资源简介

专题02 方程与不等式分类解法
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二元一次方程组的解法
题型02 二元一次方程组中含参数问题
题型03 一元二次方程的解法
题型04 一元二次方程中含参数问题
题型05 分式方程的解法
题型06 分式方程中含参数问题
题型07 不等式（组）的解法
题型08实数与数轴的综合应用
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二元一次方程组的解法
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴方程的解为．
【典例02】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：原方程组可化为，
即，
得，，
解得：．
得，，
解得：．
所以原方程组的解为．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查代入消元法和加减消元法，要求学生能够根据方程组特点灵活选择方法求解。 2. 含参方程组：常考已知方程组的解满足某种关系（如互为相反数、和为定值），求参数的值，考查方程思想。 3. 同解问题：两个方程组有相同的解，或解满足另一个方程，通过建立联系求解未知系数。 4. 实际应用：常结合实际问题（如行程、分配问题）列方程组，考查建模能力和运算准确性。
方法技能 1. 观察定法：若某个未知数系数简单或为1，优先用代入法；若同一未知数系数绝对值相等或成倍数，优先用加减法。 2. 化简先行：解方程组前先将方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式 \(ax+by=c\)，避免后续运算出错。 3. 整体代入：当方程组中出现相同代数式时，可将其视为整体代入，简化计算过程。 4. 验算保分：解完后将结果代入原方程组检验，确保满足所有方程，避免计算失误丢分。
变式演练
【变式01】（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，，解得，再把代入①求出即可.
【详解】解：
①×3＋②得，
解得，
把代入①得，
解得
∴
【变式02】（2024·广西·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入①得：
，
∴方程组的解为：.
【变式03】（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）解：①+②，得，
．
将代入②，得，
．
所以原方程组的解是．
题型02 二元一次方程组中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得，结合，即可求解．
【详解】解：方程组的两个方程相加，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【典例02】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
则．
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 解的关系定参：已知方程组的解满足某种条件（如互为相反数、满足某个二元一次方程），通过代入或构造方程求参数值。 2. 同解方程问题：两个方程组有相同的解，或方程组解与另一个方程同解，建立联系求解参数。 3. 解的符号讨论：结合字母系数讨论解的正负性、整数解问题，考查分类讨论思想。 4. 错解复原类：给出看错系数得到的错误解，利用解的定义反推原方程组或参数值。
方法技能 1. 解代入法：若知道解的关系，先解方程组（用参数表示解），再代入条件列方程求解参数。 2. 整体构造法：对于同解问题，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数。 3. 解的定义应用：对于错解问题，将错误解代入看错的方程，正确解代入原方程，列方程组求参数。 4. 消参简化：遇到多个参数时，先消去未知数得到参数关系式，再结合条件逐个求解。
变式演练
【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，关键是能得出关于的不等式组．①②求出，根据已知得出不等式，求出即可．
【详解】解：，
②得：，
，
关于x，y的方程组的解满足，
，
．
的取值范围为：．
故选：B．
【变式02】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
【答案】3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，弄清方程组与方程组解满足条件的关系成为解题的关键．
两式相减可得，再结合方程组解的条件结合，据此列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：，
可得：
∵，
∴，解得：．
故答案为：3．
题型03 一元二次方程的解法
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，
【典例02】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
先移项，再用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
，
或，
解得：或，
∴原方程的根为：，．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，要求学生根据方程特征灵活选择最优解法。 2. 判别式应用：常考利用根的判别式△ = b2 - 4ac判断根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 3. 根与系数关系：结合韦达定理（x1+x2=，x1x2=）求相关代数式的值。 4. 实际应用：常与增长率问题、面积问题、动态几何结合，考查建模能力和解的合理性检验。
方法技能 1. 观察选法：缺常数项或可因式分解的优先用因式分解法；缺一次项用直接开平方法；一般形式且系数简单用公式法。 2. 公式法规范：用公式法时先将方程化为一般式，准确找出a, b, c的值，计算△后再代入求根公式。 3. 配方熟练：配方法关键是二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，注意等式两边同时加。 4. 验根不可少：求出解后代入原方程检验，特别在实际问题中要舍去不符合实际意义的根。
变式演练
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）利用配方法求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1），
移项，得，
配方，得，即，
开平方，得，
解得，
即，
（2）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
因此该不等式组的解集为：．
