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专题14 函数与几何综合（存在性问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
题型03 二次函数与角度存在性问题
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
题型05 二次函数与相似存在性问题
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为或或或
【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分析是解题关键．
（1）根据题意得出，然后利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出图象，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，．
∴，
∵点A在第二象限，
∴，
∵点A在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，
∴，
∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形，
∴设，
∴当时，
，
∴，
∴点M的坐标为或；
当时，过点A作轴，如图所示：
∴四边形ABOG为矩形，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当时，过点A作轴，如图所示：
∴四边形ABOG为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为；
综上可得：点M的坐标为或或或 ．
【典例02】（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在，或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形；
（1）过点作轴，交轴于点，证明，求出的长，进而得到点坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）联立解析式，求出点坐标，分割法求出的面积，利用，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，
，
，
，
的坐标为，，
，，，
，
，
把代入，得：；
，
把，，代入，
得：，
解得：，
；
（2）解：存在；理由如下：
，当时，
∴
，
，
联立，，
解得：或，
，
，
，
，
当时，，
∴；
当时，
∴，
或．
方法透视
考向解读 1. 等腰三角形：已知两点在双曲线上，探究第三点使三角形等腰，按腰相等分类讨论列方程。 2. 直角三角形：已知两点，探究第三点使三角形直角，按直角顶点位置分类，用勾股或垂直列式。 3. 相似三角形：双曲线上点与已知三角形相似，按对应边比例分类讨论，利用函数解析式求解。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,)，用含t式子表示线段长。 2. 分类讨论：按腰、直角顶点、对应顶点位置分类，分别列方程求解。 3. 检验合理性：求出t后验证是否在双曲线上，且满足三角形三边关系。
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；
(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解；
（2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解；
（3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将代入，
，
即，
将代入，
，
直线的表达式为；
（2）解：直线与反比例函数交于点A，B，
联立方程组得
解得，
，
过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，
，
，
，
在中，当时，，
，
设直线的函数表达式为，
直线的函数表达式为，
直线与x轴交于点D，
，
直线与x轴交于点G，
，
，
；
（3）解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，
为的直径，
，
是的中点，
，
当点E在y轴上时，设点E的坐标为，
，
，
，，
当点E在x轴上时，设点E的坐标为，
，
，
，，
综上所述，点E的坐标为或或或．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；
(3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在满足条件的点，其坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，
（1）根据待定系数法求出一次函数和反比例函数的表达式，然后联立方程组求解即可得出点A的坐标；
（2）过点作轴，垂足为．根据已知可得，设，根据图形面积建立方程，求出点M的坐标，然后勾股定理，即可求解．
（3）根据角的2倍关系，考虑分类画出图形（点在直线下方，点在直线上方），由于是直线与轴相交得到的，利用平行线转换到以为顶点的等角，再结合等腰三角形的三线合一，求出直线的表达式，联立反比例函数的表达式求解．
【详解】（1）解： 在直线上，
，解得，
点的坐标为，直线的表达式为．
将点代入反比例函数中，得，
反比例函数的表达式为．
联立，
解得或，
点的坐标为；
（2）如解图①，过点作轴，垂足为．
在一次函数中，令，得，
．
轴，
．
点在反比例函数的图象上，轴，轴，
．
，
．
设，
则，
解得或，
经检验，或是所列方程的解，
点在点的右侧，
，
，
；
（3）如解图②，若点在直线AB下方，过点作轴于点，延长CE至点，使得．
，
．
由（1）（2）得，
，
，
联立，
解得或，
；
若点在直线上方，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接并延长交反比例函数的图象于点，即为所求的点．
，
联立，
解得，
．
此时，
是GH的中点，
，
，
联立，
解得或，
．
综上所述，存在满足条件的点，其坐标为或．
【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
(3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)或．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．
（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，进而求出点坐标，即可代入求出反比例函数的表达式；
（2）由题意分点在点的右侧以及点在点的左侧，结合列出方程进行求解，注意舍去的情况；
（3）由，可得，即，利用两点距离公式可得，以此进行求解即可．
