资源简介

专题17 规律探究题
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 整式中数字类规律探究题
题型02 整式中图形类规律探究题
题型03 点坐标规律探究问题
题型04 一次函数的规律探究问题
题型05 旋转中的规律探究问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 整式中数字类规律探究题
典例引领
【典例01】（2026·河南驻马店·模拟预测）探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________．
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为_____．
方法透视
考向解读 1. 数字序列规律：给定一列数字，探究相邻项的差、商或周期性，归纳通项公式或第n项表达式。 2. 运算规律：涉及乘方、阶乘或特殊运算（如杨辉三角），发现数字间隐含的运算规则。 3. 图表结合：数字与图形位置对应，需从图形中提取数字信息，再建立整式表示规律。
方法技能 1. 观察差异法：计算相邻项差（一阶差、二阶差），若差为常数则是一次函数，若差等差则是二次函数。 2. 分解与配对：将数字拆解为序号n的表达式，如n2, n(n+1), 2n等形式，对比验证。 3. 周期与循环：发现循环节后，用模运算确定任意项。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下：
，，，，
，…
按照以上规律，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例；
(3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）．
【变式02】（2026·广东中山·模拟预测）观察下列式子：
(1)特例：
；；；；
；；；
模仿上述式子，也请类似写一个具体的式子：
(2)归纳：观察上述式子，你能总结归纳出什么结论？将你的结论用文字语言和符号语言表达出来，符号语言表达时，采用字母．
(3)证明你的结论．
题型02 整式中图形类规律探究题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·三模）如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第8个图形需要___________根小棒．
【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形．
方法透视
考向解读 1. 图形数量规律：图形中某元素（如线段、三角形、小正方形）个数随序号变化，用整式表示通项。 2. 图形周长或面积：探究图形叠加后的周长或面积规律，常涉及等差或等比数列模型。 3. 图形分割与拓展：图形逐次分割（如三角形内加线、正方形内加点），归纳新增数量与序号的关系。
方法技能 1. 逐项列表法：将序号n与图形中元素个数列表，观察差值变化，判定是一次函数还是二次函数。 2. 拆解重组法：将图形分解为基本单元（如单个三角形、小正方形），用n表示单元数量后求和。 3. 递推关系法：找到an与an-1的关系式，用累加或累乘法求通项公式。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的．
(1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个．
(2)有没有可能黑点比白点少2025个 如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由．
【变式02】（2026·贵州·一模）如图是由一些火柴棒搭成的图案：
(1)摆第①个图案用 根火柴棒，摆第②个图案用 根火柴棒，摆第③个图案用 根火柴棒；
(2)按照这种方式摆下去，摆第个图案用 根火柴棒；
(3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？
题型03 点坐标规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____．
【典例02】（2026·山东滨州·一模）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L．
（1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______；
（2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______．
方法透视
考向解读 1. 周期性规律：点在坐标系中按固定路径循环移动（如绕正方形），用周期求第n次位置坐标。 2. 递推变化规律：点坐标按固定公式（如xn+1=xn + d）变化，求第n次坐标或运动轨迹。 3. 图形叠加规律：点在图形（如等腰直角三角形、矩形）顶点上依次出现，结合图形边角关系求坐标。
方法技能 1. 周期法：先确定一个完整周期内点的移动步数，用n÷周期数求余数，得对应位置坐标。 2. 数列法：将横纵坐标分别看作关于n的数列，观察差值规律，建立一次或二次函数模型。 3. 方向分解：将点的移动分解为水平、竖直方向，分别计算横纵坐标变化量后求和。
变式演练
【变式01】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若．
(1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式）
(2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标．
【变式02】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为….
【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】
(1)由题意可知：、；、；、；则 、 ；
(2) ；
(3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.
