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专题18 函数中新定义型综合问题
（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数中的新定义型综合问题
题型02 二次函数中的新定义型综合问题
题型03 反比例函数中的新定义型综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，Q在直线上，则最小值是3
C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2
D．若，，且，则点M横坐标是1
【典例02】（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点．
（1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值；
（2）求二次函数图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【定义应用】
（4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目给出新的函数定义（如“关联函数”“k型点”），要求读懂定义并转化为数学条件。 2. 性质探究：根据新定义探索一次函数的新性质（如对称性、最值、交点特征），结合图象分析。 3. 综合应用：将新定义与方程、不等式、几何图形结合，求参数范围或点坐标，考查迁移能力。
方法技能 1. 翻译条件：将新定义中的文字语言转化为数学表达式（如距离相等、斜率关系），列出方程。 2. 画图辅助：画出一次函数图象草图，标注关键点，直观分析满足新定义的位置关系。 3. 分类讨论：新定义中常隐含多种情况（如点在直线同侧或异侧），需分类讨论避免遗漏。
变式演练
【变式01】（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为，
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为____________；
（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标__________
【变式02】（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【变式03】（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1．
【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图：直线与直线的距离是 ；
（2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值；
【拓展】
（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标．
题型02 二次函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______．
【典例02】（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目定义新概念（如“稳定点”“关联抛物线”），需转化为代数条件（如方程根、坐标关系）。 2. 性质探究：探究新定义下二次函数的对称性、最值或交点特征，常结合图象分析参数影响。 3. 综合应用：新定义与几何图形、动点、存在性问题结合，考查分类讨论与数形结合能力。
方法技能 1. 翻译代数化：将新定义文字转化为数学表达式（如距离公式、方程有解条件），建立方程或不等式。 2. 图象辅助：画出抛物线草图，标注关键点（顶点、交点），直观分析新定义对应的几何意义。 3. 分类讨论：新定义中参数或位置不确定时，按顶点位置、开口方向等分类讨论，确保解完整。
变式演练
【变式01】（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
深入探究
（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．
0 2 3 4 6
5 5
【变式02】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”．
(1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由．
(2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值．
(3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2．
①求的值；
②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值．
【变式02】（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．
①当时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
题型03 反比例函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______．
【典例02】（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义：
点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目定义新概念（如“等积点”“双曲关联线”），需转化为反比例函数上的坐标关系或面积条件。 2. 性质探究：探究新定义下反比例函数图象的对称性、交点特征或与坐标轴的位置关系，结合|k|的几何意义分析。 3. 综合应用：新定义与几何图形（三角形、四边形）或动点问题结合，求参数范围或点坐标，考查数形结合与分类讨论能力。
方法技能 1. 翻译代数化：将新定义文字转化为数学表达式，如“某点在函数上”代入解析式，“面积相等”用|k|的几何意义表示。 2. 图象辅助：画出反比例函数图象草图，利用其中心对称性和与坐标轴无限接近的特征，分析新定义下的位置关系。 3. 分类讨论：新定义中参数或点位置不确定时（如点在双曲线不同分支），分情况讨论，确保解完整且符合实际（如坐标不为零）。
变式演练
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．
（1）函数的图象上的“倍值点”是_____．
（2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是_____．
【变式02】（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
【变式02】（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．
抽象建模
如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分．
数据与定义
已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离．
问题解决
(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；
(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；
