资源简介

专题03 统计与概率综合应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
题型02 统计图（表）的分析
题型03 统计量的计算
题型04 统计综合问题
题型05 用列举法求概率与几何概率
题型06 用频率估计概率的实际应用
题型07 利用概率判断游戏的公平性
题型08 统计与概率的综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
典例引领
【典例01】（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【典例02】（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ）
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
方法透视
考向解读 1. 调查方式选择：主要考查全面调查（普查）和抽样调查的适用场景，根据调查对象的特点（如破坏性、数量大、范围广）选择合适的调查方式。 2. 抽样调查概念：常考总体、个体、样本、样本容量的概念辨析，要求准确区分并指出具体对象。 3. 事件分类：考查必然事件、不可能事件、随机事件的判断，结合生活情境或数学结论进行归类。 4. 实际应用结合：常与统计图、概率初步知识结合，考查学生分析实际问题的能力。
方法技能 1. 普查抽样巧辨：数量少、要求精准、无破坏性用普查；数量多、有破坏性、范围广用抽样调查。 2. 概念辨析抓关键词：总体是个体全体，样本是部分个体，样本容量是数目无单位，注意指代对象。 3. 事件判断重确定性：一定发生是必然，一定不发生是不可能，可能发生是随机，关注事件本质。 4. 结合语境细分析：遇到实际问题，先理解情境再判断调查方式或事件类型，避免想当然出错。
变式演练
【变式01】（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【变式03】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
题型02 统计图（表）的分析
典例引领
【典例01】（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【典例02】（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
A． B．
C． D．
方法透视
考向解读 1. 图表信息提取：主要考查从条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图及统计表中读取数据的能力，包括频数、频率、圆心角度数等。 2. 补全统计图表：常考根据已知数据补全统计图（如画条形图、计算扇形圆心角）或填写统计表。 3. 数据分析应用：结合平均数、中位数、众数、方差等统计量，分析数据集中趋势和波动程度。 4. 决策与建议：根据图表分析结果提出合理化建议或作出简单预测，考查综合应用能力。
方法技能 1. 看图找关系：抓住各图表间的数据对应关系，如扇形图百分比与条形图频数互推，样本估计总体。 2. 公式计算准：扇形圆心角 = 百分比 × 360°，样本估计总体时用“总体 × 样本频率”计算。 3. 统计量结合：分析数据时，结合众数看集中点，结合方差看稳定性，多角度描述数据特征。 4. 规范作答：补全图表时数据准确、标注清晰；提建议时结合实际、语言简练、言之有理。
变式演练
【变式01】（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为
【变式02】（2025·甘肃·中考真题）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
题型03 统计量的计算
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
方法透视
考向解读 1. 基础统计量：主要考查平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的计算，要求掌握各自定义和适用场景。 2. 加权平均数：常考在统计图表背景下的加权计算，如根据频数分布求平均成绩，注意权重的正确使用。 3. 中位数求法：数据排序后找中间位置，偶数个数据时取中间两数的平均值，常结合统计图表考查。 4. 方差意义：考查方差的计算公式及实际意义（衡量数据波动大小），常与稳定性分析结合。
方法技能 1. 公式记准确：平均数公式，方差公式，注意计算顺序。 2. 中位数先排序：求中位数前必须将数据从小到大重新排列，避免直接取中间值出错。 3. 众数看次数：出现次数最多的数据，可能不止一个，注意不要漏找。 4. 加权算清权：加权平均数计算时，明确每个数据的权重，正确相乘后求和再除以总权重。
变式演练
【变式01】（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
【变式02】（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
题型04 统计综合问题
典例引领
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【典例02】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
方法透视
考向解读 1. 多图表结合：主要考查条形图、扇形图、折线图、频数分布表之间的信息互推，补全图表并计算相关统计量。 2. 统计量综合：结合平均数、中位数、众数、方差等分析数据集中趋势与波动程度，对数据作出评价。 3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体数量，常考估算全校某类学生人数或总体百分比。 4. 决策与应用：根据统计结果提出合理化建议，或结合实际情境作出判断，考查数据分析观念。
方法技能 1. 找准突破口：从图表中数据量最全、关系最明确的部分入手，如已知频数和百分比可先求样本总数。 2. 公式互推：熟练掌握频数 = 总数 × 频率，扇形圆心角 = 频率 × 360°，灵活进行数据转换。 3. 多角度分析：评价数据时，既看平均数反映整体水平，又看方差反映稳定性，全面描述特征。 4. 规范表达：补全图表时数据准确；提建议时紧扣数据结论，语言简练、符合实际。
变式演练
【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
七年级 95
八年级 92.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【变式02】（2026·河南·一模）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织七、八年级所有学生参与以“不忘初心，牢记使命”为主题的作文比赛（百分制），现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并对他们的成绩进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69　87　76　80　74　68　94　87　98　77　87　94　92　77　70
八年级：86　90　90　84　80　62　99　97　87　84　78　90　96　78　89
【整理数据】
成绩
七年级 2 5 4
八年级 1 2 6
【分析数据】
平均数 中位数 众数
七年级 82 87
八年级 86 87
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ， ， ， ；
(2)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学可能是哪个年级的学生，并说明理由．
题型05 用列举法求概率与几何概率
典例引领
【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
方法透视
考向解读 1. 列举法求概率：主要考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，要求不重不漏地列出所有等可能结果。 2. 几何概率模型：常考与面积、长度、角度相关的概率问题，概率等于所求区域与整个区域的比例。 3. 游戏公平性：结合概率判断游戏规则是否公平，常需计算双方获胜概率并比较。 4. 综合应用：与统计图表、方程组、不等式等知识结合，考查综合建模与分析能力。
方法技能 1. 列举有序不遗漏：两步试验用列表法，三步及以上用树状图，注意区分放回与不放回试验。 2. 几何概率找比例：找准所求区域面积（或长度、角度），除以整个区域面积，注意单位统一。 3. 公平性比概率：判断游戏公平即比较概率是否相等，不等则修改规则使概率相等。 4. 结果化简规范：概率结果写成最简分数、小数或百分数，必要时用“\(P=\frac{m}{n}\)”形式表达。
变式演练
【变式01】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
【变式02】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
题型06 用列表法或树状图求概率
典例引领
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
方法透视
