资源简介

专题12 几何最值问题模型突破
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 几何图形中的单线段最值问题
题型02 几何图形中的面积最值问题
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
题型04 几何图形中胡不归最值问题
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 几何图形中的单线段最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解．
【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
∵
根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆，
∵正方形的边长为2，
∴，则圆心为，半径为，
∴圆的方程为，
∵，
∴圆心到点C的距离为
∵，
∴点C在圆外，
∴最小值为，
最大值为，
故答案为：，．
【典例02】（2025·河南新乡·三模）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键．
由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
，
，
，平分，
，四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四点共圆，
设的中点为，
为的直径，
如图，在的延长线上取，连接，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
如图，连接，
，即，
的最小值为；
故答案为： ．
方法透视
考向解读 1. 垂线段最短：定点到定直线距离垂线段最短，用于求点到直线距离类最值。 2. 两点间线段最短：定点间线段最短，常通过对称转化求折线和的最小值（将军饮马）。 3. 圆中直径最长：圆中直径是最长弦，或利用圆外一点到圆上点距离的最值（定点与圆心连线）。
方法技能 1. 模型识别：根据图形特征识别所属最值模型（垂线段、将军饮马、圆上点）。 2. 对称转化：求折线最小值时作对称点，将折线转化为两点间直线段。 3. 勾股计算：构造直角三角形，用勾股定理求出最值对应的线段长度。
变式演练
【变式01】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______．
【答案】
【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可；
②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可．
【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，，
∴，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，延长，交于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴；
②∵在中，，
∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示：
由①同理可得：，，
∴在中，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
【变式02】（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______．
【答案】 / 2
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由旋转的性质可得，，则，要使的值最小，即要使的值最小，故当，，三点共线时，的值最小；连接，可证明，得到，则线段的长的最小值即为线段的长的最小值，故当，，三点共线时，最短，即此时最短，据此求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∴要使的值最小，即要使的值最小，
∵，
如图1，当，，三点共线时，的值最小．
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴的长的最小值为，
∴的长的最小值为．
如图2，连接，
由正方形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长的最小值即为线段的长的最小值．
∴当，，三点共线时，最短，即此时最短，
在中，，
∴的长的最小值为．
故答案为：；2．
题型02 几何图形中的面积最值问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】如图，连接，证明，可得，则点在以为直径的圆上，因为面积中底边是定值，其高最小时，面积最小，如图，当运动到处时达到最小，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
如图，取中点为圆心，以为直径作圆，过点作交圆于点，交于点，
∴弧为点的运动轨迹，当运动到处时达到最小为：，
此时，
∴面积的最小值为．
故答案为：．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．

【答案】②③④
【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确．
【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，
和是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
在线段上运动，
在直线l上运动，
由知等边三角形的高为，
到直线l的距离，P到直线的距离都为，
作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，
此时最小值，故①错误；
②，
，
当共线时，最小，最小值为的长度，
为的中点，
，
为等边三角形的高，
的最小值为，故②正确；
过D作于K，过C作于T，如图，
和是等边三角形，
，
，
，即，
，
周长的最小值为6，故③正确；
④设，则，
，，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，故④正确．
故答案为：②③④．
方法透视
考向解读 1. 二次函数模型：几何图形面积与某变量成二次函数关系，利用顶点坐标求面积最大值或最小值。 2. 定值与不等式：利用几何定值（如三角形面积一定）结合基本不等式或垂线段最短求最值。 3. 动点轨迹：动点运动过程中，面积随位置变化，先求轨迹再找临界位置求最值。
方法技能 1. 建立函数：设自变量表示相关线段，写出面积表达式，转化为二次函数求顶点最值。 2. 优先考虑特殊位置：动点面积最值往往在端点或特殊点（中点、垂直点）处取得。 3. 割补转化：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，再求最值简化计算。
变式演练
【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长
【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴，
如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴在点P的运动过程中，面积的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．