【详解】（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)M点的坐标为或
(3)Q点坐标为
【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式；
（2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；
（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C．
(1)求k的值；
(2)连接，当时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，四边形为菱形时，或
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，两点之间距离公式，菱形的性质等知识点，难度较大．
（1）先根据正比例函数解析式求出点A的坐标为，再将其代入，即可求解；
（2）先求出直线，则，联立反比例函数解析式得到，过点分别作轴的垂线，垂足为，，则，再代入数据求解即可；
（3）设，则，，，由于四边形为菱形，则为等腰三角形，再分三种情况讨论，列方程求解．
【详解】（1）解：由题意得将代入，则，
解得，
∴点A的坐标为，
再将代入，则；
（2）解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形，，
∴
设直线，
则，
∴，
∴直线，
则当时，
∴，
∴，
联立
整理得：，
，
解得：，
∴，
过点分别作轴的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
∴，
∴；
（3）解：设，则，，，
∵四边形为菱形，
∴为等腰三角形，
∴当时，则
解得：（舍）；
当时，
解得：或
∴或；
当时，，
该方程无解，
综上：存在，四边形为菱形时，或．
方法透视
考向解读 1. 平行四边形存在性：已知三个点在双曲线上，探究第四点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。 2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。 3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,)，用含t式子表示各点坐标。 2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。 3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．
(1)求直线的表达式．
(2)当的面积为时，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可；
（2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案；
（3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
（2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴；
设，
∴，
解得（已检验符合题意）或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接交于H，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴；
∵点B和点C关于对称，
∴，且点H为的中点，
∴，
∴，
设，则，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴的中点坐标为，
∵四边形是矩形，
∴的中点坐标为，
∴点D的坐标为．
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点．
(1)求点的坐标并直接写出、的值；
(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；
(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)点或；
(3)存在，或或．
【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值；
（2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解；
（3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时．
【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点，
，
正方形中，，，
平面直角坐标系中，
，，
，
在和中，
，
，
又，，
则，，
则点，
同理可得，，
，，
则点，
将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，；
（2）解：延长交轴于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，，
令，则，则点，
过点作交轴于点，作交延长线为，
则，
，
由直线的表达式知，，
，，
，
直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：，
点是直线与反比例函数的交点，
，
解得：或，
即点或；
（3）解：存在，理由：
当时，，即点，
设点、，
由点、的坐标得，
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：（无解）或，
解得：，
即点或，
综上，或或．
题型03 二次函数与角度存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值．
(3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为：；；
(3)
【分析】（1）把，两点代入，再建立方程组求解即可；
（2）如图，连接交于点M，过作交于，可得，可得，求解直线为，设，可得，，再进一步利用二次函数的性质求解即可；
（3）如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于，可得，设，则，证明，可得：，阿九，利用，可得，，再进一步利用勾股定理求解的值，可得直线为，再求解函数的交点坐标即可.
【详解】（1）解：把，两点代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交于点M，过作交于，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
设，
∴，
∴，
∴，
当时，的最大值为：；
此时；
（3）解：如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意舍去），
∴，
∴，
同理可得：直线为，
∴，
解得：或，
∴.