题型04 一次函数的规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·新疆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是______________．
【典例02】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是___________．
方法透视
考向解读 1. 函数值规律：给定一系列自变量对应的函数值，探究其变化规律，常涉及等差或等比例关系。 2. 图象变换规律：一次函数图象平移、旋转或对称后形成新直线，探究新解析式的变化规律。 3. 点列与函数：直线上的点列坐标按某种规律排列，探究第n个点坐标或点之间的数量关系。
方法技能 1. 列表观察法：将序号n与函数值列表，计算相邻差值，若差为常数则是一次函数模型。 2. 解析式推导：由已知条件列出一次函数解析式，代入n直接求对应函数值或点坐标。 3. 图象变换规律：平移时k不变，b变化；对称时k变号，用顶点或特殊点确定新解析式。
变式演练
【变式01】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______．
【变式02】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______．
题型05 旋转中的规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·河北沧州·一模）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理 ；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【典例02】（2025·河南开封·一模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A． B． C． D．
方法透视
考向解读 1. 旋转角度周期：图形绕中心旋转固定角度，探究第n次旋转后某点位置或方向，利用周期求解。 2. 坐标变化规律：点在坐标系中绕原点旋转90°或180°，归纳旋转n次后的坐标通项。 3. 图形叠加规律：多次旋转后形成新图形，探究图形中线段、角度或面积的变化规律。
方法技能 1. 周期法：旋转一次变化角度，一个完整周期为360°，用n360求余数确定最终位置。 2. 坐标旋转公式：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°得(-y,x)，旋转180°得(-x,-y)，旋转270°得 (y,-x)。 3. 递推归纳：从初始位置开始，逐次写出前几次旋转后的结果，观察横纵坐标变化规律，归纳通项公式。
变式演练
【变式01】（2025·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ）

A．71 B．72 C．73 D．74
题●型●训●练
1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（ ）
A．250 B．249 C．248 D．247
3．（2026·江西上饶·一模）观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（ ）
A．32 B．45 C．1013 D．1014
4．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·陕西咸阳·一模）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它象征着团结、吉祥、和谐．它是按照一定的规律编织而成的，如图2是其抽象出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，；则第⑨个图形小正方形的个数为______．
7．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）．
8．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ．
9．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______．
10．（2020·河北·模拟预测）如图，正六边形的边与轴重合，点在轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿轴向右无滑动滚动，当边落到轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为，请回答：
（1）点的坐标为__________；
（2）当正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长__________．

11．（2025·安徽阜阳·三模）如图，已知点，将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第一个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第二个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第三个等腰；……如此进行下去．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)点的坐标为______．
12．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题．
①
②
③
④
……
(1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ；
(2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示）
13．（2023·山东青岛·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
14．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察以上图形得到下表：
图形 图① 图② 图③ 图④ …
大正方形数量/个 2 3 4 5 …
小正方形数量/个 1 4 7 10 ……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)在图⑤中，正方形的总数为_________．
(2)在第n个图形中，正方形的总数为_________．
