资源简介

专题20 实际应用问题（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 用一次函数解决实际问题
题型02 用反比例函数解决实际问题
题型03 用二次函数解决实际问题
题型04 用一次函数和反比例函数解决实际问题
题型05 用一次函数和二次函数解决实际问题
题型06 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 用一次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？
【答案】(1)
(2)当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件．
【分析】（1）根据题目给出销售量是销售单价的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出和，从而得到函数关系式；
（2）在已知销售量的情况下，代入函数式解出对应的值，即销售单价．
【详解】（1）解：设销售量与销售单价之间的函数关系式为：，
根据题意，当时，；当时，．
代入得
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：已知，代入函数式得：，
解得，
答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件．
【典例02】（2026·陕西西安·二模）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为．
(1)写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式；
(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据从地面向上以内，每升高，气温降低，列出一次函数表达式；
（2）根据飞机外气温为，飞机距离地面的高度为，求出的值，即可得到一次函数的表达式，求出当时的值为，因为在距离地面以上高空，气温几乎不变，可知在距离地面的高空，飞机外的气温是．
【详解】（1）解：每升高，气温降低，
；
（2）解：飞机外气温为，飞机距离地面的高度为，
，
解得：，
，
当时，
可得：，
在距离地面以上高空，气温几乎不变，
在距离地面的高空，飞机外的气温是．
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（行程、工程、方案选择）抽象为一次函数模型，确定解析式。 2. 方案决策：结合一次函数性质，通过比较函数值大小，选择最优方案或确定最佳策略。 3. 图象信息：从函数图象中读取数据（起点、交点、拐点），分析实际意义解决相关问题。
方法技能 1. 审题建模：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，注意自变量取值范围。 2. 图象辅助：画出函数图象草图，标出关键点坐标，直观分析函数变化趋势。 3. 比较定方案：方案选择问题中，先求交点对应的值，再分段讨论不同范围内函数值大小确定最优解。
变式演练
【变式01】（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求的值；
(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．
(1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出；
(2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值．
【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，
根据题意得：，
解得：，
；
（2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，
当时，
；
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，,
此时(千克)，
答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元.
【变式01】（2026·山东滨州·一模）某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足．
(1)请写出水温与日照时间之间的关系式；
(2)在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围；
(3)求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量．
【答案】(1)
(2)
(3)水箱中的水共吸收热量焦耳
【分析】（1）根据水的初始温度为，平均每小时水温升高，即可列出解析式；
（2）因为水温达到时停止加热，所以先通过问题（1）的关系式求出对应值，再结合一天有效日照不超过小时，同时的初始值为，从而确定的实际取值范围；
（3）先计算小时水温升高的度数，再根据圆柱体积公式求出水箱中水的体积，最后结合每立方米水升温吸收的热量，求出总吸收热量即可．
【详解】（1）解：∵水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高，
∴；
（2）解：∵水温达到时系统会启动保护停止加热，
∴，故，
解得： ，
∵一天有效日照时间不超过小时，
∴，
又
的取值范围为：．
（3）解：当时，水温升高了，
水箱的容积为： ，
∵每立方米水升温可吸收焦耳热量，
∴当时，水箱中的水共吸收热量(焦耳)
【变式02】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条平坦笔直的道路上依次有、、三地，甲车先从地向地匀速行驶，小时后，乙车从地出发，先匀速行驶到地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米/时，匀速行驶到地，结果比甲车晚半小时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：千米），（单位：千米）与甲车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)的值______；的值______；甲车的速度为______千米/时；
(2)求乙车减速前的速度，及图象中线段的函数解析式；
(3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距千米．
【答案】(1)；；
(2)千米/小时；
(3)乙车出发小时或小时，与甲车相距千米
【分析】（1）由装货耗时半小时，即可求得的值；由乙车比甲车晚半小时到达目的地，即可求得的值，根据速度路程时间，即可求出甲车的速度；
（2）设乙车减速前的速度，进而表示出减速后的速度，根据乙车的总路程等于千米列方程求解即可；分别表示出，的坐标，利用待定系数法求解线段的函数解析式即可；
（3）根据乙车的三种运动状态，分段讨论，分别根据甲、乙两车的运动路程、道路总长以及两车相距千米列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，（小时），
（小时），
甲车的速度为：（千米/小时）；
（2）解：设乙车减速前的速度为千米/小时，则减速后的速度为千米/小时，
根据题意可得：，
解得，
乙车减速前的速度为千米/小时，
，
，
由（1）可知，，
设线段的函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，
线段的函数解析式为；
（3）解：甲车的行驶时间小时，
乙车的行驶时间小时，
当时，有：，解得，
；
当时，乙车的路程为千米，甲车的路程为千米，即千米，
甲乙两车相距介于千米之间，故不存在相距千米；
当时，有：，解得；
；
综上，乙车出发小时或小时，与甲车相距千米．
题型02 用反比例函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2025·广东汕头·三模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？
(2)若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)蓄电池的电压是，这个函数的解析式为
(2)不小于
【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，通过物理中的电学公式（U为定值），明确电流I与电阻R成反比例关系是解决本题的关键．
（1）利用图象上的已知点坐标，代入反比例函数表达式，通过待定系数法求出电压U和函数表达式；
（2）根据（1）中求出的函数关系，结合电流限制条件求出可变电阻的范围．
【详解】（1）解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：，
观察图象，可知当时，，
因而，
故这个函数的解析式为；
所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，，得：．
因为电流I与电阻R成反比例关系，所以，
所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内．
【典例02】（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．
(1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式．
(2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？
【答案】(1)
(2)压强由加压到，则气体体积压缩了
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算．
（1）设，利用待定系数法即可得到结论；
（2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案．
【详解】（1）解：设，
把代入中得：，