考向解读 1. 方法选择：主要考查两步试验用列表法，三步及以上用树状图，要求能根据试验步骤数选择合适方法。 2. 等可能结果：常考不放回试验与放回试验的区别，准确列出所有等可能结果是求对概率的关键。 3. 事件概率计算：求指定事件（如颜色相同、数字和为偶数）发生的概率，数出满足条件的结果数。 4. 综合应用：与游戏公平性、代数知识结合，考查学生建模能力和分类讨论思想。
方法技能 1. 列表法规范：行表头与列表头分别对应两步试验的所有可能结果，表中交叉格填写事件结果。 2. 树状图分层：按试验顺序分层画出，每层分支数等可能，最后一行列出所有结果路径。 3. 放回与不放回：放回试验第二次结果数与第一次相同；不放回试验第二次结果数少一个，注意区分。 4. 计数与约分：数清总结果数n和所求结果数m，概率P= ，结果化为最简分数。
变式演练
【变式01】（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
小华小丽 ① ② ③ ④
① ①① ①② ①③ ①④
② ②① ②② ②③ ②④
③ ③① ③② ③③ ③④
④ ④① ④② ④③ ④④
【变式02】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
题型07 用频率估计概率的实际应用
典例引领
【典例01】（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
【典例02】（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
方法透视
考向解读 1. 频率稳定性：主要考查大量重复试验中，事件频率逐渐稳定于某个常数，该常数即为概率的估计值。 2. 估算数量：常考利用频率估计总体数量，如估算鱼塘中鱼的总数、袋中球的总数等，运用比例关系求解。 3. 试验设计与分析：结合模拟试验（如摸球、掷币、转转盘），分析试验数据，估计随机事件发生的概率。 4. 误差分析：考查试验次数对估计精度的影响，次数越多估计越准确，理解频率与概率的区别与联系。
方法技能 1. 大量试验趋稳：频率估计概率的前提是试验次数足够多，数据稳定时方可作为概率估计值。 2. 比例关系建模：估算总数时，利用“样本频率 ≈ 概率”列比例式=求解。 3. 数据取整处理：估算结果若为小数，结合实际情境取整数（如鱼的数量、球的个数）。 4. 理解近似本质：频率是试验值，概率是理论值，二者可能不相等，但大量试验下频率接近概率。
变式演练
【变式01】（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
题型08 利用概率判断游戏的公平性
典例引领
【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【典例02】（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 概率计算基础：主要考查用列举法（列表、树状图）求各方获胜的概率，要求准确列出所有等可能结果。 2. 公平性定义：判断游戏公平的标准是参与游戏的各方获胜概率是否相等，常需分别计算并比较。 3. 规则修改设计：若游戏不公平，常考设计新的计分规则或调整胜负条件，使双方概率相等。 4. 综合应用：常与代数、统计图表结合，考查学生分析问题和方案设计能力。
方法技能 1. 先求各方概率：用列表或树状图列出所有等可能结果，分别统计各方获胜的结果数，计算概率。 2. 比较判公平：若 \(P_1 = P_2\) 则公平，否则不公平。比较时注意概率值需化为最简形式。 3. 修改规则策略：调整得分值（如胜方得分与概率成反比）或改变获胜条件，使期望得分相等。 4. 检验新规则：设计新规则后，务必重新计算概率或期望，验证是否真正达到公平。
变式演练
【变式01】（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球．
(1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”）
(2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由．
球1 球2 红1 红2 绿
红1 （红2，红1） （绿，红1）
红2 （红1，红2） （绿，红2）
绿 （红1，绿） （红2，绿）
【变式02】（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示）
(1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________；
(2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由．
题型09 统计与概率的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【典例02】（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
方法透视
考向解读 1. 图表信息提取：主要考查从统计图（表）中读取数据，结合频数、频率等计算概率，如随机抽一人是某类的概率。 2. 统计量+概率：常考先求平均数、众数等统计量，再结合概率知识分析数据特征或进行预测。 3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体概率，进而估算总体中某类事物的数量或比例。 4. 决策与判断：根据统计结果和概率大小，对实际问题作出合理决策或评价方案的优劣。
方法技能 1. 数据互推基础：由统计图表先求出样本总数，再由频数算频率，频率即为概率的估计值。 2. 概率公式应用：随机抽取概率P= ，注意抽取方式是否放回对概率的影响。 3. 估计总体方法：总体中某类数量 = 总体总数 × 样本中该类频率，估算结果结合实际取整。 4. 多角度分析：既要看统计数据反映的整体趋势，又要结合概率分析随机性，全面回答问题。
变式演练
【变式01】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【变式02】（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【变式03】（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
(2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
(3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
甲\乙 A B C
A
B
C
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·湖北襄阳·二模）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．三角形内角和为
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7
C．打开电视机，正在播放新闻节目
D．在一个标准大气压下，水加热到会沸腾
2．（2026·重庆·模拟预测）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查2026年春节联欢晚会的收视率
B．采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情
C．检测国产大飞机的零部件质量情况
D．调查某批奥迪汽车的抗撞击能力
3．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）小明有四枚不同的学科徽章，分别是数学、英语、语文、物理．这些徽章除正面图案外，背面完全相同．他把徽章背面朝上洗匀，从中随机一次性抽取两枚，则两枚徽章恰好为数学和语文的概率为（ ）
A． B． C． D．
数学 英语 语文 物理
数学 （数学，英语） （数学，语文） （数学，物理）
英语 （英语，数学） （英语，语文） （英语，物理）
语文 （语文，数学） （语文，英语） （语文，物理）
物理 （物理，数学） （物理，英语） （物理，语文）
4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）陕西省境内有一株被称为“太上槐”的国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（ ）
A．12个 B．8个 C．6个 D．4个
5．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率
C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率
D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率
二、填空题
6．（2025·河南濮阳·一模）从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件．
7．（2025·湖南·三模）某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数（万人） 2 3 4 3 2 3 1
表中表示人数这组数据中，众数和中位数分别是______、_______．
8．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）阿克苏地区盛产苹果，小王同学家果园今年收获了冰糖心、嘎啦两种苹果共20箱，其中冰糖心苹果有12箱，从这批苹果中随机抽取一箱，抽到嘎啦苹果的概率是________.
