资源简介

专题19 尺规作图（含最短路径、无刻度作图）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 尺规作角平分线问题
题型02 尺规作垂直平分线问题
题型03 网格中格点作图问题
题型04 矩形中无刻度作图问题
题型05 菱形中无刻度作图问题
题型06 正方形中无刻度作图问题
题型07 圆中无刻度作图问题
题型08 不规则图形中无刻度作图问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 尺规作角平分线问题
典例引领
【典例01】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若，切于点，求劣弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（）作的平分线，与的交点就是圆心，此时以为半径的与两边都相切；如图，作的垂线，证明和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：即可；
（）要想求劣弧的长，根据弧长公式需求圆心角的半径的长，利用四边形的内角和求，再进一步求解，代入公式可求弧长．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，与两边都相切，，
，
，
，
，
劣弧的长．
【典例02】（2026·广东·一模）如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，切于点B．
(1)作的平分线，交于点M，交于点N，交于点G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）连接，由直径所对的圆周角是直角得到，由切线的性质可得．由角平分线的定义得到，证明，则可证明得到，由三线合一定理即可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，．
∵是的切线，
∴，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴
，
又∵，
．
方法透视
考向解读 1. **基本作图**：以顶点为圆心适当半径画弧，交两边于两点；分别以两点为圆心大于一半长为半径画弧，交点与顶点连线即为角平分线。 2. **应用求角**：结合角平分线性质（角相等），在几何证明或计算中求角度大小或线段比例。 3. **综合作图**：与垂直平分线、平行线作图结合，在复杂图形中作角平分线解决实际作图问题。
方法技能 1. **步骤规范**：严格按“两弧一交线”顺序作图，弧长半径选取适当，保证两弧有交点。 2. **性质应用**：角平分线上点到角两边距离相等，用于证线段相等或求距离。 3. **逆向思维**：已知角平分线时，反向构造全等三角形证明作图正确性。
变式演练
【变式01】（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M．
(1)求的度数
(2)求点M到射线的距离
【答案】(1)；
(2)点M到射线的距离为．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，利用三角形的外角性质求解；
（2）解直角三角形求得，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，
∴，，
∴；
（2）根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，，
∴点M到射线的距离为．
【变式02】（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可；
（2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形．
【详解】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
题型02 尺规作垂直平分线问题
典例引领
【典例01】（2026·河南三门峡·一模）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求；
（2）由线段垂直平分线的定义得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：如图所示，
∵垂直平分，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【典例02】（2026·河南驻马店·一模）如图，在中，，是三角形的角平分线．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）：
①作线段的垂直平分线，且与相交于点；
②以点为圆心，以长为半径作．
(2)在（1）的条件下，求证：是的切线．
(3)在（1）的条件下，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)的半径为6
【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧交于点、，则即为线段的垂直平分线，则与相交于点，以点为圆心，以长为半径作；
（2）连接，由和角平分线得到，进而得到，则，最后根据是圆的半径，得到是的切线．
（3）根据，得到，则，据此求出圆的半径为6．
【详解】（1）解：如图所示，，圆为所求．
（2）证明：如图，连接，
，
．
是的平分线，
，
，
又，
，
．
又是圆的半径，
是的切线．
（3）解：根据题意，可知，
∴，
，
．
又，
，
故的半径为6．
方法透视
考向解读 1. **基本作图**：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线即得垂直平分线。 2. **性质应用**：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，用于证线段相等、求点坐标或确定圆心位置。 3. **综合作图**：与角平分线、过一点作垂线结合，在三角形或多边形中作垂直平分线解决几何问题。
方法技能 1. **步骤规范**：两弧半径必须大于线段一半且相等，保证两弧有交点，两点确定一条直线。 2. **性质优先**：出现垂直平分线立即得垂直和中点，用于勾股定理或全等三角形证明。 3. **确定圆心**：利用垂直平分线找圆心（圆心在弦的中垂线上），两弦中垂线交点即圆心。
变式演练
【变式01】（2026·广东广州·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，．
(1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，求线段的长．
【答案】(1)见详解；
(2)．
【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图；
（2）连接，如图，
为的中垂线，
，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
在直角中，，
，
，
．
【变式02】（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
(1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，证明：．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作；
（2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作；
（2）证明：如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵点E是的中点，点F是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
题型03 网格中格点作图问题
典例引领
【典例01】（2026·安徽安庆·一模）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上）
(2)在图2中的上找一点N，连接，使，且相似比为．ZAI
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）如图：取格点E、F，使得且，连接即可；
（2）如图：取格点N使得，取格点G使得、，连接交于N，即点N即为所求．
【详解】（1）解：如图，线段为所求；
证明：∵，
∴，
∴，即线段即为所求．
（2）解：如图，点N为所求．
证明：∵，,
∴，
∴，即点N即为所求．
【典例02】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上．
(1)在图中，是面积为2的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积为的直角三角形；
(3)在图③中，是面积为的锐角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点，由图可得，；
（2）取格点，由图可得，，可得，得是直角三角形， ；
（3）取格点，由图可得，，，可得，得是锐角三角形，．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图，即为所求．
方法透视
考向解读 1. **平移与对称**：在网格中作图形平移、轴对称或中心对称，利用格点确定对应点位置。 2. **旋转作图**：绕格点旋转一定角度（如90°），利用网格垂直关系确定旋转后点的位置。 3. **面积与分割**：利用格点作等面积变换或分割图形，常结合勾股定理或相似三角形验证。
方法技能 1. **坐标法**：将格点赋予坐标，利用平移、对称、旋转的坐标变换规律确定对应点。 2. **构造全等**：旋转或对称时，构造全等直角三角形确定格点移动的水平和竖直距离。 3. **面积割补**：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，利用格点间距离计算验证。
变式演练
【变式01】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点．
(1)在图①中，正方形；
(2)在图②中，等腰三角形面积为2.5；
(3)在图③中，矩形面积为4，连接，过A作三角形的高线（保留作图痕迹，体现作图过程）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的定义作图即可；
（2）根据等腰三角形的定义作图即可；
（3）根据矩形的定义并结合网格特点作图即可．
【详解】（1）解：如图：正方形即为所求，
；
（2）解：如图：等腰三角形即为所求，
，
由勾股定理可得：，
故等腰三角形的面积为；
（3）解：如图，矩形，高线，即为所求，
，
由网格特点可得：，
故四边形为矩形，
由勾股定理可得，，
故矩形的面积为．
【变式02】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出的一条中位线，使得点在上，点在上；
(2)在图2中，如图，边上一点在网格线上，作出，使得；
(3)在图3中边上找到一点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）利用网格特征以及三角形中位线的定义作出线段即可；
（2）取格点，，连接交于点，连接，即为所求；
（3）取格点，连接交网格线于点，连接交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；
如图，取格点、，由题意可得，，
∴，
∴，即点是的中点，
同理：点是的中点，
∴是的中位线；
（2）解：如图中，即为所求；
如图，取格点、，由题意可得，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图中，点即为所求．
如图，取格点、，连接，
由题意可得，，，，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
题型04 矩形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西吉安·模拟预测）如图矩形中，点在上，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
(1)在图1中，画出的平分线；
(2)在图2中，画出的平分线．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，无刻度直尺作图；
（1）作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得 ，即可求解；
（2）连接、交于，作射线，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得平分，即可求解；
能熟练利用矩形的性质及等腰三角形的性质进行作图是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
射线为所求作；
作射线，
在矩形中，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图，
射线为所求作．
连接、交于，作射线，
，
，
平分．
【典例02】（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的中点．
(2)在图2中作点，使得
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
故作直线，交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即P为的中点，
则点P即为所求．
（2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，
则点N即为所求．
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：矩形对角线相等且互相平分，通过连接对角线找中点或构造全等三角形。 2. **利用垂直与平行**：矩形四个角均为直角，邻边垂直、对边平行，用于作垂线或平行线。 3. **面积等分**：过对角线交点作直线平分矩形面积，或结合折叠作特定比例分割线。
方法技能 1. **连接对角线**：连接矩形对角线得交点（中心），利用中心对称性确定对应点位置。 2. **构造矩形内接图形**：利用直角和边平行关系，通过连接格点构造直角三角形或正方形。 3. **取中点连线**：取矩形各边中点，连接中点可构造菱形或进一步作垂直平分线。
变式演练
【变式01】（2025·江西鹰潭·一模）如图，是两个全等的矩形和矩形拼成的图案，请仅用无刻度的直尺按要求作图．