解得，
压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为；
（2）在中，当时，，当时，，
，
压强由加压到，则气体体积压缩了．
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（行程、工程、物理公式）抽象为反比例函数模型，确定解析式。 2. 图象信息：从反比例函数图象中读取数据（点坐标、变化趋势），分析实际意义解决相关问题。 3. 取值范围：结合实际情境确定自变量取值范围，求对应的函数值范围或最值问题。
方法技能 1. 审题找等量：确定两个变量乘积为定值，设解析式y= ，代入已知点求k。 2. 图象分析：画出双曲线一支，标出关键点，根据图象增减性分析变量变化关系。 3. 结合实际定范围：根据实际问题中变量的限制（如长度为正数、时间非负），确定自变量取值范围再求解。
变式演练
【变式01】（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题．
(1)该容器内氧气的质量为______．
(2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式．
(3)若该容器的体积为，求氧气的密度．
【答案】(1)8
(2)
(3)氧气的密度为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）根据代入，可求m；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把代入（2）中解析式可求结果．
【详解】（1）解：，
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为，
由图可知，该函数过点，
．
所求函数的解析式为．
（3）
该容器的体积V为，．
答：氧气的密度为．
【变式02】（2025·广东东莞·三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？
【答案】(1)
(2)米
(3)米
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可；
（2）设点的坐标为并代入与的函数关系式，求出的值再减去的长即可；
（3）设点的坐标为并代入与的函数关系式，将用表示出来，根据列关于的不等式并求其解集，从而得到的最小值即可．
【详解】（1）解：米，米，
点的坐标为，
设段滑梯所在的双曲线的解析式为为常数，且，
将坐标代入，
得，
解得，
段滑梯所在的双曲线的解析式为．
（2）设点的坐标为，
将代入，
得，
解得，
米，
，之间的水平距离为米．
（3）设点的坐标为，
将代入，
得，
，
根据题意，得，
解得，
点到水面的距离至少米．
【变式03】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．
(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则：
①关于的函数解析式是____________．
②完成下表：
… 10 20 30 40 50 …
… 8 a 2 b …
_______；______．
③在图的直角坐标系中画出该函数的图象．
【答案】(1)
(2)
①；
②，；
③见解析
【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．
()根据公式进行计算即可；
()①根据公式即可得到；
②根据①所求求出的值即可；
③先描点，再连线，画出函数图象即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴重物所受拉力为，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，即，
故答案：，
②由①得：当时，；
当时，，
答案：，．
③函数图象如图所示：
题型03 用二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)起跳点P与落地点Q的水平距离的长为
【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题意得第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
令，则，
解得，（舍去），
∴起跳点P与落地点Q的水平距离的长为．
【典例03】（2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】(1)
(2)这辆货车能安全通过
【分析】（1）根据题意可得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出函数值为6时x的值，再比较较小的x的值加上4与的大小即可得到结论．
【详解】（1）解：根据题意得，
将代入，得，解得
抛物线的表达式为；
（2）解：中，当时，，
解得或，
∵，
∴这辆货车能安全通过．
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（面积最值、利润问题、抛物线型桥梁）抽象为二次函数模型，确定解析式。 2. 最值问题：结合二次函数顶点坐标，求实际问题中的最大值或最小值，注意自变量取值范围。 3. 抛物线型问题：如拱桥、喷泉、投篮轨迹，建立坐标系求解析式，计算高度、水平距离等。
方法技能 1. 审题建坐标系：抛物线型问题先建立合适平面直角坐标系，设顶点式或一般式求解析式。 2. 配方法求最值：利润、面积问题列出二次函数后配方或直接用顶点公式求最值。 3. 检验合理性：求出结果后结合实际意义检验（如长度应为正数、取值是否在范围内）。
变式演练
【变式01】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
【答案】(1)
(2)能，12
(3)当时，花园面积最大，最大值为
【分析】（1）根据列出代数式即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程解答即可求解；
（3）根据矩形的面积公式列出S与x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解；
【详解】（1）解：的长为；
（2）解：根据题意，得．
整理，得．解得．
∵墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，
∴．
∴．
∴的值为12．
（3）解：由题意得：．
∵．
∴当时，花园面积最大，最大值为．
【变式02】（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆．
(1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为．
①求抛物线的函数表达式．
②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留）
(2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据待定系数法求解即可；
②令，求出对应的x的值，则可求灭火图形（即圆）的半径，然后根据圆的面积公式求解；
（2）分别求出平移后经过点F和点O时对应的值，然后根据对称性求出，即可求解．
【详解】（1）解：①设，
把代入，得，
解得，
∴；
②当时，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴该喷头覆盖的灭火面积为；
（2）解：设向右平移后经过F，
则平移后的解析式为，
把代入，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∵，关于K对称，
∴；
设向左平移后经过O，
则平移后的解析式为，
把代入，得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∵，关于K对称，
∴；
∴．
【变式03】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为．
(1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围．
(2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度)
(3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为；
(2)；
(3)存在，点的坐标为；
【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围；
（）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度；
（）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线解析式：
∵小球能达到的最高点的坐标为，
∴设抛物线顶点式，
由图可知抛物线过原点，代入得，
∴，
令，则，
解得：，
∴自变量的取值范围：；
即：抛物线解析式为，
直线解析式：
∵小球在斜坡上的落点的横坐标为，
设点代入抛物线，
得：，
∴，
把点代入斜坡直线，得，
∴，
∴直线解析式为，
∴自变量的取值范围：，
即：直线的函数解析式为；
（2）解：由（）得，
∴到的距离，
∵小球从点滑落到点需要秒，
∴平均速度，
∵与满足，
即，
∴，
即：，
∴，
∴；
（3）解：存在点，使得，
则满足：，
设点的坐标为，（）
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
整理，得，
令，则方程变为：，
去括号，合并同类项，得，
将代回，得，
整理，得，
，对应点，舍去；
，即：对应点，舍去；
，解得，
结合，，
∴代入抛物线解析式，得
，
∴点的坐标为．
题型04 用一次函数和反比例函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求当时，与之间的函数表达式．