(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·浙江嘉兴·一模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（ ）
A．为函数图象的“相反点”
B．函数的图象存在两个“相反点”
C．为函数的图象上唯一的“相反点”
D．当时，函数的图象上无“相反点”
3．（2025·广东广州·二模）定义：函数图象G上的点的纵坐标y与横坐标x的差叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”最小值称为函数图象G的“幸福值”．如：抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，设抛物线顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是12，则c值为（ ）．
A．4 B．7 C．34 D．36
二、填空题
4．（2025·四川泸州·二模）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________．
5．（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________．
6．（2026·四川成都·一模）定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
三、解答题
7．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
8．（2026·山东聊城·一模）我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题：
(1)求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴；
(2)求该二次函数的所有“和谐点”的坐标；
(3)已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围．
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”）
【深入探究】
（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
【拓展延伸】
（3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值 如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
10．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”．
(1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ；
(2)如图，设点是点的“k值关联点”．
①当轴时，求点Q的坐标及k的值；
②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值．
11．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律．
【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______．
【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）；
【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题：
①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值；
②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
12．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号）
(2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标．
13．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．

(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______；
②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
14．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

15．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
(1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
(4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18 函数中新定义型综合问题
（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一次函数中的新定义型综合问题
题型02 二次函数中的新定义型综合问题
题型03 反比例函数中的新定义型综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一次函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·湖北武汉·模拟预测）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，Q在直线上，则最小值是3
C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2
D．若，，且，则点M横坐标是1
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，，三种情况讨论即可判断选项B；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，；，；，；，；；讨论，判断出符合题意的点M围成的图形，即可判断选项C；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分；；三种情况讨论，即可判断选项D．
【详解】解：∵，，
∴，
故选项A正确，但不符合题意；
∵Q在直线上，
∴设，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，，
∴最小值是3，
故选项B正确，但不符合题意；
设，
∵，，
∴，
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当，时，，
∴；
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合题意的点M组成的图形如图，
∴所有点M组成的图形的面积为，
故选项C正确，但不符合题意；
设，
∵，，且，
∴，
∴，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，解得；
当时，，恒成立，
综上，当时，，
故选项D，符合题意；
故选：D．
