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专题15 二次函数中求线段，线段和，周长、面积等最值问题
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数中的线段最值问题
题型02 二次函数中的线段和最值问题
题型03 二次函数中的周长最值问题
题型04 二次函数中的面积最值问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数中的线段最值问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【典例02】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值．
方法透视
考向解读 1. 竖直线段最值：抛物线上点与 x 轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马）求解。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示线段长。 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、圆模型求解。
变式演练
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值．
(3)若时，总满足，求t的取值范围．
【变式02】（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值；
(3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值．
题型02 二次函数中的线段和最值问题
典例引领
【典例01】（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求点和点的坐标；
(3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若，求的值．
(3)直线与直线交于点，求的最小值．
方法透视
考向解读 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数或几何模型求解。
方法技能 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。
变式演练
【变式01】（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接．
(1)求的值；
(2)当取得最小值时，求点P的坐标；
(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【变式02】（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
题型03 二次函数中的周长最值问题
典例引领
【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【典例02】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最小），加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数求最值。 3. 线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。
方法技能 1. 将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。
变式演练
【变式01】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值．
题型04 二次函数中的面积最值问题
典例引领
【典例01】（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
方法透视
考向解读 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半，化为二次函数求最值。 2. 四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。
方法技能 1. 铅垂高法：三角形面积用S = ×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。
变式演练
【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．
①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；
②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
题●型●训●练
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
3．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
5．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点．
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标；
(2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题15 二次函数中求线段，线段和，周长、面积等最值问题
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数中的线段最值问题
题型02 二次函数中的线段和最值问题
题型03 二次函数中的周长最值问题
题型04 二次函数中的面积最值问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数中的线段最值问题
典例引领
【典例01】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)点；
(3)有最小值为．
【分析】（1）将点、、代入即可求解；
（2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解；
（3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、，
则：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方，
∴设点，
∴，
∵、，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
，
，
∴点；
（3）解：∵，
∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，
将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，
∵点是抛物线对称轴上一点，
∴设点，
∵垂直于直线交直线于点，
∴点，
∴，．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴．
∵垂直于直线，垂直于直线，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∴点，
∴点．
∵点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴当，有最小值为．
【典例02】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)当点在线段上运动时，求线段的最大值；
