资源简介

专题16 二次函数中平移、翻折、旋转综合问题
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数中的平移问题
题型02 二次函数中的翻折问题
题型03 二次函数中的旋转问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数中的平移问题
典例引领
【典例01】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和．
(1)求平移后抛物线的顶点坐标；
(2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由；
(3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标．
【典例02】（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________．
(2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”；
(3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”．
方法透视
考向解读 1. 解析式变化：抛物线平移规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”，直接求平移后解析式。 2. 顶点轨迹：平移时顶点坐标按相同向量变化，通过顶点位置求平移距离或方向。 3. 与几何图形结合：平移后抛物线与其他图形（线段、三角形）有交点，求参数取值范围。
方法技能 1. 顶点法：将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，平移后h左右变，k上下变，直接写出新解析式。 2. 转化法：已知平移前后解析式，比较顶点坐标变化确定平移方向和距离。 3. 交点条件：平移后与某图形有交点，联立方程用判别式△≥0求参数范围。
变式演练
【变式01】（2024·河北邯郸·三模）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止．
(1)若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；
(2)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式；
(3)在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【变式02】（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置．
我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D．
(1)抛物线的表达式为：___________，
(2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（ ， ）．抛物线与轴交于两点，线段___________
(3)平移求解（参考图1、图2）
①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（ ， ）
②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________
(4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________
题型02 二次函数中的翻折问题
典例引领
【典例01】（2025·广西南宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围．
【典例02】（2024·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点．
(1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________．
(2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知．
①求k的值．
②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值．
方法透视
考向解读 1. 关于x轴对称：翻折后开口方向相反，y变为-y，解析式y' = -ax2 - bx - c。 2. 关于y轴对称：翻折后开口方向不变，x变为-x，解析式y' = ax2 - bx + c。 3. 关于直线对称：翻折后顶点对称，开口方向可能变化，常先求顶点对称点再确定解析式。
方法技能 1. 坐标变换法：利用对称点坐标关系，将原解析式中的x,y替换为对称后坐标，得新解析式。 2. 顶点法：先求原抛物线顶点关于对称轴的对称点，结合开口方向变化直接写出顶点式。 3. 交点不变性：关于x轴翻折时，与x轴交点不变；关于y轴翻折时，与y轴交点不变，用于验证。
变式演练
【变式01】（2024·江西·一模）已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为．
(1)求定点的坐标；
(2)把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式；
(3)在（2）中，已知的面积为8．
①当时，求图象中的取值范围；
②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值．
【变式02】（2025·湖南·二模）已知抛物线．
(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
题型03 二次函数中的旋转问题
典例引领
【典例01】（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点D的坐标；
②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围．
【典例02】（2024·河北·三模）如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：点，，在同一条直线上；
(3)若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标．
方法透视
考向解读 1. 旋转90°：抛物线绕原点旋转90°，转化为求点轨迹，新解析式非二次函数，常考顶点坐标变换。 2. 旋转180°：绕原点旋转180°，开口方向相反，顶点关于原点对称，解析式y' = -ax2 - bx - c。 3. 绕顶点旋转：抛物线绕顶点旋转180°，开口方向相反，顶点不变，解析式y' = -a(x-h)2 + k。
方法技能 1. 顶点法：旋转180°时，顶点关于旋转中心对称，开口方向相反，用顶点式直接写出新解析式。 2. 坐标代换法：绕原点旋转，用旋转公式(x', y')代入原解析式求新关系。 3. 特殊点法：取原抛物线上特殊点（顶点、与轴交点），求旋转后对应点，待定系数求新解析式。
变式演练
【变式01】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
【变式02】（2025·湖南怀化·二模）在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”．