9．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 8
10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．
三、解答题
11．（2026·陕西西安·二模）国产AI大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．
A．机器人技术 B．计算机视觉
C．自然语言处理 D．专家系统
(1)甲同学随机选择一种AI，选到“A．机器人技术”的概率为________；
(2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率．
甲乙 A B C D
A ——
B ——
C ——
D ——
12．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜．
(1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______；
(2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平．
13．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
14．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
横坐标纵坐标 1 2 3 4
1
2
3
4
15．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 90 10.3
九年级 88 94 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
16．（2026·重庆·模拟预测）为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为：
20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70．
抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示：
平均数 众数 中位数
一组团 46.2 a b
二组团 46.2 40 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)____________，____________，____________；
(2)如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？
17．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别 跳绳次数分段 频数
70
76
34
一分钟跳绳成绩的扇形统计图
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ．
(2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；
(3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？
男1 男2 女1 女2
男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
18．（2026·山东·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题：
中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 统计与概率综合应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
题型02 统计图（表）的分析
题型03 统计量的计算
题型04 统计综合问题
题型05 用列举法求概率与几何概率
题型06 用频率估计概率的实际应用
题型07 利用概率判断游戏的公平性
题型08 统计与概率的综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 全面调查、抽样调查、事件的分类
典例引领
【典例01】（2025·湖南·中考真题）下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况．
全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况．
【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意；
选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意；
选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；
选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意；
故选：A．
【典例02】（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（ ）
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
【答案】B
【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件．
分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立．
【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件．
选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件．
选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件．
选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然．
故选：B．
方法透视
考向解读 1. 调查方式选择：主要考查全面调查（普查）和抽样调查的适用场景，根据调查对象的特点（如破坏性、数量大、范围广）选择合适的调查方式。 2. 抽样调查概念：常考总体、个体、样本、样本容量的概念辨析，要求准确区分并指出具体对象。 3. 事件分类：考查必然事件、不可能事件、随机事件的判断，结合生活情境或数学结论进行归类。 4. 实际应用结合：常与统计图、概率初步知识结合，考查学生分析实际问题的能力。
方法技能 1. 普查抽样巧辨：数量少、要求精准、无破坏性用普查；数量多、有破坏性、范围广用抽样调查。 2. 概念辨析抓关键词：总体是个体全体，样本是部分个体，样本容量是数目无单位，注意指代对象。 3. 事件判断重确定性：一定发生是必然，一定不发生是不可能，可能发生是随机，关注事件本质。 4. 结合语境细分析：遇到实际问题，先理解情境再判断调查方式或事件类型，避免想当然出错。
变式演练
【变式01】（2025·重庆·中考真题）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力
C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况
【答案】D
【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意；
D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B符合不可能事件的定义，
故选：B．
【变式03】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意；
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数是随机事件；
D．出现点数为奇数是随机事件；
故选A．
题型02 统计图（表）的分析
典例引领
【典例01】（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示．
根据以上信息，下列选项错误的是（ ）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可．
【详解】解：总销售量为：（册），
∴科技类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售了（册），
∴文艺类图书销售占比为：，
∴其他类图书销售占比：；
综上：只有选项D错误，符合题意；
故选D．
【典例02】（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是选择合适的统计图，根据条形图，折线图，扇形图的特点进行选择即可．
【详解】解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势；
∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图；
故选：C．
方法透视
考向解读 1. 图表信息提取：主要考查从条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图及统计表中读取数据的能力，包括频数、频率、圆心角度数等。 2. 补全统计图表：常考根据已知数据补全统计图（如画条形图、计算扇形圆心角）或填写统计表。 3. 数据分析应用：结合平均数、中位数、众数、方差等统计量，分析数据集中趋势和波动程度。 4. 决策与建议：根据图表分析结果提出合理化建议或作出简单预测，考查综合应用能力。
方法技能 1. 看图找关系：抓住各图表间的数据对应关系，如扇形图百分比与条形图频数互推，样本估计总体。 2. 公式计算准：扇形圆心角 = 百分比 × 360°，样本估计总体时用“总体 × 样本频率”计算。 3. 统计量结合：分析数据时，结合众数看集中点，结合方差看稳定性，多角度描述数据特征。 4. 规范作答：补全图表时数据准确、标注清晰；提建议时结合实际、语言简练、言之有理。
变式演练
【变式01】（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为
【答案】D
【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D．
本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键．
【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，
所以班主任采用的是全面调查，
故A选项错误；
喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多，
故B选项错误；
喜爱戏曲节目的同学有名，
故C选项错误；
“体育”对应扇形的圆心角为，
故D选项正确．
故选：D．