(3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)的最大值为
(3)
【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答．
【详解】（1）解：抛物线过、两点，
代入抛物线解析式可得，
解得，
抛物线解析式为，
令可得，，解，
点在点右侧，
点坐标为，
设直线解析式为，
把B、C坐标代入可得，
解得，
直线解析式为；
（2）解：轴，点的横坐标为，
，
在线段上运动，
点在点上方，
，
当时，有最大值，的最大值为；
（3）解：轴，
当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
点纵坐标为3，
，解得或，
当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
．
方法透视
考向解读 1. 竖直线段最值：抛物线上点与 x 轴（或水平线）上点的竖直距离，化为二次函数求顶点最值。 2. 水平线段最值：抛物线上两点水平距离，利用对称轴分析最大值或最小值。 3. 斜线段最值：利用两点间距离公式转化为二次函数，或用几何模型（垂线段最短、将军饮马）求解。
方法技能 1. 设点坐标：设抛物线上动点坐标(x, ax2+bx+c)，用含x式子表示线段长。 2. 配方法求最值：将线段表达式化为二次函数形式，配方或直接用顶点公式求最值。 3. 几何模型转化：斜线段最值常通过构造直角三角形，转化为水平或竖直方向线段，或利用对称、圆模型求解。
变式演练
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值．
(3)若时，总满足，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可．
（2）先根据待定系数法求出直线的解析式为，过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，则，，设，则，，
证明，得出，从而得出当时，有最大值，最大值为．
（3）根据抛物线解析式得出当时，有最大值，最大值为，要使对任意x满足，总满足，则要么整个范围在左侧，要么在右侧，且端点函数值亦小于3，令，求出或，则或，即可得或．
【详解】（1）解：将点、、代入，
得，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
将、代入得，
解得：，
则直线的解析式为，
过点P作轴交于点，过点A作轴交于点，
则，，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）解：∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
令，则，
解得：或，
若时，总满足，
则或，
∴或．
【变式02】（2025·四川成都·三模）如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值；
(3)如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）先求出，，再代入，由待定系数法即可求解；
（2）作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，由平行线分线段成比例得，进而可得最大时，最大满足题意，设，则，得，即可求得，进而可求；
（3）设，，求出直线表达式为，代入点得：，求直线，直线，联立直线、表达式，得即，求出经过点的直线为，设，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值．
【详解】（1）解：直线的解析式为．
时，；时，，
， ，，
将，代入
得，
解得，
∴；
（2）解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，
，
，
当时，，
，，
，
设直线为，
将代入得，，
，
，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
若最大，则最大，
，
最大时，最大，
而，
最大时，最大满足题意，
设，则，
，
时，，，
，
，
；
（3）解： ，，
的中点为，
设，，
直线表达式为，
将代入得：，
解得：，
直线表达式为，
代入点得：，
同理可求直线：，
直线：，
联立直线、表达式得：，
解得，
即，
设经过点的直线为，
代入，
得：
比较系数得：，
解得：，
当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动，
设，
，
，
时，．
题型02 二次函数中的线段和最值问题
典例引领
【典例01】（2025·宁夏固原·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是抛物线的顶点，直线与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求点和点的坐标；
(3)若点是轴上一动点，分别连接，，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)的坐标为，点的坐标为；
(3)．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）由，得出顶点的坐标为，然后求出直线的解析式为，从而求得点的坐标为；
（）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，又，当与重合时，即点三点共线时，有最小值，然后通过两点间的距离即可求解．
【详解】（1）解：把，两点代入抛物线解析式得：
解得
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：由，
∴顶点的坐标为，
设直线的解析式为，把、代入可得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
∵，
∴当与重合时，即点三点共线时，有最小，为．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为．直线与轴交于点，与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若，求的值．
(3)直线与直线交于点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系．
（1）先分别根据一次函数的性质，二次函数的性质求出，，，求出抛物线的对称轴为直线，则，根据求出，则；
（2）根据等腰三角形三线合一得到，求出直线的表达式为，直线的表达式为，当在右侧时，证明，则，当在左侧时，设与交于点，设，过的直线交于点，根据等角对等边得到，则在中垂线上，根据中点坐标公式可知的坐标为，根据勾股定理求出将点代入，得；
（3）设，，设直线的表达式为，直线的表达式为，将，坐标代入，求出，则直线的表达式为，同理得直线的表达式为，则，直线与抛物线，得到，即，，代入得到，即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，则，即当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为．
【详解】（1）解：当时，，即．
当时，，，即，，
抛物线的对称轴为直线．
将代入抛物线表达式得，即，
，
，得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
即，
设直线的表达式为，
将，代入，
则，解得，
则直线的表达式为，
同理可得直线的表达式为．
①如图1，当在右侧时，，
则，
．
②如图2，当在左侧时，设与交于点，过的直线交于点，由，得，
在中垂线上．
的坐标为．
设，
则，
解得，
即，
将点代入，得．
综上所述，的取值为或；
（3）解：设，，
