资源简介

专题04 全等三角形的基本六大模型
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一线三等角模型
题型02 手拉手模型-旋转型全等
题型03 倍长中线模型
题型04 截长补短模型
题型05 十字架模型
题型06 半角模型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一线三等角模型
典例引领
【典例01】（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
【典例02】（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
方法透视
考向解读 1. 模型识别与分类：主要考查在一条直线上出现三个相等角的情形，包括直角、锐角、钝角三类，要求学生能快速识别模型。 2. 相似与全等应用：常考利用“一线三等角”证明两三角形相似；若模型中出现一组对应边相等，则可证三角形全等。 3. 综合压轴题：多与坐标系、函数、特殊三角形（等腰直角、等边）结合，求点坐标或线段长度。 4. 图形变换背景：常与翻折、旋转等变换结合，需要学生从复杂图形中抽离出基本模型。
方法技能 1. 找线寻角定模型：在图形中找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 2. 无边证相似：若只有角相等条件，直接得到三角形相似，利用对应边成比例列方程求解。 3. 有边证全等：若模型中有一组对应边相等（常为等腰三角形边），则证三角形全等，实现边的转移。 4. 辅助线构造：当模型隐含时，主动过顶点作垂线构造“一线三直角”，尤其在坐标系中常用。
变式演练
【变式01】（2025·广东云浮·一模）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．

题型02 手拉手模型-旋转型全等
典例引领
【典例01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，．
(1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；
(2)如图，如果，，，连接，，求的面积．
【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？
尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明．
拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．

方法透视
考向解读 1. 模型特征：两个共顶点的等腰三角形（或等边、正方形），顶角相等，绕公共顶点旋转构成全等三角形。 2. 全等证明：常考利用“边角边”证明拉手线构成的三角形全等，进而得到对应边相等、对应角相等。 3. 结论应用：常考查拉手线的数量关系（相等）与位置关系（夹角等于顶角或互补）。 4. 综合压轴：多与几何变换、最值问题结合，考查学生从复杂图形中抽离基本模型的能力。
方法技能 1. 识别公共顶点：找到两个等腰三角形的公共顶点，确认顶角相等是模型成立的前提。 2. 找准拉手线：两个三角形非公共顶点间的连线即为拉手线，常证这对三角形全等。 3. 全等得结论：由三角形全等推出拉手线相等，再导角证明拉手线夹角与顶角的关系。 4. 动态中抓不变：图形旋转时，全等关系保持不变，对应边相等、对应角相等始终成立。
变式演练
【变式01】（2024·湖南娄底·模拟预测）图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ．
(2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论．
(3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论．
题型03 倍长中线模型
典例引领
【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【典例02】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
方法透视
考向解读 1. 模型定义：将三角形中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移和角的等量代换。 2. 全等证明：常考利用“边角边”证明倍长后构成的三角形与原三角形全等，得到对应边相等。 3. 应用方向：常用于证明线段不等关系（三角形三边关系）、求线段取值范围、证明线段倍分关系。 4. 综合压轴：多与等腰三角形、直角三角形结合，考查学生构造辅助线解决问题的能力。
方法技能 1. 中线倍长法：见到中线（或中点），将中线延长一倍，连接端点构造全等三角形。 2. 全等得等量：倍长后证三角形全等，得到对应边相等，实现分散线段的集中转移。 3. 构造中位线：倍长中线后常出现中位线，结合中位线性质进一步推导线段关系。 4. 求取值范围：利用三角形三边关系，通过倍长构造将所求线段放入三角形中求解。
变式演练
【变式01】（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
题型04 截长补短模型
典例引领
【典例01】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【典例02】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
方法透视
考向解读 1. 模型定义：主要解决证明线段和差关系（如 \(a=b+c\)）的问题，通过截长或补短构造全等或等腰三角形。 2. 截长法：在最长线段上截取一段等于某条短线段，证明剩余部分与另一短线段相等。 3. 补短法：将一条短线段延长，使延长部分等于另一短线段，证明新线段与最长线段相等。 4. 应用场景：常与角平分线、垂直、等腰三角形结合，考查学生构造辅助线证明线段关系的能力。
方法技能 1. 观察定法：根据图形特点选择截长或补短，通常两种方法均可，选择证明更简洁的一种。 2. 构造全等：截长或补短后，常结合已知条件（如角平分线）证明三角形全等，实现边的等量代换。 3. 等腰配合：当出现角平分线+平行线或垂直时，常可构造等腰三角形简化证明。 4. 双法检验：用一种方法证完后，可用另一种方法验证，确保线段和差关系成立。
变式演练
【变式01】（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
证明过程缺失
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
题型05 十字架模型
典例引领
【典例01】（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【典例02】（2024·安徽阜阳·一模）【模型建立】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值．
方法透视
考向解读 1. 正方形中的全等：在正方形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段相等。常考通过证明三角形全等得到结论。 2. 矩形中的相似：在矩形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段的比等于矩形的邻边之比，常考利用三角形相似求解。 3. 三角形中的拓展：在等边三角形或直角三角形中，也有类似的“十字”结构，常涉及全等与相似的综合应用。 4. 折叠问题结合：常与图形的翻折变换结合，需要从折叠图形中抽离出十字架模型解决问题。
方法技能 1. 识别垂直特征：见到四边形内部两条线段垂直，立即联想十字架模型，考虑证明全等或相似。 2. 平移构造：当线段端点不在顶点上时，通过平移将线段端点移到顶点处，构造标准十字架结构。 3. 比例关系应用：矩形中记住结论“垂直两线段之比等于矩形邻边之比”，直接建立方程求解。 4. 多解验证：正方形中“垂直→相等”成立，但“相等→垂直”不一定成立，需结合图形具体分析。
变式演练
【变式01】（2024·广东深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．

题型06 半角模型
典例引领
【典例01】（2024·湖北·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________；
【探究猜想】
（2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明；
【探究应用】