（1） ；
（2）的面积最大值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、y=ax +bx+c的最值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可；
（）过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（）由，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，，
故，
故答案为：；
（）过点作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，且对称轴为直线，
∴当时有最大值为，
故答案为：．
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
典例引领
【典例01】（2025·吉林长春·二模）如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是______．
【答案】/
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接、、、、，
则，
∴，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，
∵点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点，
，
∵点是的中点，
，
，
是的直径，，
，
是等腰直角三角形，
，
的最小值，
周长的最小值，
故答案为：．
【典例02】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解．
【详解】解：如图，
作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，
的最小值即为的值，
，，，
∴，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 两定点一线：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离和最小，作对称点转化为两点间线段。 2. 两定点两线：两定点在两直线内侧，在两条直线上各找一点使折线和最小，作双对称转化。 3. 差最大问题：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离差最大，直接连线交直线即得。
方法技能 1. 同侧化异侧：求线段和最小时，作定点关于直线的对称点，将同侧转化为异侧。 2. 两点间线段最短：对称后连接两点，与直线交点即为所求点，线段长即为最小值。 3. 差最大直接连：求两线段差最大时，直接连接两定点延长交直线即得所求点。
变式演练
【变式01】（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案．
【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F，
，
四边形是平行四边形，
，
，
根据两点之间线段最短可知，此时最短，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，由正方形性质可得，，，则有四边形是矩形，，，四边形是平行四边形，然后证明，，可得，由，要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，将正方形沿翻折，得到正方形，连接，过点作交于点，
∴，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴要使有最小值，则有最小值，则当三点共线时，为线段的长，如图，
∵，
∴，
∴的最小值为．
题型04 几何图形中胡不归最值问题
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________.
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，锐角三角形函数的应用，垂线段最短等知识，根据题意添加合适的辅助线是解题的关键．
过点作，交的延长线于点，由锐角三角函数可得，即，则当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，即最小值为，
∵，
∴，
故答案为：．
【典例02】（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等角的余角相等，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，最短距离问题，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
本题先根据矩形的性质得出，，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，作交于点N，交的延长线于点，作点关于直线的对称点，连接，与交于点，连接，可得，，根据矩形的判定与性质得出，，，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求出，根据两点之间，线段最短得出当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为，结合勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
即，
作交于点N，交的延长线于点M，作点D关于直线的对称点，连接，与交于点H，连接，如图：
则，，
∵，
又∵，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故当点B、G、三点共线时，的值最小，最小值为．
在中，，
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 模型识别：主要考查形如“PA+k×PB”的最值问题（0 < k < 1），动点P在直线上运动，这是胡不归模型的典型特征。 2. 系数转化：核心在于通过构造辅助线（常作一个角使其正弦值等于k），将带系数的线段k×PB转化为某条垂线段，实现“折”变“直”。 3. 历史溯源与综合：常以最短时间路径问题为背景引入，并结合特殊三角形、二次函数等知识进行综合考查。
方法技能 1. 构造角转化：在动点P所在直线异侧，构造一个角使得sin = k，过P作该角一边的垂线，则k×PB转化为垂线段长。 2. 化折为直：将原式转化为“PA + PC”的形式，再根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值位置。 3. 系数大于1处理：若k > 1，则需先提取系数转化为形式（0 < < 1）再构造。
变式演练
【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和 性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．
，，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
．
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【变式02】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．
在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．
，，