(1)抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____；
(2)如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值．
题●型●训●练
1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接．
(1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标；
(2)求的正切值．
2．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧．
(1)求抛物线W经过的定点坐标；
(2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线．
①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）；
②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值．
3．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）．
(1)当时，
①求的面积；
②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移；
(2)点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
4．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标．
(2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）；
若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围．
5．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．

(1)当时，
①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标．
②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标．
(2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值．
6．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 …
y m 1 …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和m的值．
(3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题：
①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象．
②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______．
x … 0 1 2 3 …
… 1 …
… 2 3 2 …
7．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C．
(1)直接写出a，m的值；
(2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理；
(3)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值；
(4)直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数．
8．（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 5 …
… 0 0 3 8 …
(1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______；
求抛物线的解析式及的值．
(2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线．
抛物线的解析式为______；
记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围．
9．（2025·河北邯郸·二模）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标；
(2)求点，的坐标及直线的函数表达式；
(3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
10．（2025·江苏苏州·二模）定义：对于抛物线（是常数，），若，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于两点．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、的坐标；
(2)将抛物线沿轴翻折，得到抛物线；
①抛物线___________准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当时，记抛物线、组成的新图象为“图象”，图象交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 二次函数中平移、翻折、旋转综合问题
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数中的平移问题
题型02 二次函数中的翻折问题
题型03 二次函数中的旋转问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数中的平移问题
典例引领
【典例01】（2025·广东佛山·三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和．
(1)求平移后抛物线的顶点坐标；
(2)设点，都在平移后的抛物线上，若满足且，比较与的大小并说明理由；
(3)直线与平移后的抛物线交于点，与平移前的抛物线交于点，记点在平移前的抛物线上的对应点为．若以四点为顶点的四边形有一组对边平行，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平行线的性质．
（1）设平移后的函数解析式为，将点和代入，即可求函数的解析式；
（2）根据所给的条件求出，，再求出M、N与对称轴的距离的关系为，，即可得到；
（3）设，则，，当时，当时，，求得；当时，，求得；当时，当时，，求得．
【详解】（1）解：设平移后的函数解析式为，
将点和代入，
∴，
解得，
∴，
∴顶点为；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，，
解得，，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，到对称轴距离越近值越大，
∵M、N与对称轴的距离的关系为，，
∴，
∴；
（3）解：设，则，，
当时，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