【典例02】（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
方法透视
考向解读 1. 相等角存在性：抛物线上找点使某角等于已知角，通过构造相似三角形或三角函数列方程求解。 2. 倍半角关系：探究一角是另一角的两倍或一半，常通过构造等腰三角形或利用正切倍角公式转化。 3. 特殊角度：探究45°、90°等特殊角存在，利用斜率积为-1（垂直）、等腰直角三角形性质求解。
方法技能 1. 三角函数法：设点坐标表示各边，用正切值列方程，将角度条件转化为线段比。 2. 构造相似三角形：找与已知角相等的角，构造相似三角形，利用对应边成比例列方程。 3. 分类讨论全面：按点在已知角两边不同位置分类，避免遗漏符合条件的点。
变式演练
【变式01】（2025·内蒙古包头·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求点A、B、C的坐标，并直接写出的度数；
(2)若点D是和线段垂直平分线的交点，则与的周长之比为多少？
(3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用二次函数的性质求出点A、B、C的坐标，再利用等腰直角三角形的性质与判定即可得出的度数；
（2）利用勾股定理求出的长，得出，由点D是和线段垂直平分线的交点可知点D是的外心，得到，，推出是等腰直角三角形，则有，再利用相似三角形的性质即可求解；
（3）作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，利用抛物线的对称性证出四边形是等腰梯形，得到，进而得到，分析可知当点与点重合时符合题意，得出点的一个坐标；作点关于直线的对称点，利用对称性得到，，分析可知当点在直线上时符合题意，联立抛物线与直线的解析式即可得出点的另一个坐标，即可解答．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，，
，，
，
令，则，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，，
综上所述，，，，．
（2）解：，，，
，，
，
点D是和线段垂直平分线的交点，
点D是的外心，
，，
是等腰直角三角形，
由（1）得，是等腰直角三角形，
，
与的周长之比等于相似比，
与的周长之比为．
（3）解：存在．理由如下：
作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接，
则，
，
由抛物线的对称性可得，
四边形是等腰梯形，
，
由（2）得，、是等腰直角三角形，
，
，即，
当点与点重合时满足条件，
；
作点关于直线的对称点，
，
，
由对称性得，，，
，，
当点在直线上时满足条件，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或
综上所述，点P的坐标为或．
【变式02】（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；点B的坐标为
(2)点M的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解；
（2）先求出点D的坐标为，可得，，，的长，
过点A作于点E，再由，可得，再由勾股定理求出，从而得到，是等腰直角三角形，进而得到，再由，可得，过点M作轴于点F，可得是等腰直角三角形，设点M的坐标为，可得，，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为；
令，则，
解得：，
∴点B的坐标为；
（2）解：对于，
令，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵点，
∴，，
如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点M作轴于点F，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点M的坐标为，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或2或4，
∴点M的坐标为或．
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为，，，
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线，
∵，
当时，，
∴，
∴设点．
由点，，的坐标，得
，，
．
当为斜边时，，
整理得：，
解得或，
∴点或；
当为斜边时，，
解得，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点．
综上所述，点的坐标为，，，．
【典例02】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为或或或
【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可；
（2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可；
（3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵点A在负半轴，
∴点A的左边为，
把和代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，
则，
又∵，，
∴，
∴,
令，则，
解得或，
∴点B的坐标为，
∴，
∴点C，N，B共线，
∴当时，最小为，
这时，
∴，
∴，
解得，（负值舍去）
即的最小值为．
（3）解：，
∵，
∴对称轴为直线，
设点P的坐标为，
则，，
①当为斜边时，，
即，
解得，
∴点P的坐标为或；
②当为斜边时，，
即，
解得，
∴点P的坐标为；
③当为斜边时，，
即，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
方法透视
考向解读 1. 等腰三角形存在性：抛物线上找点使三角形等腰，按腰相等分三种情况（两腰分别相等）列方程。 2. 直角三角形存在性：抛物线上找点使三角形直角，按直角顶点分三种情况，用勾股定理或斜率积为-1求解。 3. 等腰直角三角形：同时满足等腰和直角条件，先按等腰求点再验证直角，或反之。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长度。 2. 分类讨论：等腰按边相等分类，直角按直角顶点分类，分别列方程求解。 3. 检验合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且能构成三角形（三点不共线）。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式
(2)存在，点M坐标为或或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可；
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点，分别代入得：
，
解得：
直线的解析式为；
∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
，
当时，
∴，
解得：，
∴或；
当时，
∴，
解得：，
∴，
综上：点M坐标为或或．
【变式02】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解；
（3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可．
【详解】（1）解：将点，，代入 ，
得，解得，
故抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
当时，，
故点的坐标为．
（2）解：假设平移后的函数表达式为，
假设直线所在的函数表达式为，
将点，代入，
得，解得，
故直线所在的函数表达式为，
由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点，
即方程仅有一个实数解，
整理得，
故，
解得．
（3）解：假设点的坐标为，
∵，，，
∴，，，
当为直角的斜边时，
，
即，
解得；
当为直角的斜边时，
，
即，
解得；
故点的坐标为或．
【变式03】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，
(3)存在，点坐标为，，，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键；
（1）用待定系数法求解即可；
（2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可；
（3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决．
【详解】（1）解：将点，代入得，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为：；
（2）解：存在点使，理由如下：
假设存在点使，设，
，
当时，，
，