设直线的表达式为，直线的表达式为．
将，坐标代入，有
则，，
∴
即．
直线的表达式为，
同理直线的表达式为，
则，，
即，，
即，
整理得，
联立直线与抛物线得到
整理得，
，．
．
即点在定直线上运动，作点关于直线的对称点，
．
当且仅当点在直线上时取最小值，的最小值为．
方法透视
考向解读 1. 将军饮马模型：在抛物线上找点，使到两定点距离之和最小，利用对称转化求最值。 2. 竖直线段和：抛物线上两点到x轴（或水平线）的竖直线段之和，转化为二次函数求最值。 3. 斜线段和转化：通过构造直角三角形或相似，将斜线段和转化为水平或竖直线段和，再用函数或几何模型求解。
方法技能 1. 对称转化：求线段和最小值，常作定点关于对称轴的对称点，转化为两点间直线段。 2. 设参列式：设动点坐标，用两点间距离公式表示线段和，转化为二次函数求最值。 3. 几何模型优先：优先识别将军饮马、胡不归、阿氏圆等几何模型，避免复杂代数运算。
变式演练
【变式01】（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线与抛物线交于点，，且点在轴上，是轴上一点，连接．
(1)求的值；
(2)当取得最小值时，求点P的坐标；
(3)若直线交直线于点（点在线段上，不与端点重合），交抛物线于点，连接．设，求关于的函数表达式，并求出的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)，
【分析】（）把代入可求出，即得直线的解析式为，进而得到，再利用待定系数法可求出的值；
（）取点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得最小，利用待定系数法求出直线的解析式进而即可求解；
（）设点，则点，可得，，即得到，再把二次函数转化为顶点式即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴，
∴，
把和代入抛物线得，
，
解得，
即，；
（2）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于点，
则此时最小，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标为；
（3）解：设点，则点，
∴，，
∴
，
即，
∵，
∴当时，取最小值，最小值为．
【变式02】（2025·海南海口·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为点C，其顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求四边形的面积；
(3)若直线与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得有最大值，并求出最大值；
(4)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)时，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据顶点横坐标为1可得对称轴为直线，据此利用对称轴计算公式结合待定系数法求解即可；
（2）求出C、D的坐标，连接，根据列式求解即可；
（3）求出的长，进而求出的长，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）分，，，三种情况根据二次函数的增减性，表示出对应情形下函数的最大值和最小值，结合最大值与最小值的差为9讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，且顶点横坐标为1，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，
当时，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴．
（3）解：当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
（4）解：∵对称轴为直线，
∴抛物线上横坐标为的点关于直线的对称点的横坐标为4，
①当时，
当时，最大值为，
当时，最小值为，
∴，解得（舍）．
②当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴；
③当时，
当时，最大值为4，当时，最小值为，
∴，
∴（舍），（舍）
综上所述，n的取值范围为．
题型03 二次函数中的周长最值问题
典例引领
【典例01】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式；
（2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标；
（3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得，
，解得，
；
（2）解：，，
当的值最小时，则的周长最小．
作点关于对称轴的对称点，即为点，
由（1）可知抛物线的解析式为，
对称轴为直线，且，
．
如图，连接，与对称轴的交点即为点，
设直线的解析式为，
把，代入中得，
，解得，
直线的解析式为．
点的横坐标为，
把代入得，
；
（3）解：设，，
①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，
，，
，
，解得，
把代入，
；
综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或．
【典例02】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，．；
(2)．
(3)能，边上的顶点的坐标为，或．
【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可．
【详解】（1）解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形为矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
方法透视
考向解读 1. 三角形周长最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，周长最小常转化为将军饮马（两边和最小），加定边得最值。 2. 四边形周长最值：动点在抛物线上，四边形周长最值常通过对称转化或设点坐标建立二次函数求最值。 3. 线段和为定值：已知一边长固定，求周长最值即求另两边和的最值，用几何模型或函数法求解。
方法技能 1. 将军饮马转化：周长中固定边不变，求两动边和最小即作对称点转化为两点间线段。 2. 设点坐标法：设动点坐标，用距离公式表示各边长，周长化为二次函数求顶点最值。 3. 化折为直：利用平移或旋转将折线段拉直，使问题转化为求两点间最短距离。
变式演练
【变式01】（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)对称轴是直线，顶点坐标为
(3)存在，
【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径：
（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标；
（3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点．
【详解】（1）解：将代入抛物线中，得：
，
解得：，
该抛物线的解析式为：．
（2），
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为．
（3）存在．
解：连接交对称轴于点，连接，
两点关于抛物线的对称轴对称，
直线与的交点即为点，此时的周长最小，
，抛物线交轴于点，
当时，，即，