【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法．
（1）把方程化为，再进一步解方程即可．
（2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：（1），
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
（2），
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为．
【变式03】（2026·江苏南京·一模）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)无实数解
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可．
（2）先移项，再利用因式分解法即可求解．
（3）利用根的判别式可确定该方程无实数解．
【详解】（1）解：，
，
，
∴，；
（2）解：，
整理得，
因式分解得，
∴，，
∴；
（3）解：，
整理得，
，，，
∵，
∴该方程无实数解．
题型04 一元二次方程中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】根据题意得，，
解得，
故答案为：．
【典例02】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 判别式定参：已知方程根的情况（有两个实根、无实根、有实数根），利用△ 0或△< 0 求参数取值范围。 2. 根与系数关系：已知两根满足某种关系（如互为相反数、倒数、平方和等），结合韦达定理构造方程求参数值。 3. 解的定义应用：已知方程的一个根或方程的解满足某个条件，直接代入原方程求参数。 4. 几何背景结合：常与三角形边长、面积等问题结合，需考虑根的合理性及隐含条件（如边长正数）。
方法技能 1. 判别式先行：凡是涉及实数根的问题，首先考虑△ 0 这一前提条件，再结合其他要求求解参数。 2. 韦达定理整体代入：遇到两根对称式（如x12+x22、 + ），用韦达定理整体表示后代入计算。 3. 分类讨论全面：当二次项系数含参时，需分情况讨论（系数为零时是否为一元一次方程，系数不为零时为一元二次方程）。 4. 检验不可遗漏：求出参数后，务必验证是否满足原方程成立条件及实际问题中的隐含限制。
变式演练
【变式01】（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
【变式02】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
【变式03】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
题型05 分式方程的解法
典例引领
【典例01】（2025·陕西·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
利用解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：
，
．
经检验，是原方程的解．
【典例02】（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】解：
两边同乘以，得，
去括号，得，
移项并合并同类项，得，
解得，
检验：当时，，
故原分式方程的解是．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查去分母法将分式方程转化为整式方程求解，要求学生准确找到最简公分母。 2. 增根问题：常考增根产生的原因（使最简公分母为零），以及已知方程有增根或无解时求参数的值。 3. 验根必要性：强调解分式方程必须验根，将整式方程的解代入最简公分母检验是否为增根。 4. 实际应用：常与工程问题、行程问题结合，列分式方程解决实际问题，检验解的合理性。
方法技能 1. 找准最简公分母：先将各分母因式分解，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 2. 去分母要全面：方程两边同时乘以最简公分母，注意常数项也要乘，避免漏乘出错。 3. 验根步骤规范：解出整式方程后，务必代入最简公分母检验，若分母为零则为增根需舍去。 4. 无解问题分类：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解或整式方程的解均为增根，需分类讨论。
变式演练
【变式01】（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【变式02】（2025·上海·中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方差两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∴，
∴或，
解得或，
检验，当时，，此时是原方程的增根，
当时，，此时是原方程的解，
∴原方程的解为．
【变式03】（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【答案】见解析
【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验．
先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可．
【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立；
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
，
，
解得：，
经检验，是增根，
∴原方程无解．
题型06 分式方程中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则______．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键．
根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案．
【详解】解：，
去分母：方程两边同时乘以，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由，，
，
，
故答案为：．
【典例02】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：，
化简得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或，
解得：或（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 增根定参：已知分式方程有增根，令最简公分母为零求出增根，代入去分母后的整式方程求参数值。 2. 无解问题：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解，或整式方程的解均是增根，需分类讨论求参数范围。 3. 解的范围定参：已知分式方程的解为正数、负数或非负数，先解方程用参数表示解，再结合解的范围及增根条件列不等式组求解。 4. 解的符号讨论：常结合参数讨论解的符号，考查学生综合考虑方程有解、解非增根、解满足符号要求的能力。