在中，
，
解得，（不合题意舍去），
则坐标为，
，，
，
，
存在点使；
（3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
的值最大时即有最大值，
当时，最大，点的坐标为，
设，，，
当是直角三角形时，有以下三类情况，
①时，
，
解得，（不合题意舍去），
；
②，，
，
解得，（不合题意舍去），
；
③，，
，
解得，（不合题意舍去），
，；
综上所述，点坐标为，，，．
题型05 二次函数与相似三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，点P的坐标为；
(2)点E的坐标为；
(3)存在，点N的坐标为或
【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程．
（1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点；
（2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案；
（3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：直线，令，得，令，得，
所以，，代入得，
，解得：，
∴，
∴，
∴顶点P的坐标为：；
（2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，
设点，则点，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，
此时，点E的坐标为；
（3）解：存在，理由如下，
连接，设，
当时，，
解得，，
∴，
∵，，，
∴，且非等腰三角形，
若为顶点的三角形与相似，
，则点在点的左侧，
，
①当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
②当时，，
∴，
解得，所以点N的坐标为，
综上所述，点N的坐标为或．
【典例02】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的最小值为
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标；
（3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，
把点，点，点的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示，
根据轴对称可知：，
，
两点之间线段最短，
当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
顶点坐标，
的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
当时，，
点的坐标为，
（3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下：
设 ，则，
，，，，
①当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
②当时，
，
即，
解得：，（舍去），
此时，
；
综上所述，点坐标为或．
方法透视
考向解读 1. 对应顶点分类：已知三角形与抛物线上点构成的三角形相似，按对应顶点不同分多种情况讨论。 2. 边角条件转化：利用相似三角形对应边成比例或对应角相等，将几何条件转化为代数方程。 3. 动点与存在性：抛物线上动点运动中，探究是否存在某时刻两三角形相似，常需分类求解。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长。 2. 分类讨论全面：按对应顶点顺序列出所有可能相似情况，分别列比例方程。 3. 验证合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且满足三角形内角和对应相等。
变式演练
【变式01】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；
(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点到直线的距离
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（）求出直线的解析式，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（）过点作轴的平行线交于点，作于点，由平行线的性质可得，进而得到，设，则，可得，再根据锐角三角函数的定义解答即可求解；
（）当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，可得；当点在轴下方时，分和两种情况，利用相似三角形和二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：把代入，得，
∴
把代入得，，
∴，
∴一次函数，
把代入，得，
∴
∴，
把和代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的平行线交于点，作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
①当点在轴上方时，则点，，为顶点的三角形与全等，
此时点与点关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
②当点在轴下方时，
（）当时，，则，
由勾股定理得，，
又∵，
∴，
过点作轴于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
，，，，
∴，
，，
∴，
∴点的横坐标为，
∵点在抛物线上，
，
根据点的对称性，当点在第三象限时，符合条件的点，
∴点的坐标为：或；
（Ⅱ）当时，如图，
则直线，
∴可设直线的表达式为，
把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
联立函数解析式，得，
解得或（不合，舍去）
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，为顶点的三角形与不相似，故舍去，
同理的对称点同样不合；
综上，点的坐标为或或．
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）存在，点的坐标为
【分析】（1）根据对称轴直线得到，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，根据等腰三角形的定义得到，如图，过点作，则，在中，由勾股定理得，由此即可求解；（ii）由（i）可知，，可得直线的解析式，设，若四边形为矩形，，根据点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：（i）设直线的解析式为，将点代入，得，
直线的解析式为，
设，则，
，
由题意知，
如图，过点作，则，
，
在中，由勾股定理得，
解得（舍去），，
；
（ii）由（i）可知，，
设直线的解析式为，
将代入得，
，
设，
若以为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形为矩形，
，
点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为矩形，满足题意，
点的坐标为．
【典例02】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
【答案】(1)；
(2)①存在，点的坐标为或；②
【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解；
（2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可；
②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长．
【详解】（1）解：当时，，解得：，，
∵点在点的左侧
∴，，
当时，，即．
故答案为：，．
（2）解：①存在，理由如下：
∵，，
∴直线的函数表达式为，
设点的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或；
②设点的坐标为，其中，
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴直线的函数表达式为；
∵直线，
∴设直线的解析式为，
∵点的坐标，
∴，
∴
∴，
∵抛物线的对称轴与直线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴．
方法透视
考向解读 1. 平行四边形存在性：已知三个定点，探究抛物线上点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。 2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。 3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各点坐标。 2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。 3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。