设直线的解析式为：，
将代入可得：
，
解得：，
的解析式为：，
在对称轴上，
当时，，即．
【变式02】（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值．
【答案】(1)
(2)15
(3)
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题．
（1）用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案；
（3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2．
【详解】（1）解：把代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵直线经过点，
∴直线的表达式为．
由，
解得或，
∴．
∵直线交轴于点，在中，令，则，
∴．
∴．
（3）∵为定点，
∴线段的长为定值，
∴当的和最小时，四边形的周长最小．
如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，
∵三点共线，
∴，
此时的值最小．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，，
∴直线的表达式为．
∵点为直线与的交点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴四边形周长的最小值为．
题型04 二次函数中的面积最值问题
典例引领
【典例01】（2026·内蒙古通辽·一模）抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线对称轴与抛物线交于点P，与直线交于点M，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得与面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，D的坐标为，面积最大值为8
(3)存在，点Q的坐标为：，
【分析】（1）利用抛物线与x轴交点坐标代入抛物线即可求出；
（2）通过设点D坐标，再根据二次函数性质求最值；
（3）根据面积相等，分情况讨论点Q的位置，通过直线与抛物线求解点Q坐标．
【详解】（1）解：已知抛物线过，
，解得，
所以抛物线表达式：；
（2）解：令，得，
则可设直线的解析式：，
代入，得，解得，即，
设点，，
过D作轴交于，
则，，
，
这是开口向下的二次函数，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为8，
此时D的坐标为；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
由（2）知直线的解析式为，则直线与对称轴交点坐标为，
∴，
过作轴交于，
设，则，
，
又与面积相等，
，即，
，解得（与点P重合，舍去）或，此时，
或，解得或，
对应Q的坐标为：，
综上，点Q的坐标为，．
【典例02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)点的坐标为
(3)的取值范围为或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．
（1）由待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可
（3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可．
【详解】（1）解：对于，令，则，
点的坐标为．
将点代入，得．
直线的函数表达式为，
令，则，解得，
点的坐标为，
将点代入，
得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴交于点．
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为8，
此时点的坐标为．
（3）由（2）知，点坐标为，
又∵，
直线的函数表达式为，
抛物线过点，
可设抛物线的函数表达式为，
在抛物线上，
，
抛物线的函数表达式为，
①当时，
，
抛物线开口向上。
又，
，
抛物线与线段无交点．
②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示，
此时．
抛物线与线段只有一个交点，
．
ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示．
将代入，得．
抛物线与线段只有一个交点，
．
．
③当抛物线与线段相切时，
联立，
整理，得，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
综上所述，的取值范围为或．
方法透视
考向解读 1. 三角形面积最值：抛物线上动点与两定点构成三角形，面积常表示为水平宽×铅垂高的一半，化为二次函数求最值。 2. 四边形面积最值：将不规则四边形分割为三角形或补形，转化为面积函数求最值。 3. 面积与线段关系：已知面积关系求点坐标，或面积最值时求参数取值范围。
方法技能 1. 铅垂高法：三角形面积用S = ×水平宽×铅垂高，铅垂高为二次函数，配方求最值。 2. 割补法：不规则图形面积通过分割或补形转化为规则图形面积的和差，建立函数关系。 3. 判别式定界：面积最值问题也可转化为一元二次方程有解，用判别式求最值。
变式演练
【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标；
(3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大
(3)或
【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式；
（2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
令，即，
解得，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得，
所以直线的解析式为，
设点的坐标是，
点是直线下方抛物线上的动点，
，
过点作于点，则，
，
的面积，
当时，的面积最大值为，
当时，；
（3）解：，
，
如图，连接，
设的解析式为，
将、代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
令，即，解得，
点的坐标为，
，且，
，
，
设点，
点在线段上，
，
则，
，
分情况讨论：
①当时，有，
，
解得，满足，
则此时，
此时点的坐标为．
②当时，有，
，
解得，满足，
此时，
此时点的坐标为，
点的坐标为或．
【变式02】（2026·山东潍坊·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．
①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；
②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)①，最大值为；②存在，点的坐标为或
【分析】（1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）①先求出直线的解析式为：，设，则，用含的代数式表示的面积，进而即可求解；②分两种情况：①；②，讨论即可．
【详解】（1）解：把、代入得
，
解之得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：①如图，
设直线的解析式为，
把、代入得
，
解得，
∴直线的解析式为
设，则，
∴，
∴，
，
∴对称轴，
∵，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．