(1)在图（1）中作出一个等腰直角三角形．
(2)在图（2）中的矩形内作出一条直线和平行．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】根据全等矩形的性质作图；
根据矩形的对角线互相平分及三角形中位线的性质作图．
【详解】（1）如图：等腰直角三角形即为所求；

（2）如图2，直线即为所求．

【变式02】（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①（答案不唯一），理由见解析；②或
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求；
（2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
由题意得，
∴四边形是菱形；
（2）①添加的条件为
理由：∵为的外角的平分线，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，即
∴
又∵
∴四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，
由①得
∴四边形为矩形
∴
∵，
∴
∴
当平分时，即
由①得
∴
∴
∴
∴
②如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
综上所述，四边形的面积为或．
题型05 菱形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
．
(1)在图1中，以为边，作矩形；
(2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接交于点，再连接并延长交于点，连接，则矩形即为所作，由菱形可得，可得，可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出矩形；
（2）设（1）中分别与相交于点，连接，则菱形即为所作，由矩形可得，可得，再由可证得，得出，可得到四边形是平行四边形，再由可得出菱形．
【详解】（1）解：如图，矩形即为所作；
（2）解：如图，菱形即为所作；
【典例02】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
(1)在图1中，过点作的平行线，与交于点．
(2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
（1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
（2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
【详解】（1）解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
（2）解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：菱形对角线互相垂直平分，通过作对角线交点找对称点或等分点。 2. **利用四边相等**：菱形四条边相等，结合平行线性质，通过平移或旋转构造全等三角形。 3. **面积等分**：过对角线交点作直线平分菱形面积，或作高、作特定角平分线。
方法技能 1. **连接对角线**：连接菱形对角线得垂直交点（中心），利用垂直平分性质确定对应点。 2. **构造等腰三角形**：利用四边相等，连接顶点与边上点构造等腰三角形导边导角。 3. **取中点连线**：取菱形各边中点，连接中点可构造矩形或进一步作垂线。
变式演练
【变式01】（2024·江西吉安·二模）如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出；
（2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；

（2）解：如图，即为所求作；

连接、交于点，连接并延长，交于点，
四边形是菱形，
，垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
是的中位线，
即．
题型06 正方形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出以为底边的等腰，且；
(2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，无刻度直尺画图，掌握正方形的性质成为解题的关键．
（1）如图（1）连接相交于O，连接并延长交与F，连接即可完成作图；
（2）如图（2）连接相交于O，连接并延长交与H，连接并延长交与G，连接即可完成作图；
【详解】（1）解：如图（1）：等腰即为所求．
∵是正方形的对称轴，
∴，
∵，，
∴．
∴等腰即为所求．
（2）解：如图（2）：正方形即为所求．
∵，，
∴，即正方形即为所求．
【典例02】（2025·江西新余·三模）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图．
(1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称；
(2)在图2中，在正方形的内部取点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查基本作图，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、轴对称的性质等知识，正确作出图形是解答的关键．
（1）延长交延长线于M，根据正六边形的性质得，，，进而可得，是等边三角形，则，即点与点关于直线对称；
（2）连接交延长线于P，由正方形的性质得，进而利用三角形的内角和定理推导出，根据等角对等边可得．
【详解】（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：正方形对角线垂直平分且相等，通过作对角线找中心、对称点或45°角。 2. **利用四边相等四角直角**：构造全等三角形，实现线段或角的转移，常用于作垂线、平行线。 3. **面积等分与旋转**：过中心作直线平分面积，或利用90°旋转构造手拉手全等作图。
方法技能 1. **连接对角线**：得中心点，利用中心对称性和45°角性质确定对应点位置。 2. **构造等腰直角三角形**：利用正方形边长相等、角为90°，连接顶点与边中点得45°角。 3. **取中点连线**：取各边中点连线得小正方形或菱形，用于作垂直平分线或等分点。
变式演练
【变式01】（2026·江西吉安·一模）如图，在正方形中，点E在上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，若点E是的中点，作出的中点；
(2)在图2中，若点F在上，且，作出以为边的正方形．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于，由三角形的中位线可得，进一步可得为的中点．
（2）连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，顺次连接，由正方形的性质可得，再证明，可得，，可得四边形是正方形．
【详解】（1）解：如图，即为的中点．
（2）解：如图，正方形即为所求．
【变式02】（2025·江西九江·三模）如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形．

(1)如图1，若点是边上任意一点，请作．
(2)如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）先作出对角线的交点，连接并延长交于，连接，则可证明，得到，而，所以四边形为平行四边形；
（2）先作出对角线的交点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，通过证明，而，，则可判断四边形为菱形．
【详解】（1）解：画出图如图所示：

连接相交于点，连接并延长交于，连接，四边形即为所作；
（2）解：画出图如图所示：

连接与交于点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，四边形即为所作．
题型07 圆中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2024·江苏泰州·二模）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图1上，利用网格图，过点C作的切线；
(2)在图2的圆上作到一点D，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别取格点，可得四边形是矩形，其对角线相交于点O，分别连接，，从而得出点O是圆心，作出格点，分别连接，得出，可得，得，而，所以，可得出，即是圆的切线，点P即为所作；
（2）作出格点M，连接交圆于点D，连接AD，由图可知为平行四边形，则，此时，所以，从而得出，即，即可得．
【详解】（1）如图1中，直线即为所求；
（2）如图2中，点即为所求．
【典例02】（2025·江西萍乡·二模）如图，的三个顶点在同一个圆上，，点D，E分别为，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中画出该圆的圆心；
(2)在图2中画出的平分线．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接、交于点G，连接并延长，交于点O，即点O为圆心；
（2）连接，并延长交于点F，连接，即为的平分线．
【详解】（1）解：如图1中，点O即为所求圆心；理由如下：
∵点D，E分别为，的中点，
∴平分，
∴，
∵的三个顶点在同一个圆上，，
∴为直径，
∴点O为圆心．