(3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________．
15．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究．
航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究：
序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
个数 1 4 11 22 a … b
变化 1 … …
航航同学又对这个数字变化进一步分析：
；
；
；
；
；
…
∴图n为
．
悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图：
她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样．
涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？
(1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______；
(2)请你解决涛涛同学提出的问题．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 规律探究题
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第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 整式中数字类规律探究题
题型02 整式中图形类规律探究题
题型03 点坐标规律探究问题
题型04 一次函数的规律探究问题
题型05 旋转中的规律探究问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 整式中数字类规律探究题
典例引领
【典例01】（2026·河南驻马店·模拟预测）探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________．
【答案】
8
【分析】观察可知，3的正整数次幂的个位数字每4个为一个循环周期，个位数字依次为3，9，7，1． 计算2026除以4的余数，即可确定的个位数字，进而得到的个位数字．
【详解】解：根据已知条件可得：
，个位数字是3；
，个位数字是9；
，个位数字是7；
，个位数字是1；
，个位数字是3；
，个位数字是9；
由此可得，3的正整数次幂的个位数字每4个为一个循环周期，循环的个位数字依次为3，9，7，1．
，
的个位数字是循环中的第二个数字，即为9．
的个位数字为 ．
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下．如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的一次项系数为_____．
【答案】228
【分析】本题考查数学常识，解题的关键是掌握数学的历史文化．据此解答即可．
【详解】解：根据“天元式”规定的意义，图2表示的多项式是：，
∴一次项系数为228，
故答案为：228．
方法透视
考向解读 1. 数字序列规律：给定一列数字，探究相邻项的差、商或周期性，归纳通项公式或第n项表达式。 2. 运算规律：涉及乘方、阶乘或特殊运算（如杨辉三角），发现数字间隐含的运算规则。 3. 图表结合：数字与图形位置对应，需从图形中提取数字信息，再建立整式表示规律。
方法技能 1. 观察差异法：计算相邻项差（一阶差、二阶差），若差为常数则是一次函数，若差等差则是二次函数。 2. 分解与配对：将数字拆解为序号n的表达式，如n2, n(n+1), 2n等形式，对比验证。 3. 周期与循环：发现循环节后，用模运算确定任意项。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组开展探究活动，在研究从1开始的连续正整数的和时发现公式“（为正整数）”，他们继续研究一个奇数的平方数问题，过程如下：
，，，，
，…
按照以上规律，完成下列问题：
(1)______；
(2)若，其中为整数，则是8的倍数加1，请判断该命题的真假，如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例；
(3)若是大于3的质数（只有1和它本身两个因数的自然数称为质数），它可以表示为或，则是______的倍数加1（填可填入的最大自然数）．
【答案】(1)15
(2)真命题，理由见解析
(3)24
【分析】（1）根据题中示例解答即可．
（2）根据题意得出，再根据和一定有一个偶数，得出是整数，即可证明．
（3）若或，求出，分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得后一个数比前一个数依次多，
故；
（2）解：真命题；
证明：，
和一定有一个偶数，
是整数，
一定是8的倍数加1，得证．
（3）解：若，则，
若，则，
分析奇偶性： ①若为偶数，，则，是24的倍数；
②若为奇数，为偶数，即，则，仍是24的倍数，
所以是24的倍数加1．
【变式02】（2026·广东中山·模拟预测）观察下列式子：
(1)特例：
；；；；
；；；
模仿上述式子，也请类似写一个具体的式子：
(2)归纳：观察上述式子，你能总结归纳出什么结论？将你的结论用文字语言和符号语言表达出来，符号语言表达时，采用字母．
(3)证明你的结论．
【答案】(1)（答案不唯一）；
(2)文字语言：任意一个数的平方与的和大于或者等于这个数的倍；符号语言：（为任意的实数）；
(3)见解析．
【分析】本题考查规律与推理、因式分解的应用，能够根据式子推出规律并证明是解题的关键．
（1）根据式子，进行模仿即可；
（2）根据式子可以发现：任意一个数的平方与的和大于或者等于这个数的倍，写出符号语言即可；
（3）先分别得出左右两边的性质，将两边作差，然后利用完全平方公式证明其差为非负数，即可证明结论．
【详解】（1）解：根据式子，得出类似式子为：（答案不唯一）；
（2）文字语言：任意一个数的平方与的和大于或者等于这个数的倍；
符号语言：（为任意的实数）．
（3）根据（2）可知左边的式子为，右边的式子为，
∵，
∴，
∴．
题型02 整式中图形类规律探究题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·三模）如图，用长度相同的小棒按照如图所示的方式摆放，则摆放第8个图形需要___________根小棒．
【答案】
【分析】通过观察前几个图形所用小棒的数量，找出小棒数量随图形序号变化的规律，再依据规律计算第8个图形所需小棒数．
【详解】解：观察图形可知：
