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专题05 相似三角形的基本八大模型
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 相似模型之“A”字模型
题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
题型05 相似模型之一线三等角模型
题型06 相似模型之手拉手模型
题型07 相似模型之半角模型
题型08相似模型之对角互补模型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 相似模型之“A”字模型
典例引领
【典例01】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ．
【典例02】（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，．
(1)求的长；
(2)如果，求的长．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在三角形中作一条底边的平行线，构成“A”字形，产生两个相似三角形，对应边成比例。 2. 正A与斜A：正A字形中平行线与底边平行；斜A字形中非平行线但共角，同样满足相似关系。 3. 应用方向：常考利用相似比求线段长度、证明比例式，或结合动态问题求函数关系。 4. 综合压轴：多与二次函数、动点问题结合，考查学生从复杂图形中识别基本模型的能力。
方法技能 1. 平行得相似：见到平行线立即联想“A”字形相似，找出对应顶点，写出比例式 = = 。 2. 斜A找共角：无平行线但有公共角时，考虑斜A字形，证另一组角相等或用两边对应成比例且夹角相等证相似。 3. 设参列方程：求线段长度时，设未知数利用相似比列方程求解，注意对应边要准确。 4. 动态抓不变量：动点问题中，平行关系变化时相似比随之变化，但相似关系保持不变。
变式演练
【变式01】（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值．
【变式02】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由．
题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
典例引领
【典例01】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且．
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．
(1)求证：；
(2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：两条直线相交，构成对顶角，常结合平行线或角相等条件，形成“X”字形相似三角形。 2. 平行型“X”字：在两条平行线间，连结端点形成“X”形，出现两组相似三角形，对应边成比例。 3. 非平行型：仅有对顶角加另一组角相等，也可证相似，常用于复杂图形中抽离基本模型。 4. 综合应用：常与中线、角平分线、动态几何结合，考查比例线段证明和长度计算。
方法技能 1. 识别对顶角：见到两条线段交叉，先找对顶角，再寻另一组等角（内错角或已知相等角）证相似。 2. 平行出比例：有平行线时，“X”字形中对应线段比例相等，如 = ，可直接列式。 3. 乘积式转化：将比例式转化为等积式（如OA ×OD = OB× OC），方便代入数值求解。 4. 多个“X”字：复杂图形中可能隐藏多个“X”字模型，逐个分析，利用比例传递解题。
变式演练
【变式01】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．
(1)求的值；
(2)当时．
i）如图1，若的面积是，求k的值；
ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．
题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
典例引领
【典例01】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：．
【典例02】（2026·新疆·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长；
类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点．求出与的位置关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值．
方法透视
考向解读 1. 复合模型特征：图形中同时包含“A”字和“8”字两种基本相似结构，是二者的组合与拓展。 2. 分类考查：常分为“一A+8”、“两A+8”（反向双A）、“四A+8”等类型，考查学生在复杂图形中分解基本模型的能力。 3. 线段关系推导：常考利用两组相似三角形的比例式相加或相乘，推导出复杂的线段关系或等式。 4. 综合压轴应用：多与中点、平行线、动态几何结合，考查转化与化归思想。
方法技能 1. 分解基本模型：从复杂图形中分别识别出“A”字形和“8”字形相似三角形，逐一分析。 2. 寻找中间比：两组相似三角形中常有公共线段或比例作为桥梁，利用中间比实现比例传递。 3. 比例式加减处理：遇“两A+8”模型，常需将两个比例式相加得到新的关系式，注意代数变形。 4. 平行线构造：当模型隐含时，主动作平行线构造“AX”结构，实现线段比的转化。
变式演练
【变式01】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【变式02】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的值．
(3)若，如图2，求的值．
题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
典例引领
【典例01】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【典例02】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：一个大三角形内含一个小三角形，两者共一角，且小三角形的一边与大三角形的另一边重合，形成“子母”相似关系。 2. 射影定理型：直角三角形斜边上的高分成的两个小三角形均与原三角形相似，是母子型的特例。 3. 乘积式结论：常考由相似得到比例式，进而转化为等积式（如AD×AB=AE× AC）用于计算。 4. 综合应用：多与圆（切割线定理）、勾股定理结合，考查学生识别共角共边结构的能力。
方法技能 1. 抓公共角：母子型相似的关键是找到公共角，再找另一组等角或夹公共角的两边对应成比例。 2. 射影定理巧用：在直角三角形中，记住射影定理结论（AC2=AD×AB、BC2=BD×AB、CD2=AD×BD）可快速解题。 3. 等积式转化：由相似推出的比例式常转化为等积式，便于代入已知线段长度求解未知量。 4. 识别变式图形：母子型常隐藏于复杂图形中（如圆内接三角形），通过旋转或翻折识别基本结构。
变式演练
【变式01】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
(1)边的长为____；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求的值；
(4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
【变式02】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：；
（）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且．