（2）解：如图2中，射线即为所求的平分线；理由如下：
∵，点E是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴平分．

方法透视
考向解读 1. **确定圆心**：利用垂径定理，作两条弦的中垂线交点即为圆心。 2. **作切线**：过圆上一点作半径的垂线得切线；过圆外一点利用直径所对圆周角为直角确定切点。 3. **等分圆周**：利用圆心角相等，通过作等弧或构造正多边形等分圆周。
方法技能 1. **找圆心**：在圆上取两条弦，分别作它们的垂直平分线，交点即为圆心。 2. **作切线**：过圆上点连半径，作半径垂线；过圆外点以该点与圆心为直径画圆，交点即切点。 3. **等分圆周**：用量角器或利用勾股定理作特定圆心角（如90°、60°）等分圆周。
变式演练
【变式01】（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．
(1)请在图①作出该圆的圆心O
(2)请在图②优弧上确定一点P，使
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查网格作图，圆周角定理推论，的圆周角所对弦是直径确定圆心；
（1）取格点N，连接并延长与圆交于点M，得到，连接得到为直径，与格线的垂直平分线的交点即为圆心；
（2）取圆与格线交点Q及格点R，连接并延长与圆交点即为所求点P，由得出．
【详解】（1）解：如图①所示的点O即为所求；
（2）解：如图②所示的点P即为所求．
【变式02】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，以点O为圆心作圆，经过点A，且与网格线交于点C．
(1)的半径等于 ；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点M，N，P，使得为的切线，且．请简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】(1)
(2)作图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，切线的判定，线段垂直平分线的性质．
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）先作正方形，与交于点M，N，则点M，N即为所求作，可知，则是的切线，连接交于点D，连接交于点P，则点P即为所求作，由是弦的垂直平分线可得，进而说明，即可得出，则．
【详解】（1）解：OA．
故答案为：；
（2）解：图形如图所示，先作正方形，与交于点M，N，则点M，N即为所求作，连接交于点D，连接交于点P，则点P即为所求作．
题型08 不规则图形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2024·湖北武汉·模拟预测）请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了几何作图，包括平行四边形、菱形、切线的作法等，解题关键是理解正多边形的性质以及平行四边形、菱形和圆的相关性质．
（1）连接，交于，交于，则四边形是平行四边形；延长，交于点，则四边形为菱形；
（2）连接并延长，交于点，即为所求；连接并延长，交于点，连接交于点，连接并延长，交延长线于点，连接并延长，交延长线于点，作射线，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，四边形为平行四边形，四边形为菱形；
（2）如图所示，点P为的中点，为的切线．
【典例02】（2025·浙江宁波·三模）在正三角形网格中，为格点线段，用无刻度直尺按要求作图．

(1)在图1中作正；
(2)在图2中作的垂线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点C，连接、即可；
（2）取格点G、F，连接交于D，再取格点E，连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

证明：如图，

∵正
∴，，
由题意知：，
∴
∴
∴
∴是正三角形．
（2）解：如图所示，线段即为所求．

证明：如图，连接，，

由题意知：，，
∴四边形是平行四边形，
∴
由（1）知，
∴．
方法透视
考向解读 1. **转化规则图形**：将不规则图形分割为三角形、平行四边形等规则图形，利用基本作图完成。 2. **面积等分**：通过作中线、中位线或利用中心对称性，将不规则图形面积等分。 3. **构造全等图形**：利用平移、旋转或对称，补全不规则图形为规则图形，再作图求解。
方法技能 1. **分割法**：连接图形内关键点，将不规则图形分割为多个规则图形，分别作图。 2. **补形法**：添加辅助线将不规则图形补成矩形、平行四边形等规则图形，作图后还原。 3. **找重心或中心**：通过作中线交点找重心，过重心作直线平分面积；或找对称中心作图。
变式演练
【变式01】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到．
(2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了旋转的定义、无刻度直尺作图，正六边形的性质、勾股定理，理解旋转的定义和无刻度直尺作图的常见方法是解答本题的关键．
根据正六边形的性质可得正六边形的每个内角都是，将绕点逆时针旋转，与重合，延长与的延长线的交点即为点；
连接、相交于点，连接，线段即为绕点顺时旋转得到的线段．
【详解】（1）解：如下图所示，
正六边形的每个内角的度数是，
，
将绕点逆时针旋转，与重合，
延长与的延长线的交点即为点；