变式演练
【变式01】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
(3)13.5
(4)存在；，，
【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式；
（2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答．
（3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值；
（4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标．
【详解】（1）解：∵的坐标为，
∴，
∵，点在轴下方，
∴，
∵将代入抛物线的解析式，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得，
令，则
即
如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．
∵，
∴
∴
设直线的解析式为：，
∵，
∴
解得，
∴直线的解析式为：，
则的对称轴是直线，
∴当时，，
∴点Q的坐标是；
（3）解：如图1所示，过点作轴，交于点，
∵该抛物线的对称轴为，，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∵将代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3，
∴的最大面积，
∴，
∴四边形的面积的最大值为13.5；
（4）解：存在，理由如下：
①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形，
∵，令，
∴，
∴；
②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形，
∵，
∴的纵坐标均为3，
令，可得，
解得，
∴．
综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或．
【变式02】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，点在抛物线上
(3)存在，
(4)存在，点的坐标为：或或
【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可；
（2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上
（3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到
（4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为，
∴，
∴，
将点D的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由题意得：，
当时，，
故点D在抛物线上；
（3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点，
∴
连接并延长交直线于点，此时最大，
令，解得：，
∴，
设直线的表达式为：，将、两点坐标代入，
∴，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，得，
∴
（4）存在，理由如下：
连接，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴当点与点重合时，存在正方形，
作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形，
当点与重合时，存在正方形，
对于，当时，，
故，在抛物线上，满足题意；
过点作的平行线交抛物线于点，则：，
同（2）法可得，直线的解析式为：，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或（不合题意，舍去）
∴，
∴，
故存在正方形；
综上：存在，点的坐标为或或
题●型●训●练
1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或；
(3)或．
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上，
．
．
反比例函数的解析式为，．
，两点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：由图可知，当或时，不等式．
（3）解：存在．
如图，过点B作轴，垂足为D．
，，
，．
，．
．
，
．
设点P的横坐标为，则．
．
或．
当点P在上，则或．
点P的坐标为或．
2．（2025·四川达州·三模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求点的坐标；
(2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点代入直线与双曲线即可得出，，则点，再根据对称性可得点的坐标；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明得，进而得点，则，由此得当为最小时，四边形的周长为最小，作点关于轴对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，证明四边形是平行四边形得，则，根据“两点之间线段最短”得，则点，，在同一条直线上时，为最小，即为最小，根据对称性质可得，继而得到，然后利用勾股定理即可求出的长，可得四边形周长的最小值；
（3）①当点在轴上上时，过点作轴于点，先求出，证明得，可得点的坐标；②当点在轴上时，过点作轴于点，证明得，可得点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，
∴，
解得：，
∴，反比例函数的表达式为：
∵直线与双曲线都关于原点对称，
∴点，关于原点对称，
∴；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的纵坐标为，
对于，当时，，
∴，
∴，
当线段在轴上运动时，四边形的周长为：，
∴当为最小时，四边形的周长为最小，
作点关于轴对称点，过点作轴，且（点在点的右侧），连接，，，如图所示，
∴，
∵线段在上移动，且，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点，，在同一条直线上时，为最小，即为最小，如图所示，
∵，点与点关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形周长的最小值为；
（3）存在，理由如下：
①当点在轴上上时，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点在轴上时，过点作轴于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与正比例函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，反比例函数与正比例函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，两点间的距离，两点之间线段最短等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，使得与相似点坐标为或
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到直线的解析式为，是等腰直角三角形，分类讨论：第一种情况，如图所示，第二种情况，如图所示，，作点作与点；根据等腰直角三角形的性质列式求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点，与轴交于点，
∴设二次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
第一种情况，如图所示，，
∴是等腰直角三角形，，
点是二次函数图象上的一个动点，点在第一象限，过点作轴于点，与线段交于点，
∴设，则，，
∴，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴；
第二种情况，如图所示，，作点作与点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），，
∴，
∴；
综上所述，存在点，使得与相似点坐标为或．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是．
(1) ________， ________；
(2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点．
①连接，若，求的取值范围；