①如图，若，，，求的长；
②如图，若为的中点，直接写出的值．
题型05 相似模型之一线三等角模型
典例引领
【典例01】（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，满足．
(1)若射线交于点，求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求点在边上的位置．
【典例02】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且．
(1)求证：．
(2)①如图2，若，当时，求证：
②如图3，当，，，时，求的长．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在同一条直线上出现三个相等的角，顶点分别位于直线和两个三角形上，构成两组相似三角形。 2. 分类考查：常分为同侧型和异侧型，直角型（一线三垂直）和锐角、钝角型，不同位置结论略有差异。 3. 相似结论：由等角条件直接推出两个三角形相似，得到对应边成比例，用于求线段长度或证明乘积式。 4. 综合应用：多与二次函数、动点问题结合，考查学生在坐标系中构造模型解决问题的能力。
方法技能 1. 找线寻角：在图形中寻找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 2. 等角导相似：由外角定理或三角形内角和证明另一组角相等，得到两个三角形相似。 3. 比例列方程：由相似得对应边成比例，设未知数列方程求解线段长度或点坐标。 4. 直角特例快解：当等角为直角时（一线三垂直），相似关系更直观，可直接用水平竖直线段比列式。
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
【变式02】（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【问题提出】
（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值．
【问题应用】
（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．
①求证：．
②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积．
题型06 相似模型之手拉手模型
典例引领
【典例01】（2026·湖北黄石·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，求的长，
(3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
①求证：；
②当时，直接写出的值．
【典例02】（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：两个相似三角形共顶点，且对应边成比例，绕公共顶点旋转构成“手拉手”结构，产生新的相似三角形。 2. 旋转相似：由旋转得到第二对相似三角形（即拉手线构成的三角形与原三角形相似），常考证明二次相似。 3. 结论应用：主要结论为拉手线的比等于相似比，拉手线的夹角等于旋转角（即对应边的夹角）。 4. 综合压轴：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生从旋转图形中识别相似关系的能力。
方法技能 1. 识别公共顶点：找到两个相似三角形的公共顶点，确认对应边成比例是模型成立的前提。 2. 证二次相似：由第一对相似得对应角相等，再结合旋转角证第二对三角形相似（常为SAS）。 3. 拉手线比例：由二次相似得到拉手线的比等于原相似比，直接用于求线段长度。 4. 动态抓不变量：图形旋转过程中，相似比和拉手线夹角保持不变，可用于求轨迹或最值。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
【变式02】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
题型07 相似模型之半角模型
典例引领
【典例01】（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______；
【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明；
【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式．
【典例02】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．
（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：一个大角（常为90°或120°）内含其半角（45°或60°），通过旋转构造相似三角形，实现线段关系转化。 2. 相似结构：旋转后常出现两组相似三角形，一组是全等（用于边转移），另一组是相似（用于比例计算）。 3. 线段关系：常考结论如EF2 = BE2 + DF2（正方形半角）或线段乘积关系，需结合勾股定理求解。 4. 综合应用：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生构造旋转相似解决问题的能力。
方法技能 1. 旋转构造：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使两边与大角两边重合，构造全等三角形。 2. 证相似得比例：旋转后新出现的三角形与原三角形相似，利用相似比列方程求线段长度。 3. 勾股结合：将转移后的线段集中到直角三角形中，用勾股定理建立等量关系求解。 4. 多解验证：半角模型中常有多组相似关系，选择最直接的一组列式，注意对应边要准确。
变式演练
【变式01】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
题型08 相似模型之对角互补模型
典例引领
【典例01】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】
如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．
以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：，理由如下：
过点作于点于点，则四边形为矩形．
平分，．①
，．
，② ．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】
（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）．
【典例02】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，．
(1)用等式写出和的数量关系是______；
(2)如图2，连接，．求证：平分；
(3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到．
①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状；
②如图4，当交于点时，若，，求的值．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：四边形（常为圆内接四边形）中，一组对角互补，通过作垂线或旋转构造相似三角形。 2. 双垂直特例：对角互补的常见特例是“对角都为90°”的双垂直结构，出现射影定理型相似。 3. 相似结论：由对角互补可推出另一组对角相等或邻补角相等，进而证明三角形相似得到比例式。 4. 综合应用：多与圆（圆周角定理）、角平分线结合，考查学生转化角关系的能力。