方法技能 1. 增根必代回：遇到增根问题，先由最简公分母为零确定增根可能值，再代入去分母后的整式方程求参数。 2. 无解双情况：分析无解问题时，既要考虑整式方程无解（如0x=k且k≠0），也要考虑整式方程的解使公分母为零。 3. 解的范围需双检：当解满足某范围（如为正数）时，求出参数范围后，必须剔除使解为增根的参数值。 4. 最简公分母先分解：无论何种题型，先将分母因式分解，准确找出最简公分母是正确解题的前提。
变式演练
【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【变式02】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【答案】且
【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
【答案】16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，
，
解得，
解方程，得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
题型07 不等式（组）的解法
典例引领
【典例01】（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键．
将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为1得：
原不等式的解集在数轴上表示如解图．
【典例02】（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，在数轴上表示见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解为．
在数轴上表示为：
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查一元一次不等式（组）的求解，要求学生熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 2. 数轴表示：常考在数轴上表示不等式的解集，要求能够准确判断空心点与实心点的使用，以及不等式组解集的公共部分。 3. 整数解问题：已知不等式（组）的解集，求满足条件的整数解，或根据整数解的个数确定参数的取值范围。 4. 实际应用：常与方案设计、最值问题结合，列不等式解决实际问题，考查建模能力。
方法技能 1. 系数化1要变号：解不等式时，当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，这是易错点。 2. 数轴辅助定解集：解不等式组时，借助数轴画出各不等式的解集，直观找出公共部分，避免出错。 3. 整数解边界检验：求整数解个数确定参数范围时，需验证边界值是否满足条件，常采用“取整代入法”检验。 4. 实际问题取整：解决实际问题时，若结果为不等式，需结合实际情况取符合题意的整数解（如人数、车辆数）。
变式演练
【变式01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为：，0，1，2，3．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得
原不等式组的解集是
整数解为，0，1，2，3
【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】；；；见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
【详解】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；
【变式03】（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解分式方程．
【答案】（1），数轴表示见解析；（2）
【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键；
（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可；
（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案．
【详解】解：（1），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）
去分母，得，
解得：，
经检验：是原方程的解，
所以原方程的解是．
题型08 不等式（组）中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．
先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
∴．
故答案为：
【典例02】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 解集定参：已知不等式（组）的解集，利用数轴表示解集，根据解集的端点关系确定参数的取值或范围。 2. 整数解个数定参：已知不等式组有有限个整数解，根据整数解的个数反推参数的取值范围，常需结合数轴分析端点取舍。 3. 有解无解问题：判断含参不等式组是否有解，或已知有解、无解求参数范围，考查数形结合思想。 4. 解与方程结合：常与方程的解结合，如方程的解满足某不等式，或不等式解集与方程解的关系，综合考查。
方法技能 1. 数轴分析端点：遇到含参不等式组，先在数轴上表示已知不等式的解集，移动参数界点分析公共部分变化。 2. 边界值要检验：确定参数范围时，对临界值需单独检验是否满足题意，常采用“等号代入验证法”。 3. 整数解画图法：求整数解个数时，在数轴上标出整数点，根据解集包含哪些整数点反推参数范围。 4. 分类讨论思想：当参数系数含未知数时，需分正负讨论不等号方向，避免漏解或错解。
变式演练
【变式01】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得，
故答案为：．
【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵
∴关于a的不等式组即
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为，
∴
解得：
故答案为：．
【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
解分式方程得，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴且是整数且，
∴且且a是偶数，
∴且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得：，
∴k的取值范围且，
故选：B．