(2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？
【答案】(1)
(2)张老师安排题目的时间段最长可持续分钟
【分析】本题考查一次函数与反比例函数解析式的求解与应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
（1）根据反比例函数模型，代入点求出即可得到函数表达式；
（2）先求出各分段的函数解析式，再分别令解出对应，结合题意判断有效解，最终算出注意力指数不低于的最长持续时间．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
由图象可知，当时，．
将代入，得．
故函数表达式为．
答：．
（2）解：当时，设，由函数过原点和，求得，
令，则，解得；
当时，设，由函数过，，
可得，
解得，
则解析式为，
令，则，解得；
当时，．令，则（，不在区间内，舍去）．
由图象可知，注意力指标数不低于的时间段从持续到．
故最长持续时间为（分钟）．
答：张老师安排题目的时间段最长可持续分钟．
【典例02】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中t的值；
(2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？
【答案】(1)
(2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
（1）求出反比例函数解析式进而得出t的值
（2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可．
【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为，
把点代入得：，
解得：，
∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为，
当时，，
∴；
（2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
所以当时，函数解析式为：，
∵，
当时， ，
即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
方法透视
考向解读 1. 分段函数：实际问题中不同范围自变量对应不同函数关系（一次或反比例），考查分段建模能力。 2. 方案对比：结合两种函数性质，比较函数值大小，选择最优方案或确定最佳策略。 3. 图象信息：从混合函数图象中读取数据（交点、转折点），分析实际意义解决相关问题。
方法技能 1. 分段处理：根据题意确定自变量分界点，各段分别设解析式，代入数据求系数。 2. 交点定界：求两函数图象交点横坐标，作为方案选择或范围划分的临界值。 3. 结合实际定范围：每段函数注意自变量取值范围，求最值或比较时只在有效范围内讨论。
变式演练
【变式01】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
(1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围．
(2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)能，理由见解析
【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用．
（1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式；
（2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能．
【详解】（1）解：把，代入得，
解得，
∴，
∵线段持续的时间恰为10分钟，
∴，
∴，
设反比例函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴曲线的函数表达式为；
（2）解：能，理由如下：
令，
解得，
令，
解得，
∵，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【变式02】（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 2 b 4 6 …
I/A … a 3 2.4 2 1.5 …
(1)______，______；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；
(3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ．
【答案】(1)4，3，
(2)①见解析；②不断减小；
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．
（1）由已知列出方程，即可求解，
（2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解，
（3）作函数的图象，根据图象，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：4，3，
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图
②由图象可知随着自变量的不断增大，函数值的不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）作函数的图象，如图2，
由函数图象可知，
当或时，，
即当时，的解集为：或，
故答案为：或．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理
素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．
素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．
(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数表达式；
(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．
（1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值；
（2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可；
（3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解．
【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式，
设，
将，代入解析式，得：，
解得，
，
当时，，
此时，
即总电阻的值为；
（2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为，
由（1）知时，，
，
关于总电阻的函数表达式为；
（3）解：，
，
随的增大而减小，
，
当时，取最小值，最小值为：，
此时取最小值，最小值为：，
，
随x的增大而减小，
取最小值2时，x取最大值，
令，解得，
即该电子秤所称物品质量的最大值为．
题型05 用一次函数和二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【答案】（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；
（2）当且 为整数时，；
当且 为整数时，；
当且 为整数时，；
（3）公司应将最低销售单价调整为2875元
【分析】（1）设件数为x，则销售单价为元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；
（2）由利润（销售单价成本单价）件数，及销售单价均不低于2800元，按，，多种情况列出函数关系式即可；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．
【详解】解：（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元，
由题意得：，解得：．
即商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：
当且 为整数时，，
当且 为整数时，，
当且 为整数时，；
（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，
所以y随x增大而增大，函数，均是y随x增大而增大，
而，
在时，y随x增大而增大，
由上述分析得x的取值范围为：时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为元，
答：公司应将最低销售单价调整为2875元．
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的一次函数关系式．
(2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？
【答案】(1)
(2)第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元
【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设该产品第天的销售额为元，根据题意，得，然后利用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设与的一次函数关系式为，
将和代入函数关系式，
得，解得，
与的一次函数关系式为．
（2）解：设该产品第天的销售额为元，根据题意，得，
．
抛物线的对称轴为，，
当时，随的增大而减小．
当时，销售额最大，此时该产品的单价为67元．
即第1天的销售额最大，此时该产品的单价是67元．
方法透视
考向解读 1. 分段建模：实际问题中不同阶段变量关系不同（如先匀速后抛物线），考查分段函数建模能力。 2. 最值对比：结合一次函数的增减性和二次函数的顶点最值，求实际问题中的最优解。 3. 交点意义：两函数图象交点对应两种方案效果相同时刻，用于方案选择或临界分析。