方法技能 1. 互补导出等角：四边形对角互补，则外角等于内对角，利用这一关系寻找相等的角证相似。 2. 作垂线构造：过顶点作双垂直，将对角互补转化为一线三等角或射影定理模型求解。 3. 旋转集中边：将对角互补的三角形旋转，使互补角拼成平角，构造共线边便于计算。 4. 圆中直接套用：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理可直接找到多组相等的角。
变式演练
【变式01】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知．
(1)如图1，点在的延长线上，若，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是边的中点，，，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2025·云南玉溪·三模）如图，中，，与相交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______．
4．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________．
三、解答题
5．（2025·河南郑州·一模）如图，点为的边上一点，延长至点，使得，点在线段上，且，，．
(1)求的长．
(2)若，平分，求的长．
6．（2025·江西吉安·二模）追本溯源
题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高．
方法应用
（2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长
7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
8．（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变，
①求证，并求出的值；
②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分．
9．（2025·山东济南·模拟预测）【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示．
（1）当的面积达到最大时，的度数为______；
（2）根据图，求证：；
（3）根据图，求的度数；
【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，（），为边上一点，满足
(1)求证：；
(2)在延长线上有一点，是边上的中线，连接．
①当，时，求的值；
②将沿翻折至，线段与线段交于点H，若，，求的值．
11．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
12．（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题05 相似三角形的基本八大模型
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 相似模型之“A”字模型
题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
题型05 相似模型之一线三等角模型
题型06 相似模型之手拉手模型
题型07 相似模型之半角模型
题型08相似模型之对角互补模型
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 相似模型之“A”字模型
典例引领
【典例01】（2025·湖北武汉·一模）如图，一块材料的形状是等腰，，，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ．
【答案】
【知识点】三线合一、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查相似三角形的应用，正方形的性质，三线合一性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
作于，得到，则，证明、，则，，，，则，即．
【详解】解：如图所示，作于，
∵，
∴
∴，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
又，
，
，
，
∴，
．
故答案为：．
【典例02】（2026·上海虹口·一模）如图，、分别是边、上的点，且，．
(1)求的长；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答．
（2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
则，
∴，
∴
∴（负值舍去），
∴
解得．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在三角形中作一条底边的平行线，构成“A”字形，产生两个相似三角形，对应边成比例。 2. 正A与斜A：正A字形中平行线与底边平行；斜A字形中非平行线但共角，同样满足相似关系。 3. 应用方向：常考利用相似比求线段长度、证明比例式，或结合动态问题求函数关系。 4. 综合压轴：多与二次函数、动点问题结合，考查学生从复杂图形中识别基本模型的能力。
方法技能 1. 平行得相似：见到平行线立即联想“A”字形相似，找出对应顶点，写出比例式 = = 。 2. 斜A找共角：无平行线但有公共角时，考虑斜A字形，证另一组角相等或用两边对应成比例且夹角相等证相似。 3. 设参列方程：求线段长度时，设未知数利用相似比列方程求解，注意对应边要准确。 4. 动态抓不变量：动点问题中，平行关系变化时相似比随之变化，但相似关系保持不变。
变式演练
【变式01】（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连接交于点G，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，，若，且，恰好将三等分，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由得，所以，同理可得，故，即得答案；
（2）先证明，得到，设，求出，的值，即可求得答案．
【详解】解：（1），
，
，
同理，
，
，
；
（2），恰好将三等分，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
设，则，，
由得，，
（负值舍去），
．
【变式02】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，和的长分别是方程的两个根，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，以相同的速度向点O匀速运动，到达点O后又立即按原速返回，当点到达终点时，点Q也随之停止运动，连接，设点P、Q的运动时间为秒，的面积为．请结合图象信息解答下列问题：
(1)求线段的长；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出的值：若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当或时，为直角三角形．
【知识点】因式分解法解一元二次方程、列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理求解即可；
（2）如图，过作于，证明，可得，再分两种情况列函数解析式即可；
（3）如图，当，时，则，可得，求解；当时，证明，求解：（不符合题意，舍去）当时，此时，证明，可得；从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∵和的长分别是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：如图，过作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴；