【典例02】（2024·辽宁抚顺·二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两个坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点．
【定义解析】
例如：函数上的点，到两个坐标轴的距离相等，我们就称点，是函数图象的完美点．
（1）若点是一次函数第四象限图象的完美点，求的值；
（2）求二次函数图象的完美点；
【定义应用】
（3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求二次函数的解析式；
【定义应用】
（4）若二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，请直接写出的值．
【答案】（1）；
（2），，，；
（3）；
（4）或或．
【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解；
（2）联立方程组或即可求解；
（3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可；
（4）根据题意，分类讨论：
第一种情况，设这个完美点是二次函数与的交点；
第二种情况，设这个完美点是二次函数与直线的交点；联立方程组即可求解．
【详解】（1）解点是一次函数第四象限图象的完美点，
，
解得：，
点的坐标为，
代入，
可得，；
（2）解：完美点是函数图象上到两坐标轴的距离相等的点，
即完美点在直线或直线上，
或
解得：，或，，
二次函数图象的完美点分别是：，，，；
（3）解：二次函数的图象上有且只有一个完美点，
在直线上，
有且只有一个完美点，
，
把点代入，
得，
解得：，，
；
（4）或或；
解二次函数的图象上存在到两个坐标轴的距离相等且等于的完美点，
即完美点在直线或直线上，
或
当时，
即，
整理得，有实数根，
，
，
，
，
当时，，
将代入，
解得，，
当时，，
将代入，
解得，（舍去），，
，
或；
当时，
即，
整理得，有实数根，
，
，
，
，
当时，，
将代入，
解得，，
当时，，
将代入，
解得，（舍去），，
，
，
综上所述，或或；
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目给出新的函数定义（如“关联函数”“k型点”），要求读懂定义并转化为数学条件。 2. 性质探究：根据新定义探索一次函数的新性质（如对称性、最值、交点特征），结合图象分析。 3. 综合应用：将新定义与方程、不等式、几何图形结合，求参数范围或点坐标，考查迁移能力。
方法技能 1. 翻译条件：将新定义中的文字语言转化为数学表达式（如距离相等、斜率关系），列出方程。 2. 画图辅助：画出一次函数图象草图，标注关键点，直观分析满足新定义的位置关系。 3. 分类讨论：新定义中常隐含多种情况（如点在直线同侧或异侧），需分类讨论避免遗漏。
变式演练
【变式01】（2023·四川乐山·模拟预测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为，
（1）由定义可知，一次函数的“不动点”为____________；
（2）若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“不动点”，若点为轴上一个动点，使得，求满足条件的P 点坐标__________
【答案】 或
【分析】本题是一次函数的综合题，理解定义，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）根据题意，联立，即可求解；
（2）由题意可知直线与直线平行，则有，在求出，，设，由，可得，即可点坐标．
【详解】解：（1）联立，
解得，
一次函数的“不动点”为，
故答案为：；
（2）直线上没有“不动点”，
直线与直线平行，
，
，
，，
设，
，
，
，
，
，
或，
或．
故答案为：或
【变式02】（2025·湖南岳阳·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答．
（2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答．
【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
故答案为：；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴，
即当时，有最小值，且
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为
∴
即．
【变式03】（2025·广东清远·一模）【定义】两个图形任意两点之间的距离的最小值为两个图形之间的距离．例如：如下图，直线与y轴的距离为1．
【应用】根据定义回答下列问题：
（1）如图：直线与直线的距离是 ；
（2）如图：已知点，圆A的半径为1，将直线向下平移m个单位后与圆A相切，求m的值；
【拓展】
（3）如图，某城市规划局要在地铁线附近规划建设一工业园区，工业园区的下边界是抛物线的一部分，建立如图所示的坐标系后，工业园区下边界所在的抛物线为（）（单位长度为百米），地铁线所在的直线为，现在要在地铁线上建设一出口P，使得点P到该工业园距离最近，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1） ；（2）或；（3）
【分析】（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，可得：，，，为等腰直角三角形，则，作交于，解直角三角形即可求解；
（2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，，则，为圆A的切线，由得，，则，，可知，，和中，，求得，可得，，过点作轴，交，于，可知，和中，，求得，同理，，即可求解；
（3）设与x轴、y轴分别交于点A、B，可知，，过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则，解直角三角形得，设，则，则，可知当时，，此时，，作于H，求得，，求得可得．
【详解】解：（1）设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，
对于，当时，，则，即：，
对于，当时，，则，即：，
当时，，则，即：，
∴为等腰直角三角形，则，
作交于，，
∴，
故答案为：；
（2）过A作于B，交圆A于点E、F，分别过E、F作直线的平行线，，则，，
∴，为圆A的切线，
由得，，则，，
∴，，
和中，，
∴，
∴，，
过点作轴，交，于，
∵，
∴，
和中，，
∴，
同理，
综上，或；
（3）设与x轴、y轴分别交于点A、B，
当时，，当时，，则，
则，，
过P作交抛物线于点Q，过Q作轴交直线于点G，则
和中，
∴，
设，则，
则
当时，，
此时，，
作于H，
则，
由勾股定理可得，
则，，
∴．
题型02 二次函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·江苏宿迁·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标．
把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值．
【详解】解：，
，，
抛物线的“相对深度”为6，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【典例02】（2025·黑龙江大庆·二模）新定义