方法技能 1. 分段列式：根据题意划分自变量区间，分别设一次函数和二次函数解析式求解。 2. 顶点求最值：二次函数部分配方求最值，一次函数部分端点求最值，比较得整体最值。 3. 交点定临界：联立两函数求交点坐标，作为方案优劣划分的临界值分段讨论。
变式演练
【变式01】（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本．
(1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)22元
(2)销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元
【分析】本题考查了二次函数的销售利润问题，一元二次方程的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设，再结合当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本，得出，根据利润等于单价利润乘数量，进行列式计算，即可作答．
（2）根据利润等于单价利润乘数量，得，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设，
由题意得
解得 ，，
故，
∵文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润
∴
则，
∴
解得，
∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，
∴，
∴，
∴当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是元．
（2）解：依题意，
则开口方向向下，对称轴为直线，
故越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，
∴，
当时，
即销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元．
【变式02】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【答案】(1)
(2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元
(3)2
【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元，
∴
根据题意得：；
（2）解：设可获得利润为元．
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为2250，
答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元；
（3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．
∴该函数图象的对称轴为，
∵，
∴，
∵，
∴当时，W取得最大值，
∴，
∴（不合题意舍去），
∴．
【变式03】（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
场)
万元)
(1)求与之间满足的函数关系式；
(2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
(3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)且为正整数
(2)销售场次是第场
(3)第场获得的利润最大，最大利润为万元
【分析】本题是一次函数，二次函数的综合运用，理解题意并列出函数关系式是顺利解题的关键．
（1）根据第一场销售量及每场销售量的递减规律直接构建函数关系式；
（2）分两段建立销售单价与场次的函数模型，通过给定数据求解参数后，代入单价为15万元的条件求解对应场次，结合场次范围筛选有效解；
（3）依据利润公式分两段构建利润函数，利用二次函数的增减性和反比例函数的增减性分别求出两段的最大利润，比较后确定全场最大利润及对应场次，即可求解．
【详解】（1）解：依题意得，其中且为正整数
（2）解：设基本价为万元当时，
设与的函数关系式为
将，代入得
解得
，其中且为正整数
当时，设与的函数关系式为
将
代入得
解得
，其中且为正整数
当时，令
解得，因，不符合范围，舍去
当时，令
解得，
符合的范围
答：销售场次是第21场．
（3）解：设每场获得的利润为万元当时
，二次函数图象开口向下，对称轴为
又，在对称轴左侧，随的增大而增大
当时，取得最大值，（万元）
当时
，
在时，随的增大而减小
当时，取得最大值，（万元）
答：第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
题型06 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的函数关系式为，
当时，设y与x的函数关系式为，
，
解得，
即当时，y与x的函数关系式为，
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）解：设利润为w元，
当时，，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
当时，，
∴当时，w取得最大值，此时，
∵，
∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元，
答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶
②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱．
③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示：
售价（元/瓶）

④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ．
(1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式．
(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由．
(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
【答案】(1)；
(2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大
(3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元
【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题；
（1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解．
【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱
∴，，
根据信息③可得与售价的乘积相等，设，
代入得，，
∴，，
（2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下，
依题意，，
∴
∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大；
（3）解：依题意，
当该矿泉水需求量与供给量相等时，
解得：（舍去）
当时，，
，解得：，
总利润为（元）
答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元
方法透视
考向解读 1. 分段函数综合：实际问题中不同阶段变量关系不同（一次、反比例、二次），考查分段建模与综合分析能力。 2. 多方案决策：结合三种函数性质，比较不同方案函数值大小，选择最优策略或确定最佳时机。 3. 图象信息提取：从复杂函数图象中读取关键点（交点、转折点、顶点），分析实际意义解决问题。
方法技能 1. 分段列式求解：根据题意划分自变量区间，分别设相应函数解析式，代入数据求系数。 2. 关键点分析：求各段函数交点、顶点、端点坐标，作为方案选择或范围划分的依据。 3. 综合比较定最优：在各自有效范围内求最值，比较所有可能取值确定实际问题的最优解。
变式演练
【变式01】（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯．
信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯；
素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨；
素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示：
建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________；
问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）；
（3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数．
【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式；
（2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可；
（3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可．
【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数，
设y与x之间的函数关系式为：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：一次；；
（2）设销售总额为元，由题意，得
，
根据题意，且，
所以．
因为，
所以有最大值，
当时，销售总额最大
答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期；