（2）解：如下图所示，
过点作垂足在的延长线上，设正六边形的边长为，
，
，
，
又点是的中点，
，
，
，
，
连接交于点，
则，，，
，，
，
，，
，
，
连接，过点作，
则，
，，
则，
，
，
，
即为绕点顺时旋转得到的线段．
【变式02】（2025·江西抚州·一模）如图，在和中，，，，点D在上．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图（1）中，作出的平分线；
(2)在图（2）中，作出的平分线．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）如图，延长交于，作射线，则即为的平分线；
（2）如图，连接，连接并延长与交于点，作射线，则即为的平分线；
【详解】（1）解：如图，延长交于，作射线，则即为的平分线；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为的平分线；
（2）解：如图，连接，连接并延长与交于点，作射线，则即为的平分线；
理由：∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为的平分线；
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出．
【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于
，平分，
在中，，
， 即
∴
∴
∴
2．（2026·河北石家庄·一模）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接；
②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，．
下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．垂直平分
【答案】B
【分析】由基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分；根据证明；根据直角三角形斜边大于直角边判断．
【详解】解：设交于点，
由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确；
根据作图可知：，，
∴点O、E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，D正确；
∵，
∴，C正确；
在中，，且，
则，故B错误，符合题意．
3．（2026·山东济南·一模）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线；
②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．
根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于，交的延长线于，
由作图步骤①可知，平分，
，，
，，
在和中， ，
，
，
由作图步骤可知，垂直平分，点在上，
，
，
，
在和中， ，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
在中，，
即点到直线的距离为．
二、填空题
4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____．
【答案】4
【分析】由作图知，，在中，利用直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：由作图知，，
在中，，，
∴．
5．（2026·西藏·一模）如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，该直线交于点D，交于点E，连接；
（2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交于点F．
若，则_______ °．
【答案】15
【分析】利用线段的垂直平分线和角平分线的性质进行求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分平分，
∴，
∴，
∴．
6．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______．
【答案】
【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为 ，
∴，，
设直线 的解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴，
由平移得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图知为 的角平分线，
∴，
∴，
∴，
由题意知，直线向下平移4个单位长度得到，
∴直线的解析式为，
设，
则，
解得，
∴点的坐标为．
三、解答题
7．（2026·宁夏银川·一模）如图1，在中，，D是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）先根据直角三角形斜中半定理，证得，结合已知条件，证得，最后根据“四边相等的四边形是菱形”证得四边形为菱形；
（2）运用尺规作图的方法，作，运用“内错角相等，两直线平行”得到．
【详解】（1）证明：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为菱形；
（2）解：作图如下：
8．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，．
(1)求的度数．
(2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（2）作的垂直平分线交于点M，连接，并延长交于点E，即可；
（3）设与交点为点M．根据，可得，由①知：，可得，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
与相切，
，
，，
，
；
（2）解：如图所示，点E即为所求；
（3）解：设与交点为点M．
，
，
又由①知：，
，
的半径为4，
直径，
，
的长为．
9．（2026·山西·一模）如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点．
(1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相等，见解析
【分析】（1）利用尺规作图方法画垂线即可得出答案．
（2）通过平行四边形性质可得，再通过角平分线以及等量代换可知，进而可知，再通过三线合一即可证明．
【详解】（1）解：如答图所示，即为所求
（2）解：，理由如下
四边形是平行四边形，
．
平分，
．
．
，
．
10．（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形中，点E在边上，连接．
(1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）首先由正方形的性质得到，，然后根据证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，
∴．
11．（2026·吉林·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找一格点，使得；
(2)在图2中的圆上找一点，使平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补的性质，找到与互补的即可；
（2）根据垂径定理，找到的垂直平分线与的交点即可．
【详解】（1）解：根据圆内接四边形对角互补，找到圆与格点的交点即可，
如图所示，点即为所求．
（2）解：如图，记与格线的交点为，连接，延长后与圆交于点，则点即为所求．
12．（2026·河南三门峡·一模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点E作右侧的垂线，然后在垂线上用圆规取，即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转和正方形的性质，结合角度的和差，可利用证得，由对应边相等得到，再根据线段的和差得到，由等边对等角可推出的度数，进而求得的度数．
【详解】（1）解：补全图形如下图所示，即为所求：
（2）解：过点作，交的延长线于点，如（1）图，
由旋转，得，
∴，
∵在正方形中，，，
∴，
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．（2025·江西抚州·二模）如图，以的半径为边，向右侧作矩形边交于点D，若D为的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（1）中，过点D作出的切线；
(2)在图（2）中，作一个正切值为的圆周角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由D是中点，E是中点，得是中位线，，由，得，即可判定是切线；
（2）和中，由是公共角，得，得
【详解】（1）解：如图1，连接交于点E，作直线，直线即为所求．
理由：∵D是中点，矩形中，E是中点，
∴是中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是切线．
（2）解：如图，延长交于点F，连接交于点G，连接，即为所求．