（3）解：如图，当，时，则，
∴，
∴，
解得：；
当时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，此时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
同理可得：时不符合题意，舍去；
综上：当或时，为直角三角形．
题型02 相似模型之“X”字模型（“8”字模型）
典例引领
【典例01】（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且．
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论；
（2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
又在中，点为中点，
，
，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
又点是中点，，
，
，
∵
，
，
．
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．
(1)求证：；
(2)点在底边上，，，连接，如果与的面积相等，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．
(1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，根据同位角相等两直线平行可证结论成立；
(2)根据，，可知，根据相似三角形的性质可知，从而可得：，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：根据题意得，，
，
，
，
和面积相等，
，
解得：．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：两条直线相交，构成对顶角，常结合平行线或角相等条件，形成“X”字形相似三角形。 2. 平行型“X”字：在两条平行线间，连结端点形成“X”形，出现两组相似三角形，对应边成比例。 3. 非平行型：仅有对顶角加另一组角相等，也可证相似，常用于复杂图形中抽离基本模型。 4. 综合应用：常与中线、角平分线、动态几何结合，考查比例线段证明和长度计算。
方法技能 1. 识别对顶角：见到两条线段交叉，先找对顶角，再寻另一组等角（内错角或已知相等角）证相似。 2. 平行出比例：有平行线时，“X”字形中对应线段比例相等，如 = ，可直接列式。 3. 乘积式转化：将比例式转化为等积式（如OA ×OD = OB× OC），方便代入数值求解。 4. 多个“X”字：复杂图形中可能隐藏多个“X”字模型，逐个分析，利用比例传递解题。
变式演练
【变式01】（2025·安徽池州·一模）如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，且．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)的长为
(3)
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）如图，连接，交对角线于点，根据矩形的性质得到，，则，由等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据矩形的性质得到，，则，设，则，，所以，由此列式求解即可；
（3）设，，由矩形的性质，结合题意得到，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，整理得，所以，即，由（2）知，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，交对角线于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得，
∴的长为．
（3）解：设，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
整理得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴．
【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在中，点E是线段的中点，点F在的延长线上，且，连接交线段于点G．
(1)求的值；
(2)当时．
i）如图1，若的面积是，求k的值；
ⅱ）如图2，连接，若，求的长（用含k的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)i）；ⅱ）
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，则可证明，证明得到，据此可得答案；
（2）：i）如图所示，连接，由相似三角形的性质得到，，同理可得，则；可求出，证明；求出，则，，由勾股定理得到，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可；ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，证明，得到；设，证明，可推出；设，则，由勾股定理可得，即，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：i）如图所示，连接，
由（1）可得，
∴，，
∴同理可得，
∵的面积是8，
∴；
∵点E是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
ⅱ）如图所示，连接，设交于点M，
由（1）（2）得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
设，则，
由（2）i）得，则（平行线的性质），
在和中，由勾股定理得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
题型03 相似模型之“AX”字模型（“A8”字模型）
典例引领
【典例01】（2025·安徽铜陵·一模）如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证；
（2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论；
（3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即点是的中点，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：由（2）知，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【典例02】（2026·新疆·一模）问题解决：（1）如图①，在中，分别是边上的一点，，，若，，求的长；
类比探究：（2）如图②，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，与交于点．求出与的位置关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）如图③，在四边形中，，点分别在边上，，若，，求的值．
【答案】（1）3；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）过点作，交延长线于点，设交于点，易得四边形是平行四边形，，在中，由求解即可；
（2）结合角平分线的定义可知，，再根据平行四边形的性质可得，进而可得，然后证明，易得，即可证明；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点，易得四边形是矩形，首先证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，设，，则，，结合，，可列二元一次方程组并求解，进而可得，，，；证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质证明，可得，结合，即可解得的值．