（3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得
，
根据题意，且，
所以，
因为，
所以有最大值，
由题意，得当时，
，
因为，
所以，
解得，，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去），
所以，，，
答：的值是400，相应的存储星期数为6星期．
【变式02】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1)，能
(2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·安徽·一模）如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度y与用到的丝带数量x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键．
【详解】解：根据题意和所给示意图得：；
故选：D．
2．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断．
【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点，
设二次函数解析式为，
代入，得：
解得，
∴，
由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误；
②二次函数解析式为，说法正确；
③矩形面积最大时，，说法错误；
④当时，矩形面积取最大值，
∴，
∴，说法正确．
所以，说法正确的是②④，共2个，
故选：B．
3．（2025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的阻值为
B．当托盘上货物的质量为时，
C．在一定范围内，随的增大而减小
D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的应用．
根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D．
【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确；
当托盘上货物的质量为时，令，，
观察图象可知当时，在和之间，
故选项B说法错误，符合题意；
在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确；
当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即，
解得：，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确；
故选：B．
二、填空题
4．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟．
【答案】
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线和曲线的解析式，分别求解当时，对应的x值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间．
【详解】解：设直线解析式为：，则，
解得：，
∴温度上升段（）的解析式为：，
当时，即，
解得；
设反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
故温度下降段（段）函数表达式：
当时，即，
解得；
则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为（分钟），
故答案为：．
5．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．

【答案】6
【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴，
∵顶点到的距离是1.08分米，
∴点的纵坐标为，
当时，，
∴、两点之间的距离是（分米）；
故答案为：6．
6．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______．
汽车在行驶途中停留了小时；
汽车在整个行驶过程的平均速度是；
汽车共行驶了；
汽车出发离出发地．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可．
【详解】，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确；
总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确；
汽车共行驶了，结论错误；
汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确．
故答案为：．
三、解答题
7．（2026·陕西西安·一模）小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度）
A家用充电 3500 0.5
B公用充电 0 1.2
(1)请分别求出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式与（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；
(2)已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)A方案家用充电更合算
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）分别求出两种方案的费用即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
；
（2）解：方案A费用：（元）；
方案B费用：（元），
所以，A方案家用充电更合算．
8．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案．
【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元
(2)当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设B型设备的单价为a元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台，列出方程求解即可；
（2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半，列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元，
根据题意得：
解得．
经检验∶ 是原方程的解且符合题意．
此时
答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元．
（2）解：根据题意得，
解得，
由题意得：
∵，
∴w随x的增大而增大
∴当时，w取得最小值，最小值为12800，
答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元．
9．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度
(2)直线的函数表达式
(3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为
【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义．
（1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度；
（2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式；
（3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可．
【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120，
为乙车的函数关系，则，
点为甲车事前停留位置，则，
故甲车的平均速度，乙车的平均速度；
（2）解：由图可知点，
∵甲车途中有事保留了0.5小时．
∴点，
设直线的函数表达式，则
，
解得，
∴直线的函数表达式；
（3）解：由图可知点，，
设直线的函数表达式，则
，解得，
∴直线的函数表达式，
联立，
解得，
则乙车出发小时后两车相遇，
相遇时乙车离A地的距离为．
10．（2026·湖北·模拟预测）某店铺销售一批文创产品毛绒玩具，每件毛绒玩具进价元，规定销售单价不低于元，且单件利润不高于，经市场调查发现，该毛绒玩具每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件售价/元 … 70 …
周销售量/件 … 300 …
(1)求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)将毛绒玩具销售单价定为多少元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)当毛绒玩具销售单价是多少元时，商店每周销售毛绒玩具获利元？
【答案】(1)
(2)元，元
(3)元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，根据已知条件求出函数解析式，再结合函数性质求解．
（）利用待定系数法求解可得；
（）根据所获得总利润(售价进价)销售量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．因为，所以二次函数图象开口向 下，在对称轴处取得最大值， 又因，所以当时，有最大值，最大值为元；
（）根据（）即可解答．
【详解】（1）解：设与之间的函数解析式，
将代入，可得方程组：
∴与之间的函数解析式．
已知每件毛绒玩具进价是元，且单件利润不高于，则售价满足，
又规定销售单价不低于元所以自变量的取值范围是，