摆放第1个图形时，需要小棒3根；
摆放第2个图形时，需要小棒根；
摆放第3个图形时，需要小棒根．
由此可归纳规律：每增加1个图形，小棒数量增加2根．
因此，摆放第个图形需要的小棒数为，
即．
将代入规律公式：
．
【典例02】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第8个图形中共有______个正方形．
【答案】255
【分析】观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第8个图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
∴第8个图形中共有个正方形．
方法透视
考向解读 1. 图形数量规律：图形中某元素（如线段、三角形、小正方形）个数随序号变化，用整式表示通项。 2. 图形周长或面积：探究图形叠加后的周长或面积规律，常涉及等差或等比数列模型。 3. 图形分割与拓展：图形逐次分割（如三角形内加线、正方形内加点），归纳新增数量与序号的关系。
方法技能 1. 逐项列表法：将序号n与图形中元素个数列表，观察差值变化，判定是一次函数还是二次函数。 2. 拆解重组法：将图形分解为基本单元（如单个三角形、小正方形），用n表示单元数量后求和。 3. 递推关系法：找到an与an-1的关系式，用累加或累乘法求通项公式。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）下列每个图形都是由一些黑点和一些白点按一定的规律组成的．
(1)根据规律，第4个图中有　　　　个白点，第n个图形中，白点和黑点共有　　　　(用含n的式子表示，n为正整数)个．
(2)有没有可能黑点比白点少2025个 如果有，求出此时n的值；如果没有，请说明理由．
【答案】(1)16；
(2)有可能，
【分析】（1）由前3个图形中白点、黑点的个数得到规律，即可得到答案；
（2）根据（1）的结果列方程求解解答即可.
【详解】（1）解：第1个图中白点1个，黑点1个，
第2个图中白点 个，黑点个，
第3个图中白点个，黑点个，
∴第4个图中白点，黑点个，
第n个图中白点个，黑点个，
∴第个图形中，白点和黑点总数的和为，
故答案为：16，；
（2）解：有可能，
由题意，得，
解得，，
∵n是正整数，
∴，
∴黑点比白点有可能少2025个.
【变式02】（2026·贵州·一模）如图是由一些火柴棒搭成的图案：
(1)摆第①个图案用 根火柴棒，摆第②个图案用 根火柴棒，摆第③个图案用 根火柴棒；
(2)按照这种方式摆下去，摆第个图案用 根火柴棒；
(3)计算一下摆根火柴棒时，是第几个图案？
【答案】(1)
(2)第个图案用根；
(3)第个图案；
【分析】（）分别算出前面几个图形中的根数即可；
（）由前面几个图形的过程即可得出规律；
（）根据（）得出的结果计算即可．
【详解】（1）解：分别算出前面几个图形中的根数可得：
第①个图案所用的火柴数：，
第②个图案所用的火柴数：，
第③个图案所用的火柴数：，
（2）解：由（）的方法可得：，
，
，
第个图案中所用的火柴数为：，
故第个图案用根；
（3）解：根据（）计算得到的规律可知：得，，
故是第个图案．
题型03 点坐标规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·江苏南通·一模）如图，在平面直角坐标系中，点和点，连接，以为边作等边三角形，顶点为，过点作，分别交y轴、x轴于点、，再以为边作等边三角形，……，逐次作等边三角形，则第2017个等边三角形的顶点坐标是____．
【答案】
【分析】连接，设与相交于点E，作轴于点F，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，求出，证明等腰直角三角形，得出，求出点C的坐标是，证明为等腰直角三角形，求出，得出，总结一般规律，得出答案即可．
【详解】解：如图，连接，设与相交于点E，作轴于点F，
∵，，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴点C的坐标是，
∵，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，点坐标为：，
即，
…，
则的坐标是．
故答案为：．
【典例02】（2026·山东滨州·一模）如图是8个台阶在平面直角坐标系内的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸拐角处的顶点记作 （m为的整数）．记函数 的图象为曲线L．
（1）若曲线L 过点，则它必定还过另一点 ，则 _______；
（2）若曲线L 使得 这些点分布在它的两侧，每侧各有4个点，当k 为整数时，曲线 L 离原点最近的k 的值为_______．
【答案】 6
【分析】（1）将点的坐标代入解析式可求k的值，将点代入，可求解；
（2）找到曲线L经过这些点时的值，然后由点分布在曲线L的两侧，每侧各4个点，可得的范围，进而找到的整数点，再由越小反比例函数图象离原点越近，即可求解．
【详解】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴，，，，，，，，
∵L过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：∵若曲线L过点时，，
若曲线L过点时，，
若曲线L过点时，，
若曲线L过点时，，
∵曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴，
∴整数共7个，
∵越小反比例函数图象离原点越近，
∴曲线 L 离原点最近的k 的值为．
方法透视
考向解读 1. 周期性规律：点在坐标系中按固定路径循环移动（如绕正方形），用周期求第n次位置坐标。 2. 递推变化规律：点坐标按固定公式（如xn+1=xn + d）变化，求第n次坐标或运动轨迹。 3. 图形叠加规律：点在图形（如等腰直角三角形、矩形）顶点上依次出现，结合图形边角关系求坐标。
方法技能 1. 周期法：先确定一个完整周期内点的移动步数，用n÷周期数求余数，得对应位置坐标。 2. 数列法：将横纵坐标分别看作关于n的数列，观察差值规律，建立一次或二次函数模型。 3. 方向分解：将点的移动分解为水平、竖直方向，分别计算横纵坐标变化量后求和。
变式演练
【变式01】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若．
(1)填空：①点的坐标是_____；②点的坐标是______；③点的坐标是______；④点的坐标是______；（结果可保留乘方形式）
(2)观察（1）中的结果，发现规律，求点的坐标．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)