【详解】解：（1）如下图，过点作，交延长线于点，设交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
在中，；
（2），理由如下：
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即；
（3）如下图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，过点作，交于点，交于点，连接，设交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∵，，
∴，，
联立，解得，
∴，，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
方法透视
考向解读 1. 复合模型特征：图形中同时包含“A”字和“8”字两种基本相似结构，是二者的组合与拓展。 2. 分类考查：常分为“一A+8”、“两A+8”（反向双A）、“四A+8”等类型，考查学生在复杂图形中分解基本模型的能力。 3. 线段关系推导：常考利用两组相似三角形的比例式相加或相乘，推导出复杂的线段关系或等式。 4. 综合压轴应用：多与中点、平行线、动态几何结合，考查转化与化归思想。
方法技能 1. 分解基本模型：从复杂图形中分别识别出“A”字形和“8”字形相似三角形，逐一分析。 2. 寻找中间比：两组相似三角形中常有公共线段或比例作为桥梁，利用中间比实现比例传递。 3. 比例式加减处理：遇“两A+8”模型，常需将两个比例式相加得到新的关系式，注意代数变形。 4. 平行线构造：当模型隐含时，主动作平行线构造“AX”结构，实现线段比的转化。
变式演练
【变式01】（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得．
（2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：，
∴，两边同时除以，得．
（2）证明：∵，，，，∴，，
∵，∴，∴，同理，，
∴，∴，
两边同时除以得，，∴；
（3）解：由（1）可知，，，
∴，解得，，∴，解得，，∴．
【变式02】（2025·安徽合肥·一模）已知点是矩形边延长上一点，且，是对角线和的交点．连接，交于，交于，连接，如图1．
(1)求证：平分．
(2)若，，求的值．
(3)若，如图2，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】利用矩形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）平行得到，等边对等角，得到，进而得到，即可得证；
（2）过作于，勾股定理求出的长，进而求出的长，角平分线的性质，得到，证明，求出的长，进而得到的长，证明，推出的长，再根据正切的定义，进行求解即可；
（3）易证矩形是正方形，设，进而得到，证明，推出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
，
，
平分．
（2）过作于．
在矩形中，，，
，，
，，
由（1）得平分，
，
，
，
又，
，
，
∵，，
∴，
，
，
；
（3），
矩形是正方形，
设，则，
由（2）知：，
，，
∴，
，平分，
∴，
，
，
，
．
题型04 相似模型之“母子型”模型（共边共角模型）
典例引领
【典例01】（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键：
（1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴，即，
∴．
【典例02】（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在中，，三条边及边上的高分别记为．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若将变为锐角，其他不变，如图，设其外接圆的直径为，试探索并写出这4个量的一个等量关系，然后给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，证明见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等，能够根据所求内容找到相关的量是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理得，式子变形可得，又有，即可证明；
（3）过点作直径交圆于点，连接，即可证明，推出，即．
【详解】（1）证明：，，，，，
，
．
（2）证明：在中，，根据勾股定理得，，
，
，
又（已证），
，
．
（3）解：，证明如下：
过点作直径交圆于点，连接，
为圆的直径，
，
，
，
，即：．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：一个大三角形内含一个小三角形，两者共一角，且小三角形的一边与大三角形的另一边重合，形成“子母”相似关系。 2. 射影定理型：直角三角形斜边上的高分成的两个小三角形均与原三角形相似，是母子型的特例。 3. 乘积式结论：常考由相似得到比例式，进而转化为等积式（如AD×AB=AE× AC）用于计算。 4. 综合应用：多与圆（切割线定理）、勾股定理结合，考查学生识别共角共边结构的能力。
方法技能 1. 抓公共角：母子型相似的关键是找到公共角，再找另一组等角或夹公共角的两边对应成比例。 2. 射影定理巧用：在直角三角形中，记住射影定理结论（AC2=AD×AB、BC2=BD×AB、CD2=AD×BD）可快速解题。 3. 等积式转化：由相似推出的比例式常转化为等积式，便于代入已知线段长度求解未知量。 4. 识别变式图形：母子型常隐藏于复杂图形中（如圆内接三角形），通过旋转或翻折识别基本结构。
变式演练
【变式01】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
(1)边的长为____；
(2)当时，求的长；
(3)当时，求的值；
(4)连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
【答案】(1)4；
(2)；
(3)；
(4)的长为或．
【知识点】用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、已知余弦求边长
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）分、两种情况，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可；
（3）过点E作，交于点H ，根据勾股定理求出，，由，即，求出，得到，根据，得到，，即可得到．
（4）分以为对称轴、以为对称轴讨论，利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（2）解：∵，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，的长为．
（3）解： 如图，过点E作，交于点H ，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：当四边形为轴对称图形时，
①如图，以为对称轴时，则，
∴；
②如图，以为对称轴时，则，
∴点D到的距离相等，
设点D到的距离为h，点C到的距离为m，
∴，
∴，即，
综上，的长为或．
【变式02】（2025·湖北武汉·一模）（）【提出问题】如图，是的边上一点，且．求证：；
（）【探究问题】在四边形中，，，是边上一点，连接交于点，且．
①如图，若，，，求的长；