∴与之间的函数解析式．
（2）根据题意，得
，
∵，
∴当时，有最大值为，
∴将毛绒玩具销售单价定为元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大，最大利润是元．
（3）令，
解得(不合题意，舍去)．
∴当毛绒玩具销售单价是元时，每周销售毛绒玩具获利元．
11．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．
(1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；
(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：
位置 视力值V a的值（）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2 3.5
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？
【答案】(1)1.2
(2)①；②该行对应的视力值是
【分析】本题考查反比例函数的应用，轴对称的性质，关键是由题意得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
（1）由轴对称的性质即可得到答案．
（2）①由视力值V与字母宽度a的乘积是定值，得到视力值V与字母宽度a成反比例函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式．②把，代入，即可得到答案．
【详解】（1）解：（米），
∴测试线应画在距离墙的米处；
（2）解：①∵视力值V与字母宽度a的乘积是定值7，
∴视力值V与字母宽度a成反比例函数关系．
设，
把，代入得到，
∴视力值V与字母宽度a的函数关系是，
②把，代入，得，
∴该行对应的视力值是．
12．（2025·内蒙古包头·三模）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
时间 5 10 15 20 25 …
水量 18 33 48 a 78 …
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
(1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值；
(2)应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．
【答案】(1)能准确的反映水量与时间的函数关系，
(2)72天
【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键．
（1）根据表格中数据特点进行分析，即可得到水量与时间的函数关系，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）先算出时间，再将时间代入（1）中与的函数关系式中求解得到一个月的漏水量，进而求出饮用的天数，即可解题．
【详解】（1）解：，，，
不能准确的反映水量与时间的函数关系，
能准确的反映水量与时间的函数关系，
根据表中数据有，
解得，
；
（2）解：（），
当时，，
当时，，
（天），
答：可供一位成年人饮用天．
13．（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．
【答案】(1)
(2)的长为4米，的长为2米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图②，
所在直线是的垂直平分线，且，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）解：点在抛物线上，
设点的坐标为，
，交轴于点，
，
，
在中，，
，
.，根据题意，得，
，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
答：的长为4米，的长为2米．
14．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
【答案】(1)函数表达式为
(2)
(3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可；
（3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为，
由表格得：，
解得：，
∴函数表达式为；
（2）解：由题意得，设，
∴小树顶端点的坐标为，
将其代入得，，
解得：，
∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：设铅直高度为，由题意得，
∴；
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
15．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)建立平面直角坐标系如图，
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数是解题的关键．
（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为，求出坐标，再由待定系数法求直线的解析式；
（3）根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标．
【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，
平移后的解析式为，
当时，，
，
，
平移后，
设直线的解析式为，
，
解得
；
（3）解：根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为，
，杯子的高度（即，之间的距离）为．
，，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
∵，
，
，
，
．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题20 实际应用问题（一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 用一次函数解决实际问题
题型02 用反比例函数解决实际问题
题型03 用二次函数解决实际问题
题型04 用一次函数和反比例函数解决实际问题
题型05 用一次函数和二次函数解决实际问题
题型06 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 用一次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？
【典例02】（2026·陕西西安·二模）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为．
(1)写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式；
(2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（行程、工程、方案选择）抽象为一次函数模型，确定解析式。 2. 方案决策：结合一次函数性质，通过比较函数值大小，选择最优方案或确定最佳策略。 3. 图象信息：从函数图象中读取数据（起点、交点、拐点），分析实际意义解决相关问题。
方法技能 1. 审题建模：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，注意自变量取值范围。 2. 图象辅助：画出函数图象草图，标出关键点坐标，直观分析函数变化趋势。 3. 比较定方案：方案选择问题中，先求交点对应的值，再分段讨论不同范围内函数值大小确定最优解。
变式演练
【变式01】（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求的值；
(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？
【变式01】（2026·山东滨州·一模）某品牌太阳能热水器水箱为圆柱形，底面积为，高为．在晴朗天气下，不考虑其他因素，将水注至最大高度时，水的初始温度为，某时间段内日照使水温近似匀速上升，平均每小时水温升高．已知每立方米水升温可吸收 焦耳热量．假设水箱保温良好，忽略蒸发与散热损失，且日照时间充足．
(1)请写出水温与日照时间之间的关系式；
(2)在现实条件下，水温达到时系统会启动保护停止加热，且一天有效日照时间不超过小时．请求出时间t的实际取值范围；
(3)求日照小时后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量．
【变式02】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在一条平坦笔直的道路上依次有、、三地，甲车先从地向地匀速行驶，小时后，乙车从地出发，先匀速行驶到地，装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米/时，匀速行驶到地，结果比甲车晚半小时到达目的地．甲、乙两车距各自出发地的路程（单位：千米），（单位：千米）与甲车的行驶时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
(1)的值______；的值______；甲车的速度为______千米/时；
(2)求乙车减速前的速度，及图象中线段的函数解析式；
(3)直接写出乙车出发多少小时与甲车相距千米．
题型02 用反比例函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2025·广东汕头·三模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示．
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？
(2)若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【典例02】（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．