【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键．
（1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为，利用三角函数得，，，，…，得到一般规律，从而可完成解答；
（2）根据（1）中的规律，即可求点的坐标．
【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，
∴每个三角形中以O为顶点的内角均为，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
…，
一般地：；
∴点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是；点的坐标是，
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：由（1）知，，且12次一个循环，
，
则点与点一样落在y轴正半轴上， ，
∴点的坐标为．
【变式02】（2025·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为….
【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】
(1)由题意可知：、；、；、；则 、 ；
(2) ；
(3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由.
【答案】(1)15；8
(2)
(3)的值不能等于．理由见解析
【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键．
(1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答；
(2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可；
(3)根据规律计算出n的值，即可得知结果．
【详解】（1）解：∵，，，，，，
……
∴根据规律发现,，
∴，，
故答案为：15；8．
（2）解：∵，，
，
故答案为：．
（3）解：不能，理由如下：
∵，
，
∵n不是整数，
∴的值不会等于．
题型04 一次函数的规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·新疆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，和，，，…，分别在直线和轴上，，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么的纵坐标是______________．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的规律题．由题意易得，设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依次代入即可求解．
【详解】解：在直线，
∴
，
，
设，，，，，
则有，
，
，
又∵，，，…，都是等腰直角三角形，
，
，
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：，故，
同理可得： ，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【典例02】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是___________．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质．
根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标．
【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、，
正方形、、，
与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称，
，，
，即，，即，
，，
将与的坐标代入中得：
，
解得：，
直线解析式为，
设，则有坐标为，
代入直线解析式得：，
解得：，
坐标为，即，
依此类推．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 函数值规律：给定一系列自变量对应的函数值，探究其变化规律，常涉及等差或等比例关系。 2. 图象变换规律：一次函数图象平移、旋转或对称后形成新直线，探究新解析式的变化规律。 3. 点列与函数：直线上的点列坐标按某种规律排列，探究第n个点坐标或点之间的数量关系。
方法技能 1. 列表观察法：将序号n与函数值列表，计算相邻差值，若差为常数则是一次函数模型。 2. 解析式推导：由已知条件列出一次函数解析式，代入n直接求对应函数值或点坐标。 3. 图象变换规律：平移时k不变，b变化；对称时k变号，用顶点或特殊点确定新解析式。
变式演练
【变式01】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______．
【答案】
【分析】根据题意先求得，，，得出规律，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
∴直线与坐标轴的夹角为
∵，
∴
∵是等腰直角三角形，为斜边
∴，
∴，
设直线的解析式为，代入
∴
解得：，
∴直线的解析式为
联立，解得：，则
联立，解得：，则
∴
∴
∴
设直线的解析式为，代入
∴
解得：，
∴直线的解析式为
联立，解得：，则
联立，解得：，则
∴
∴
∴
……
∴
∴的坐标为
【变式02】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可．
【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，，，┈，
∴，，
∴，，
∴点的横纵坐标为，
∴，
∴的纵坐标为，
∴，
∴的面积．
故答案为：
题型05 旋转中的规律探究问题
典例引领
【典例01】（2026·河北沧州·一模）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理 ；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】A
【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案；