②如图，若为的中点，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质即可证明结论；
（2）①导角证明，得到；求出，得到，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，延长交于F，连接，证明，得到，则可证明，再证明，得到，设，则，可得，则，即．
【详解】（）证明：∵，，
∴，
∴；
（）①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②如图所示，延长交于F，连接，
∵，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
∴，即．
题型05 相似模型之一线三等角模型
典例引领
【典例01】（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，连接，，，满足．
(1)若射线交于点，求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，求点在边上的位置．
【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3)点是上靠近点的三等分点
【分析】本题以平行四边形为载体，综合考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及比例式的代换，关键是通过等角关系推导相似三角形，再利用相似比建立线段间的联系，逐步完成求解．
（1）先借助平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合已知等角条件推出两组对应角相等，从而用判定定理证明三角形相似．
（2）由（1）的相似得到，再通过等角对等边推出，将其转化为；接着利用平行四边形的角的互补关系和三角形内角和，证明，进而得到，推导出求出的长度；最后由平行线得到的相似三角形比例式，代入数值计算出的长．
（3）直接利用（2）得到的比例式，结合题目给出的，代入化简后得到与的比例关系，从而确定点在上的位置．
【详解】（1）证明：如图，射线交于点，
∵在中，，
，
，
，
又，
；
（2）解：由（1）得，
∴，即，
∵，
∴，
∴①，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即②，
在中，，
∵，
∴，即③，
③-②得，即，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，化为，
将①代入得，化为④，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得；
（3）解：由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点是上靠近点的三等分点．
【典例02】（2025·安徽淮北·一模）如图1，在四边形中，，点E是上一点，且．
(1)求证：．
(2)①如图2，若，当时，求证：
②如图3，当，，，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，结合即可得证；
（2）证明：由相似三角形的性质可得，证明为直角三角形，结合，即可得证；②由相似三角形的性质可得，，作于，于，求出，得到，，，由勾股定理可得，，作于的延长线，交延长线与，由，，知，在中，，求得，在中，求得的长．
即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：由（1）可知：，
∴，
∵，，
∴为直角三角形，
∵，
∴，
∴；
②解：由（1）可知：，
∴，
∵，，，
∴，，
如图，作于的延长线，交延长线与，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
，，
，
在中，，，
，已知，
，
中，．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：在同一条直线上出现三个相等的角，顶点分别位于直线和两个三角形上，构成两组相似三角形。 2. 分类考查：常分为同侧型和异侧型，直角型（一线三垂直）和锐角、钝角型，不同位置结论略有差异。 3. 相似结论：由等角条件直接推出两个三角形相似，得到对应边成比例，用于求线段长度或证明乘积式。 4. 综合应用：多与二次函数、动点问题结合，考查学生在坐标系中构造模型解决问题的能力。
方法技能 1. 找线寻角：在图形中寻找同一直线上的三个等角顶点，确定“一线三等角”的基本结构。 2. 等角导相似：由外角定理或三角形内角和证明另一组角相等，得到两个三角形相似。 3. 比例列方程：由相似得对应边成比例，设未知数列方程求解线段长度或点坐标。 4. 直角特例快解：当等角为直角时（一线三垂直），相似关系更直观，可直接用水平竖直线段比列式。
变式演练
【变式01】（2025·广东深圳·二模）在平行四边形中，点，分别在边，上．
【尝试初探】（1）如图1，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值；
【深入探究】（2）如图2，，，，求的值；
【拓展延伸】（3）如图3，与交于点，，，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案；
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案；
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】（1）∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∵为中点
∴，
∴
∴
∴
∴
（2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴
∵，
∴，
∵都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
（3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，
不妨设，则，由，得
由
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴，相似比为
∴
∵
∴
∴
【变式02】（2026·江苏连云港·模拟预测）探究式学习是重要的学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【问题提出】
（1）如图1，在中，，，点，在线段上，，求证：．
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，且．若，求的值．
【问题应用】
（3）如图3，在菱形中，，点在边延长线上，点在边延长线上，且．
①求证：．
②在①的条件下，若，，请直接写出菱形的面积．
【答案】（1）见解析（2）（3）①证明见解析②
【分析】（1）推出，，即可推出；
（2）连接，证明，设，，则，，，，列出方程，即可得，即可解答；
（3）①连接，过点作交的延长线于点，在上取一点，使得，证明，，可得，经过线段的转换即可解答；
②设，可得，即，求得菱形的边长即可解答．
【详解】证明：，
，
，
，且，
，
；
（2）如图，连接，
在矩形中，，，
，
，，
，，
，
，
，
作于点，
，
，
，
，
，
设，，则，，，，，
，
，
，
，
，，
；
（3）①证明：如图，连接，过点作交的延长线于点，
在菱形中，,，
，，
，
，
，，，
，，
，
，
，
在上取一点，使得，
在菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
四边形为菱形，
设，
，即，
解得，
即，
如图，过点作交于点，
，
，，
．
题型06 相似模型之手拉手模型
典例引领