（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由．
【典例02】（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ；
（2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在一个大角（常见90°或120°）内部包含其一半的小角（45°或60°），且小角顶点与大角顶点重合。 2. 旋转构造：常考通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中解决问题。 3. 线段关系：主要结论为半角两边与正方形（或等边三角形）边构成的线段和差关系（如 EF=BE+DF）。 4. 综合应用：常与勾股定理、最值问题结合，考查学生构造旋转辅助线的能力。
方法技能 1. 旋转定方向：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使旋转边与大角另一边重合，构造全等。 2. 证全等得等量：旋转后证明两个三角形全等，得到对应边相等，实现线段转移。 3. 勾股求值：将转移后的线段集中到直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。 4. 结论巧记：熟记正方形中45°半角模型结论EF=BE+DF，可快速解决填空选择题。
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
题●型●训●练
1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
(3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
2．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的．
【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为．
【类比引申】
（1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程）
【联想拓展】
（2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长．
3．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】
（1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离；
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积；
4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现：
如图
(1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．
5．（2025·甘肃平凉·二模）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
6．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
7．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
8．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
10．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围．
11．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景：
（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：
（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由；
探究延伸：
（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：
（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 全等三角形的基本六大模型
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 一线三等角模型
题型02 手拉手模型-旋转型全等
题型03 倍长中线模型
题型04 截长补短模型
题型05 十字架模型
题型06 半角模型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 一线三等角模型
典例引领
【典例01】（2025·江苏盐城·一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，连接并延长交的延长线于点F，
(1)若，求线段的长；
(2)在（1）的条件下，连接交于点N，求的值；
(3)在（1）的条件下，在直线上找点P，使，直接写出线段的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)4或
【分析】（1）先证明，再证明，进而即可求得线段EF的长；
（2）过点N作于点M，证明得出再证明得出，设则，代入比例式得出，进而即可求解；
（3）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q；当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：
又
解得；
（2）如图，过点N作于点M，
即，
又
设，则
解得
；
（3）如图所示，当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，
设，则，
又
即
解得
在中，，
；
如图所示，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，
设，则
即
解得
，
综上所述：的长度为4或．
【典例02】（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值；
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解；
（）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解；
（）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：．
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
即，即，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
，
解得：，
∴，
∴，
方法透视
考向解读 1. 模型识别与分类：主要考查在一条直线上出现三个相等角的情形，包括直角、锐角、钝角三类，要求学生能快速识别模型。 2. 相似与全等应用：常考利用“一线三等角”证明两三角形相似；若模型中出现一组对应边相等，则可证三角形全等。 3. 综合压轴题：多与坐标系、函数、特殊三角形（等腰直角、等边）结合，求点坐标或线段长度。 4. 图形变换背景：常与翻折、旋转等变换结合，需要学生从复杂图形中抽离出基本模型。
方法技能 1. 找线寻角定模型：在图形中找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 2. 无边证相似：若只有角相等条件，直接得到三角形相似，利用对应边成比例列方程求解。 3. 有边证全等：若模型中有一组对应边相等（常为等腰三角形边），则证三角形全等，实现边的转移。 4. 辅助线构造：当模型隐含时，主动过顶点作垂线构造“一线三直角”，尤其在坐标系中常用。
变式演练
【变式01】（2025·广东云浮·一模）【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．

【答案】（1）见解析；（2）的长的最小值为8；（3）
【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键．
（1）对于，当时，，当时，，即可求解；
（2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解；
（3）由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解．
【详解】（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，即点，