【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综，
12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)，
∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同，
∴n的值应为4的倍数，
故选：A．
【典例02】（2025·河南开封·一模）如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．
【详解】解：转动一次的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次的路线长是：，
以此类推，每四次循环，
故顶点转动四次经过的路线长为：，
顶点转动2024次经过的路线长为：．
故选：C．
方法透视
考向解读 1. 旋转角度周期：图形绕中心旋转固定角度，探究第n次旋转后某点位置或方向，利用周期求解。 2. 坐标变化规律：点在坐标系中绕原点旋转90°或180°，归纳旋转n次后的坐标通项。 3. 图形叠加规律：多次旋转后形成新图形，探究图形中线段、角度或面积的变化规律。
方法技能 1. 周期法：旋转一次变化角度，一个完整周期为360°，用n360求余数确定最终位置。 2. 坐标旋转公式：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°得(-y,x)，旋转180°得(-x,-y)，旋转270°得 (y,-x)。 3. 递推归纳：从初始位置开始，逐次写出前几次旋转后的结果，观察横纵坐标变化规律，归纳通项公式。
变式演练
【变式01】（2025·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（ ）

A．71 B．72 C．73 D．74
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可．
【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可，
∵在第四象限，
∴除以4后的余数为2，
∵，
故选D．
．
题●型●训●练
1．（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的多项式： ．则第10个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了数字规律，理解材料提示，找出规律是关键．
根据材料提示，找出多项式的各项系数，指数的规律即可求解．
【详解】解：多项式：，，，，，，
∴的系数是（是正整数），的指数为（是正整数），
∴当时，的系数是，的指数为，
∴第10个多项式是，
故选：B ．
2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（ ）
A．250 B．249 C．248 D．247
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键．
根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可．
【详解】解：由题知，
第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4，
第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8，
第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9，
第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13，
第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14，
第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18，
依此类推，
所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，
当，即时，
，
即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249，
故选：B．
3．（2026·江西上饶·一模）观察下图，根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字2025，则n为（ ）
A．32 B．45 C．1013 D．1014
【答案】C
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于2025，解得为正整数即成立，否则舍去．
【详解】解：根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得，不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得，为正整数，符合题意；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，都不为正整数，舍去．
4．（2026·湖南衡阳·一模）如图，在单位为1的方格纸上，，是斜边在轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2025是奇数，求出点的下标是奇数时的变化规律进行求解．
【详解】解：观察点的坐标变化发现：在轴正半轴上的点横坐标每次增加2，在轴负半轴上的点横坐标每次减少2，
根据点旋转的度数，可看作循环，循环周期为4，
∵，由图可知，为循环周期，
∴的坐标为，即为．
5．（2025·湖南怀化·模拟预测）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解：，点在直线上，
，
轴，
点的纵坐标为1，
点在直线上，
，解得，
，即点的横坐标为，
同理，点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
点的横坐标为，
，
点的横坐标为，
点的纵坐标为，
轴，
点的纵坐标为，
点在直线上，
点的横坐标为．
故选：D．
6．（2026·陕西咸阳·一模）如图1所示的中国结是我国特有的手工编织品，它象征着团结、吉祥、和谐．它是按照一定的规律编织而成的，如图2是其抽象出的平面图形，若其中第①个图形中共有9个小正方形，第②个图形中共有14个小正方形，第③个图形中共有19个小正方形，；则第⑨个图形小正方形的个数为______．
【答案】
【分析】根据图形可知第个图形共有个小正方形，由此计算即可得出结果．