【典例01】（2026·湖北黄石·一模）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当，时，求的长，
(3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于
①求证：；
②当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可；
（2）根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则．从而得到，使用勾股定理计算即可；
（3）①由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明．通过等量代换，可得，则可证明；
②作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出．容易证明，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明，则．由①中的，可得．由平行判定，则，代入即可．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
∴
解得，；
（3）解：①由旋转的性质可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
②如图，作，垂足为，延长、交于点，设，
∵，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【典例02】（2025·河南南阳·二模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________．
（2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，．
【类比探究】
①如图②，点在线段上时，求证：．
【拓展提升】
②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
【答案】（1）；；（2）①见解析；②
【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点．
（1）证明，根据相似三角形的性质可得，；
（2）同理（1）可得可求，，由此求出；
（3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解．
【详解】解：（1）；；
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；；
（2）①如图②，过点作，垂足为，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（1）可得：；；
设，，
则，，，
∴，
∴，
②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为，
同理可得：，；；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
当在内时，如图③-2，
同理可求：，，
∴
综上所述：长为
方法透视
考向解读 1. 模型特征：两个相似三角形共顶点，且对应边成比例，绕公共顶点旋转构成“手拉手”结构，产生新的相似三角形。 2. 旋转相似：由旋转得到第二对相似三角形（即拉手线构成的三角形与原三角形相似），常考证明二次相似。 3. 结论应用：主要结论为拉手线的比等于相似比，拉手线的夹角等于旋转角（即对应边的夹角）。 4. 综合压轴：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生从旋转图形中识别相似关系的能力。
方法技能 1. 识别公共顶点：找到两个相似三角形的公共顶点，确认对应边成比例是模型成立的前提。 2. 证二次相似：由第一对相似得对应角相等，再结合旋转角证第二对三角形相似（常为SAS）。 3. 拉手线比例：由二次相似得到拉手线的比等于原相似比，直接用于求线段长度。 4. 动态抓不变量：图形旋转过程中，相似比和拉手线夹角保持不变，可用于求轨迹或最值。
变式演练
【变式01】（2025·青海西宁·一模）综合与实践
【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则
【拓展提升】
（3）如图3，，，连接，，若．
①求的值；
②延长交于点，则 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可；
②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）①∵，，
∴设，则，
∴，
∴．
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②设，交于点，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式02】（2025·江苏连云港·一模）综合与实践：
【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若，，，D为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为______；
（2）在图1中，连接，求证：；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，D为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长；
【综合应用】
（4）如图4，若，，，若D点在线段上运动（，且点D不与点B重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4），
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据互为“手拉手等形三角形”定义可得出，，然后证明，根据相似三角形的性质求解即可；
（2）类似（1）证明即可；
（3）过B作于M，过D作于N，根据，得出，证明，得出，则，证明，得出，代入数值求解即可；
（4）类似（1）证明，得出， ，设，则，过A作于M，过F作于N，则，，，，证明，可求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解∶∵，，，D为的中点
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，经检验符合题意；
（2）证明：如图，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
（3）∵，，D为的中点，
∴，，
∴，
过B作于M，过D作于N，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，经检验，符合题意；
（4）解：∵，，，
∴，，，
∵和互为“手拉手等形三角形”，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴， ，
设，则，
过A作于M，过F作于N，
∴，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∴当时，有最大值为，此时，
∴面积的最大值为，此时的长度为．
题型07 相似模型之半角模型
典例引领
【典例01】（24-25九年级上·江苏南京·月考）【模型回顾】在八年级，我们学习了全等三角形的经典模型—“半角模型”：如图1，在正方形中，E、F在边上，，连接．请你写出线段、、的数量关系：_______；
【探索发现】如图2，小明连接对角线，与、交于点M、N，图中与相似的三角形共有___________个，请你选择其中一组证明；
【深入研究】正方形边长为1，设的长为x，的长为，求与的函数关系式．
【答案】（1）；（2）5，见解析；（3）