设直线的解析式为
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．
题型02 手拉手模型-旋转型全等
典例引领
【典例01】（2026·四川德阳·模拟预测）如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，．
(1)当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：；
(2)如图，如果，，，连接，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接、，延长交与．当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，根据，进行求解即可。
【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，．
在和中，
，
∴．
．
（2）连接、，延长交于．
当时，则．
．
．
又，
．
又，，
为等腰直角三角形．
．，
，与平行．
．
【典例02】（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？
尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明．
拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．

【答案】[问题背景]：；[尝试应用]：，见解析；[拓展延伸]：．
【分析】[问题背景]：先证明，则，，如图，延长交于点，然后通过三角形内角和定理得出，从而得；
[尝试应用]：先证明，则，在等腰中，，所以，则，即，然后通过线段的和与差即可求解；
[拓展延伸]：先证明，则，，同理可得，在等腰中，，所以，根据勾股定理，得：，在上任找一点，作，垂足为点，如图，求最小值就转化为求的最小值，则当在同一条直线上时，长度最小，过点作垂线段，交于点，此时长度就是所求最小值，再利用面积法求出即可．
【详解】问题背景]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
如图，延长交于点，

在中，，
∴，
∴，
∴；
[尝试应用]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，

在等腰中，，
∴，
∴，即，
∴；
[拓展延伸]解：∵与为等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
又∵，
∴，
在中，根据勾股定理，得：，
在上任找一点，作，垂足为点，如图，

在中，，
即=，
∴，
∴，
∴求最小值就转化为求的最小值，
∴当在同一条直线上时，长度最小，过点作垂线段，交于点，此时长度就是所求最小值，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：两个共顶点的等腰三角形（或等边、正方形），顶角相等，绕公共顶点旋转构成全等三角形。 2. 全等证明：常考利用“边角边”证明拉手线构成的三角形全等，进而得到对应边相等、对应角相等。 3. 结论应用：常考查拉手线的数量关系（相等）与位置关系（夹角等于顶角或互补）。 4. 综合压轴：多与几何变换、最值问题结合，考查学生从复杂图形中抽离基本模型的能力。
方法技能 1. 识别公共顶点：找到两个等腰三角形的公共顶点，确认顶角相等是模型成立的前提。 2. 找准拉手线：两个三角形非公共顶点间的连线即为拉手线，常证这对三角形全等。 3. 全等得结论：由三角形全等推出拉手线相等，再导角证明拉手线夹角与顶角的关系。 4. 动态中抓不变：图形旋转时，全等关系保持不变，对应边相等、对应角相等始终成立。
变式演练
【变式01】（2024·湖南娄底·模拟预测）图是边长分别为的正方形、正方形叠放在一起的图形．
操作与证明：
(1)操作：固定正方形，将正方形绕点按顺时针方向旋转，连接(如图)，线段与线段之间的数量关系为 ．
(2)证明：若将图中的正方形绕点按顺时针方向旋转，使相交于点，线段与相交于点(如图)，线段与线段之间具有怎样的数量与位置关系？证明你的结论．
(3)猜想与发现：在（）的基础上，作于点，作于点，则四边形的形状是 ，请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，，证明见解析
(3)四边形是正方形，证明见解析
【分析】（）证明即可求证；
（）同理（）证明，得到，，进而可得，即可得，即可求证；
（）先证明四边形是矩形，再根据三角形的面积可得，即得到四边形是正方形，即可求证；
本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，，证明如下：
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：四边形是正方形，证明如下：
∵于点，于点，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故答案为：正方形．
题型03 倍长中线模型
典例引领
【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】
小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围．
【构建模型】
她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”．
请回答：
（1）小红证明的判定定理是： ．
（2）的取值范围是
【模型应用】
（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ．
【答案】（1） ；（2），（3） 8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）根据证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解；
（3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可．
【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，
∵是中线，
∴，
又，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
又，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）延长至点F，使，
同（1）可证，
∴，，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴“燕尾”四边形的面积为，
故答案为：8．
【典例02】（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
（1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案；
（3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示，
同（1）得，，
，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得，
；
（3），
证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在和中，
∴，
．
，
．
方法透视
考向解读 1. 模型定义：将三角形中线延长一倍，构造全等三角形，实现边的转移和角的等量代换。 2. 全等证明：常考利用“边角边”证明倍长后构成的三角形与原三角形全等，得到对应边相等。 3. 应用方向：常用于证明线段不等关系（三角形三边关系）、求线段取值范围、证明线段倍分关系。 4. 综合压轴：多与等腰三角形、直角三角形结合，考查学生构造辅助线解决问题的能力。
方法技能 1. 中线倍长法：见到中线（或中点），将中线延长一倍，连接端点构造全等三角形。 2. 全等得等量：倍长后证三角形全等，得到对应边相等，实现分散线段的集中转移。 3. 构造中位线：倍长中线后常出现中位线，结合中位线性质进一步推导线段关系。 4. 求取值范围：利用三角形三边关系，通过倍长构造将所求线段放入三角形中求解。
变式演练
【变式01】（2025·吉林松原·三模）（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点，使得．连结，求证：四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点（不与点、点重合），过点、点分别作， ，连结，，求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点是的中点，点是直线上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键．