，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
．
．
，，
．
故的最小值为．
故答案为：．
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，

∵，，，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴最小值为的长度，
∴的最小值等于的长度，
在中，，
∴的最小值．
故答案为：．
【典例02】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质、动点轨迹与线段和的最值，确定动点G的运动轨迹是解题关键．
（1）借助正方形性质得为直角三角形，利用直角三角形斜边中线定理求出；
（2）先确定点的轨迹为圆，再构造相似三角形将转化为，结合“两点之间线段最短”与勾股定理求得的最小值为．
【详解】（1）解：四边形为正方形，，
，
点为线段的中点，
，
故答案为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，在上取点，使，连接交于．
，，，
，
，
，
，即，
，
可知当运动到的位置，即、、位于同一条直线上时，取得最小值，最小值为，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 模型识别：动点P在圆上运动，求形如“PA + k×PB”的最小值（k≠1），这是阿氏圆典型特征。 2. 子母相似构造：通过构造子母型相似，将k×PB转化为某条定线段PC，实现系数转化。 3. 两点间线段最短：转化后PA + PC最小值即为AC线段长，当A, P, C共线时取到。
方法技能 1. 找点构造相似：在圆所在直线上找点C，使△PBC ∽△ABP，对应边比例等于k。 2. 半径搭桥：利用圆半径与已知边长的比例，确定相似比k，构造出C点位置。 3. 三点共线求最值：转化后PA + PC≥AC，当P在AC连线上时取等号。
变式演练
【变式01】（2025·江西吉安·一模）如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两点之间线段最短的性质，取中点F，连接，证明，得出，则，根据勾股定理求出结论即可．
【详解】解：如下图：
，
点D在以C为圆心为半径的圆上运动，
取中点F，连接，
，
，
，
，
，
当共线时，最小，
，
的最小值为，
故答案为：．
【变式02】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC PB=2PC 2PQ=2(PC PQ) ，
∵PC PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC PB=2(PC PQ)≤2．∴2PC PB的最大值为2．
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
典例引领
【典例01】（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【答案】//
【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论．
【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．
∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，，∴点Q在射线上运动，
∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
【答案】
【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答．
【详解】解：如图，以为边作等边，连接．
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动．
过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．
如图，当点E与点A重合时，
过点G作于点M，过点F作于点N，
∴，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
，，
∴在中，
∵，
又，
∴，
∴，
∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是．
故答案为：
方法透视
考向解读 1. 主从动点：主动点P在直线或圆上运动，从动点Q随P按固定变换（旋转、缩放）运动，Q轨迹与P轨迹相同。 2. 轨迹判断：P在直线上运动，Q轨迹也是直线；P在圆上运动，Q轨迹也是圆，考查轨迹识别。 3. 最值转化：求与Q相关的最值问题，转化为求主动点P轨迹上的最值，简化计算。
方法技能 1. 找变换关系：分析P到Q的变换方式（旋转角、缩放比），确定Q轨迹形状。 2. 定轨迹位置：取P的两个特殊位置，确定Q的对应点，从而确定Q轨迹直线或圆心。 3. 转化为P最值：将Q的最值问题通过变换逆推回P的轨迹上，用已知模型求解。
变式演练
【变式01】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：连接，∵正方形，∴，，

∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴，
∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上，
如图，当在对角线延长线上时，最大，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故答案为：．
【变式02】如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查了正方形的性质、三角形中位线、旋转变换、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在的延长线上截取，连接，易知是的中位线，即，再由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，当点在线段与的交点处时，最小，即最小；当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，然后求解即可．
【详解】解：如图1，在的延长线上截取（即是的中点），连接，
∵为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由旋转的性质，可知在以点为圆心，半径为1的圆上，
如图2，当点在线段与的交点处时，最小，即最小，
此时，，
∴，即的最小值为；
如图3，当点在线段的延长线与的交点处时，最大，即最大，
此时，
∴，即的最大值为，
综上所述，的最小值为，最大值为．
故答案为：；．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，
连接，则，
∴，
当、P、F三点共线，且时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值．
故选：C．
2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解.
【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，
设直线交于点，
∵点是中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴当在线段上即时，此时线段有最小值，
同理可得四边形是矩形，
∴，
故选：D.