【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标
③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②由①得：函数的图象为抛物线，
令，
解得：或，
∴，
将代入，则，
∴，
令，
解得：或，
∵轴，
∴，
设点，
如图，过点P作于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
当时，即，
解得：（舍去）或；
∴，
∴；
综上，当时，点P的坐标为或；
③∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目定义新概念（如“稳定点”“关联抛物线”），需转化为代数条件（如方程根、坐标关系）。 2. 性质探究：探究新定义下二次函数的对称性、最值或交点特征，常结合图象分析参数影响。 3. 综合应用：新定义与几何图形、动点、存在性问题结合，考查分类讨论与数形结合能力。
方法技能 1. 翻译代数化：将新定义文字转化为数学表达式（如距离公式、方程有解条件），建立方程或不等式。 2. 图象辅助：画出抛物线草图，标注关键点（顶点、交点），直观分析新定义对应的几何意义。 3. 分类讨论：新定义中参数或位置不确定时，按顶点位置、开口方向等分类讨论，确保解完整。
变式演练
【变式01】（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值．
定义理解
（1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
深入探究
（2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是．
①伴随值为 ；
②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象；
③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标．
【答案】（1）C；（2）①2；②见解析；③或
【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键．
（1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可；
（2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可．
【详解】解：（1）对于二次函数
当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ；
当伴随值为时，其伴随二次函数是 ；
故选：C．
（2）①设伴随值为t，
则 ，
，
．
故答案为：2；
②列表：
0 2 3 4 6
5 5
依次描出点，
画图如图所示：
③令 得或；
令 得或．
结合函数图象可知，只能是或，
或3．
当时，，此时且随x的增大而减小，
∴当时，有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为．
当时，，此时且随x的增大而增大，
∴当时，有最小值，为
∴此时W的最低点的坐标为．
综上，W的最低点的坐标为或．
【变式02】（2026·湖北随州·一模）【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”．
(1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由．
(2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值．
(3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2．
①求的值；
②若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值．
【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析；
(2)；
(3)①；②的最大值为．
【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值．
（1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”；
（2）根据定义列方程，即可求解参数；
（3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求；
② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值．
【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下：
先将抛物线配方：，
顶点坐标为，顶点到直线的距离为：，
联立抛物线与直线的方程：，
解得，，截距为，
截距的一半为，而顶点到直线的距离为，，
因此不具有“等距截线性质”；
（2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”：
配方得：
顶点坐标为，顶点到直线的距离为：
联立抛物线与直线的方程：，
设两根为，由韦达定理，，，
截距为：，
根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半：
令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则，
代入得：，
解得（舍去），故；
（3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为：
① 配方得：
顶点坐标为，顶点到直线的距离为，
根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或，
又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义），
故；
② 由①得抛物线为，关于直线对称，
设，则，
抛物线，
抛物线的最低点即顶点为，
在上方，在下方，
，解得，
的长度为：，
，即的最大值为．
【变式02】（2025·辽宁阜新·一模）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．
①当时，求n的取值范围．
②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可；
（2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可；
（3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是，
∴点的“和”点的纵坐标为，即．
故答案为：．
（2）将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是；
由得：原抛物线为，
∴，
将变形为代入得出，
∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，
∴，
∴顶点坐标为：；
同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，
∴，
∴顶点坐标为：；
∴距离为：．
题型03 反比例函数中的新定义型综合问题
典例引领