【详解】解：第①个图形中共有个小正方形；
第②个图形共有个小正方形；
第③个图形共有个小正方形；
；
第个图形共有个小正方形；
当时，，
则第⑨个图形小正方形的个数为：．
7．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）．
【答案】 正数 B
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键．
通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处．
【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应，
∴A处是正数；每4个数为一组循环，
∵，
∴2025排在对应的B处，
故答案为：正数，B．
8．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点按此方法作下去，则点的坐标是____________________ ．
【答案】
【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，依题意得，进而得，则，由此可求出，再由三角形的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线直线，得，则，再由直线得，则，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标．
【详解】解：直线与轴交于点，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
令，则，
∴点的坐标为，
∵直线中，
∴直线与轴的夹角为，
，
∵直线经过坐标原点，，
∴直线与轴的夹角为，
，
，
，
，
，
直线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：的面积，
，
在中，由勾股定理得：，
，
∴点的坐标为，
∵直线直线，
，
，
由勾股定理得：，
∵直线，
∴在中，，则，
∴，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：的面积，
，
在中，由勾股定理得：，
，
∴点的坐标为，
同理可得：点，点，
以此类推，点的坐标为，
∴当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解直角三角形，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
9．（2025·江苏扬州·一模）已知一次函数的图像与轴相交于点，以为边作等边，点在第一象限内，过点作轴的平行线与该一次函数的图像交于点，与轴交于点，以为边作等边（点在点的右边），以同样的方式依次作等边，等边，，则点的纵坐标为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与几何图形，点的坐标规律探索，过点作于，过点作于，过点作于，可得，，，即得点的纵坐标为，据此解答即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，
把代入，得，
∴，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
，
∵点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
，
∴点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为，
故答案为：．
10．（2020·河北·模拟预测）如图，正六边形的边与轴重合，点在轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿轴向右无滑动滚动，当边落到轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为，请回答：
（1）点的坐标为__________；
（2）当正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长__________．

【答案】
【分析】（1）根据正六边形的性质，分别求出，的长，即可得到点的坐标；
（1）根据正六边形的性质，得到滚动6次一个循环，分别求出每一次转动，点运动过的长，即可得到滚动2020次后，点运动过的轨迹长．
【详解】解：（1）如图示，连接，
∵正六边形的边长为1，
则有：，，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为，

（2）如图示，连接，，

∵正六边形的边长为1，
则有：，，，
当正六边形沿轴向右无滑动滚动时，
第一次由点滚动到点，点滚动的距离是：，
第二次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：，
第三次由点滚动到点，点是旋转中心，没有移动，滚动的距离等于0，
第四次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：，
第五次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：，
第六次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：，
第七次由点滚动到点，点滚动的距离等于由点滚动到点的距离，则距离是：，
……
∵，
据此可得，正六边形滚动2020次后，点运动过的轨迹长是：，
故答案是：，．
【点睛】此题属于规律题，考查了正六边形的知识，滚动中注意得到6次一循环，熟悉正六边形相关性质是解题的关键．
11．（2025·安徽阜阳·三模）如图，已知点，将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第一个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第二个等腰；将线段逆时针旋转并扩大倍得到，连接，得到第三个等腰；……如此进行下去．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)点的坐标为______．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查旋转变换，等腰直角三角形，图形规律，解题的关键是确定所在的象限．
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解答；
（2）根据题意找到题中规律，即可解答．