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围．
【详解】解：两边同乘公分母得：，
展开整理得：，
解得：；
由题意，解，即：，
由于分子为负，分母需为正，
故，即；
当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除；
当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除；
综上，需满足且，
故选：B．
3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
【答案】B
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：，
∵关于x的不等式组至少有两个正整数解
∴不等式组的解集为．
∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数．
当时，解集包含，
此时．
分式方程化简为：，
解得．
要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，
即为大于等于6的偶数．
∵，
∴或8，
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件．
则所有满足条件的整数之和为，
故选：B．
二、填空题
4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
故答案为：．
5．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______．
【答案】6或
【分析】本题考查了解分式方程．
将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得，
整理得，
即，
∵增根是使公分母为零的x值，
∴，
解得：，
当时，；
当时，；
则的值为6或．
故答案为：6或．
6．（2026·四川雅安·二模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】2024
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据根与系数的关系求出的值，最后将所求式子变形后代入计算即可．
【详解】解：因为是方程的实数根，所以将代入方程得：
，
移项得，
又因为，是方程的两个实数根，
∴，
∴
，
．
三、解答题
7．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：原方程移项得，
配方得，
由此可得，
解得．
8．（2026·陕西西安·二模）解方程：．
【答案】
【详解】解：
方程两边同时乘，得：，
解得： ．
检验：当时，，
是原分式方程的解．
9．（2026·甘肃·模拟预测）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集然后在数轴上表示即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
10．（2026·重庆·模拟预测）求不等式组所有整数解的积．
【答案】0
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解是：，
∴，
∴不等式组的所有整数解的积为0．
11．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二元一次方程组，掌握相应的运算法则是关键．
（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，．
（2）①+②得：，解得．
把代入①得：，解得．
方程组的解为．
12．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
（1）先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可：
（2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：
（2）方程两边都乘以得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
13．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：；
（2）若关于x的方程无解，则a的值是 ．
【答案】（1）；（2）2
【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键．
（1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可；
（2）根据分式方程无解的情况进行分析即可．
【详解】解：（1）
去分母得到，
解得，
当时，，
∴是分式方程的解；
（2）∵，
方程两边同时乘以，得
，
∴；
当时，无解，即关于的方程无解，
当时，，
∵原分式方程无解，
∴，
此时无解，
∴a的值是
故答案为：
14．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
15．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
【答案】或1或2
【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】原方程是分式方程，
且，
两边同时乘以得：，
，
方程只有一个实数解，
若原分式方程有解，
，
解得：，
，
解得：，符合题意；
若原分式方程有增根，则或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或1或2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 方程与不等式分类解法
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二元一次方程组的解法
题型02 二元一次方程组中含参数问题
题型03 一元二次方程的解法
题型04 一元二次方程中含参数问题
题型05 分式方程的解法
题型06 分式方程中含参数问题
题型07 不等式（组）的解法
题型08实数与数轴的综合应用
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二元一次方程组的解法
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【典例02】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查代入消元法和加减消元法，要求学生能够根据方程组特点灵活选择方法求解。 2. 含参方程组：常考已知方程组的解满足某种关系（如互为相反数、和为定值），求参数的值，考查方程思想。 3. 同解问题：两个方程组有相同的解，或解满足另一个方程，通过建立联系求解未知系数。 4. 实际应用：常结合实际问题（如行程、分配问题）列方程组，考查建模能力和运算准确性。