∴；
②当时，如图：
∴，
∴轴，
∴点的纵坐标为，
∴，
解得舍去，，
∴，
当时，
，
过点作于，
∵，，轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由①得，，
∴，
解得（舍去），，
∴，
综上，点的坐标为或．
题●型●训●练
1．（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为；
(2)有最大值，此时；
(3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解；
（）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
设抛物线的表达式为，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设解析式为且过，，
∴，解得：，
∴解析式为，
∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，
∴设，则，
∴，
∴当时，有最大值，
此时；
（3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由，
如图，
∵抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
∵点在对称轴上，
∴设，
∵，，
∴，，，
当时，
∴，
解得，
∴，
当时，
∴，
解得，
∴或；
当时，
∴，
解得，
∴；
综上：点的坐标为或或或．
2．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
【答案】(1)①，；②，最大值是
(2)．
【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识，
（1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标；
②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解；
（2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解．
【详解】（1）解：①把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是
②设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
（2）解：由抛物线解析式为，
可知其对称轴是直线，点坐标为，
故点在抛物线对称轴上．
线段绕点顺时针旋转后对应点是点，
，．
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，
则
．
．
．
，
点坐标可表示为．
把点坐标代入，得，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．
3．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D．
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②5
【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；
（2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可．
【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为，
，
．
（2）解：①把代入，
得，
如图，延长与x轴相交于点G．
，
．
，
．
，
．
，
，
．
设直线的解析式为：，把代入，
得解得，
直线的解析式为：，
点D是直线与二次函数的交点，
联立解析式，
解得或，
．
②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点．
，且，
四边形是平行四边形，
．
，
．
为等腰直角三角形，
，
，，
，
．
，
当时，最小．
，
．
此时D、E、H三点共线且轴，
点F的坐标为与点C重合，满足在线段上．
的最小值为5．
4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值；
(3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可；
（2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案；
（3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：在中，当时，则，
解得或，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，的面积分别为，，
∴，
，
∴
，
∵点P是抛物线在第四象限内的一点，
∴，
∵，
∴当，即时，有最大值，最大值为；
（3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，
则图象G对应的抛物线的顶点坐标为，
∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M，
∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动，
图象对应的抛物线的顶点坐标为，
∴图象对应的抛物线解析式为，
当图象过点（由（2）可得点A坐标）时，
，解得 或；
当图象过点时，
，解得或；
∴由函数图象可知，当时，符合题意；
同理可得直线的解析式为，
当抛物线与直线恰好只有一个交点时，
联立得，
即；
则，
解得，
∴，
∵，
∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意；
综上所述，的范围是或．
5．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点．
(1)求二次函数的解析式并写出D点坐标；
(2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值．
【答案】(1)，D点坐标为；
(2)点Q的坐标为；
(3)，四边形的最短周长为．
【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解；
（2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标；
（3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，，，
即二次函数的解析式为：．
∵点在抛物线上，即，
∴点的坐标为；
（2）解：令，即，解得：，，
∴点，的坐标分别是，．
如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即，
∵，
∴与相似，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值，即点的坐标为；
（3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为，
过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接，
由条件可知，点、关于对称轴对称，即
即四边形的周长，
故四边形的最短周长为：．
∵点，在直线上上，
∴直线的解析式为：，
∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为．
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