正误。
方法技能 1. 看图定基本：由图象开口、与y轴交点、对称轴位置，直接确定a,b,c的符号。 2. 特殊点代入：取x=1、x=-1、x=2等特殊值，结合图象上对应点的位置判断代数式正负。 3. 对称轴辅助：利用- 与某数比较，得到a,b关系式，再结合图象验证。
变式演练
【变式01】（2025·四川广元·模拟预测）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若m为任意实数且，则；⑤若是抛物线上的两点，则，其中结论正确的有________．（填序号）
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法：
①；
②；
③对任意实数；
④方程必有一个根大于-1且小于0；
⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；
⑥若和是抛物线上的两点，则当时，．
其中，正确的是______（填序号）．
题型05 反比例函数与特殊四边形
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，，若的面积为5，则k的值为________．
【典例02】（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______．
方法透视
考向解读 1. 顶点在双曲线上：考查特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的顶点在反比例函数图象上，求点坐标或k值。 2. 面积问题：利用反比例函数k的几何意义，结合特殊四边形面积公式求k或线段长。 3. 存在性问题：探究是否存在特殊四边形，其顶点在双曲线上，通过代数条件列方程求解。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t, )，用含t的式子表示各顶点坐标。 2. 利用性质列方程：根据特殊四边形性质（如对角线互相平分、邻边垂直）建立方程求解。 3. 分类讨论：存在性问题中按顶点顺序或图形类型分类讨论，逐一验证是否满足条件。
变式演练
【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____．
【变式02】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为_____．
题型06 几何图形中动点之函数综合问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【典例02】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
方法透视
考向解读 1. 函数关系建立：动点运动过程中，某几何量（线段长、面积、周长）与时间或动点位置之间的函数关系。 2. 函数图象分析：根据运动过程分析函数图象变化趋势，判断图象形状或读取关键点信息。 3. 最值与存在性：在运动过程中求几何量的最值，或探究是否存在满足条件的时刻。
方法技能 1. 分段研究：按动点运动路径分段，每段内几何量变化规律不同，分别建立函数关系。 2. 用含参式子表示：设动点坐标或用时间t表示线段长，代入几何公式建立函数。 3. 关键点分析：运动起始点、转折点、终点往往是函数图象关键点，用于求最值或验证。
变式演练
【变式01】（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（ ）个．
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式02】（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．
（1）线段的长为________；
（2）在整个运动过程中，的最大值为________．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ）
x … 0 1 …
y … …
A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下
C．当时， D．当时，y随x的增大而减小
2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车在行驶途中停留了； ②汽车共行驶了；
③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后至之间的行驶速度为．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
8．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2026·江苏南通·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．
10．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________．
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______．
12．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____．
13．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____．
14．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____．
15．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为和3；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有________．
16．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象．
（1）_____ ；
（2）连接，若，则____．
三、解答题
17．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．
①求线段的长；②求的面积．
18．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 函数选填压轴题
（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数与反比例函数
题型02 二次函数的图象与性质
题型03 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题
题型04 二次函数的图象和性质与系数a,b,c有关式子正误问题
题型05 反比例函数与特殊四边形
题型06 几何图形中动点之函数综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数与反比例函数
典例引领
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
故选：B．
【典例02】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数为，
∵反比例函数的图象过点，
∴，解得，
∴，
∵一次函数的图象过点，，
∴，
解得，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为．
∵对于一次函数，令，则；
令，则，
解得，
∴，，
∴，，
∴，
，
，
∴，故B选项正确；
，故C选项错误；
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴由图象可得当时，，故D选项正确．
故选：C．
方法透视
考向解读 1. 图象共存：同一坐标系中判断一次函数y=kx+b与反比例函数y= 图象是否可能共存。 2. 交点综合：联立方程组求交点坐标，利用交点解决面积问题或比较函数值大小。 3. 实际应用：结合实际问题建立两种函数模型，分析变量关系进行方案决策。