【典例01】（2025·河北沧州·一模）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数的图象与直线：交于整点，与直线交于整点和整点，直线与交于整点，若线段上有7个整点（包括端点），且，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，先求出点的坐标为，过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，联立，求出，则可得，所以，又线段上有个整点，点，，都是整点，故，然后代入解析式即可求解，读懂图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解题的关键．
【详解】解：联立，
解得，
∴点的坐标为，
过点作轴的平行线，与过点作轴的平行线交于点，则，
联立，解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵线段上有个整点，点，，都是整点，
∴，
∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
故答案为：．
【典例02】（2025·湖南湘西·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，我们给出一个“积值”的定义：
点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的乘积称为点在函数图象上的“积值”；
【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为．
【问题】根据定义，解答下列问题：
(1)已知点是函数图象上一点，则点在该函数图象上的“积值”为______；
(2)求点在函数图象上的“积值”；
(3)已知点在函数（为常数，且）的图象上，当时，点在函数图象上的“积值”的最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答．
（2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答．
（3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答．
【详解】（1）解：∵点B是函数图象上任意一点，
∴，
∴点B在该函数图象上的“积值”为；
故答案为：；
（2）解：∵点在函数图象上，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
则点在函数图象上的“积值”为；
（3）解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上，
∴，
∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，
∴，
∵，
函数开口向上，则对称轴为，
∵，
∴对称轴，
∴当时，随的增大而减小，
∴时，有最小值，最小值为，
∴，
即．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：题目定义新概念（如“等积点”“双曲关联线”），需转化为反比例函数上的坐标关系或面积条件。 2. 性质探究：探究新定义下反比例函数图象的对称性、交点特征或与坐标轴的位置关系，结合|k|的几何意义分析。 3. 综合应用：新定义与几何图形（三角形、四边形）或动点问题结合，求参数范围或点坐标，考查数形结合与分类讨论能力。
方法技能 1. 翻译代数化：将新定义文字转化为数学表达式，如“某点在函数上”代入解析式，“面积相等”用|k|的几何意义表示。 2. 图象辅助：画出反比例函数图象草图，利用其中心对称性和与坐标轴无限接近的特征，分析新定义下的位置关系。 3. 分类讨论：新定义中参数或点位置不确定时（如点在双曲线不同分支），分情况讨论，确保解完整且符合实际（如坐标不为零）。
变式演练
【变式01】（2025·安徽·模拟预测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．
（1）函数的图象上的“倍值点”是_____．
（2）若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是_____．
【答案】 和 且
【分析】本题考查了函数的新定义问题，反比例函数，二次函数，一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“倍值函数”的定义代入即可求解．
（2）根据“倍值函数”的定义代入即可列一元二次方程，再根据题意令即可．
【详解】解：（1）函数中，令，
则，
解得：或，
经检验或都是原方程的解，
∴函数的图象上的“倍值点”是和，
故答案为：是和．
（2）在中，令，
则，
整理得，
∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【变式02】（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键．
（）根据“纵横差”的定义求解即可；
（）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可；
（）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为；
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为；
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为．
【变式02】（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”．
抽象建模
如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为、、三段，其中，曲线为冲刺部分，曲线为缓冲部分，曲线为降速部分．
数据与定义
已知，，．现给出如下定义：对于二次函数，称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数，称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点到曲线上横坐标为的点的距离．
问题解决
(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是________（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分）；
(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线所在的函数图像“曲度”应该调________（填“大”或“小”）；
(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线是冲刺部分曲线或降速部分曲线所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大）．现测得缓冲部分一点，通过计算判断曲线更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分．
【答案】(1)②
(2)小
(3)曲线更可能是段曲线所在函数图像的一部分
【分析】本题考查二次函数与反比例函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意结合反比例函数的性质即可求解；