同理可得：直线的解析式为，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴；
当时，，
解得或（舍），
∴；
当时，
当时，，
解得，
∴；
当时，，
解得，，不合题意；
综上所述：P点坐标为或．
【典例02】（2025·辽宁锦州·三模）定义：将抛物线向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到抛物线（h，k均大于0），则将抛物线称为“原函数”，把由它平移得到的抛物线称为抛物线的“衍生函数”，将平移路径称为“衍生路径”，平移前后对应点之间的距离称为“衍生距离”．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)若抛物线为抛物线L的“原函数”，则抛物线L的“衍生路径”为________；平移前后对应点的“衍生距离”为________．
(2)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的左交点为E，与y轴的交点为F，若，请写出抛物线的“衍生路径”；
(3)将抛物线L作为“原函数”，将其向右平移个单位得到它的“衍生函数”，与x轴的右交点为P，与y轴的交点为Q，若与相似，求平移前后对应点之间的“衍生距离”．
【答案】(1)将原函数先向右平移1个单位，再向下平移4个单位；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位
(3)4或
【分析】（1）根据题意，求出抛物线L：的顶点坐标，即可得到抛物线L的“衍生路径”和“衍生距离”；
（2）先根据平移的规律写出抛物线的表达式，再求出抛物线L与坐标轴的交点，根据可求出点E、F的坐标，最后代入的表达式，求出m，n，从而确定“衍生路径”；
（3）先写出抛物线的表达式，求出P、Q的坐标，得到、的长度，再根据与相似分情况讨论，求出t的值，进而得到“衍生距离”．
【详解】（1）解：∵，
∴将抛物线向右平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到抛物线L：，
，
∴抛物线L的“衍生路径”为向右平移1个单位，再向下平移4个单位，“衍生距离”为，
故答案为：向右平移1个单位，再向下平移4个单位；；
（2）解：抛物线，将其向右平移个单位，再向上平移n个单位
抛物线，
令，则，解得，，
点在点的左侧，
，，
当时，，
，
，
，，
，，
将点，分别代入中，
得，
解得，，
抛物线的“衍生路径”是：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位；
（3）解：由题意可得抛物线，
令，
解得，，
，与x轴的右交点为P，
，
，
当时，，
，
，
，
由（2）知，，分两种情况讨论：
①当时，，
，
解得（舍去），，
此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是4；
②时，，
，
解得（舍去），，
此时平移前后对应点之间的“衍生距离”是，
综上所述，平移前后对应点之间的“衍生距离”是4或．
方法透视
考向解读 1. 解析式变化：抛物线平移规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”，直接求平移后解析式。 2. 顶点轨迹：平移时顶点坐标按相同向量变化，通过顶点位置求平移距离或方向。 3. 与几何图形结合：平移后抛物线与其他图形（线段、三角形）有交点，求参数取值范围。
方法技能 1. 顶点法：将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，平移后h左右变，k上下变，直接写出新解析式。 2. 转化法：已知平移前后解析式，比较顶点坐标变化确定平移方向和距离。 3. 交点条件：平移后与某图形有交点，联立方程用判别式△≥0求参数范围。
变式演练
【变式01】（2024·河北邯郸·三模）如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止．
(1)若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；
(2)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式；
(3)在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为
(2)①顶点D的坐标为；②
(3)
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，熟知二次函数平移不变，化作顶点式，看作顶点平移是解题的关键．
（1）将代入抛物线即可解答；
（2）①根据抛物线顶点D也在直线l上，即可解答；
②设抛物线的解析式为，将点坐标表示出来，利用二次函数的性质，即可解答；
（3）将代入两条抛物线，求得，再根据题意即可解答．
【详解】（1）解：对于抛物线，
令，得，解得或．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
（2）解：①∵抛物线，
可得顶点，且顶点在直线上．
又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到，
∴其顶点D也在直线l上，
将横坐标为m代入，得，
∴顶点D的坐标为．
②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为，
当时，，
∵，
∴当时，有最小值，
此时点C与原点的距离最大，
此时抛物线的解析式为．
（3）解：当抛物线在平移停止后，抛物线的解析式为，
当时，得，
解得，
，
同理可得，
，
由于为整数，且需求的最大值，
则为最小，即为，
此时，解得，
故n的最大值为．
【变式02】（2025·广东深圳·三模）平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置．
我们先以抛物线为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，抛物线与轴交于两点，其对称轴与x轴交于点D．
(1)抛物线的表达式为：___________，
(2)如图1，抛物线与抛物线的交点的坐标为：（ ， ）．抛物线与轴交于两点，线段___________
(3)平移求解（参考图1、图2）
①如果把线段平移，线段的一个端点落在抛物线的对称轴上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点坐标为：（ ， ）
②如果把线段平移，线段一个端点落在抛物线上记作点，另一个端点落在抛物线上记作点，则点的横坐标为：___________
(4)对于直线，通过对其上下平移可得直线，如果直线恰好与抛物线共有三个交点，则的值为：___________
【答案】(1)
(2)，4
(3)①或；②或
(4)或
【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可；
（2）联立抛物线和抛物线即可求出；当时，，求出，，即可求出的长度；
（3）①首先求出抛物线的对称轴为直线，然后分两种情况讨论，分别根据平移的性质求出点F的横坐标，然后代入解析式求解即可；
②首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，然后设出点G和点H的坐标，根据纵坐标相等列方程求解即可；