【变式02】（2025·甘肃·中考真题）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（ ）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
【答案】C
【分析】本题考查条形统计图，根据条形统计图逐项判断即可．从图形中读取有效信息是解题关键．
【详解】解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本，
，
年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意；
2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
题型03 统计量的计算
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7
【答案】C
【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．
【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为；
在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6，
故选：C．
【典例02】（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
【答案】A
【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可．
【详解】解：平均数为：，
5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14，
故选：A．
方法透视
考向解读 1. 基础统计量：主要考查平均数、加权平均数、中位数、众数、方差的计算，要求掌握各自定义和适用场景。 2. 加权平均数：常考在统计图表背景下的加权计算，如根据频数分布求平均成绩，注意权重的正确使用。 3. 中位数求法：数据排序后找中间位置，偶数个数据时取中间两数的平均值，常结合统计图表考查。 4. 方差意义：考查方差的计算公式及实际意义（衡量数据波动大小），常与稳定性分析结合。
方法技能 1. 公式记准确：平均数公式，方差公式，注意计算顺序。 2. 中位数先排序：求中位数前必须将数据从小到大重新排列，避免直接取中间值出错。 3. 众数看次数：出现次数最多的数据，可能不止一个，注意不要漏找。 4. 加权算清权：加权平均数计算时，明确每个数据的权重，正确相乘后求和再除以总权重。
变式演练
【变式01】（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（ ）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
【答案】C
【分析】本题考查了众数、平均数、中位数和方差的概念及计算，解题的关键是掌握各统计量的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数；平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后中间位置的数（或中间两数的平均数）；方差是各数据与平均数差的平方的平均数，通过计算判断选项正确性．
【详解】解：、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知，5本对应的人数为3人（最多），故众数是5，A错误．
、，B错误．
、将数据按从小到大排列：（共个数据），中位数为第5、6个数的平均数，即，C正确．
、平均数为 ，
方差，D 错误．
故选：C．
【变式02】（2025·上海·中考真题）某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85
【答案】D
【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可．
【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确；
故选：D．
题型04 统计综合问题
典例引领
【典例01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】(1)105；110
(2)图象见解析
(3)480
【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并正确运用统计量的概念求解是解题关键．
（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
（3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；
中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，
故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，
由（1），可知这一组共有15个样本，
由题意可知，样本总量为50，
故这一组共有个样本，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次，
∴（人）
故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480．
【典例02】（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程．
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组
第2组 10
第3组 15
第4组 40
第5组
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图．
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；请将频数分布直方图补充完整；
(2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
(3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数．
【答案】(1)10%，30%，见解析
(2)4
(3)全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人
【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体．
（1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数的定义求解即可
（3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为人，
则，
，
，，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数，
由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人，
前三组人数为人，前四组人数为人，
则中位数处于第4组的分数段内，
故答案为：4；
（3）解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为，
则全校91分以上的同学约有（人），
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人．
方法透视
考向解读 1. 多图表结合：主要考查条形图、扇形图、折线图、频数分布表之间的信息互推，补全图表并计算相关统计量。 2. 统计量综合：结合平均数、中位数、众数、方差等分析数据集中趋势与波动程度，对数据作出评价。 3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体数量，常考估算全校某类学生人数或总体百分比。 4. 决策与应用：根据统计结果提出合理化建议，或结合实际情境作出判断，考查数据分析观念。
方法技能 1. 找准突破口：从图表中数据量最全、关系最明确的部分入手，如已知频数和百分比可先求样本总数。 2. 公式互推：熟练掌握频数 = 总数 × 频率，扇形圆心角 = 频率 × 360°，灵活进行数据转换。 3. 多角度分析：评价数据时，既看平均数反映整体水平，又看方差反映稳定性，全面描述特征。 4. 规范表达：补全图表时数据准确；提建议时紧扣数据结论，语言简练、符合实际。
变式演练
【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
七年级 95
八年级 92.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【答案】(1)93.2；96.5；
(2)七年级，理由见解析
(3)256人
【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答．
（1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答．
（2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答．
（3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
把八年级的成绩从大到小排序：，
位于中间位置的数分别为，
观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差，
∴；
（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）
（3）解：依题意，，
估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人．
【变式02】（2026·河南·一模）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织七、八年级所有学生参与以“不忘初心，牢记使命”为主题的作文比赛（百分制），现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并对他们的成绩进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69　87　76　80　74　68　94　87　98　77　87　94　92　77　70
八年级：86　90　90　84　80　62　99　97　87　84　78　90　96　78　89
【整理数据】
成绩
七年级 2 5 4
八年级 1 2 6
【分析数据】
平均数 中位数 众数
七年级 82 87
八年级 86 87
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ， ， ， ；
(2)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学可能是哪个年级的学生，并说明理由．