②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)①或且；②或
【分析】（1）根据顶点横坐标可得对称轴为直线，再由对称轴计算公式可得b的值，把点C坐标代入解析式即可求出c的值；
（2）①先求出，再求出，根据，可得；则可求出且，求出直线恰好经过点，点，点时，k的值即可得到答案；
②联立得，根据直线与该抛物线有且只有一个公共点，可得关于x的方程有两个相等的实数根，则可求出，据此可得到，取，作直线，可证明，得到，则，即可得到直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；过点D作，过点D作交直线于I，则，，可推出直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；求出直线解析式为，得到设，由，得到，则，同理可得此时点P的坐标为；综上所述，点P的坐标为或．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点的横坐标是，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于点，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
由（1）可得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴且，
当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，解得，
当直线恰好经过点时，则，解得，
∴当时，或且；
②联立得，
∵直线与该抛物线有且只有一个公共点，
∴关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴直线l解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴；
如图所示，取，作直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线与直线所夹的锐角是的2倍，
∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
如图所示，过点D作，过点D作交直线于I，
∴，
∴，
∵
∴直线与直线所夹的锐角是的2倍，
∴直线与抛物线的交点（不是C）即为点P的一个位置；
∵，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于利用分类讨论的思想求解即可．
5．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
(2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可；
（2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：当时 ，
故点
当时，有
解得：
设直线的表达式为：；
将代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
同理可得：直线的表达式为：；
（2）解：①存在：设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
6．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式；
（2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可；
（3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为；
(2)点的坐标为；
(3)存在，点坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求得二次函数的解析式为；
（2）设点，则点，可得，利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设，分三种情况：①当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；②当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案；③当为对角线时，的中点与的中点重合，利用中点公式可得出答案．
【详解】（1）解：将 分别代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：如图1，设点，则，
．
联立一次函数与二次函数的表达式，得，
解得或，
．
∵，且，
∴当时，取得最大值，
把代入，得，
∴；
（3）解：，
∴抛物线的顶点为．
由（1）知，
如图2，当点为顶点的四边形是平行四边形时，
设，分三种情况：

①如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
∴；
②如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
；
③如图2，为对角线时，的中点与的中点重合，
，
解得，
．
综上，点 的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、平行四边形的性质，中点公式的应用，解题关键是运用分类讨论思想和数形结合思想解决问题．
8．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②
(3)存在，，
【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等．
（1）将、代入得方程组，解方程组即可；
（2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标；
②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论；
（3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则；
当为斜边时，则；分别解方程即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①令，则，
解得或，
∴点A的坐标为；
②根据图象可知，当时，x的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：设点P的坐标为，
∵，，
∴，，，
∵是以为直角边的直角三角形，
∴分以下两种情况讨论：
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴；
当为斜边时，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在符合条件的P点，，．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题14 函数与几何综合（存在性问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
题型03 二次函数与角度存在性问题
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
题型05 二次函数与相似存在性问题
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 反比例函数与三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
方法透视
考向解读 1. 等腰三角形：已知两点在双曲线上，探究第三点使三角形等腰，按腰相等分类讨论列方程。 2. 直角三角形：已知两点，探究第三点使三角形直角，按直角顶点位置分类，用勾股或垂直列式。 3. 相似三角形：双曲线上点与已知三角形相似，按对应边比例分类讨论，利用函数解析式求解。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,)，用含t式子表示线段长。 2. 分类讨论：按腰、直角顶点、对应顶点位置分类，分别列方程求解。 3. 检验合理性：求出t后验证是否在双曲线上，且满足三角形三边关系。
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点．

(1)求直线的表达式；
(2)如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长；
(3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求点坐标及反比例函数的表达式；
(2)连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
(3)直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
题型02 反比例函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点D是x轴上一点，直线交双曲线于点C．
(1)求k的值；