理由：∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查仅用无刻度直尺作图，熟练掌握圆的切线性质，正切定义，矩形对角线性质，三角形中位线性质，圆周角定理推论，直角三角形锐角性质，是解题的关键．
14．（2026·河北沧州·一模）图1是边长为6的正六边形，连接．
(1)直接写出的度数；
(2)用无刻度直尺和圆规在线段上求作点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图2，点为线段上的点（不与，重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边相切时，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）先求得正六边形的内角度数，再根据等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据三角形的内角和定理，可过D作交于M，则，进而可得答案；
（3）先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可．
【详解】（1）解：由正六边形的性质得，，
∴；
（2）解：如图，点M即为所求：
作图依据：∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵，以为圆心，长为半径画圆，
∴与相切于点，
当与边相切时，记切点为点，连接，如图：
则，，而，
∴平分，
∵，
∴，
∴在中，；
记与的左交点为点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
当点与点重合时，如图：
∴，
∴点重合，
∴，
∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意，
∴，
综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题19 尺规作图（含最短路径、无刻度作图）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 尺规作角平分线问题
题型02 尺规作垂直平分线问题
题型03 网格中格点作图问题
题型04 矩形中无刻度作图问题
题型05 菱形中无刻度作图问题
题型06 正方形中无刻度作图问题
题型07 圆中无刻度作图问题
题型08 不规则图形中无刻度作图问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 尺规作角平分线问题
典例引领
【典例01】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知在中，．
(1)请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2)若，切于点，求劣弧的长．
【典例02】（2026·广东·一模）如图，以为直径的中，点C为上一点，连接，切于点B．
(1)作的平分线，交于点M，交于点N，交于点G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
方法透视
考向解读 1. **基本作图**：以顶点为圆心适当半径画弧，交两边于两点；分别以两点为圆心大于一半长为半径画弧，交点与顶点连线即为角平分线。 2. **应用求角**：结合角平分线性质（角相等），在几何证明或计算中求角度大小或线段比例。 3. **综合作图**：与垂直平分线、平行线作图结合，在复杂图形中作角平分线解决实际作图问题。
方法技能 1. **步骤规范**：严格按“两弧一交线”顺序作图，弧长半径选取适当，保证两弧有交点。 2. **性质应用**：角平分线上点到角两边距离相等，用于证线段相等或求距离。 3. **逆向思维**：已知角平分线时，反向构造全等三角形证明作图正确性。
变式演练
【变式01】（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M．
(1)求的度数
(2)求点M到射线的距离
【变式02】（2026·广西柳州·一模）如图，已知矩形，
(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
(2)求证：四边形是正方形．
题型02 尺规作垂直平分线问题
典例引领
【典例01】（2026·河南三门峡·一模）如图，在四边形中，，是对角线．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形．
【典例02】（2026·河南驻马店·一模）如图，在中，，是三角形的角平分线．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留尺规作图痕迹）：
①作线段的垂直平分线，且与相交于点；
②以点为圆心，以长为半径作．
(2)在（1）的条件下，求证：是的切线．
(3)在（1）的条件下，若，，求的半径．
方法透视
考向解读 1. **基本作图**：分别以线段两端点为圆心，大于一半长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线即得垂直平分线。 2. **性质应用**：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，用于证线段相等、求点坐标或确定圆心位置。 3. **综合作图**：与角平分线、过一点作垂线结合，在三角形或多边形中作垂直平分线解决几何问题。
方法技能 1. **步骤规范**：两弧半径必须大于线段一半且相等，保证两弧有交点，两点确定一条直线。 2. **性质优先**：出现垂直平分线立即得垂直和中点，用于勾股定理或全等三角形证明。 3. **确定圆心**：利用垂直平分线找圆心（圆心在弦的中垂线上），两弦中垂线交点即圆心。
变式演练
【变式01】（2026·广东广州·模拟预测）如图，是矩形的对角线，，．
(1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接，求线段的长．
【变式02】（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接．
(1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，证明：．
题型03 网格中格点作图问题
典例引领
【典例01】（2026·安徽安庆·一模）图1、图2均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图1中，画一条线段，将线段分为的两部分；（要求：点E，F均在格点上）
(2)在图2中的上找一点N，连接，使，且相似比为．ZAI
【典例02】（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上．
(1)在图中，是面积为2的等腰三角形；
(2)在图②中，是面积为的直角三角形；
(3)在图③中，是面积为的锐角三角形．
方法透视
考向解读 1. **平移与对称**：在网格中作图形平移、轴对称或中心对称，利用格点确定对应点位置。 2. **旋转作图**：绕格点旋转一定角度（如90°），利用网格垂直关系确定旋转后点的位置。 3. **面积与分割**：利用格点作等面积变换或分割图形，常结合勾股定理或相似三角形验证。
方法技能 1. **坐标法**：将格点赋予坐标，利用平移、对称、旋转的坐标变换规律确定对应点。 2. **构造全等**：旋转或对称时，构造全等直角三角形确定格点移动的水平和竖直距离。 3. **面积割补**：不规则图形面积通过割补转化为规则图形，利用格点间距离计算验证。
变式演练
【变式01】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图，其中C、D两点为格点．
(1)在图①中，正方形；
(2)在图②中，等腰三角形面积为2.5；
(3)在图③中，矩形面积为4，连接，过A作三角形的高线（保留作图痕迹，体现作图过程）．
【变式02】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出的一条中位线，使得点在上，点在上；
(2)在图2中，如图，边上一点在网格线上，作出，使得；
(3)在图3中边上找到一点，使得．
题型04 矩形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西吉安·模拟预测）如图矩形中，点在上，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
(1)在图1中，画出的平分线；
(2)在图2中，画出的平分线．
【典例02】（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作的中点．
(2)在图2中作点，使得
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：矩形对角线相等且互相平分，通过连接对角线找中点或构造全等三角形。 2. **利用垂直与平行**：矩形四个角均为直角，邻边垂直、对边平行，用于作垂线或平行线。 3. **面积等分**：过对角线交点作直线平分矩形面积，或结合折叠作特定比例分割线。
方法技能 1. **连接对角线**：连接矩形对角线得交点（中心），利用中心对称性确定对应点位置。 2. **构造矩形内接图形**：利用直角和边平行关系，通过连接格点构造直角三角形或正方形。 3. **取中点连线**：取矩形各边中点，连接中点可构造菱形或进一步作垂直平分线。
变式演练
【变式01】（2025·江西鹰潭·一模）如图，是两个全等的矩形和矩形拼成的图案，请仅用无刻度的直尺按要求作图．