(1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式．
(2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（行程、工程、物理公式）抽象为反比例函数模型，确定解析式。 2. 图象信息：从反比例函数图象中读取数据（点坐标、变化趋势），分析实际意义解决相关问题。 3. 取值范围：结合实际情境确定自变量取值范围，求对应的函数值范围或最值问题。
方法技能 1. 审题找等量：确定两个变量乘积为定值，设解析式y= ，代入已知点求k。 2. 图象分析：画出双曲线一支，标出关键点，根据图象增减性分析变量变化关系。 3. 结合实际定范围：根据实际问题中变量的限制（如长度为正数、时间非负），确定自变量取值范围再求解。
变式演练
【变式01】（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题．
(1)该容器内氧气的质量为______．
(2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式．
(3)若该容器的体积为，求氧气的密度．
【变式02】（2025·广东东莞·三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上．
(1)求段滑梯所在的双曲线的解析式不需写出的取值范围；
(2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离；
(3)若要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到的距离不超过米，求点到水面的距离至少多少米？
【变式03】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】
如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体．
(1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．
(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则：
①关于的函数解析式是____________．
②完成下表：
… 10 20 30 40 50 …
… 8 a 2 b …
_______；______．
③在图的直角坐标系中画出该函数的图象．
题型03 用二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·陕西西安·一模）青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长．
【典例03】（2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
方法透视
考向解读 1. 建模应用：主要考查将实际问题（面积最值、利润问题、抛物线型桥梁）抽象为二次函数模型，确定解析式。 2. 最值问题：结合二次函数顶点坐标，求实际问题中的最大值或最小值，注意自变量取值范围。 3. 抛物线型问题：如拱桥、喷泉、投篮轨迹，建立坐标系求解析式，计算高度、水平距离等。
方法技能 1. 审题建坐标系：抛物线型问题先建立合适平面直角坐标系，设顶点式或一般式求解析式。 2. 配方法求最值：利润、面积问题列出二次函数后配方或直接用顶点公式求最值。 3. 检验合理性：求出结果后结合实际意义检验（如长度应为正数、取值是否在范围内）。
变式演练
【变式01】（2026·河南周口·一模）数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的处有一棵古树与墙的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设．
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．设矩形的面积为．
(1)的长为___________；（用含的代数式表示）
(2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
(3)求当为何值时，花园面积最大，最大值为多少．
【变式02】（2026·山西长治·一模）消防喷头用于消防喷淋系统，当发生火灾时，水通过喷头溅水盘洒出，进行灭火，这是酒店等公共场所必备的消防器材，其型号分为下垂型喷头和直立型喷头，其中直立型喷头洒水形状为抛物线型，其截面为对称的抛物线，水落在地面上的形状为圆．
(1)如图2，矩形是一房间截面示意图，房间的长度和宽度都为，即，的中点为点O，点O正上方有一个消防喷头，点A为喷头的溅水盘（即出水口），以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，点A喷出水的轨迹为对称的抛物线与，在C点处达到最高点，此时点C到地面的距离为，到y轴距离为．
①求抛物线的函数表达式．
②求该喷头覆盖的灭火面积．（结果保留）
(2)如图3所示，由于一个喷头不能覆盖整个，现需要再增加一个同样的喷头，K为的中点，，为消防喷头，，关于K对称，若使两个喷头无死角的覆盖整个线段，请直接写出的长度范围．
【变式03】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为．
(1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围．
(2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度)
(3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
题型04 用一次函数和反比例函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求当时，与之间的函数表达式．
(2)张老师安排了一道课堂探究题，要求学生注意力指标数不低于才能高效完成．请问张老师安排这道题的时间段最长可以持续多少分钟？
【典例02】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求图中t的值；
(2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？
方法透视
考向解读 1. 分段函数：实际问题中不同范围自变量对应不同函数关系（一次或反比例），考查分段建模能力。 2. 方案对比：结合两种函数性质，比较函数值大小，选择最优方案或确定最佳策略。 3. 图象信息：从混合函数图象中读取数据（交点、转折点），分析实际意义解决相关问题。
方法技能 1. 分段处理：根据题意确定自变量分界点，各段分别设解析式，代入数据求系数。 2. 交点定界：求两函数图象交点横坐标，作为方案选择或范围划分的临界值。 3. 结合实际定范围：每段函数注意自变量取值范围，求最值或比较时只在有效范围内讨论。
变式演练
【变式01】（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分．
(1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围．
(2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由．
【变式02】（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 2 b 4 6 …
I/A … a 3 2.4 2 1.5 …
(1)______，______；
(2)根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；
(3)在（2）的坐标系中画出的图象，结合函数图象，直接写出当时，的解集为 ．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理
素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．
素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．
(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数表达式；
(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值．
题型05 用一次函数和二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
【典例02】（2025·江苏连云港·模拟预测）某商家计划在暑期销售一款非遗文创产品，根据市场分析，该产品的单价将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）天的单价为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的一次函数关系式．
(2)设该产品在第天的销售数量为，与的关系可以用 来描述．那么，哪天的销售额最大？此时该产品的单价是多少元？
方法透视
考向解读 1. 分段建模：实际问题中不同阶段变量关系不同（如先匀速后抛物线），考查分段函数建模能力。 2. 最值对比：结合一次函数的增减性和二次函数的顶点最值，求实际问题中的最优解。 3. 交点意义：两函数图象交点对应两种方案效果相同时刻，用于方案选择或临界分析。
方法技能 1. 分段列式：根据题意划分自变量区间，分别设一次函数和二次函数解析式求解。 2. 顶点求最值：二次函数部分配方求最值，一次函数部分端点求最值，比较得整体最值。 3. 交点定临界：联立两函数求交点坐标，作为方案优劣划分的临界值分段讨论。
变式演练
【变式01】（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本．