（4）根据题意分两种情况讨论：当直线与抛物线只有一个交点和当直线经过抛物线与抛物线的交点时，然后分别求解即可．
【详解】（1）解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线
∴抛物线的表达式为：；
（2）联立抛物线和抛物线得，
解得
将代入
∴；
∵抛物线
∴当时，
解得，
∴，
∴；
（3）①∵抛物线
∴对称轴为直线
∴当点A平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上
∵
∴点F的横坐标为
∴将代入
∴；
∴当点B平移到抛物线的对称轴上E时，点F在抛物线上
∵
∴点F的横坐标为
∴将代入
∴；
综上所述，点F的坐标为或；
②根据题意得，，
∴
当点D平移到抛物线上的点G时，则点B平移到抛物线上的点H时，
设，则，即
根据题意得，
解得
∴
∴点的横坐标为；
当点B平移到抛物线上的点G时，则点D平移到抛物线上的点H时，
设，则，即
根据题意得，
解得
∴
∴点的横坐标为；
综上所述，点的横坐标为或；
（4）如图所示，当直线与抛物线只有一个交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点，
∴联立直线与抛物线得
，即
根据题意得，
∴；
如图所示，当直线经过抛物线与抛物线的交点时，直线恰好与抛物线共有三个交点，
∴将代入得，
解得
综上所述，的值为或．
题型02 二次函数中的翻折问题
典例引领
【典例01】（2025·广西南宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)已知当时，函数值的取值范围是．
①求和的值；
②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)①，；②
【分析】（1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解；
（2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，在时，函数取得最小值，即，在时，函数取得最大值，即，结合函数值的取值范围是，进而可以计算得解；
②根据①可得，得出抛物线的表达式为：，顶点坐标为．求出则时，，设图象折叠后顶点的对应点为，画出对应图形，点是函数所处的位置，图象为区域，根据点，点，求出点，依据题意，分在点下方、上方两种情况分别列不等式求解即可．
【详解】（1）解：已知抛物线，
∴函数的对称轴是直线．
（2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
当时，，
当时，
在时，函数取得最小值，即，
∵，
∴在时，函数取得最大值，即，
∵当时，函数值的取值范围是，
∴，，
，；
②根据①可得，
∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为．
则时，，
设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域，
∵点，点，则点，
当点在点下方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
；
当点在点上方时，，解得：．
∵函数的最高点为，最低点为，
，
，
∴；
．
【典例02】（2024·上海·模拟预测）如图，已知抛物线顶点的纵坐标为，且与轴交于点．作出该抛物线位于轴下方的图象并沿x轴翻折，原抛物线位于轴上方的图象保持不变，经过第一象限的直线与翻折后的“”形图象交于、、三点．
(1)请直接写出： _________， _________，翻折后的“”形图象的解析式为________________．
(2)新定义：点M与点N的“折线距离”为，已知．
①求k的值．
②以B为圆心，长为半径作交的平分线于点D（不与点O重合），交x轴于E（不与点O重合），求：的值．
【答案】(1)，；（），（或）
(2)①②
【分析】本题考查求二次函数解析式，轴对称的性质，二次函数与几何综合，数形结合综合利用知识是解决问题即可．
（1）由待定系数法即可求解出的值，翻折后的“”形图象分两部分写出解析式；
（2）①求出点，点，由，即可求解；
②求出点，直线的表达式为，设点，点，则，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得，原抛物线轴交于点和，
∴对称轴为直线，
∴原抛物线顶点的坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
将点代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
∴由函数的对称性，原抛物线位于轴下方的图象沿x轴翻折后的图象解析式为：（），
原抛物线位于轴上方的图象解析式为：（或）．
故答案为：，；（），（或）；
（2）解：翻折后抛物线的表达式为：，
联立上式和得：，
解得：或（舍），
即点，
同理可得，点，
∵
，
解得：或，
∵直线过第一象限，
∴；
②由①知，点的坐标为：，直线的表达式为：，
在上取点，则，
作轴于点，交于点，过点作于点，
设，则，，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则点，
由点的坐标得，直线的表达式为：，
设点，点，
则，由勾股定理得：
即，
解得：，（舍），
解得：，（舍），
即点、的坐标分别为：， ，
则．
方法透视
考向解读 1. 关于x轴对称：翻折后开口方向相反，y变为-y，解析式y' = -ax2 - bx - c。 2. 关于y轴对称：翻折后开口方向不变，x变为-x，解析式y' = ax2 - bx + c。 3. 关于直线对称：翻折后顶点对称，开口方向可能变化，常先求顶点对称点再确定解析式。
方法技能 1. 坐标变换法：利用对称点坐标关系，将原解析式中的x,y替换为对称后坐标，得新解析式。 2. 顶点法：先求原抛物线顶点关于对称轴的对称点，结合开口方向变化直接写出顶点式。 3. 交点不变性：关于x轴翻折时，与x轴交点不变；关于y轴翻折时，与y轴交点不变，用于验证。
变式演练
【变式01】（2024·江西·一模）已知二次函数经过两定点（点在点的左侧），顶点为．
(1)求定点的坐标；
(2)把二次函数的图象在直线下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线上方的部分的组合图象记作图象，求向上翻折部分的函数解析式；
(3)在（2）中，已知的面积为8．
①当时，求图象中的取值范围；
②若直线与图象从左到右依次交于四点，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查二次函数与x轴交点坐标，二次函数的图像和性质，翻折的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）将原函数可化为，令，即可得到定点坐标；
（2）根据翻折的性质即可得到解析式；
（3）①根据自变量的取值范围，结合图象求出最值即可；
②根据题意确定图象与直线交于点，与直线交于点，然后表示出，，根据题意列方程解题即可．
【详解】（1）原函数可化为，
可得该函数图象恒过两点，，
故定点为．
（2）解：∵直线就是x轴，
∴折叠即为沿x轴向上折叠，
∴解析式为；
（3）①∵
∴对称轴，代入得
的面积为8，
．
∴图象向上翻折部分的函数解析式为．