(2)连接，当时，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是直线上一个动点，点G是坐标平面上一点，是否存在点P，使得四边形为菱形？ 若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 平行四边形存在性：已知三个点在双曲线上，探究第四点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。 2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。 3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能 1. 设点坐标：设双曲线上点坐标为(t,)，用含t式子表示各点坐标。 2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。 3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。
变式演练
【变式01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．
(1)求直线的表达式．
(2)当的面积为时，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点．
(1)求点的坐标并直接写出、的值；
(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；
(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数与角度存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值．
(3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
方法透视
考向解读 1. 相等角存在性：抛物线上找点使某角等于已知角，通过构造相似三角形或三角函数列方程求解。 2. 倍半角关系：探究一角是另一角的两倍或一半，常通过构造等腰三角形或利用正切倍角公式转化。 3. 特殊角度：探究45°、90°等特殊角存在，利用斜率积为-1（垂直）、等腰直角三角形性质求解。
方法技能 1. 三角函数法：设点坐标表示各边，用正切值列方程，将角度条件转化为线段比。 2. 构造相似三角形：找与已知角相等的角，构造相似三角形，利用对应边成比例列方程。 3. 分类讨论全面：按点在已知角两边不同位置分类，避免遗漏符合条件的点。
变式演练
【变式01】（2025·内蒙古包头·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
(1)求点A、B、C的坐标，并直接写出的度数；
(2)若点D是和线段垂直平分线的交点，则与的周长之比为多少？
(3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·辽宁营口·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求二次函数的表达式和点B的坐标．
(2)如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接，抛物线上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型04 二次函数与特殊三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 等腰三角形存在性：抛物线上找点使三角形等腰，按腰相等分三种情况（两腰分别相等）列方程。 2. 直角三角形存在性：抛物线上找点使三角形直角，按直角顶点分三种情况，用勾股定理或斜率积为-1求解。 3. 等腰直角三角形：同时满足等腰和直角条件，先按等腰求点再验证直角，或反之。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长度。 2. 分类讨论：等腰按边相等分类，直角按直角顶点分类，分别列方程求解。 3. 检验合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且能构成三角形（三点不共线）。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值；
(3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式03】（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 二次函数与相似三角形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标；
(3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【典例02】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 对应顶点分类：已知三角形与抛物线上点构成的三角形相似，按对应顶点不同分多种情况讨论。 2. 边角条件转化：利用相似三角形对应边成比例或对应角相等，将几何条件转化为代数方程。 3. 动点与存在性：抛物线上动点运动中，探究是否存在某时刻两三角形相似，常需分类求解。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各边长。 2. 分类讨论全面：按对应顶点顺序列出所有可能相似情况，分别列比例方程。 3. 验证合理性：求出x后验证点是否在抛物线上，且满足三角形内角和对应相等。
变式演练
【变式01】（2024·广东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点为第一象限内抛物线上一点，且点的横坐标为，请用含的代数式表示点到直线的距离；
(3)抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 二次函数与特殊四边形存在性问题
典例引领
【典例01】（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线是第一象限内抛物线上一个动点，过点作轴于点，与线段交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当是以为底边的等腰三角形时．
（i）求线段的长；
（ii）已知是直线上一点，直线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
方法透视
考向解读 1. 平行四边形存在性：已知三个定点，探究抛物线上点使四边形为平行四边形，按对角线互相平分分类讨论。 2. 矩形与菱形：在平行四边形基础上增加邻边垂直（矩形）或邻边相等（菱形）条件，列方程求解。 3. 正方形存在性：同时满足邻边垂直且相等，即矩形与菱形条件复合，需双重验证。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示各点坐标。 2. 分类讨论：按对角线或顶点顺序分类，利用平行四边形对角线互相平分列中点坐标方程。 3. 附加条件检验：矩形加垂直条件（斜率积为-1），菱形加邻边相等条件（距离相等），正方形同时满足。
变式演练
【变式01】（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
题●型●训●练
1．（2025·四川广元·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·四川达州·三模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求点的坐标；
(2)线段在轴上运动，且点在点右侧，求四边形周长的最小值；
(3)是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在第一象限时，过点作轴于点，与线段交于点，是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中中，二次函数的图象与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点，其顶点的横坐标是．
(1) ________， ________；
(2)已知一次函数（k为常数）的图象为直线，直线与x轴交于点．
①连接，若，求的取值范围；
②当直线与该抛物线有且只有一个公共点时，在该抛物线上是否存在点，使得直线与所夹的锐角是的2倍？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标；
(3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①求点A的坐标；
②当时，根据图象直接写出x的取值范围________；
(3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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