【答案】(1)4；6；80；90
(2)A同学可能是七年级的学生．理由见解析
【分析】本题考查数据统计与分析，掌握好相关知识是关键．
（1）根据题干的数据和中位数与众数的定义，直接计算即可；
（2）比较两个年级学生成绩的中位数，即可得结论．
【详解】（1）解：由题干数据可知，
七年级学生的成绩在的人数为4个，八年级学生的成绩在的人数为6个，
∴，，
将七年级学生的成绩从小到大排列，第8个数为80，即中位数为80，
∴，
八年级学生的成绩中，90出现3次，出现的次数最多，即众数为90，
∴，
故答案为：4；6；80；90．
（2）解：同学可能是七年级的学生．
理由如下：七年级学生成绩的中位数是80，八年级学生成绩的中位数是87，
如果是八年级学生，排名前（即前6名）则成绩必然在在中位数分以上，这个成绩在七年级学生的成绩中，能排到前，与同学说的话矛盾；
如果是七年级学生，排名前（即前6名）为分，在八年级学生的成绩中排名第，刚好没进入，符合题意；
∴同学可能是七年级的学生．
题型05 用列举法求概率与几何概率
典例引领
【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键．
【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，
∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，
∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，
故选：．
【典例02】（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 列举法求概率：主要考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，要求不重不漏地列出所有等可能结果。 2. 几何概率模型：常考与面积、长度、角度相关的概率问题，概率等于所求区域与整个区域的比例。 3. 游戏公平性：结合概率判断游戏规则是否公平，常需计算双方获胜概率并比较。 4. 综合应用：与统计图表、方程组、不等式等知识结合，考查综合建模与分析能力。
方法技能 1. 列举有序不遗漏：两步试验用列表法，三步及以上用树状图，注意区分放回与不放回试验。 2. 几何概率找比例：找准所求区域面积（或长度、角度），除以整个区域面积，注意单位统一。 3. 公平性比概率：判断游戏公平即比较概率是否相等，不等则修改规则使概率相等。 4. 结果化简规范：概率结果写成最简分数、小数或百分数，必要时用“\(P=\frac{m}{n}\)”形式表达。
变式演练
【变式01】（2025·山东滨州·中考真题）在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：．
【变式02】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
题型06 用列表法或树状图求概率
典例引领
【典例01】（2025·江苏淮安·中考真题）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ；
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式即可解题；
（2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．
【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片，
从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种，
∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：．
【典例02】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
【答案】(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为．
方法透视
考向解读 1. 方法选择：主要考查两步试验用列表法，三步及以上用树状图，要求能根据试验步骤数选择合适方法。 2. 等可能结果：常考不放回试验与放回试验的区别，准确列出所有等可能结果是求对概率的关键。 3. 事件概率计算：求指定事件（如颜色相同、数字和为偶数）发生的概率，数出满足条件的结果数。 4. 综合应用：与游戏公平性、代数知识结合，考查学生建模能力和分类讨论思想。
方法技能 1. 列表法规范：行表头与列表头分别对应两步试验的所有可能结果，表中交叉格填写事件结果。 2. 树状图分层：按试验顺序分层画出，每层分支数等可能，最后一行列出所有结果路径。 3. 放回与不放回：放回试验第二次结果数与第一次相同；不放回试验第二次结果数少一个，注意区分。 4. 计数与约分：数清总结果数n和所求结果数m，概率P= ，结果化为最简分数。
变式演练
【变式01】（2025·江苏南通·中考真题）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动．
已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率：
(1)小明到南通博物苑参加社会实践活动；
(2)小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了概率的计算，包括简单事件概率（单一对象选择）和两步事件概率（两人选择），熟练掌握概率公式（，其中是总结果数，是事件发生的结果数 ）以及用列表法列举所有等可能结果是解题的关键．
（1）根据有四个等可能的场所，小明选到南通博物苑是其中一种情况，用南通博物苑这一种情况数除以总场所数即可得概率；
（2）通过列表法列出小华和小丽选择场所的所有等可能结果，再找出两人都选南通美术馆的结果数，用该结果数除以总结果数得到概率 ．
【详解】（1）解：图中社会实践活动分别用①，②，③，④表示，则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为；
（2）解：列表如下：
小华小丽 ① ② ③ ④
① ①① ①② ①③ ①④
② ②① ②② ②③ ②④
③ ③① ③② ③③ ③④
④ ④① ④② ④③ ④④
共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种，所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为．
【变式02】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；
（2）利用画树状图法或列表法计算概率即可．
本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
题型07 用频率估计概率的实际应用
典例引领
【典例01】（2024·宁夏·中考真题）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右．
这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为 ∶0.9．
【典例02】（2023·辽宁鞍山·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【答案】
【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
【详解】解：设红球有个，
则，
答：红球的个数约为个．
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 频率稳定性：主要考查大量重复试验中，事件频率逐渐稳定于某个常数，该常数即为概率的估计值。 2. 估算数量：常考利用频率估计总体数量，如估算鱼塘中鱼的总数、袋中球的总数等，运用比例关系求解。 3. 试验设计与分析：结合模拟试验（如摸球、掷币、转转盘），分析试验数据，估计随机事件发生的概率。 4. 误差分析：考查试验次数对估计精度的影响，次数越多估计越准确，理解频率与概率的区别与联系。
方法技能 1. 大量试验趋稳：频率估计概率的前提是试验次数足够多，数据稳定时方可作为概率估计值。 2. 比例关系建模：估算总数时，利用“样本频率 ≈ 概率”列比例式=求解。 3. 数据取整处理：估算结果若为小数，结合实际情境取整数（如鱼的数量、球的个数）。 4. 理解近似本质：频率是试验值，概率是理论值，二者可能不相等，但大量试验下频率接近概率。
变式演练
【变式01】（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
(2)
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
（1）根据题意，用频率估计概率即可；
（2）根据列表法求概率，即可求解．
【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是，
故答案为：．
（2）解：列表如下，
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种，
因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为．
题型08 利用概率判断游戏的公平性
典例引领
【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
【典例02】（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可；
（2）同（1）求出乙获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种，
∴甲获胜的概率为；
（2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
∴乙获胜的概率为，
∵，
∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲乙双方不公平．
方法透视
考向解读 1. 概率计算基础：主要考查用列举法（列表、树状图）求各方获胜的概率，要求准确列出所有等可能结果。 2. 公平性定义：判断游戏公平的标准是参与游戏的各方获胜概率是否相等，常需分别计算并比较。 3. 规则修改设计：若游戏不公平，常考设计新的计分规则或调整胜负条件，使双方概率相等。 4. 综合应用：常与代数、统计图表结合，考查学生分析问题和方案设计能力。
方法技能 1. 先求各方概率：用列表或树状图列出所有等可能结果，分别统计各方获胜的结果数，计算概率。 2. 比较判公平：若 \(P_1 = P_2\) 则公平，否则不公平。比较时注意概率值需化为最简形式。 3. 修改规则策略：调整得分值（如胜方得分与概率成反比）或改变获胜条件，使期望得分相等。 4. 检验新规则：设计新规则后，务必重新计算概率或期望，验证是否真正达到公平。
变式演练