3．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
作射线，作于E，作于F，交y轴于，
抛物线的对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，当点P在时，最小，最大值等于，
在中，，，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质．取的中点，连接，先判断出点在上运动，当共线时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取的中点，连接，
由旋转的性质知：，
∴点在上运动，
∴当共线时，有最小值，
由旋转的性质知：，，
∴,，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（ ）
①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理、圆的基本性质，熟练掌握隐形圆上的点到定点和定直线的距离问题是解答的关键．利用相似三角形的性质可判断①；②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，利用勾股定理求解即可判断②；过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，利用三角形的面积公式求得，进而求得可判断③；取的中点，连接、，利用三角形的中位线求得，则点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∵，
∴，
①当时，则，即，
解得；
当时，则，即，
解得，
综上，当与相似时，或，故①错误；
②由折叠性质得，则点在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，如图，连接，当C、、E共线时，有最小值，最小值为，
在中，，
∴的最小值为，故②正确；
③过E作于G，当、、共线时，最小，即点到距离的最小，最小值为的长度，
由得，
∴，
∴点到距离的最小值为，故③正确；
④取的中点，连接、，
∵点P是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点P在以点O为圆心，为半径的圆上运动，当点P在的延长线上时，最大，最大值为，
过O作于H，则，又，
∴，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴的最大值是，故④正确，
综上，结论正确的是②③④，
故选：B．
二、填空题
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．
【答案】/
【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当点四点共线且时，取得最小值，
∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为： ．
7．（2025·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
8．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________．
【答案】
【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解．
【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，
点是点关于直线的对称点，
直线垂直平分，
，，，
，
当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．
，，
．
，且，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
，
，，
在中，，
，
．
当取最小值时，．
故答案为：．
9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理等知识，延长到，使，连接，根据三角形的三边关系确定的取值范围，再根据是的中位线得出，得出的取值范围即可，根据三角形三边关系得出的取值范围是解题的关键．
【详解】解：延长到，使，连接，如图：
∴点为为的中点，
在中，，
，
∵正方形的边长为，
∴，，
∴，
为等腰直角三角形，
，
，即，
，
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
，
，
∴线段的最大值是，
故答案为：．
10．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________．
【答案】 / /
【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题．
延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解．
【详解】解：延长至T，使得，连接，
∵的中点为E，
∴是的中位线，
∴，即只需求的最大值和最小值；
∵始终保证，
∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，
∵，，
∴，
∴，，
∴的最小值为，的最大值为，
∴的最小值为，的最大值为，
故答案为：，．
三、解答题
11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点．
(1)求的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；
（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；
（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．
【详解】（1）解：，
点坐标为，
将，代入，
得，
解得，
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则， ，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
12．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)13
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可；
（2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可；
（3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，要使最小，即最小．
当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．
在中，，，．
的最小值为．
（2）如图，连接，在上取点D，使，连接，，．
，
．
．
．
．
当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，
在中，．
的最小值为．
（3）如图，延长到点E，使，连接，．
．
，，
．
，
．
．
．
．