(1)在图（1）中作出一个等腰直角三角形．
(2)在图（2）中的矩形内作出一条直线和平行．
【变式02】（2025·江苏常州·一模）如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
题型05 菱形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西·模拟预测）如图，在菱形中，是对角线，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
．
(1)在图1中，以为边，作矩形；
(2)在图2中，以，，，为顶点作一个菱形（顶点，在菱形内部）．
【典例02】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
(1)在图1中，过点作的平行线，与交于点．
(2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：菱形对角线互相垂直平分，通过作对角线交点找对称点或等分点。 2. **利用四边相等**：菱形四条边相等，结合平行线性质，通过平移或旋转构造全等三角形。 3. **面积等分**：过对角线交点作直线平分菱形面积，或作高、作特定角平分线。
方法技能 1. **连接对角线**：连接菱形对角线得垂直交点（中心），利用垂直平分性质确定对应点。 2. **构造等腰三角形**：利用四边相等，连接顶点与边上点构造等腰三角形导边导角。 3. **取中点连线**：取菱形各边中点，连接中点可构造矩形或进一步作垂线。
变式演练
【变式01】（2024·江西吉安·二模）如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)在图1中的上找一点，连接，使得．
(2)在图2中的上找一点，连接，使得．
题型06 正方形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2025·江西·一模）如图，在正方形中，点E是边的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，画出以为底边的等腰，且；
(2)在图2中，已知F是的中点，请画出以为边的正方形，且．
【典例02】（2025·江西新余·三模）如图，在正六边形的右侧作正方形，连接．请你仅用无刻度的直尺完成以下作图．
(1)在图1中，在正方形的内部取点，使点与点关于直线对称；
(2)在图2中，在正方形的内部取点，使．
方法透视
考向解读 1. **利用对角线性质**：正方形对角线垂直平分且相等，通过作对角线找中心、对称点或45°角。 2. **利用四边相等四角直角**：构造全等三角形，实现线段或角的转移，常用于作垂线、平行线。 3. **面积等分与旋转**：过中心作直线平分面积，或利用90°旋转构造手拉手全等作图。
方法技能 1. **连接对角线**：得中心点，利用中心对称性和45°角性质确定对应点位置。 2. **构造等腰直角三角形**：利用正方形边长相等、角为90°，连接顶点与边中点得45°角。 3. **取中点连线**：取各边中点连线得小正方形或菱形，用于作垂直平分线或等分点。
变式演练
【变式01】（2026·江西吉安·一模）如图，在正方形中，点E在上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中，若点E是的中点，作出的中点；
(2)在图2中，若点F在上，且，作出以为边的正方形．
【变式02】（2025·江西九江·三模）如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形．