方法技能 1. 系数定符号：由一函数图象确定系数符号，代入另一函数判断是否一致，排除矛盾选项。 2. 联立求交点：两解析式联立消元求解交点，利用对称性直接写出另一交点坐标。 3. 面积割补法：求三角形面积时以坐标轴为底，用交点坐标表示高，或补成规则图形计算。
变式演练
【变式01】（2025·云南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，点P在A和B之间的反比例函数图象上，分别过点B和P作x轴和y轴的垂线段，垂足为C，D，E，F，则下列说法错误的是（　　）
A．矩形和矩形的面积相等
B．矩形的周长是12
C．矩形的周长大于矩形的周长
D．k的取值范围是
【答案】D
【分析】题目主要考查反比例函数的综合问题，与一次函数的交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键
根据反比例函数的意义，与一次函数的交点问题，矩形的性质等依次判断即可
【详解】解：A、∵点P在A和B之间的反比例函数图象上，
∴矩形和矩形的面积均为，故选项正确，不符合题意；
B、∵直线与反比例函数的图象相交于点A，B，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴矩形的周长为：，故选项正确，不符合题意；
C、延长交直线于点M，过点M作于点N，和交于点H，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形和矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的周长大于矩形的周长，选项正确，不符合题意；
D、由A选项得：，
∴，
∴，选项错误，符合题意；
故选：D
【变式02】（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可．
【详解】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
题型02 二次函数的图象与性质
典例引领
【典例01】（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… …
… …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象经过第二、三、四象限
C．当时，的值随的值增大而增大
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D．
【详解】解：将点，和代入二次函数得： ，
解得，
二次函数的解析式为，
，
函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
当时，，
当时，，
函数图象经过点， 位于第一象限，
函数图象经过点， 位于第三象限，
由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限，
函数图象经过点， 位于第四象限，
这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ， ，
当时，的值随的值增大而增大，
当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意．
故选：D ．
【典例02】（2025·河北石家庄·二模）如图，已知抛物线与抛物线的对称轴相同，顶点分别为C，D，两图象交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①的值为2；②当时，两抛物线组成的图象为轴对称图形，共有两条对称轴；③四边形为菱形；④满足四边形为正方形的的值有2个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线的对称轴，即可求出b的值，可判断①；分别求出两抛物线的顶点坐标以及它们的交点，可判断②；由抛物线的对称性得：，根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，根据两抛物线的顶点到直线的距离相等，可得垂直平分，从而得到，可判断③；根据，可求出c的值，可判断④．
【详解】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵两抛物线的对称轴相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点为，
∵，
∴抛物线的顶点为，
联立得：，
解得：或，
∴两抛物线的的交点分别为或，
即它们交点所在的直线为，
∴抛物线的顶点到直线的距离为，抛物线的顶点到直线的距离为，
即两抛物线的顶点到直线的距离相等，
∵两抛物线的对称轴相同，且二次项的系数互为相反数，
∴两抛物线的开口大小一样，
∴两抛物线组成的图象为轴对称图形，对称轴分别为两抛物线的对称轴以及它们交点所在的直线，共有两条对称轴，故②正确；
如图，连接，
由抛物线的对称性得：，
根据题意得∶轴，所在的直线为两抛物线的对称轴，
∴，
∵两抛物线的顶点到直线的距离相等，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故③正确；
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴不符合题意，
∴满足四边形为正方形的的值有1个，故④错误；
故选：C
方法透视
考向解读 1. 图象特征：考查抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，以及a,b,c符号判定。 2. 增减最值：结合开口与对称轴，判断函数增减区间，求顶点最值或区间内最值。 3. 图象平移：考查抛物线平移规律（左加右减x，上加下减y），求平移后解析式。
方法技能 1. 配方找顶点：将一般式化为y=a(x-h)2+k，直接读出顶点和对称轴，便于分析性质。 2. 符号巧判断：开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a,b同异号。 3. 平移看变化：平移时a不变，只变顶点坐标，根据平移方向确定h,k变化。
变式演练
【变式01】（2025·河北·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于两点 A，B（A在B的左侧），抛物线 n)与x轴交于两点 C，D（C在D的左侧），且．下列四个结论中错误的是（ ）
A．C 与C 交点为 B．；
C． D．A，D两点关于对称
【答案】C
【分析】由题意得，根据可以判断选项A；令求出，，由可以判断选项B；抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），根据根的判别式得出或，或，可以判断选项C，利用两点间的距离可以判断选项D．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴与交点为，故选项A正确，
当时，，解得，
∴，
当时，，解得，
∴，
∵，
∴，即，
∴，则有：，
∵，
∴，故选项B正确；
∵抛物线与轴交于两点，（在的左侧），抛物线与轴交于两点，（在的左侧），
∴，，
解得：或，或，
由得，
∴，
当时，，或当时，，
∴，故选项C错误；
由得：，解得，
∵在的左侧，在的左侧，
∴，，，，
∵，
∴，整理得：，
∴，
∴由对称性可知：，两点关于对称，故选项D正确；
故选：C．
【变式02】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法：
①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点
②若，则当时，y随x的增大而增大
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（包括与轴交点的判定、增减性、过定点问题及整数交点求解），解题的关键是熟练运用判别式判断交点个数、对称轴公式分析增减性、代入法验证定点及因式分解求交点坐标．
判断①需计算判别式，根据的取值确定交点个数是否必为两个；判断②需先求对称轴，结合时抛物线开口向上的性质，分析与对称轴的位置关系以确定增减性；判断③需将和分别代入函数解析式，验证对应函数值是否为和；判断④需先利用定点将函数因式分解，求出交点坐标，再结合为整数及“两个整数交点”的条件确定的值．
【详解】解：①∵，
∴当时，，函数与轴仅1个交点，故①错误；