(1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【变式02】（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
【变式03】（2026·河北沧州·一模）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行30场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息：
信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场～第20场浮动价与销售场次成正比，第21场～第30场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据：
场)
万元)
(1)求与之间满足的函数关系式；
(2)当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
(3)在这场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
题型06 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
典例引领
【典例01】（24-25九年级上·广东江门·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：
①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶
②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱．
③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示：
售价（元/瓶）

④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ．
(1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式．
(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由．
(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润．
方法透视
考向解读 1. 分段函数综合：实际问题中不同阶段变量关系不同（一次、反比例、二次），考查分段建模与综合分析能力。 2. 多方案决策：结合三种函数性质，比较不同方案函数值大小，选择最优策略或确定最佳时机。 3. 图象信息提取：从复杂函数图象中读取关键点（交点、转折点、顶点），分析实际意义解决问题。
方法技能 1. 分段列式求解：根据题意划分自变量区间，分别设相应函数解析式，代入数据求系数。 2. 关键点分析：求各段函数交点、顶点、端点坐标，作为方案选择或范围划分的依据。 3. 综合比较定最优：在各自有效范围内求最值，比较所有可能取值确定实际问题的最优解。
变式演练
【变式01】（2025·山西太原·一模）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯．
信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯；
素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨；
素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示：
建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________；
问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）；
（3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数．
【变式02】（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·安徽·一模）如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度y与用到的丝带数量x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津和平·一模）如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的阻值为
B．当托盘上货物的质量为时，
C．在一定范围内，随的增大而减小
D．因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
二、填空题
4．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到时自动停止加热，随后水温逐渐下降，根据此过程绘制了水温y（单位：）随时间x（单位：）变化的大致图象（由线段与双曲线一部分组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在以上的时间为________分钟．
5．（2026·上海松江·一模）如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．

6．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是______．
汽车在行驶途中停留了小时；
汽车在整个行驶过程的平均速度是；
汽车共行驶了；
汽车出发离出发地．
三、解答题
7．（2026·陕西西安·一模）小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案 一次性安装费用（元） 电费（元/度）
A家用充电 3500 0.5
B公用充电 0 1.2
(1)请分别求出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式与（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；
(2)已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．
8．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．
(1)求A、B型设备单价分别是多少元；
(2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案．
9．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
10．（2026·湖北·模拟预测）某店铺销售一批文创产品毛绒玩具，每件毛绒玩具进价元，规定销售单价不低于元，且单件利润不高于，经市场调查发现，该毛绒玩具每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件售价/元 … 70 …
周销售量/件 … 300 …
(1)求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)将毛绒玩具销售单价定为多少元时，该商店每周销售毛绒玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？
(3)当毛绒玩具销售单价是多少元时，商店每周销售毛绒玩具获利元？
11．（2025·广东广州·二模）综合与实践：课题小空间检测视力问题
具体情境：对某班学生视力进行检测的任务；
现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为3.8米，宽为3.6米的空书房．
(1)如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离______米处；
(2)小明选择按比例制作视力表完成该任务，在制作过程中发现视力表上视力值V和该行字母E的宽度a之间的关系是一种函数模型，字母E的宽度a如上中图所示，视力表上部分视力值V和字母E的宽度a的部分对应数据如左下表所示：
位置 视力值V a的值（）
第1行 0.1 70
第5行 0.25 28
第8行 0.5 14
第14行 2 3.5
①根据表格数据判断，从一次函数、反比例函数中选择一个合适的函数模型拟合视力值V与字母E的宽度a（说明理由），并求出视力值V与字母E宽度a之间的函数关系式；
②小明在制作过程中发现某行字母E的宽度a的值，请问该行对应的视力值是多少？
12．（2025·内蒙古包头·三模）水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
时间 5 10 15 20 25 …
水量 18 33 48 a 78 …
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据．
(1)探究：根据图表中的数据，请判断和（，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间x的函数关系？请求出该解析式并写出漏记的a值；
(2)应用：成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用的天数．
13．（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．
14．（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
15．（2025·广东深圳·三模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过、两点放一根吸管，求吸管所在直线的解析式；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3）．请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标．
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