(1)如图1，若点是边上任意一点，请作．
(2)如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形．
题型07 圆中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2024·江苏泰州·二模）如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫做格点．中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)在图1上，利用网格图，过点C作的切线；
(2)在图2的圆上作到一点D，使得．
【典例02】（2025·江西萍乡·二模）如图，的三个顶点在同一个圆上，，点D，E分别为，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中画出该圆的圆心；
(2)在图2中画出的平分线．
方法透视
考向解读 1. **确定圆心**：利用垂径定理，作两条弦的中垂线交点即为圆心。 2. **作切线**：过圆上一点作半径的垂线得切线；过圆外一点利用直径所对圆周角为直角确定切点。 3. **等分圆周**：利用圆心角相等，通过作等弧或构造正多边形等分圆周。
方法技能 1. **找圆心**：在圆上取两条弦，分别作它们的垂直平分线，交点即为圆心。 2. **作切线**：过圆上点连半径，作半径垂线；过圆外点以该点与圆心为直径画圆，交点即切点。 3. **等分圆周**：用量角器或利用勾股定理作特定圆心角（如90°、60°）等分圆周。
变式演练
【变式01】（2024·江苏淮安·一模）如图，在方格纸中，A、B、C三点在圆上，且均为格点，点F是圆与格线的交点，仅用无刻度的直尺按要求完成做图．
(1)请在图①作出该圆的圆心O
(2)请在图②优弧上确定一点P，使
【变式02】（2025·天津·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O均在格点上，以点O为圆心作圆，经过点A，且与网格线交于点C．
(1)的半径等于 ；
(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在上画出点M，N，P，使得为的切线，且．请简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明）．
题型08 不规则图形中无刻度作图问题
典例引领
【典例01】（2024·湖北武汉·模拟预测）请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
(1)在图1中，已知正七边形，分别画出一个以为边的平行四边形和为边的菱形；
(2)在图2中，若正七边形的外接圆为，画出的中点P，过点A作的切线．
【典例02】（2025·浙江宁波·三模）在正三角形网格中，为格点线段，用无刻度直尺按要求作图．