，顶点在之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，；当时，的最小值为0．
在图象中，的取值范围为．
②若直线与图象从左到右依次交于四点，
∴图象与直线交于点，可得，
∴
∵与直线交于点，
∴，则．
，
，即，
两边平方解得．
【变式02】（2025·湖南·二模）已知抛物线．
(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点，过点的直线与（1）中的图象“W”交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求的值；
②当时，请用合适的式子表示（用含的式子表示）．
【答案】(1)抛物线的对称轴为直线；
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点的纵坐标，即可求解；
（2）①证明，即可求解；
②当且和时，证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
当时
根据翻折可知点的纵坐标为，即点的坐标为 ．
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线；
（2）解：，
图象“W”的解析式为：，
①当时，图象“G”的解析式为：，
设直线的解析式为，
当时，
解得：或；
点的横坐标为，
当，
解得：或；
点的横坐标为；
当时，
解得：或；
点的横坐标为；
如图，作轴，过点作轴交于点，
作轴，过点作交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，
轴，轴，
，
，
，，
，
，
，
；
②当且时，图象“G”是解析式为：，
由①可得点的横坐标为，点的横坐标为，
当，
解得：，
点的横坐标为：；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点；
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
；
当时，如图，作轴，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，
由各点横坐标可得：，
，
，，
，
，
则；
综上所述，用含的式子表示为；
题型03 二次函数中的旋转问题
典例引领
【典例01】（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D．
①求抛物线的解析式及点D的坐标；
②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，；②
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可；
（2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可；
②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
当时，，
∴．
（2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称，
，．
∴点C的坐标为，
∴抛物线的解析式为，
令，解得（不合题意，舍去)，
∴点D的坐标为．
②当直线与抛物线只有一个交点时，令，
即，
∴，
解得，
当直线与抛物线只有一个交点时，令，
即，
∴，
解得，
∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为．
【典例02】（2024·河北·三模）如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求证：点，，在同一条直线上；
(3)若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，旋转变换，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用和方程思想的应用．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线的表达式为：，则时，，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当、为对角线时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）证明： 设直线的表达式为
∵，
∴直线的表达式为：，
∵
∴当时，则
解得或
∴
∵与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，
∴
∴点，
则时，，
即点在直线上，
故点，，在同一条直线上；
（3）解：存在，理由：
∵，，为线段的中点，
∴则点，
设点，点，
∵
∴当时，则
解得或
∴
当为对角线时，
由中点坐标公式得
∴
∵点，点，点，
∴，
解得：，
即点的坐标为，
∵点在第一象限内
∴点的坐标为
当为对角线时，则
同理可得：
∴解得：，
则点的坐标为：，
∵点在第一象限内
∴点的坐标为：都不符合题意
当为对角线时，则
则，
∴
判别式
此时方程无解
综上，点的坐标为
方法透视
考向解读 1. 旋转90°：抛物线绕原点旋转90°，转化为求点轨迹，新解析式非二次函数，常考顶点坐标变换。 2. 旋转180°：绕原点旋转180°，开口方向相反，顶点关于原点对称，解析式y' = -ax2 - bx - c。 3. 绕顶点旋转：抛物线绕顶点旋转180°，开口方向相反，顶点不变，解析式y' = -a(x-h)2 + k。
方法技能 1. 顶点法：旋转180°时，顶点关于旋转中心对称，开口方向相反，用顶点式直接写出新解析式。 2. 坐标代换法：绕原点旋转，用旋转公式(x', y')代入原解析式求新关系。 3. 特殊点法：取原抛物线上特殊点（顶点、与轴交点），求旋转后对应点，待定系数求新解析式。
变式演练
【变式01】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
【答案】(1)
(2)①②当时，才能抵挡这次攻击
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反，
∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：；
故答案为：；
②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为，
假设无人机从左往右飞，
∵无人机飞行高度为，
则，当过点时，，
∴，
∴当时，才能抵挡这次攻击．
【变式02】（2025·湖南怀化·二模）在平面直角坐标系中，若两个二次函数的表达式的系数符合特征：①二次项系数互为相反数，②一次项系数相等，③常数项互为相反数，我们称这两个二次函数互为“旋转抛物线”．例如：抛物线与互为“旋转抛物线”．
(1)抛物线的“旋转抛物线”的表达式为_____；
(2)如图，若（）中的抛物线与的顶点分别为点，它们的交点分别为．分别连接，，，，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)在（）的条件下，如图，连接．若为抛物线位于第四象限的图象上一动点，作直线，与抛物线交于另一点，与抛物线依次交于点（点位于第二象限）．若，求的值．
【答案】(1)