【变式01】（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球．
(1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”）
(2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由．
【答案】(1)随机
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据事件的分类进行判断即可；
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．
【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球，
∴摸出的2个球都是红球”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：不公平．理由如下：
列表如下：
球1 球2 红1 红2 绿
红1 （红2，红1） （绿，红1）
红2 （红1，红2） （绿，红2）
绿 （红1，绿） （红2，绿）
∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种．
∴P（摸出的2个球颜色相同），
P（摸出的2个球颜色不同）．
故该游戏方案对双方不公平．
【变式02】（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示）
(1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________；
(2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由．
【答案】(1)
(2)游戏不公平
【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）利用概率的计算公式计算即可；
（2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数，分别求出小宇和小辰获胜的概率，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果，
∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是；
（2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：

∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种，
∴小宇获胜的概率为；
摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种，
∴小辰获胜的概率为；
∵，
∴游戏不公平．
题型09 统计与概率的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表．
组别 成绩/分 频数（人数）
1 10
2
3 35
4 25
5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度；
(2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图；
(3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)20，10，90
(2)统计图见解析
(3)
【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算：
（1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角；
（2）根据（1）中求出数据即可作图；
（3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可．
【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为，
由扇形统计图可知第5组人数，
则第2组人数，
第4组人数在扇形图中对应的圆心角为，
故答案为：20，10，90；
（2）解：如图：
（3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合：
，
共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种，
故概率为．
【典例02】（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)．
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键；
（1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可；
（2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：(1)；
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
；
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
方法透视
考向解读 1. 图表信息提取：主要考查从统计图（表）中读取数据，结合频数、频率等计算概率，如随机抽一人是某类的概率。 2. 统计量+概率：常考先求平均数、众数等统计量，再结合概率知识分析数据特征或进行预测。 3. 样本估计总体：利用样本频率估计总体概率，进而估算总体中某类事物的数量或比例。 4. 决策与判断：根据统计结果和概率大小，对实际问题作出合理决策或评价方案的优劣。
方法技能 1. 数据互推基础：由统计图表先求出样本总数，再由频数算频率，频率即为概率的估计值。 2. 概率公式应用：随机抽取概率P= ，注意抽取方式是否放回对概率的影响。 3. 估计总体方法：总体中某类数量 = 总体总数 × 样本中该类频率，估算结果结合实际取整。 4. 多角度分析：既要看统计数据反映的整体趋势，又要结合概率分析随机性，全面回答问题。
变式演练
【变式01】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)60，频数分布直方图见详解
(2)1200人
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图．
（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可；
（2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可．
（3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，
故答案为：．
【变式02】（2024·甘肃甘南·中考真题）某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)50，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
（1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题；
（2）求出D、C的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：共调查的学生人数为：（名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为：，
故答案为：50，；
（2）解：D的人数为：（人）
∴C的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【变式03】（2025·四川广元·中考真题）我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
(1)抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
(2)估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
(3)甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
【答案】(1)50人；；补全条形统计图见解析
(2)80人
(3)；列表法见解析
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体以及用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题的关键是从统计图中提取有效信息（如部分数量及对应百分比）计算总人数和各项目人数，再通过样本比例估计总体数量，同时准确列举所有可能结果计算概率．
（1）①由B类人数人）及占比求抽取学生总数即可；②先计算D类人数占比，再用360度乘以占比即可求得圆心角；③用总数减去已知类别人数求得C类人数，补全条形图即可；
（2）先求得样本中C类人数占比，再用总体人数乘以该占比即可；
（3）列表列举甲、乙从A、B、C三类中选择的所有可能结果数，再找出两人选同一项目的结果数，然后用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
故答案为：50人；．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·湖北襄阳·二模）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．三角形内角和为
B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7
C．打开电视机，正在播放新闻节目
D．在一个标准大气压下，水加热到会沸腾
【答案】C
【分析】本题主要考查了随机事件的定义，熟练掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解答本题的关键．根据随机事件的定义，分别判断各选项事件的性质即可．
【详解】解：A选项：三角形的内角和为，是必然事件，故不符合题意；
B选项：骰子点数最大为6，点数为7是不可能事件，故不符合题意；
C选项：打开电视机播放节目内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他节目，是随机事件，故符合题意；
D选项：水在标准大气压下加热至必然沸腾，是必然事件，故不符合题意．
故选：C．
2．（2026·重庆·模拟预测）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查2026年春节联欢晚会的收视率
B．采访某晚点4小时的春运列车上乘客们的心情
C．检测国产大飞机的零部件质量情况
D．调查某批奥迪汽车的抗撞击能力
【答案】C
【分析】根据调查的范围，精度要求，是否具有破坏性判断，全面调查适用于要求结果准确，无破坏性，且工作量可控的调查.