②∵当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴当时，在对称轴右侧，
∴随增大而增大，故②正确；
③∵当时，，
当时，，
∴函数必过和，故③正确；
④由③知函数过，因式分解得，
令，得交点和，
∵交点为整数，为整数且，
∴为整数，
∴，
当时，，两交点重合（仅1个）；
当时，，两交点为和（均为整数），故，故④正确．
综上，②③④正确．
故选：B．
题型03 一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题
典例引领
【典例01】（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：C．
【典例02】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．
由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一、二、三象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数的图象可得：，，
∵，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，
的图象在二，四象限，
∴A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选：B．
方法透视
考向解读 1. 系数一致性：同一坐标系中三个函数的系数必须保持一致，根据一函数图象确定的系数符号需同时满足另两个函数。 2. 图象位置矛盾：根据开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，排除不符合系数关系的选项。 3. 特殊点验证：取x=0、x=1等特殊值，验证三个函数图象是否同时经过某些特殊点。
方法技能 1. 系数定范围：由一函数图象确定系数符号，代入另两个函数逐一检验是否矛盾。 2. 逐项排除法：先看二次函数开口与a符号，再看反比例函数象限与m符号，最后验证一次函数b。 3. 特殊值检验：取x=1看三个函数值符号是否一致，快速验证图象是否可能共存。
变式演练
【变式01】（2025·宁夏吴忠·三模）已知反比例函数 的图象如图，则在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质．根据反比例函数的图象得出，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴与矛盾，故本选项不符合题意；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴，，，
∴一次函数图象应过第一、二、四象限，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式03】（2025·安徽滁州·三模）已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴只有C选项中的函数图象符合题意，
故选：C．
题型04 二次函数的图象和性质与系数a,b,c有关式子正误问题
典例引领
【典例01】（2026·湖南衡阳·一模）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_____个．
【答案】3
【分析】根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴为直线，求出抛物线与轴的另一个交点，代入可得，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个坐标为，
∴代入、得，
解得，故③正确；
∵抛物线开口朝下，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴当时，方程有两个不相等的实数根，
∴方程的判别式，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在时，随的增大而减小．
∵，
∴，故⑤错误．
故正确的有：②③④，共3个．
【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，与x轴负半轴交于，下列结论①；②；③有两个不相等的实数根；④；其中正确的个数为_______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质．正确读图，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
根据二次函数的图像和性质，逐一分析即可．
【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为，与y轴交于正半轴
∴，，，
∴，故①错误；
②∵二次函数与x轴交于，且对称轴为，
∴与x轴另一个交点为，
将代入
得：
将代入，得，
由图像可知，，故②错误；
③将变形得：，
由图像可知，二次函数与直线一定有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
④将代入
得：
整理得：
将代入，得，
将代入
得：
将代入，得，
（1）+（2）得：，故④正确；
所以正确的个数为2个，
故答案为：2．
方法透视
考向解读 1. 单一符号判断：根据抛物线开口定a，与y轴交点定c，对称轴位置定a,b关系，判断a,b,c符号。 2. 组合式子判断：结合特殊点（x=1时y=a+b+c，x=-1时y=a-b+c）与图象位置，判断代数式正负。 3. 综合关系推导：利用对称轴x= - 与特殊点，推导b与a,c的关系式正误。
方法技能 1. 看图定基本：由图象开口、与y轴交点、对称轴位置，直接确定a,b,c的符号。 2. 特殊点代入：取x=1、x=-1、x=2等特殊值，结合图象上对应点的位置判断代数式正负。 3. 对称轴辅助：利用- 与某数比较，得到a,b关系式，再结合图象验证。
变式演练
【变式01】（2025·四川广元·模拟预测）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若m为任意实数且，则；⑤若是抛物线上的两点，则，其中结论正确的有________．（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质并能结合图象进行分析判断．
通过分析二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，结合二次函数的性质，对每个结论进行逐一判断．
【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以；对称轴为直线，根据对称轴公式，得，即，因为，所以；抛物线与轴的交点在轴正半轴，所以．那么，故①正确；
②由①得，即，故②正确；
③因为当时，，且对称轴为直线，所以当时，，故③不正确；
④因为对称轴为直线，且抛物线开口向下，所以当时，取得最大值，最大值为．对于任意实数，都有，两边同时减去，得，故④正确；
⑤点关于直线的对称点为．
因为抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，
又，所以，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线．有下列说法：
①；
②；
③对任意实数；
④方程必有一个根大于-1且小于0；
⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；
⑥若和是抛物线上的两点，则当时，．
其中，正确的是______（填序号）．
【答案】①③④⑤⑥
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，对称轴判断①，对称轴结合特殊点判断②，最值判断③，抛物线与轴的交点判断④，图象法判断⑤，增减性判断⑥．
【详解】解：∵对称轴为直线．
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，
∴，
即，故②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，有最大值为，