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
(3)
【分析】（）根据“旋转抛物线”的定义解答即可；
（）分别求出点的坐标，根据四边形的对角线互相平分即可求解；
（）利用中心对称轴图形可得，设，过点作轴于，过点作于，由相似三角形的判定和性质得，即得，进而得到，解得，即得，，连接，作于，根据三角形的面积可得，最后根据正弦的定义计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的“旋转抛物线”的表达式为，
故答案为：；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得或，
∴，，
∵点关于原点对称，点关于原点对称，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由题意知，抛物线和抛物线关于原点对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
过点作轴于，过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（不合，舍去）或，
∴，，
连接，作于，
∵，，
∴，，，轴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
题●型●训●练
1．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线与轴交于点和（点在点左侧），与轴交于点，新抛物线的顶点为，连接．
(1)请求出平移后新抛物线的表达式及点的坐标；
(2)求的正切值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质，勾股定理，等面积法求线段的长度等知识，解题的关键是：
（1）根据平移的规律：“左加右减，上加下减”即可求出新抛物线的表达式，然后令求出y的值，即可得出点C的坐标；
（2）先求出D、A、B的坐标，连接，过点B作于E，然后根据割补法求出的面积，根据勾股定理求出、的长度，根据等面积法求出的长度，根据勾股定理求出的长度，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】（1）解：抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的新抛物线为，
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
令，则，
解得，，
∵点在点左侧，
∴，，
连接，过点B作于E，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的正切值为．
2．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧．
(1)求抛物线W经过的定点坐标；
(2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线．
①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）；
②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值．
【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为和
(2)①a；②
【分析】（1）将变形为，即可解答；
（2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；当时，，
∴抛物线W经过的定点坐标为和．
（2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，
∴，
即抛物线的解析式为．
②由得抛物线W的顶点坐标为，
整理得，代入抛物线的解析式，得，
整理得，
解得．
∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧，
∴，即，
∴或
∴，则不合题意，舍去，
故a的值为．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．
3．（2025·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线C：（m为常数，且）的顶点为P，交y轴于点A．将抛物线C进行平移，记平移后仍经过点P的抛物线为，其顶点为（其中点P，不重合）．
(1)当时，
①求的面积；
②当A，P，三点共线时，探究抛物线C如何平移；
(2)点Q在抛物线C的对称轴上，探究在平移过程中，是否存在m使得四边形是矩形的情形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①4；②见解析
(2)存在，
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的平移是关键．
（1）①求出，，即可求出答案；②求出抛物线的解析式为，即可得到解答；
（2）抛物线C可化为，则假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，则抛物线为：，求出，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F，四边形是矩形，则，对角线和互相平分，所以，所以，即，
解得． 所以P1的坐标为．所以，解得，即可得到答案．
【详解】（1）解：（1）①因为，抛物线C的解析式为，即，
所以．
因为当时，，
所以．
在中，，
所以的面积为
②假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，
则抛物线为：，
因为平移后仍经过点P，即在抛物线上，
所以，
所以
所以的坐标为．
设直线的函数解析式为，
因为点A，P的坐标分别是，，
所以，解得．
所以的函数解析式为，
因为A，P，三点共线，
所以当时，，
所以
解得（舍去）．
所以抛物线的解析式为
所以抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度．
（2）抛物线C可化为，则
假设抛物线C向右平移h个单位长度，向下平移k个单位长度，
则抛物线为：，
因为平移后仍经过点P，即在抛物线上，
所以，
所以
如图，过点P作y轴垂线，垂足为E，过P1作于点F，
所以，
若四边形是矩形，则，对角线和互相平分，
设线和相交于点G，则G是的中点．
因为，
所以，
又，
所以，
所以，即，
解得．
所以P1的坐标为．
因为G是的中点，
所以，解得
因为，满足，
所以存在使得四边形是矩形的情形．
4．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为．
(1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标．
(2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为．
图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）；
若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，顶点的坐标为（-1，-1）
(2)①．②