【详解】解：根据全面调查结果准确，但工作量大，抽样调查适合工作量大，或具有破坏性，不需要极高精度的调查.
∵A中调查春晚收视率，范围广，工作量大，适合抽样调查，
∴A不符合要求.
∵B中采访晚点列车乘客心情，不需要全面调查，抽样即可满足需求，
∴B不符合要求.
∵C中检测大飞机零部件质量，对精度要求极高，每个零部件都必须检查合格，适合全面调查，
∴C符合要求.
∵D中检测汽车抗撞击能力属于破坏性试验，不能对每辆汽车都检测，适合抽样调查，
∴D不符合要求.
3．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）小明有四枚不同的学科徽章，分别是数学、英语、语文、物理．这些徽章除正面图案外，背面完全相同．他把徽章背面朝上洗匀，从中随机一次性抽取两枚，则两枚徽章恰好为数学和语文的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解．
【详解】解：列表如下：
数学 英语 语文 物理
数学 （数学，英语） （数学，语文） （数学，物理）
英语 （英语，数学） （英语，语文） （英语，物理）
语文 （语文，数学） （语文，英语） （语文，物理）
物理 （物理，数学） （物理，英语） （物理，语文）
共有种等可能结果，其中两枚徽章恰好为数学和语文的有种结果，
两枚徽章恰好为数学和语文的概率为；
故选：C．
4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）陕西省境内有一株被称为“太上槐”的国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（ ）
A．12个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查用频率估计概率的知识点．先通过试验次数和摸到“槐”字小球的次数算出概率，再用总球数乘以该概率估计“槐”字小球的数量．
【详解】解：∵共摸了100次，其中40次摸到“槐”字小球，
∴摸到“槐”字小球的概率为，
∵布袋中共有20个小球，
∴估计布袋中写着“槐”字的小球数量为（个），
故选：B．
5．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率
C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率
D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率
【答案】B
【分析】本题考查了用频率估计概率，折线统计图，画树状图求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．分别求出每项的概率，然后比较即可．
【详解】解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意；
、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意；
、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意；
、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下，
一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种，
所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意；
故选：．
二、填空题
6．（2025·河南濮阳·一模）从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件．
【答案】必然
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：从数学的观点看，成语“水涨船高”中描述水位上涨时，船身必然升高，这是一种确定的因果关系，因此是必然事件．
故答案为：必然．
7．（2025·湖南·三模）某风景区在“十一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数（万人） 2 3 4 3 2 3 1
表中表示人数这组数据中，众数和中位数分别是______、_______．
【答案】 3 3
【分析】本题考查了求众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数称为众数；一组数据按大小排列，最中间的一个数或两个数的平均数就是中位数；掌握两者的意义是关键；根据两者的意义即可求解．
【详解】解：由表知，3出现的次数最多，即众数为3；
把这组数据按从小到大排列为1，2，2，3，3，3，4，最中间的数为3，即中位数为3；
故答案为3，3．
8．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）阿克苏地区盛产苹果，小王同学家果园今年收获了冰糖心、嘎啦两种苹果共20箱，其中冰糖心苹果有12箱，从这批苹果中随机抽取一箱，抽到嘎啦苹果的概率是________.
【答案】
【分析】本题主要考查概率的计算，根据嘎啦苹果箱数与总箱数的比值求得概率是解题的关键．
首先确定嘎啦苹果的箱数，然后根据概率公式计算抽到嘎啦苹果的概率即可．
【详解】解：∵总苹果箱数为20箱，冰糖心苹果有12箱，
∴嘎啦苹果的箱数为箱，
∴抽到嘎啦苹果的概率为＝，
故答案为：．
9．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 8
【答案】，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解．
【详解】解：根据题意，得
解得，
故答案为：， ．
10．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
同理，
∴，
同理，
∴，
∴，
同理，，
∴飞镖命中阴影区域的概率为．
故答案为：．
三、解答题
11．（2026·陕西西安·二模）国产AI大模型的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解．
A．机器人技术 B．计算机视觉
C．自然语言处理 D．专家系统
(1)甲同学随机选择一种AI，选到“A．机器人技术”的概率为________；
(2)请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式直接求解；
（2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：从“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”中，选到“A．机器人技术”的概率为；
（2）解：列表如下：
甲乙 A B C D
A ——
B ——
C ——
D ——
∴共有12种可能结果，其中甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的有6种，
∴甲，乙两同学都没有选择“A．机器人技术”的概率为．
12．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜．
(1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______；
(2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平．
【答案】(1)
(2)见解析，这个游戏不公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张，
∴小明抽到写有偶数的卡片的概率是；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数有8种，
∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平．
13．（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
(1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）；
(2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
(3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率．
【答案】(1)
(2)口袋中黑色的球只，白色的球有只
(3)两次都摸到白球的概率为
【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率；
（）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球；
（）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，
∴口袋中有白球（只），黑球（只），
答：口袋中黑色的球只，白色的球有只；
（3）解：画树状图如图，
一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，
∴两次都摸到白球的概率为．
14．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由抛掷结果得到点坐标为．利用勾股定理计算点到原点的距离，比较距离与圆半径的大小，得出点在圆内的结论．
（2）明确横坐标、纵坐标的可能取值均为1，2，3，4，采用列表法，将横、纵坐标的所有组合一一列出，得到全部16种等可能结果．
（3）确定点在圆面上的判定条件：．逐一验证列表中的16个点，统计满足条件的点，根据概率公式，计算得概率．