∴对任意实数，即；故③正确；
∵函数图象与x轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，则与x轴的另一个交点在和之间，故④正确；
∵当时，有最大值为，
∴直线在直线的下方，
∴抛物线与直线有2个交点，且关于对称轴对称，
∴方程，即方程有两个不相等的实数根，且两根的和为；
故⑤正确；
∵抛物线对称轴为直线，且开口向下，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小，
∵和到对称轴的距离为，且，
∴，故⑥正确．
故答案为：①③④⑤⑥．
题型05 反比例函数与特殊四边形
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，，若的面积为5，则k的值为________．
【答案】
【分析】先解出，由中心对称的性质得点和点关于原点对称，可得出，再由可得结论．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
根据题意可得双曲线和平行四边形都是以点为中心的中心对称图形，
∴点和点关于原点对称，
∴，
连接，如图，
则，
∴，
又该双曲线位于第二、四象限，
∴．
【典例02】（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，与轴、轴所围成的矩形面积为的绝对值．如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，
∴，
∵四边形是面积为的正方形，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 顶点在双曲线上：考查特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的顶点在反比例函数图象上，求点坐标或k值。 2. 面积问题：利用反比例函数k的几何意义，结合特殊四边形面积公式求k或线段长。 3. 存在性问题：探究是否存在特殊四边形，其顶点在双曲线上，通过代数条件列方程求解。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t, )，用含t的式子表示各顶点坐标。 2. 利用性质列方程：根据特殊四边形性质（如对角线互相平分、邻边垂直）建立方程求解。 3. 分类讨论：存在性问题中按顶点顺序或图形类型分类讨论，逐一验证是否满足条件。
变式演练
【变式01】（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴，轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，含角直角三角形的性质，矩形的性质，在中，利用含角直角三角形的性质求出和的长度，结合得到的长度，再根据矩形性质和三角函数求出点的坐标，最后将点坐标代入反比例函数解析式，即可求出值．
【详解】解：过点作轴，垂足为点，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵顶点D在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【变式02】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为6，反比例函数的图象经过点A交于点D，若点D是的中点，则求k的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据菱形的性质，得到轴，设，得到，进而求出点坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，作轴，求出点坐标，进而求出值即可．
【详解】解：∵菱形的边长为6，
∴，
∴，轴，
设，则，
∵点D是的中点，
∴，即，
∴，
解得，
∴过点作轴，则：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
题型06 几何图形中动点之函数综合问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
四边形是菱形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故选：C
【典例02】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象．
【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1，
由平移得：，
，
，
图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；
②当时，与重叠部分为四边形，如图2，
由平移得：，，，
，
，
，
在中，，
；
图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；
③当时，与重叠部分为，如图3，
则，且，
是等边三角形，作于，
，
，
，
图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；
故选：B．
方法透视
考向解读 1. 函数关系建立：动点运动过程中，某几何量（线段长、面积、周长）与时间或动点位置之间的函数关系。 2. 函数图象分析：根据运动过程分析函数图象变化趋势，判断图象形状或读取关键点信息。 3. 最值与存在性：在运动过程中求几何量的最值，或探究是否存在满足条件的时刻。
方法技能 1. 分段研究：按动点运动路径分段，每段内几何量变化规律不同，分别建立函数关系。 2. 用含参式子表示：设动点坐标或用时间t表示线段长，代入几何公式建立函数。 3. 关键点分析：运动起始点、转折点、终点往往是函数图象关键点，用于求最值或验证。
变式演练
【变式01】（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（ ）个．
①点的运动速度为；
②点的坐标为；
③线段段的函数解析式为；
④曲线段的函数解析式为；
⑤若的面积是四边形的面积的，则时间．
⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为 ，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：和，分别列出方程，解方程即可判断⑤．作点关于和的对称点，连接，则，得出当点共线时，最小，故的周长最小值为，结合①知，证明，得出，重合，此时，不符合题意，故⑥错误．
【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动 3 秒，
∴当时，，此时的面积为，
，
，
∴点的运动速度为，则说法①正确；
当运动到 5 秒时，函数关系式改变，则，
如图，过作于点，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
，
，
，
，
∴，则说法②错误；
如图，当点在上时，过点作于点，
，
∴线段段的函数解析式为，则说法③正确；
∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为，
，
当时，如图，过点作于点，
则，
，
∴设，则，
，
，
，
∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确；
，
∴的面积．
当时，此时的边边上的高为，
∴，解得或（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得（不符合题设，舍去）；
当时，则，解得或（不符合题设，舍去）；
综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，
则说法⑤错误；
如图，作点关于和的对称点，连接
则，
则的周长，
当点共线时，最小，即，
故的周长最小值为，
结合①知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴重合，
此时，
则，不符合题意，故⑥错误．
综上，说法正确的是①③④，共3个，
故选：A．
【变式02】（2025·广东广州·一模）如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示．