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用．
根据抛物线经过原点，可得：，从而可知，抛物线的解析式为，把抛物线的解析式化为顶点式为，可得抛物线的顶点的坐标为；
将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下，所以可以得到图象的顶点式解析式为，整理成二次函数的一般式解析式即可；
直线与图象有个交点，则可能直线与图象有个交点、与图象有个交点，也可能直线与图象有个交点、与图象有个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别式求出的值即可．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
整理得：，
抛物线的顶点的坐标为；
（2）解：将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下，
图象的解析式为，
整理可得：；
如下图所示，
当直线与图象有个交点、与图象有个交点时，
可得：，
整理可得：，
则有，
解得：；
当直线与图象有个交点、与图象有个交点时，
可得：，
整理可得：，
则有，
解得：；
综上所述，当时，直线与图象有个交点．

5．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．

(1)当时，
①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标．
②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标．
(2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值．
【答案】(1)①，；②或
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，正确根据翻折的性质得到翻折后的抛物线解析式是解题的关键．
（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标；②可求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为的中点，则，即可得到，解方程即可得到答案；
（2）根据题意可得，则， ，同理可得抛物线的解析式为：，则， 再由，联立求解即可．
【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为，
把代入中得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点A的坐标为；
②∵翻折前抛物线顶点坐标为，
∴翻折后的抛物线顶点坐标为，
∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反，
∴翻折后的抛物线解析式为，
设，
∵，
∴点D为的中点，
∴，
∵在抛物线的图象上，
∴，
解得或，
当时，，当时，，
∴点D的坐标为或；
（2）解：∵点P与点重合，且轴交对称轴于点M，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
同理可得抛物线的解析式为：，
∵点Q在抛物线上，
∴，即，①
又点在抛物线上，
∴，即，②
把②代入①得，
解得：．
6．（2026·辽宁阜新·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，且），自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3 …
y m 1 …
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
(2)求抛物线的解析式和m的值．
(3)新定义：将抛物线（）的图象记为，并将绕点O旋转后得到的图象记为，，合起来得到的图象记为G，图象G对应的函数称为“联动函数”．完成以下问题：
①在图中所示的坐标系中画出“联动函数”G的图象．
②若直线与“联动函数”G有且只有两个交点，直接写出n的取值范围为______．
【答案】(1)上，
(2)，
(3)①见解析；②或或．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，正确求出函数解析式，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（）由表格数据和图象的性质即可求解；
（）用待定系数法即可求解；
（）①根据解析式，运用描点法画出函数图象；
②求出直线分别与图象，只有1个交点时n的值，结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据有，抛物线过点，，
∴抛物线对称轴为直线，
∵由表格数据可知，在对称轴的右侧随的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
故答案为：上，；
（2）解：由（）得，对称轴为直线，根据表格数据可知顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（3）解：由（2）得，抛物线的解析式为（）；
∴顶点坐标为，
则绕点旋转后的图象为（），
列表为：
x … 0 1 2 3 …
… 1 …
… 2 3 2 …
描点并连线，得到函数图象为：
当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点，
联立得，
整理，得，
∴，
∴．
当直线与抛物线只有一个交点时，与抛物线也只有一个交点，
联立得，
整理，得，
∴，
∴．
当直线过点时，；
当直线过点时，；
∴根据图象可得，直线与“联动函数”G有且只有两个交点， n的取值范围为或或．
故答案为：或或．
7．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，抛物线：与抛物线：交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C．
(1)直接写出a，m的值；
(2)嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．淇淇说：无论x为何值，恒小于0．请选择其中一人的说法进行说理；
(3)作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线，求直线与抛物线，有三个交点时n的值；
(4)直接写出抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点（横、纵坐标都为整数）个数．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)或4
(4)6个
【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得a、m的值；
（2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法；
（3）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可．