(1)在图1中作正；
(2)在图2中作的垂线段．
方法透视
考向解读 1. **转化规则图形**：将不规则图形分割为三角形、平行四边形等规则图形，利用基本作图完成。 2. **面积等分**：通过作中线、中位线或利用中心对称性，将不规则图形面积等分。 3. **构造全等图形**：利用平移、旋转或对称，补全不规则图形为规则图形，再作图求解。
方法技能 1. **分割法**：连接图形内关键点，将不规则图形分割为多个规则图形，分别作图。 2. **补形法**：添加辅助线将不规则图形补成矩形、平行四边形等规则图形，作图后还原。 3. **找重心或中心**：通过作中线交点找重心，过重心作直线平分面积；或找对称中心作图。
变式演练
【变式01】（2025·陕西咸阳·三模）如图，在正六边形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图，连接，将绕点逆时针旋转，得到．
(2)如图，是的中点，将绕点顺时针旋转，得到．
【变式02】（2025·江西抚州·一模）如图，在和中，，，，点D在上．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图（1）中，作出的平分线；
(2)在图（2）中，作出的平分线．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
2．（2026·河北石家庄·一模）如图，已知，按照以下步骤作图：
①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接；
②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，．
下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．垂直平分
3．（2026·山东济南·一模）如图，在中，按如下步骤作图：
①在和上分别截取，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线；
②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．
根据以上作图，若，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____．
5．（2026·西藏·一模）如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，该直线交于点D，交于点E，连接；
（2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交于点F．
若，则_______ °．
6．（2026·辽宁·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______．
三、解答题
7．（2026·宁夏银川·一模）如图1，在中，，D是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
8．（2026·河南洛阳·一模）如图1，已知中，，，以点O为圆心的圆与相切于点C，交于点D，点E为上一点，连接，．
(1)求的度数．
(2)若上的点E满足，请在图2中用无刻度的直尺和圆规作出线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)在图2中，延长交于点F，连接，，若的半径为4，求的长．
9．（2026·山西·一模）如图，四边形是平行四边形，，的平分线交于点．
(1)实践与操作：利用尺规过点作的垂线，垂足为（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）；
(2)猜想与证明：在（1）的条件下，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
10．（2026·广西钦州·一模）如图，在正方形中，点E在边上，连接．
(1)尺规作图：作，交线段于点F（要求保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)求证：．
11．（2026·吉林·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
(1)在图1中的圆上找一格点，使得；
(2)在图2中的圆上找一点，使平分．
12．（2026·河南三门峡·一模）如图，在正方形中，是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规补全图形（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的度数．
13．（2025·江西抚州·二模）如图，以的半径为边，向右侧作矩形边交于点D，若D为的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图（1）中，过点D作出的切线；
(2)在图（2）中，作一个正切值为的圆周角．
14．（2026·河北沧州·一模）图1是边长为6的正六边形，连接．
(1)直接写出的度数；
(2)用无刻度直尺和圆规在线段上求作点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)如图2，点为线段上的点（不与，重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边相切时，求的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