方法技能 1. 观察定法：若某个未知数系数简单或为1，优先用代入法；若同一未知数系数绝对值相等或成倍数，优先用加减法。 2. 化简先行：解方程组前先将方程去分母、去括号、移项合并，化为标准形式 \(ax+by=c\)，避免后续运算出错。 3. 整体代入：当方程组中出现相同代数式时，可将其视为整体代入，简化计算过程。 4. 验算保分：解完后将结果代入原方程组检验，确保满足所有方程，避免计算失误丢分。
变式演练
【变式01】（2024·浙江·中考真题）解方程组：
【变式02】（2024·广西·中考真题）解方程组：
【变式03】（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
题型02 二元一次方程组中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知关于x、y的方程组，若，则m的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【典例02】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
方法透视
考向解读 1. 解的关系定参：已知方程组的解满足某种条件（如互为相反数、满足某个二元一次方程），通过代入或构造方程求参数值。 2. 同解方程问题：两个方程组有相同的解，或方程组解与另一个方程同解，建立联系求解参数。 3. 解的符号讨论：结合字母系数讨论解的正负性、整数解问题，考查分类讨论思想。 4. 错解复原类：给出看错系数得到的错误解，利用解的定义反推原方程组或参数值。
方法技能 1. 解代入法：若知道解的关系，先解方程组（用参数表示解），再代入条件列方程求解参数。 2. 整体构造法：对于同解问题，先联立不含参数的方程求出公共解，再代入含参方程求参数。 3. 解的定义应用：对于错解问题，将错误解代入看错的方程，正确解代入原方程，列方程组求参数。 4. 消参简化：遇到多个参数时，先消去未知数得到参数关系式，再结合条件逐个求解。
变式演练
【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·四川南充·三模）若关于，的方程组的解满足，则的值为_____．
题型03 一元二次方程的解法
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【典例02】（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，要求学生根据方程特征灵活选择最优解法。 2. 判别式应用：常考利用根的判别式△ = b2 - 4ac判断根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 3. 根与系数关系：结合韦达定理（x1+x2=，x1x2=）求相关代数式的值。 4. 实际应用：常与增长率问题、面积问题、动态几何结合，考查建模能力和解的合理性检验。
方法技能 1. 观察选法：缺常数项或可因式分解的优先用因式分解法；缺一次项用直接开平方法；一般形式且系数简单用公式法。 2. 公式法规范：用公式法时先将方程化为一般式，准确找出a, b, c的值，计算△后再代入求根公式。 3. 配方熟练：配方法关键是二次项系数化为1，加上一次项系数一半的平方，注意等式两边同时加。 4. 验根不可少：求出解后代入原方程检验，特别在实际问题中要舍去不符合实际意义的根。
变式演练
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组
【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【变式03】（2026·江苏南京·一模）解方程：
(1)
(2)
(3)
题型04 一元二次方程中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
【典例02】（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
方法透视
考向解读 1. 判别式定参：已知方程根的情况（有两个实根、无实根、有实数根），利用△ 0或△< 0 求参数取值范围。 2. 根与系数关系：已知两根满足某种关系（如互为相反数、倒数、平方和等），结合韦达定理构造方程求参数值。 3. 解的定义应用：已知方程的一个根或方程的解满足某个条件，直接代入原方程求参数。 4. 几何背景结合：常与三角形边长、面积等问题结合，需考虑根的合理性及隐含条件（如边长正数）。
方法技能 1. 判别式先行：凡是涉及实数根的问题，首先考虑△ 0 这一前提条件，再结合其他要求求解参数。 2. 韦达定理整体代入：遇到两根对称式（如x12+x22、 + ），用韦达定理整体表示后代入计算。 3. 分类讨论全面：当二次项系数含参时，需分情况讨论（系数为零时是否为一元一次方程，系数不为零时为一元二次方程）。 4. 检验不可遗漏：求出参数后，务必验证是否满足原方程成立条件及实际问题中的隐含限制。
变式演练
【变式01】（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则________．
【变式02】（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________．
【变式03】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
题型05 分式方程的解法
典例引领
【典例01】（2025·陕西·中考真题）解方程：．
【典例02】（2025·西藏·中考真题）解分式方程：．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查去分母法将分式方程转化为整式方程求解，要求学生准确找到最简公分母。 2. 增根问题：常考增根产生的原因（使最简公分母为零），以及已知方程有增根或无解时求参数的值。 3. 验根必要性：强调解分式方程必须验根，将整式方程的解代入最简公分母检验是否为增根。 4. 实际应用：常与工程问题、行程问题结合，列分式方程解决实际问题，检验解的合理性。
方法技能 1. 找准最简公分母：先将各分母因式分解，取所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。 2. 去分母要全面：方程两边同时乘以最简公分母，注意常数项也要乘，避免漏乘出错。 3. 验根步骤规范：解出整式方程后，务必代入最简公分母检验，若分母为零则为增根需舍去。 4. 无解问题分类：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解或整式方程的解均为增根，需分类讨论。
变式演练
【变式01】（2025·浙江·中考真题）解分式方程：．
【变式02】（2025·上海·中考真题）解方程：．
【变式03】（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下：
第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