（1）线段的长为________；
（2）在整个运动过程中，的最大值为________．
【答案】 3 54
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键．
（1）由函数图象得；
（2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，，
∴，
故答案为：3；
（2）由函数图象得，当动点运动到达点后，，
当时，，此时，图象如图所示，
连接，当点与点重合时，的值最大，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
作于点，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴的最大值为54，
故答案为：54．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ）
x … 0 1 …
y … …
A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下
C．当时， D．当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可．
【详解】解：当时，；当时，，
∴抛物线的对称轴为，故A正确；
∴顶点为，
∴抛物线的开口向下，故B正确；
∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确；
∵抛物线对称轴为直线
∴时，与时的函数值相等，即，故C错误；
故选：C．
2．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】由抛物线的对称性可知点的坐标，可得，将代入两个抛物线方程即可求得的关系．
【详解】解：由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线．
抛物线与抛物线相交于点，M是的中点，
由抛物线的对称性可知，，即．
将点代入，可知，，，
则，
，
，
．
3．（2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，
∴只有D选项中的函数图象符合题意，
故选：D．
4．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理得到，证明四边形是矩形，得到，可知．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
在中，，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是矩形，
，
．
5．（2026·河南周口·一模）如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车在行驶途中停留了； ②汽车共行驶了；
③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后至之间的行驶速度为．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可．
【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确；
，故汽车共行驶了，②正确；
汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确；
，④正确，
∴正确的有4个．
6．（2026·湖北武汉·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，抛物线的顶点是，直线与抛物线的交点为，抛物线与轴的一个交点为，直线的解析式为，下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据对称轴直线的位置可判断①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，进而判定的正负，可判②；运用函数图象的交点个数确定方程的根的情况，即可判定③；根据抛物线对称轴的位置判断④．
【详解】解：①由题可知抛物线的对称轴在直线的右侧，
则，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
则,
故①错误，不符合题意；
②∵抛物线开口向下，则，
抛物线与轴交于正半轴，则，
，
故②错误，不符合题意；
③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故③正确，符合题意；
④若抛物线与轴的另一个交点是．
∵抛物线与轴的一个交点为
∴抛物线对称轴是，
由题意可知，抛物线的对称轴在直线的右侧，
故④错误，不符合题意．
则一个正确
故选：A ．
7．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．（2025·河北邯郸·三模）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点B在函数的图象上，，．将线段沿x轴正方向平移得线段（点A平移后的对应点为），交函数的图象于点D，过点D作轴于点E，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由代入求出k值，故①符合题意；和、分别交于M和N两点，利用k的几何意义可得，故②符合题意；根据的最小值逐渐趋向于的长度，故③不符合题意；向右平移的过程中与是矩形的对角线与边的夹角，即判断④解答即可．
【详解】解：①∵A，，
∴，
∵矩形的顶点B在函数的图象上，
∴，故①正确；
②和、分别交于M和N两点，
∵点B、点D在函数的图象上，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③随着线段向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以的最小值逐渐趋向于的长度，故③错误；
④向右平移的过程中与变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
二、填空题
9．（2026·江苏南通·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．
【答案】4
【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值．
【详解】解：如图：
设点，，
则：直线的表达式为：，
直线的表达式为：，
直线的表达式为：，
，
过点分别作轴垂线，交轴于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
则直线的表达式为：，
直线必过点，
当与轴平行时，边上的高有最大值，为．
10．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，等边三角形的性质，勾股定理，首先根据顶点式确定原抛物线的顶点 A 的坐标，再写出平移后的抛物线方程和顶点B的坐标．联立两条抛物线方程求出交点C的坐标；过点C作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出的长和点D的坐标，进而建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，点A的坐标为，
∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，
∴点B的坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为，
联立，得，
∴或，
当时，，不符合题意；
当时，，
在中，当时，，
∴；
如图所示，过点C作于D，
∵是等边三角形，
∴（向右平移，m是正数），
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：
11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______．
【答案】6
【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可．