【详解】（1）解：第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，
∴点P坐标为，
∴到原点距离为，
∵圆O的半径为3，
∵
∴点P在圆O内部，
（2）解：P点坐标的所有可能结果如下：
横坐标纵坐标 1 2 3 4
1
2
3
4
（3）由表格可知共有16种等可能的结果，
设点，
点P落在圆面上的条件是：点到圆心的距离半径
即：，
，
逐一验证16个点：
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：；
其中点P落在⊙O面上（含内部与边界）的有：，，，，共4个
∴
∴点P落在⊙O面上（含内部与边界）的概率为．
15．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 90 10.3
九年级 88 94 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)，，
(2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析；
(3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数、方差的意义求解即可；
（3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可．
【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人．
16．（2026·重庆·模拟预测）为了解村民们寒假期间体育锻炼情况，西葫芦村对该村800名一组团村民和1000名二组团村民的平均每天体育锻炼时间进行了调查，现从中随机各抽取25名村民的平均每天体育锻炼时间（单位：）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间为：
20，25，45，30，35，35，40，40，45，65，45，45，50，50，30，50，55，40，55，60，45，60，60，65，70．
抽取的西葫芦村村民的平均每天体育锻炼活动时间的平均数、众数、中位数如下表所示：
平均数 众数 中位数
一组团 46.2 a b
二组团 46.2 40 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)____________，____________，____________；
(2)如果村委要从中选取一位热爱运动的村民代表进行体育锻炼活动的经验和心得分享，根据以上数据，你认为选择哪一组团的村民较好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3)若平均每天体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民会被授予“运动达人”的称号，估计此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有多少？
【答案】(1)45，45，40
(2)一组团，理由见解析
(3)592人
【分析】（1）先将一组团以及二组团村民的锻炼时间从小到大排列，然后根据中位数，以及众数的概念求解；
（2）结合平均数，众数，中位数作出判断即可；
（3）根据题意，可知，一组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，二组团村民体育锻炼时间大于或等于50分钟的村民占比为，然后用总人数乘以相应占比列式计算即可．
【详解】（1）解：将25名一组团村民的平均每天体育锻炼时间按从小到大排列后：
20，25，30，30，35，35，40，40，40，45，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60，60，60，65，65，70，
∵45出现次数最多，
∴一组团村民的众数为45，即，
∵总人数为25人，
∴中位数为第13个数据，也就是45，即；
根据条形统计图，二组团村民的平均每天体育锻炼时间从小到大排列后如下：20，25，25，30，30，30，35，35，35，35，40，40，40，40，40，45，45，45，45，50，50，50，55，55，60，
中位数为第13个数据40，即；
故答案为：45，45，40；
（2）解：∵一组团、二组团抽取的样本平均数相同，而一组团的众数和中位数高于二组团，
∴选择一组团的村民较好．
（3）解：（人）
答：此次西葫芦村的村民被授予此称号的人数共有592人．
17．（2026·湖南衡阳·一模）湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题．
一分钟跳绳成绩的频数统计表
组别 跳绳次数分段 频数
70
76
34
一分钟跳绳成绩的扇形统计图
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ．
(2)求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别；
(3)现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？
【答案】(1)200；20；
(2)C组
(3)
【分析】（1）将C组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出n，扇形统计图中B组的频率计算即可；
（2）由（1）可知学生总数为200人，按顺序排列后，中位数应该是100和101两个数的平均数，A组是20人，B组为70人，C组为76人即可得答案；
（3）通过列表得出出现所有等可能情况，从中找出满足条件的情况有8种，即可得出一男一女的概率．
【详解】（1）解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：，
，
扇形统计图中B组的圆心角度数为：；
即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中
B组所对的圆心角是126度．
（2）解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20
人，B组为70人，，而C组是76人，，
∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数，
∴中位数在C组，
即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组；
（3）根据题意列表
男1 男2 女1 女2
男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1
男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2
女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1
女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2
由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种，
所以，恰好分组是一男一女的概率．
18．（2026·山东·一模）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．请认真阅读上述信息，回答下列问题：
中午放学后家长接送孩子情况调查问卷 尊敬的家长： 您好！为美化校园周边交通环境，诚邀您参加本次匿名调查．（以下为单选） 1．您通常接送孩子的方式是（ ） A．步行 B．自行车 C．电动自行车 D．私家车 E．公共交通 2．您时常接送孩子的时段是（ ） A．11：50﹣12：00 B．12：00﹣12：10 C．12：10﹣12：20 D．其他时段
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 °；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有 人，并补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
【答案】(1)36；135；图见解析
(2)450人
(3)见解析
【分析】本题考查了扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是从两种统计图中提取有效信息，理清各部分数量与总数之间的关系．
（1）根据“公共交通”所占百分比计算其对应扇形的圆心角度数；根据总人数和电动自行车所占百分比计算其人数，并补全条形统计图；
（2）用样本中私家车所占比例去估计总体中私家车接送孩子的家长人数；
（3）根据统计图信息分析拥堵原因并提出合理建议．
【详解】（1）解：，
∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为；
人，
∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；
∴时间段12：00-12：10骑电动车的人数为人，
补全统计图如下所示：
故答案为：36；135；
（2）解：估计用私家车接送孩子的家长人数为人；
（3）解：由扇形统计图可知用电动自行车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥堵；
由条形统计图可知，在时间段12：00-12：10内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤；
建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段 12：00-12：10．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