题型06 分式方程中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则______．
【典例02】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______．
方法透视
考向解读 1. 增根定参：已知分式方程有增根，令最简公分母为零求出增根，代入去分母后的整式方程求参数值。 2. 无解问题：分式方程无解包含两种情况——整式方程无解，或整式方程的解均是增根，需分类讨论求参数范围。 3. 解的范围定参：已知分式方程的解为正数、负数或非负数，先解方程用参数表示解，再结合解的范围及增根条件列不等式组求解。 4. 解的符号讨论：常结合参数讨论解的符号，考查学生综合考虑方程有解、解非增根、解满足符号要求的能力。
方法技能 1. 增根必代回：遇到增根问题，先由最简公分母为零确定增根可能值，再代入去分母后的整式方程求参数。 2. 无解双情况：分析无解问题时，既要考虑整式方程无解（如0x=k且k≠0），也要考虑整式方程的解使公分母为零。 3. 解的范围需双检：当解满足某范围（如为正数）时，求出参数范围后，必须剔除使解为增根的参数值。 4. 最简公分母先分解：无论何种题型，先将分母因式分解，准确找出最简公分母是正确解题的前提。
变式演练
【变式01】（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【变式02】（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______．
题型07 不等式（组）的解法
典例引领
【典例01】（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
【典例02】（2025·西藏·中考真题）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
方法透视
考向解读 1. 基本解法：主要考查一元一次不等式（组）的求解，要求学生熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤。 2. 数轴表示：常考在数轴上表示不等式的解集，要求能够准确判断空心点与实心点的使用，以及不等式组解集的公共部分。 3. 整数解问题：已知不等式（组）的解集，求满足条件的整数解，或根据整数解的个数确定参数的取值范围。 4. 实际应用：常与方案设计、最值问题结合，列不等式解决实际问题，考查建模能力。
方法技能 1. 系数化1要变号：解不等式时，当两边同乘或同除以一个负数时，不等号方向必须改变，这是易错点。 2. 数轴辅助定解集：解不等式组时，借助数轴画出各不等式的解集，直观找出公共部分，避免出错。 3. 整数解边界检验：求整数解个数确定参数范围时，需验证边界值是否满足条件，常采用“取整代入法”检验。 4. 实际问题取整：解决实际问题时，若结果为不等式，需结合实际情况取符合题意的整数解（如人数、车辆数）。
变式演练
【变式01】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解．
【变式02】（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【变式03】（2025·山东威海·中考真题）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；
（2）解分式方程．
题型08 不等式（组）中含参数问题
典例引领
【典例01】（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________．
【典例02】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
方法透视
考向解读 1. 解集定参：已知不等式（组）的解集，利用数轴表示解集，根据解集的端点关系确定参数的取值或范围。 2. 整数解个数定参：已知不等式组有有限个整数解，根据整数解的个数反推参数的取值范围，常需结合数轴分析端点取舍。 3. 有解无解问题：判断含参不等式组是否有解，或已知有解、无解求参数范围，考查数形结合思想。 4. 解与方程结合：常与方程的解结合，如方程的解满足某不等式，或不等式解集与方程解的关系，综合考查。
方法技能 1. 数轴分析端点：遇到含参不等式组，先在数轴上表示已知不等式的解集，移动参数界点分析公共部分变化。 2. 边界值要检验：确定参数范围时，对临界值需单独检验是否满足题意，常采用“等号代入验证法”。 3. 整数解画图法：求整数解个数时，在数轴上标出整数点，根据解集包含哪些整数点反推参数范围。 4. 分类讨论思想：当参数系数含未知数时，需分正负讨论不等号方向，避免漏解或错解。
变式演练
【变式01】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________．
【变式02】（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______．
【变式03】（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A． B．且 C． D．且
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　）
A．且 B．且 C．且 D．且
3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
二、填空题
4．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______．
5．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______．
6．（2026·四川雅安·二模）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______．
三、解答题
7．（2026·陕西宝鸡·一模）解方程：．
8．（2026·陕西西安·二模）解方程：．
9．（2026·甘肃·模拟预测）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．
10．（2026·重庆·模拟预测）求不等式组所有整数解的积．
11．（2025·广西·一模）解下列方程或方程组：
(1)；
(2)．
12．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
13．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：；
（2）若关于x的方程无解，则a的值是 ．
14．（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
15．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
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