【详解】解：如图，连接，
点在反比例函数的图象上，轴
，
点在反比例函数图象上，
，
，
点与点关于原点对称，
，
．
12．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是_____．
【答案】
【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可．
【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
则点、，
由于点、都在抛物线上，
则，
解得，
将代入得：，
∴，
故答案为：．
13．（2026·湖北·模拟预测）如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____．
【答案】 5 16
【分析】本题考查动点问题的函数图象．数形结合根据各个关键点的纵坐标得到相应线段的长度是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案．
【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时线段不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时，
的最大值为5，即，由于M是曲线部分的最低点，
∴此时最小，即时，，
∴由勾股定理，得，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5，
∴，
∴此时 (三线合一)，
∴，
∴的周长为，
故答案为：5；16．
14．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图1，在中，，D为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为．当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据图象信息，求得线段的长为_____．
【答案】6
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息．
连接，过点D作于点G；当点P在线段上运动时，在中，，则，函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；当点P在线段上运动时，S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大；由此得，，由勾股定理求得，再证明，即可求解，
【详解】解：如图，连接，过点D作于点G，
当点P在线段上运动时，
在中，，则，
∴函数值随t的增大而增大，与点B重合时最大；
当点P在线段上运动时，的长度是先减小，到与点G重合时，达到最小，再增大，与点A重合时达到最大，而，
∴S先减小，再增大，在与点G重合时最小，与点A重合时达到最大，
∴结合图象知，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
15．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为和3；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．其中正确的结论有________．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向，对称轴计算公式和与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，则可判断①；根据对称轴计算公式可得，结合二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为可判断②；由对称性可求出二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，据此可判断③；函数图象开口向上，则离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可判断④；当时，函数有最小值，最小值为，据此可判断⑤．
【详解】解：∵函数图象开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴；
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由对称性可知，二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为和3，故③正确；
∵函数图象开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，均在二次函数图象上，且，
∴，故④错误；
∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，最小值为，
∴对于任意的实数m都有 ，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②③．
16．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象．
（1）_____ ；
（2）连接，若，则____．
【答案】 5 1或3
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
（1）首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解；
（2）利用三角形面积公式求得，，即，代入，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：（1），，
．
，
．
，
．
，
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故答案为∶5．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得或，
故答案为：1或3．
三、解答题
17．（2025·安徽亳州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若．
①求线段的长；②求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)①的长为；② 的面积为．
【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式；
（2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长；
②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得．
∴反比例函数的表达式为．
把点代入，得
，解得．
∴点．
把点，分别代入，得
，解得．
∴一次函数的表达式为；
（2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点．
∴．
∴．
∴．
∵，点，
∴，，．
∴，解得．
∵点在反比例函数的图象上，
∴当时，．
∴点．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∴的长为；
②∵点，，
∴，．
由①知，
∴，即，解得．
∴．
∴
．
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积．
18．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)正确，见解析
(2)见解析
(3)k
【分析】（1）由，可得，求证，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）解：正确．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
（2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
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