（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）延长到点，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论；
（3）延长到点，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）证明：是的中线，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：延长到点，使，连接，如图2，
，是的中线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：延长到点，使，连接，如图3，
由（2）知，，，
则取最小值时，最小，故时，最小，
是的中线，
，
，
在中，
题型04 截长补短模型
典例引领
【典例01】（2025·广东韶关·一模）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【答案】（1）； （2）；理由见解析 （3）
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据证明思路可得答案；
（2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，证明，即可解答；
（3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，结合（2）中的结论，列方程，即可解答．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
故答案为：；；
（2）．
理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
（3）正方形的边长为，
，
．
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
由（2），可得．
设，
，，
，
根据勾股定理可得，
解得，
．
【典例02】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．
(1)【动手操作】
如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度．
(2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明．
(3)【拓展应用】
是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)矩形是正方形；见解析；
(3)线段的长为或．
【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论．
（1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数；
（2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形；
（3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长．
【详解】（1）解：根据题意画图如图；
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：四边形为正方形，证明如下：
在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
在上截取，连接，则，
∵，，
∴，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（3）解：①当点在线段上时，
由（2）知四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
②当点在延长线上时，延长至，使得，连接，
∵，，且，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴，即．
延长至点，使，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
结合，可得，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形．
，
综上所述，线段的长为或．
方法透视
考向解读 1. 模型定义：主要解决证明线段和差关系（如 \(a=b+c\)）的问题，通过截长或补短构造全等或等腰三角形。 2. 截长法：在最长线段上截取一段等于某条短线段，证明剩余部分与另一短线段相等。 3. 补短法：将一条短线段延长，使延长部分等于另一短线段，证明新线段与最长线段相等。 4. 应用场景：常与角平分线、垂直、等腰三角形结合，考查学生构造辅助线证明线段关系的能力。
方法技能 1. 观察定法：根据图形特点选择截长或补短，通常两种方法均可，选择证明更简洁的一种。 2. 构造全等：截长或补短后，常结合已知条件（如角平分线）证明三角形全等，实现边的等量代换。 3. 等腰配合：当出现角平分线+平行线或垂直时，常可构造等腰三角形简化证明。 4. 双法检验：用一种方法证完后，可用另一种方法验证，确保线段和差关系成立。
变式演练
【变式01】（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
证明过程缺失
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展]
【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论；
[问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论；
[问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可．
【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
[问题解决]过点M作于点H，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由 [问题探究]知：，
∵，
∴．
故答案为：9；
问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
题型05 十字架模型
典例引领
【典例01】（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形和菱形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形和菱形的性质找出证明全等三角形所需的条件．在（3）中，构造全等三角形是解题的关键步骤，通过合理的辅助线找到与已知条件相关的全等关系．
（1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明．
（2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明．
（3）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出的长．
【详解】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【典例02】（2024·安徽阜阳·一模）【模型建立】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值；
【模型迁移】
（3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）＝；（3）
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解；
（3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点N作于点H，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，设，则，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得 (舍去)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
方法透视