（2）根据抛物线的性质，曲度的定义，为使滑梯更安全，“曲度”应该调小，
（3）待定系数法求得反比例函数解析式，进而可得，再将，代入，再待定系数法求解析式，分别求得纵坐标，和的纵坐标比较，即可求解．
【详解】（1）解：∵段的函数值越来接近，符合反比例函数的特征，
∴降速部分是反比例函数图像的一部分，
故答案为：②．
（2）曲线所在的函数图像为二次函数，根据曲度的定义，为使滑梯更安全，抛物线开口要增大，即“曲度”应该调小，
故答案为：小．
（3）解：∵在上，
代入得，，
∴
∵“曲度相等”
∴
∵二次函数经过，，
∴
解得：
∴
当代入得，，
∴
当代入得，，
∴
∴
∴段更可能是段曲线所在函数图像的一部分．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·浙江嘉兴·一模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为4，则a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，二次函数一般式化顶点式，理解新定义是解答本题的关键． 设存在一点，使得，把变形为，根据新定义列出方程组求解即可．
【详解】解：设存在一点，使得，
∴，
∴，
∴，
由题意，得
，
解得．
故选B．
2．（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（ ）
A．为函数图象的“相反点”
B．函数的图象存在两个“相反点”
C．为函数的图象上唯一的“相反点”
D．当时，函数的图象上无“相反点”
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，根据“相反点”的定义可知，相反点一定在直线上，判断函数与直线的交点情况即可．
【详解】解：A选项：在函数图象上，且横坐标与纵坐标互为相反数，
为函数图象的“相反点”，
故A选项正确；
B选项：当时，，
点在函数的图象上，
当时，，
点在函数的图象上，
函数的图象存在两个“相反点”，
故B选项正确；
C选项：当时，，
点也是函数的图象上的“相反点”，
不是函数的图象上唯一的“相反点”，
故C选项错误；
D选项：函数的图象上无“相反点”，
则函数与直线没有交点，
则方程无解，
整理得：，
，
解得：，
当时，函数的图象上无“相反点”，
故D选项正确．
故选：C．
3．（2025·广东广州·二模）定义：函数图象G上的点的纵坐标y与横坐标x的差叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”最小值称为函数图象G的“幸福值”．如：抛物线上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，设抛物线顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线上，当时，抛物线的“幸福值”是12，则c值为（ ）．
A．4 B．7 C．34 D．36
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据题意可得抛物线的顶点坐标为：，则抛物线解析式为，据此可得函数，根据得到，再分，，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为：，
∴抛物线解析式为
∴
令，则其对称轴为直线；
∵，
∴，即：；
，此时（不符合题意）；
，即：，
此时，当，取最小值12，
则，
解得：（舍去），
∴抛物线解析式为，
∴；
，此时不等式组无解，不成立；
综上所述，，
故选：C．
二、填空题
4．（2025·四川泸州·二模）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼．闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，若，点在直线上，则的最小值是________．
【答案】3
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，绝对值的意义，设点，根据新定义，得到，根据绝对值的意义，得到可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和，进而得到当时，最小为到2的距离，进行求解即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴设，
∵，
∴，
∴可以看作是数轴上表示数的点到表示数的点距离和，
∴当，最小，为：；
故答案为：3．
5．（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________．
【答案】或
【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
依据题意，分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答．
【详解】解：∵，
∴一次函数经过，
分两种情况：
①当时，如图1，
当时，，
∵一次函数图象上存在“近轴点”，
∴，
∴；
②当时，如图2，
由①知：点A的坐标为，
∵一次函数图象上存在“近轴点”，
∴，
∴；
综上，m的取值范围为：或．
故答案为：或．
6．（2026·四川成都·一模）定义：在平面直角坐标系中，已知图形，将图形M上每个点的横、纵坐标分别乘以，得到对应的新点，我们把所有新点组成的图形称为图形的“位图形”．如图，已知的顶点坐标分别为，若双曲线的“位图形”与的边有两个交点，则的取值范围是_____．
【答案】或
【分析】本题主要考查了反比例函数的图形变换、一次函数解析式的求解，以及函数图象交点的分析．先根据“位图形”的定义，推导双曲线的“位图形”为双曲线 ；再分析的边()，通过联立双曲线与边的直线方程，分和，结合“交点个数”的临界情况(如双曲线过顶点、与边相切)求出关键值；最后根据“有两个交点”的条件，确定的取值范目．
【详解】解：设双曲线上任意一点为，则，
将横、纵坐标分别乘以，得到对应点，
令，，则，代入得：
，即，
边： 设解析式为，代入得：
，解得，
∴边解析式为，
同理，得：边：从到，解析式为；
边：从到，解析式为；
情况一：
双曲线的“位图形”在第一象限，
∴联立方程，得，
整理，得，
∴，
解得：，
情况二：，
∴“k位图形”的点在第三象限,
∵点，
将点的坐标代入“位图形”中，
∴得到一个关于的方程，
解得：或（舍去），
∵“位图形”与的边有两个交点，
结合前面求出的两个临界值：当时，“位图形”经过点，与的边有两个交点；
∴，
当时，“位图形”与直线相切，也只有一个交点
∴与的边有两个交点，
故答案为：或．
三、解答题
7．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、．
(1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______．
(2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
①求出点坐标；
②求出的面积．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键．
（1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解；
（2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可．