当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．
在中，．
的最值为13．
13．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值．
【答案】（1）8；（2）最小值为米．
【分析】（1）由矩形的性质得到．作点关于的对称点，连接，则，连接，则，即，根据勾股定理求得，即可解答．
（2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，根据两边对应成比例且夹角相等证得，从而由相似三角形的对应边成比例求得米，即点在以点为圆心，半径为 500 米的圆上运动．作点关于的对称点，连接，则，因此有．连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点．通过解直角三角形在中，求得（米），（米），在中，（米），（米），（米），在中，（米），因此在矩形中，米，米，进而求得米，（米），在中，根据勾股定理求得米，即可解答．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，，，
作点关于的对称点，连接，
则，
连接，，，
则，
，
在中，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：；
（2）连接，过点作，交于点，在上取点，使得米，
，
，即，
，，
，
，
，
米，
点在以点为圆心，半径为米的圆上运动，
作点关于的对称点，连接，，则，
，
，
连接，交于点，延长，交的延长线于点，过点作于点，
，，
，
在中，米，
米，
点与关于对称，
，
，，
四边形，四边形，四边形都是矩形，
米，
在中，，又，
，
，
在中，米，
米，
，
米，
，
，
，
在中，米，
米，
在矩形中，米，米，
点与关于对称，
米，
米，
在中，米，
，
即的最小值为米．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 几何最值问题模型突破
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 几何图形中的单线段最值问题
题型02 几何图形中的面积最值问题
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
题型04 几何图形中胡不归最值问题
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 几何图形中的单线段最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值为______．
【典例02】（2025·河南新乡·三模）如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________．
方法透视
考向解读 1. 垂线段最短：定点到定直线距离垂线段最短，用于求点到直线距离类最值。 2. 两点间线段最短：定点间线段最短，常通过对称转化求折线和的最小值（将军饮马）。 3. 圆中直径最长：圆中直径是最长弦，或利用圆外一点到圆上点距离的最值（定点与圆心连线）。
方法技能 1. 模型识别：根据图形特征识别所属最值模型（垂线段、将军饮马、圆上点）。 2. 对称转化：求折线最小值时作对称点，将折线转化为两点间直线段。 3. 勾股计算：构造直角三角形，用勾股定理求出最值对应的线段长度。
变式演练
【变式01】（2025·河南南阳·二模）如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______．
【变式02】（2025·河南周口·三模）如图，在正方形中，是边上的一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段（在正方形内），连接，再将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．若，，则的长的最小值为______，的长的最小值为______．
题型02 几何图形中的面积最值问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点为正方形内部一点，，，点为边上一点，且，连接、，则面积的最小值为______．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号）
①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．

方法透视
考向解读 1. 二次函数模型：几何图形面积与某变量成二次函数关系，利用顶点坐标求面积最大值或最小值。 2. 定值与不等式：利用几何定值（如三角形面积一定）结合基本不等式或垂线段最短求最值。 3. 动点轨迹：动点运动过程中，面积随位置变化，先求轨迹再找临界位置求最值。
方法技能 1. 建立函数：设自变量表示相关线段，写出面积表达式，转化为二次函数求顶点最值。 2. 优先考虑特殊位置：动点面积最值往往在端点或特殊点（中点、垂直点）处取得。 3. 割补转化：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，再求最值简化计算。
变式演练
【变式01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为 ．
【变式02】（2025·安徽·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．
（1） ；
（2）的面积最大值为 ．
题型03 几何图形中将军饮马最值问题
典例引领
【典例01】（2025·吉林长春·二模）如图，是的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．连接，若，，则的周长的最小值是______．
【典例02】（2025·广西·模拟预测）如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______．
方法透视
考向解读 1. 两定点一线：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离和最小，作对称点转化为两点间线段。 2. 两定点两线：两定点在两直线内侧，在两条直线上各找一点使折线和最小，作双对称转化。 3. 差最大问题：两定点在直线同侧，在直线上找一点使距离差最大，直接连线交直线即得。
方法技能 1. 同侧化异侧：求线段和最小时，作定点关于直线的对称点，将同侧转化为异侧。 2. 两点间线段最短：对称后连接两点，与直线交点即为所求点，线段长即为最小值。 3. 差最大直接连：求两线段差最大时，直接连接两定点延长交直线即得所求点。
变式演练
【变式01】（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为________．
【变式02】（2026·陕西西安·一模）如图，在边长为的正方形中，是的中点，分别是边上的动点，且交于点，则的最小值为______．
题型04 几何图形中胡不归最值问题
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形中，，，，为边上的一动点，则最小值等于__________.