考向解读 1. 正方形中的全等：在正方形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段相等。常考通过证明三角形全等得到结论。 2. 矩形中的相似：在矩形中，若内部互相垂直的两条线段与边相交，则这两条线段的比等于矩形的邻边之比，常考利用三角形相似求解。 3. 三角形中的拓展：在等边三角形或直角三角形中，也有类似的“十字”结构，常涉及全等与相似的综合应用。 4. 折叠问题结合：常与图形的翻折变换结合，需要从折叠图形中抽离出十字架模型解决问题。
方法技能 1. 识别垂直特征：见到四边形内部两条线段垂直，立即联想十字架模型，考虑证明全等或相似。 2. 平移构造：当线段端点不在顶点上时，通过平移将线段端点移到顶点处，构造标准十字架结构。 3. 比例关系应用：矩形中记住结论“垂直两线段之比等于矩形邻边之比”，直接建立方程求解。 4. 多解验证：正方形中“垂直→相等”成立，但“相等→垂直”不一定成立，需结合图形具体分析。
变式演练
【变式01】（2024·广东深圳·三模）【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．

【答案】（1）（2）5（3）或
【分析】（1）由矩形的性质结合，证明，由相似三角形的性质解求解；
（2）解法一：过点A，D作的垂线，垂足分别为，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ， 解直角三角形即可求解；
解法二：过点E作于点F，证明 ，则，可求出即，由，可得，在中，根据勾股定理求出长，即可解答．
（3）分两种情况：或，先画出图形，根据菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解法一：
过点A，D作的垂线，垂足分别为，
，，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
设，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
解法二：
过点E作于点F，如图
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）分两种情况：
①当时，延长交的延长线于，连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
即，
，
∴，
∴；
②当时，延长、交于点，延长、交于点，如图所示，

∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负根舍去），
∴；
综上可得，的值为或．
题型06 半角模型
典例引领
【典例01】（2024·湖北·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________；
【探究猜想】
（2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明；
【探究应用】
（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）45；（2），见解析；（3）等边三角形，见解析
【分析】（1）利用正方形性质及折叠性质，求出的度数；
（2）通过构造全等三角形，将、转化到同一条线段上，从而证明与的关系；
（3）连接，利用菱形性质和等边三角形判定，证明三角形全等，进而判断的形状．
【详解】解：（1）四边形是正方形，
，
由折叠的性质得
．
故答案为：45；
（2），
证明如下：如解图①，延长到点，使得，连接．
，
，
．
，
，
．
，
．
，
，
；
（3）是等边三角形，理由如下：
如图②，连接，
四边形是菱形，
．
，
和都是等边三角形，
．
，
，
，
在和中，
，
是等边三角形．
【典例02】（2025·山东·模拟预测）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，，分别在，边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：
如图2，延长到，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长 ；
（2）如图3，在四边形中，，，．，分别是线段，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系；
（3）如图4，若在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（4）若在四边形中，，，点、分别在、的延长线上，且，请画出图形，并直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）10；（2）；（3）成立，证明见解析；（4）
【分析】 （1）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解．
（2）延长到点．使．连接，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题；
（3）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题；
（4）在上截取，使，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，可得结论．
【详解】解：（1）如图1，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
的周长
，
故答案为：10；
（2）．
证明：如图2所示，延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）成立．
证明：如图3，延长到，使，连接，
，，
，
在与中，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（4），
理由如下：在上截取，使，
，，
，且，，
，
，，
∴，
，
，且，，
，
，
．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在一个大角（常见90°或120°）内部包含其一半的小角（45°或60°），且小角顶点与大角顶点重合。 2. 旋转构造：常考通过旋转构造全等三角形，将分散的线段集中到同一个三角形中解决问题。 3. 线段关系：主要结论为半角两边与正方形（或等边三角形）边构成的线段和差关系（如 EF=BE+DF）。 4. 综合应用：常与勾股定理、最值问题结合，考查学生构造旋转辅助线的能力。
方法技能 1. 旋转定方向：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使旋转边与大角另一边重合，构造全等。 2. 证全等得等量：旋转后证明两个三角形全等，得到对应边相等，实现线段转移。 3. 勾股求值：将转移后的线段集中到直角三角形中，利用勾股定理列方程求解。 4. 结论巧记：熟记正方形中45°半角模型结论EF=BE+DF，可快速解决填空选择题。
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到．
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论．
【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题．
（1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
（2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________
（3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系．
①若，则可得___________
②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________
【实践应用】
（4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________
【答案】（1）①5；②；（2）；（3）①；②；（4）
【分析】（1）①根据旋转得到，，根据勾股定理计算即可；
②同①可得答案；
（2）将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交延长线于G，证明，得到，根据三角函数得到，，由勾股定理列出等式计算即可；
（3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，证明，得到，根据三角函数得到，，则，由勾股定理列出等式计算即可；
②同①可得答案；
（4）作交于M，交于N，交于H，根据三角函数得到，， ，根据等面积法计算即可.