【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ，
把点C的坐标代入上式，
得，
解得，
故答案为：，；
（2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，
∴点D是两个函数的交点，
联立解析式，
得，
解得，
即点；
②由，
得；
由，
得；
∴、，
∴，
∴．
8．（2026·山东聊城·一模）我们规定：对于二次函数，若其图象上的点满足横坐标与纵坐标的和为2，则称点为该二次函数的“和谐点”．已知二次函数，请结合“和谐点”的定义解决下列问题：
(1)求该二次函数的顶点坐标，并直接写出其对称轴；
(2)求该二次函数的所有“和谐点”的坐标；
(3)已知二次函数（为常数）不存在“和谐点”，求的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标，其对称轴为直线；
(2)或
(3)
【分析】（1）由求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）由“和谐点”定义可得，则，解方程计算即可；
（3）由“和谐点”定义可得，则，根据二次函数（为常数）不存在“和谐点”，则方程无解，得到，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数的顶点坐标，其对称轴为直线；
（2）解：由“和谐点”定义可得，
∵，
∴，
解得，
∴或，
∴二次函数的所有“和谐点”的坐标为或；
（3）解：由“和谐点”定义可得，
∵，
∴，
整理得，
∵二次函数（为常数）不存在“和谐点”，
∴方程无解，
∴，
解得．
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）定义：如图，在平面直角坐标系中，点P 是第一象限内任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B．若矩形的周长与面积的数值相等，则称点 P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）判断：点______ “美好点”， ______ “美好点”；（选填“是”或“不是”）
【深入探究】
（2）我们从函数的角度研究“美好点”，已知点是“美好点”．求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
【拓展延伸】
（3）对于任意一个“美好点”，代数式是否为定值 如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）不是，是；（2）；（3）是定值，
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
（2）根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；
（3）将（2）中的关系式代入得出定值，从而得解．
【详解】解：（1）∵，
∴点不是“美好点”，
∵，
∴点不是“美好点”，
故答案为：不是，是
（2）∵点是“美好点”．
∴，
∴，
化简得：，
∵第一象限内的点的横坐标为正，
∴，
解得：，
∴y关于x的函数表达式为：；
（3）对于任意一个“美好点”，代数式为定值．
∵，
∴，
∴对于任意一个“美好点”，代数式为定值．定值为．
10．（2025·江苏常州·三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：若实数a、b、m、n满足（k为常数，），则称点是点的“k值关联点”．例如，点是点的“2值关联点”．
(1)若点是点的“k值关联点”，则 且 ；
(2)如图，设点是点的“k值关联点”．
①当轴时，求点Q的坐标及k的值；
②若点，当时，请直接写出点Q的坐标及k的值．
【答案】(1)，
(2)①；②，或，
【分析】（1）根据“k值关联点”的定义计算即可得解；
（2）①根据“k值关联点”的定义计算得出，结合轴，得出，即可求出，从而得解；②由①可得，求出点在直线上，再分两种情况：当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于；当点在点下方时；分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点是点的“k值关联点”，
∴，
解得，
故答案为：，；
（2）解：①∵点是点的“k值关联点”，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即；
②由①可得，
∵，
∴点在直线上，
如图，当点在点下方时，过点作轴，过点作轴交于，
∴，，
∵，，
∴，
∴以为圆心，为半径作，直线与交于（与在同侧），
∵，
∴，此时满足条件，
由可得，，
解得：（此时、不在的同侧，舍去）或，
∴；
如图，当点在点下方时，
同理可得：，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
综上所述，，或，．
【点睛】本题考查了坐标与图形综合、两点间的距离公式、圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
11．（2025·广西南宁·三模）阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律．
【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______．
【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）；
【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题：
①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值；
②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
【答案】（1）；（2）A；（3）①；②见解析
【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解．
（1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：．
（2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答．
（3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点，，，，
分别验证：，
，
，
，
∵与的关系为．
故答案为：；
（2）根据“邂逅点”满足：
对于：，满足，是“邂逅点”．
对于：，不满足，不是“邂逅点”．
对于：，不满足，不是“邂逅点”．
故点A是“邂逅点”．
故答案为：A；
（3）①∵P是“邂逅点”，
∴，
∴，
将代入中，得
，
即k的值为．
②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为，
设两个“邂逅点”的横坐标分别为，，
联立，得
，
则，
∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数．
12．（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号）
(2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标．