（4）首先求得点A、C、D、E的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图象求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数．
【详解】（1）解：∵抛物线与交于点，
把点B的坐标代入抛物线得：
，
解得：；
把点B的坐标代入得：
，
解得：；
（2）解：选择嘉嘉．
由（1）可知，的表达式为，顶点坐标为．
的表达式为，顶点坐标为，
两个表达式的二次项系数相同，说明抛物线形状相同，而是由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，
所以可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到；
∴嘉嘉的说法正确；
选择淇淇．
由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴无论x取何值，恒小于0，
∴琪琪的说法正确；
（3）解：∵：的对称轴为直线，，
∴，，
设直线为，
∴，
解得，
∴直线的表达式为，
∴将直线向下平移个单位长度后得到直线l的表达式为，
当直线l过点B时，直线l与抛物线，有三个交点，
∴，
解得；
当直线l与抛物线只有一个交点时，令，整理得，
，
解得，
∴当直线l与抛物线，有三个交点时，n的值为或4；
（4）解：设与交于点F，如图，
∵当时，，
解得：或，
∴点，
当时，，
解得：或，
∴点，
∴，，
∵当时，，，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
∵，，
设直线为，
得，
解得，
∴，
由图象可知：点B、C、D、E在四边形内部（包括边界），
当时，
或，
∴时，，
时，，
∴两图象的交点坐标为，，
∴抛物线的顶点也在四边形的边上，
综上所述，共有6个整点在四边形内部（包括边界），抛物线与在四边形区域内（包括边界）的整点为，，，，及的顶点；
【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、非负数的性质、二次函数的平移以及正方形的判定，解答本题的关键是熟练掌握方程思想与数形结合思想的应用．
8．（2025·江西赣州·二模）已知抛物线：与轴交于点．其中自变量与函数值的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 5 …
… 0 0 3 8 …
(1)抛物线的对称轴为直线______，点的坐标______；
求抛物线的解析式及的值．
(2)如图，将抛物线绕点旋转后，得到抛物线．
抛物线的解析式为______；
记抛物线，组合得到的新图象为，图象与过点的直线有且仅有一个交点，请求出的取值范围．
【答案】(1)；；，；
(2)；．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据对称轴的求法即可求出对称轴，利用利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求点的坐标；
由可得出抛物线的解析式，把点代入即可求出；
（2）设的顶点为，的顶点为，由题意可知点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，利用中点坐标公式求出点的坐标，即可求解；
直线经过点，即直线为，当过点的直线与、有且仅有一个交点时，解得，当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，或，
对称轴为，
把，代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
当时，，
，
故答案为：，；
由可知，抛物线的解析式为，
把代入，得：，
解得：；
（2）解：如图：设的顶点为，的顶点为，
当时，，
，
将抛物线绕点旋转后，得到抛物线，
点与点关于点对称，抛物线的开口方向相反，
，
，，
，
抛物线的解析式为；
直线经过点，
，即直线为，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当过点的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
，
解得：，
当时，直线无限靠近轴，与图象有且仅有一个交点，
故图象与过点的直线有且仅有一个交点时，的取值范围是．
9．（2025·河北邯郸·二模）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标；
(2)求点，的坐标及直线的函数表达式；
(3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；顶点坐标为
(2)，，
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线与轴交点，再由待定系数法求解一次函数解析式；
（3）先求出翻折后的解析式，设出平移后的直线解析式，找出两个临界状态，一个是直线经过点，一个是直线与抛物线相切时，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：将代入．
，
则，
则．
抛物线解析式为
即．
顶点坐标为；
（2）解：当时，，
，．
点，．
设直线的表达式为．将，点代入得
，
解得
直线的函数表达式为；
（3）解：将直线向下平移个单位所得直线的解析式为，
当直线过点时，，
解得；
将抛物线位于轴上方的部分关于轴对称，
得到新的图形的解析式为．
当直线与抛物线相切时，
令，
整理得，
．
解得
当时，直线与新的图形有四个不同交点．
的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，翻折的性质，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点．
10．（2025·江苏苏州·二模）定义：对于抛物线（是常数，），若，则称该抛物线是准黄金抛物线．已知抛物线是准黄金抛物线，交轴于两点．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、的坐标；
(2)将抛物线沿轴翻折，得到抛物线；
①抛物线___________准黄金抛物线（填“是”或“不是”）；
②当时，记抛物线、组成的新图象为“图象”，图象交轴于点为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，
(2)①是；②或或．
【分析】（1）先根据定义和求出k，求解函数关系式，然后令，求出点A、B坐标；
（2）根据折叠性质得出抛物线的解析式，然后根据准黄金抛物线判断即可；
（3）根据相似三角形的性质分和讨论求解即可．
【详解】（1）对于抛物线，其中，，
因为抛物线是准黄金抛物线，根据定义，将，代入可得：
，即，
解得
所以抛物线的函数表达式为
令，即，
解得，
所以，;
（2）①抛物线：沿轴翻折后得到抛物线，
则的表达式为，
此时，，
计算，
所以抛物线是准黄金抛物线
故答案为：是；
②存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线对称，
∴点N的横坐标为1，
∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，
此时，直线的解析式为，
联立方程组：，
解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