【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰，
∴，,,
∴
∴
∵
∴
故答案为：5；
②同①可知，
故答案为：；
（2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得
∴
整理得
故答案为：；
（3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，
∴，，
∵
∴
∴，
∵，
∴，，
∴
由勾股定理可得
∴
故答案为：；
②同①可得，，，，
∵
∴
整理得
故答案为：；
（4）如图，作交于M，交于N，交于H，
由（3）可知，，
由题意可知，
∴，，
∴，
解得
题●型●训●练
1．（2024·广西·一模）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接．
(1)【探究发现】图1中与的数量关系是___________，位置关系是___________；
(2)【初步应用】如图2，在中，是边上的中线，若，，，判断的形状；
(3)【探究提升】如图3，在中，若，，D为边上的点，且，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)是直角三角形；
(3)．
【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出；
（2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此计算即可得出结论；
（3）延长到，使得，连接，证明，推出，再利用三角形的三边关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长到，使，连接．
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）解：如图2，延长到，使，连接，
由（1）可知，，
，，，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：延长到，使得，连接，则，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
2．（2025·四川绵阳·一模）在数学的研究中，我们常常利用类比联想的思想方法，可以对一些问题进行引申拓展研究，达到“解一题，知一类”的目的．
【题根分析】例如：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系．解题思路：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点共线，易证之间的数量关系为．
【类比引申】
（1）如图2，中，，点是边上两点，．试猜想之间的数量关系．（直接写出你的猜想，不必写出证明过程）
【联想拓展】
（2）如图3，在中，，点均在边上，且，若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，
对于（1），将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得出答案；
对于（2），将绕逆时针旋转得△，由旋转的性质得，，再根据，可得，作，交延长线于点G，可求，再勾股定理得，然后根据勾股定理得出答案．
【详解】（1）解：．
将绕点A逆时针旋转得到，连接，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴，
即；
（2）解：将△绕逆时针旋转得△，
则，，
同理（1）得，
∴．
过点F作，交的延长线于点G，
则，
∴，
∴，
∴．
根据勾股定理，得．
根据勾股定理，得．
3．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】
（1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离；
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积；
【答案】（1），理由见解析（2）（3）8
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直的全等模型是解题的关键：
（1）证明，即可得出结论；
（2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结果；
（3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）如图1，过点作于点，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
即点到的距离为．
（3）如图2，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴的面积为．
4．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现：
如图
(1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系；
(2)模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明；
(3)模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明．
【答案】(1)
(2)，见详解
(3)结论成立，见详解
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质．
（1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论；
（2）通过证明得到，进一步得到即可求解；
（3）通过证明得到，进一步得到．
【详解】（1）解：
理由如下：∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
（2）解：
证明如下：∵
∴
∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
（3）（1）的结论成立，
理由如下：∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴
∴
5．（2025·甘肃平凉·二模）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再证明，得出，即可得解；
（2）在上截取，连接，由正方形的性质可得，，证明，得出，，证明，得出，即可得解；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，从而可得，，求出，证明，得出，最后由勾股定理即可得解．
【详解】证明：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型．
如图①，和中，，，且，连接，．
请找出图中的一对全等三角形：________．
【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若
求的长．
某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程：
如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ……
请将上述过程补充完整．
【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________．
【答案】[模型提出] ；[模型构造]，过程见解析；[模型应用]
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，理解手拉手模型原理，利用全等三角形的性质求解是解答的关键．
[模型提出]先证明，再证明可得结论；
[模型构造]补充得到,，即，利用勾股定理求得；
[模型应用] 连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，，，，进而可得，，证明，得到，利用锐角三角函数值和等腰三角形的判定证明，，利用勾股定理求得即可求解．
【详解】[模型提出]
解：∵，
∴，
∴，又，，
∴，
故答案为：；
[模型构造]
解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接，
则，所以．
又
过点A作于点．
又
，又，，，
∴,，
∴，又，
∴，
即；
[模型应用]
解：连接，
∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即