【答案】(1)③④
(2)的值为或或或0
(3)
【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”；
（2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案；
（3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为．
【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在中，令得，方程无解，
的图象上不存在“平衡点”；
在中，令得，方程无解，
的图象上不存在“平衡点”；
在中，令得，
可得，
，
则方程有解，
的图象上存在“平衡点”；
在中，令得，
可得
，
则方程有解，
的图象上存在“平衡点”；
故存在“集团平衡点”的函数是③④；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
，
当时，，
，，，
若，则，
解得；
若，则，
解得或；
若，则，
解得或（此时，重合，舍去）；
的值为或或或0；
（3）解：设，
，
抛物线的顶点为，
点关于的对称点为，
旋转后的抛物线解析式为，
在中，令得：
，
，
旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
有两个相等实数根，
，即，
，
的坐标为．
13．（2024·江西九江·一模）定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．

(1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标；
(2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上．
①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______；
②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为
(2)①，，，；②是，这条直线的解析式为
【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标；
（2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，；
②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式．
【详解】（1）解：抛物线为，
，
“衍生直线”的表达式为．
“衍生直线”与x轴交于点B，
点B的坐标为．
抛物线与x轴交于点，，
抛物线的表达式为．
令，解得或，
把代入，得，
点A的坐标为；
（2）解：①对于，令，则，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上，
∴，
∴．
同理可求出，…，．
故答案为：，，，；
②点，，…，在同一条直线上．
令，，
∴，
∴，
这条直线的表达式为．
【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键．
14．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）2；；（2）①；②或
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图像上滑动，
顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在 上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
15．（2024·辽宁·二模）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．
例如：如图1，当时，某函数的图象经过点和，则该函数是正方形OABC的“LS函数”．
(1)当时，若一次函数是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图象经过点，与边AB相交于点E，判断该函数是否是正方形OABC的“LS函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数的图象经过点B，若该函数是正方形OABC的“LS函数”，求a的取值范围；
(4)在（3）的条件下，点是二次函数图象上两点，若点P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，求a的值．
【答案】(1)（或）
(2)是，理由见解析
(3)或
(4)或
【分析】（1）当时，，，，写出一个一次函数，其图象过，即可；
（2）求出，点的坐标为，可知函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，故函数 是正方形的“函数”；
（3）当时，把点代入二次函数 可得，故，该函数图象的顶点坐标为，可知点在函数 的图象上，①当时，抛物线顶点在轴上方，即可得，；②当时，函数 图象经过点，，一定是正方形的“函数”；从而可得的取值范围为或；
（4）当时，抛物线开口向上，点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，可得，当时，抛物线开口向下，①当，点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，知，②当，即时，点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，有，分别解方程并检验可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“函数”的定义．
【详解】（1）解：如图：
当时，，，，
当一次函数图象过，时，其解析式为，此时直线与正方形只有两个交点，
一次函数是正方形的“函数”；
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：该函数是正方形的“函数”；理由如下：
把点代入中得：，
解得，
，
把代入得，
点的坐标为，
函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“点”，
函数 是正方形的“函数”；
（3）解：当时，点的坐标为，点的坐标为，
把点代入二次函数 中得：，
，
，
该函数图象的顶点坐标为，
在中，令得，
点在函数 的图象上，
函数 是正方形的“函数”，其图象经过点，，
①当时，抛物线顶点在轴上方，
，
解得，
；
②当时，函数 图象经过点，，则函数 一定是正方形的“函数”；
综上所述，的取值范围为或；
（4）解：由（3）知，该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为，
当时，有，，抛物线开口向上，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是顶点，
，
整理得：，
解得：， （舍去）；
当时，抛物线开口向下，
①当，即时，有，，
点，之间的图象的最高点是顶点，最低点是点，
，
整理得 ，此方程无实数根，的值不存在；
②当，即时，有，
点，之间的图象的最高点是点，最低点是点，
，
整理得，
解得；
综上所述，的值是或．
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