【详解】（1）解：点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；；
（2）解：由上述规律可得分布的象限为个一循环，
，
在第一象限，且横纵坐标相等，为，
，
故答案为：．
12．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式，按要求回答下列问题．
①
②
③
④
……
(1)根据以上规律，写出第⑥个等式 ；
(2)猜想第n（n为正整数）个等式： （用含n的代数式表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）序号为1时，变形为 ，
序号为2时，变形为 ，以此推导出规律解答即可；
（2）根据猜想，把序号换成n即可．
本题考查了规律的探索，正确探索序号与等式的关系是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
序号为1时，变形为 ，
序号为2时，变形为 ，
序号为3时，变形为 ，
序号为4时，变形为 ，
故当序号为6时，即，
故答案为：．
（2）根据题意，得
序号为1时，变形为 ，
序号为2时，变形为 ，
序号为3时，变形为 ，
序号为4时，变形为 ，
故当序号为n时，即，
故答案为：．
13．（2023·山东青岛·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，
【探究】
(1)点的坐标是______；
(2)点的坐标是______；
(3)点的坐标是______（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过作轴于，由菱形的性质可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（2）过作轴于，四边形是菱形可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再通过勾股定理可求，即可求得的坐标；
（3）由（1）（2）的证明，同理可得，，进而可得．
【详解】（1）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，，
，
在中，，
．
故答案为：．
（2）过作轴于，则，
四边形是含的菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
在中，，
；
故答案为：．
（3）由（1）（2）同理可得，，，，则点，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由特殊到一般，得到的坐标规律；
14．（2025·安徽滁州·三模）如图1，将一个基础图形（正方形）不断平移，使得相邻两个基础图形的顶点与对称中心重合．
观察以上图形得到下表：
图形 图① 图② 图③ 图④ …
大正方形数量/个 2 3 4 5 …
小正方形数量/个 1 4 7 10 ……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)在图⑤中，正方形的总数为_________．
(2)在第n个图形中，正方形的总数为_________．
(3)如图2，将图1中某个图形放在平面直角坐标系中，已知基础图形的交点坐标为，，，位置如图所示，则的坐标为_________．
【答案】(1)19
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，图形规律探索，解题的关键是根据已知图形和点的坐标得出一般规律．
（1）根据给出的图形找出一般规律，得出图⑤中，正方形的总数即可；
（2）根据所给出的几个图形中大正方形个数和小正方形的个数规律，得出第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形；
（3）根据点的坐标为，得出小正方形的对角线长为2，从而得出，，的坐标，总结得出一般规律，从而得出的坐标．
【详解】（1）解：观察图形可知，每增加一个大正方形，则增加3个小正方形，可得第5个图形中有6个大正方形，13个小正方形，共有19个正方形；
（2）解：观察图形可知：第1个图形中有个大正方形，个小正方形，共有3个正方形；
第2个图形中有个大正方形，个小正方形，共有7个正方形；
第3个图形中有个大正方形，个小正方形，共有11个正方形；
……；
第n个图形中有个大正方形，个小正方形，共有个正方形．
（3）解：观察图2，基础图形的交点的坐标为，则小正方形的对角线长为2，
∴的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
……，
以此类推，则的坐标为；
15．（2025·安徽淮南·二模）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究．
航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究：
序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n
个数 1 4 11 22 a … b
变化 1 … …
航航同学又对这个数字变化进一步分析：
；
；
；
；
；
…
∴图n为
．
悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图：
她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样．
涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？
(1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______；
(2)请你解决涛涛同学提出的问题．
【答案】(1)；；
(2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383
【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可．
【详解】（1）解：补充航航同学的分析：
，
．
补充悦悦同学的分析：
图n中有个圆，
∴．
故答案为：37；；．
（2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383，
由题意得，
解得，（舍去），
存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383.
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