∴．
7．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
【答案】(1)且
(2)见解析
(3)和的面积相等，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解；
（2）在中，，在中，，再根据，即可求解；
（3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解；
（4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长．
【详解】（1）解：∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴在中，，
∴，即，
故答案为：且；
（2）证明：由（1）可知，且，
在中，，
在中，，
∵，
∴
，
∴；
（3）解：和的面积相等，理由如下，
如图所示，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，
∴和的面积相等；
（4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，垂足为，
在中，，
∴，
如图所示，延长，过点Q作延长线于点T，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度为．
8．（2025·山东济宁·三模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．
【问题初探】
（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系．
如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．
【类比分析】
（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长．
【学以致用】
（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可．
（1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可；
（2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可；
（3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在四边形中，，，
∴绕点旋转得到，
∴，
∴，，，，
∵，
∴点，，三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
（2）在上取点，使得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵，，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
（3）在上取点，使得，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴．
9．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时
【分析】（一）由全等三角形的性质可得结论；
（二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出；
（三）证明，得，由，得，进而可得结论：
（四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解．
【详解】（一）解：，
，
故答案为：
（二）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
（三）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
10．（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在中，是边上的中线，，求的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①小明同学的思考过程：在中，已知两边和的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范围．而要想求中线的取值范围，只有将中线转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如图2，可以延长到点E，使，连接，这样就构造了，将求的取值范围，转化为求的边的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作交延长线于点F，于是得到．进而将求的取值范围，转化为求的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在中，D是边的中点，点E在边上，，求的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形中，O为对角线的中点，，点G在边上，E为平面内一点且，以为斜边，在的右侧作等腰直角三角形，连接，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）①按小明的法，证明，再利用三角形三边之间的关系求出的取值范围，进而可求的取值范围；②按小刚的思路，过点C作交延长线于点F，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围；
（2）过点B作交延长线于点F，则，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围；
（3）过点O作于点H，连接，证明，得出对应成比例的线段，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围．
【详解】解：（1）①小明的解法：延长到点E，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴．
∴；
小刚同学的解法：过点C作交延长线于点F，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
∴，
即．
∴．
∴；
（2）如图，过点B作交延长线于点F，则，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴；
（3）如图，过点O作于点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
在中， ，，
∴，
在中，，
而当点O，F，G共线时，仍存在，
此时或，
∴．
11．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景：
（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：
（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由；
探究延伸：
（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：
（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离．
【答案】（1）；
（2）上述结论仍然成立，即，理由见解析；
（3）上述结论仍然成立，即，理由见解析；
（4） 米
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
（1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长．
【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（4） 如图，连接，延长交的延长线于，
同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，
，，
指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，
，
．
两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，
，，
，
符合第（3）问中的条件，
由第（3）问中的结论可得：，
根据题意得，（米），
（米），
（米）．
答：此时两同学之间的距离为米．
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