【典例02】（2025·河南商丘·二模）如图，矩形中，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，，，则的最小值是_________________ ．
方法透视
考向解读 1. 模型识别：主要考查形如“PA+k×PB”的最值问题（0 < k < 1），动点P在直线上运动，这是胡不归模型的典型特征。 2. 系数转化：核心在于通过构造辅助线（常作一个角使其正弦值等于k），将带系数的线段k×PB转化为某条垂线段，实现“折”变“直”。 3. 历史溯源与综合：常以最短时间路径问题为背景引入，并结合特殊三角形、二次函数等知识进行综合考查。
方法技能 1. 构造角转化：在动点P所在直线异侧，构造一个角使得sin = k，过P作该角一边的垂线，则k×PB转化为垂线段长。 2. 化折为直：将原式转化为“PA + PC”的形式，再根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值位置。 3. 系数大于1处理：若k > 1，则需先提取系数转化为形式（0 < < 1）再构造。
变式演练
【变式01】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形中，，，，以点A为圆心、的长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为______．
【变式02】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P在上运动，则的最小值为_______．
题型05 几何图形中阿氏圆最值问题
典例引领
【典例01】（2025·河南周口·一模）如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为________．
【典例02】（2024·海南·三模）如图，正方形的边长为，点为边上一个动点，点在边上，且线段，点为线段的中点，连接、、，则_______；的最小值为_______．
方法透视
考向解读 1. 模型识别：动点P在圆上运动，求形如“PA + k×PB”的最小值（k≠1），这是阿氏圆典型特征。 2. 子母相似构造：通过构造子母型相似，将k×PB转化为某条定线段PC，实现系数转化。 3. 两点间线段最短：转化后PA + PC最小值即为AC线段长，当A, P, C共线时取到。
方法技能 1. 找点构造相似：在圆所在直线上找点C，使△PBC ∽△ABP，对应边比例等于k。 2. 半径搭桥：利用圆半径与已知边长的比例，确定相似比k，构造出C点位置。 3. 三点共线求最值：转化后PA + PC≥AC，当P在AC连线上时取等号。
变式演练
【变式01】（2025·江西吉安·一模）如图，与中， ，，，可以绕点C自由转动，连接，则的最小值为__________．
【变式02】（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
题型06 几何图形中瓜豆原理最值问题
典例引领
【典例01】（2025·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 .
【典例02】（2025·江苏宿迁·三模）如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________．
方法透视
考向解读 1. 主从动点：主动点P在直线或圆上运动，从动点Q随P按固定变换（旋转、缩放）运动，Q轨迹与P轨迹相同。 2. 轨迹判断：P在直线上运动，Q轨迹也是直线；P在圆上运动，Q轨迹也是圆，考查轨迹识别。 3. 最值转化：求与Q相关的最值问题，转化为求主动点P轨迹上的最值，简化计算。
方法技能 1. 找变换关系：分析P到Q的变换方式（旋转角、缩放比），确定Q轨迹形状。 2. 定轨迹位置：取P的两个特殊位置，确定Q的对应点，从而确定Q轨迹直线或圆心。 3. 转化为P最值：将Q的最值问题通过变换逆推回P的轨迹上，用已知模型求解。
变式演练
【变式01】（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．

【变式02】如图，已知正方形的边长为2，另一边长为的正方形的中心与点重合，连接，设的中点为，连接，当正方形绕点旋转时，的最小值为 ，最大值为 ．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·江苏苏州·模拟预测）矩形中，，，点为矩形内一点，使得．将绕点顺时针旋转，得到，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，点E是边上一点，且，点F是边上任一点，把沿翻折，点B的对应点为，连接、，则以下结论正确的是（ ）
①当与相似时，；②的最小值是；③点到距离的最小值是；④取的中点P，连接，则的最大值是．
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
二、填空题
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是______．
7．（2025·江苏无锡·二模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____．
8．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________．
9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为________．
10．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为__________，最大值为__________．
三、解答题
11．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点．
(1)求的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
12．问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值．
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值；
(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值．
13．（1）如图①，在矩形中，，，以为圆心，为半径在矩形内画弧，已知点是该弧上的一动点，点是边上的动点，则的最小值为______．
（2）随着社会发展，人们生活品质日益提升，年轻人对高品质生活的追求愈发强烈．“荒野求生”、“生存大挑战”等栏目在网络上火爆，野外探险成为当下很多人想寻求刺激、提升生活品质的热门选择，图②是一片探险区域，其中四边形是探险途中的必经区域，米，米，，，且，点是探险入口，边界上点是探险出口，其中，点方圆米的圆形区域是危险禁区，严禁探险者进入为了保证探险者的安全，在危险区域边界上设有一个可移动监测点，一旦探险者靠近并跨入危险区，便会触发警报，一支探险小队计划进入此区域探险，为确保队员统一行动、节省体力并高效前行，领队需提前确定两个集结点和点，其中点在探险区域内，且满足，，点在边界上，探险路线是，请帮助领队计算的最小值．
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