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论；
（2）根据正方形的性质和相似三角形的判定方法即可得到结论；
（3）由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，作于O，过A作于P，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，由（1）知，，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）；
理由：延长到点G，使，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）与相似的三角形有．
理由：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
将绕点A顺时针旋转得到，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相似的三角形有，
故答案为：5；
（3）由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于O，过A作于P，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【典例02】（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．
（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可；
（3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解．
【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，，
解得：，
；
（2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
在中，，即，
解得：，
；
②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，
，，
，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
在中，，即，
解得：，
；
综上所述，或；
（3）作，且令，连接，，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：一个大角（常为90°或120°）内含其半角（45°或60°），通过旋转构造相似三角形，实现线段关系转化。 2. 相似结构：旋转后常出现两组相似三角形，一组是全等（用于边转移），另一组是相似（用于比例计算）。 3. 线段关系：常考结论如EF2 = BE2 + DF2（正方形半角）或线段乘积关系，需结合勾股定理求解。 4. 综合应用：多与最值问题、动点轨迹结合，考查学生构造旋转相似解决问题的能力。
方法技能 1. 旋转构造：将半角一侧的三角形绕顶点旋转，使两边与大角两边重合，构造全等三角形。 2. 证相似得比例：旋转后新出现的三角形与原三角形相似，利用相似比列方程求线段长度。 3. 勾股结合：将转移后的线段集中到直角三角形中，用勾股定理建立等量关系求解。 4. 多解验证：半角模型中常有多组相似关系，选择最直接的一组列式，注意对应边要准确。
变式演练
【变式01】（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．
①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】
(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】
(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转
(2)，理由见详解
(3)5.2
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解；
（2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论；
（3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可．
方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出．
【详解】（1）解：①，理由如下：
沿着小明的思路进行证明，
在正方形中，有，，
即有，
，，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，结论得证；
②将绕点顺时针旋转即可得到．
理由如下：
在①已经证得，并得到，
，
将绕点顺时针旋转即可得到；
故答案为：①，②将绕点顺时针旋转；
（2），理由如下：
延长至点，使得，连接，如图，
与互补，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，结论得证；
（3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
设，则，
，
，
，
，
，
由（1）得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
；
解法二：过点作于点，如图，
，，
在矩形中，，，，
设，则有，
，
在中，，
在中，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即：
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
结合，解得，
．
题型08 相似模型之对角互补模型
典例引领
【典例01】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】
如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．
以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答．
解：，理由如下：
过点作于点于点，则四边形为矩形．
平分，．①
，．
，② ．…
（1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______；
【迁移探究】
（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图3，若为内部一点，且，请直接写出与之间的数量关系（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析；（3）
【知识点】角平分线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）根据解析过程即可求解；
（2）过点作于点，作于，则四边形是矩形，根据角平分线性质得到，再证明即可；
（3）过点作于点，作于，证明，则，而在中，，则．
【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为；
（2）解：不发生变化，依旧是，理由如下：
过点作于点，作于，
∵为两条互相垂直的射线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于点，作于，
∵为两条互相垂直的射线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
【典例02】（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，．
(1)用等式写出和的数量关系是______；
(2)如图2，连接，．求证：平分；
(3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到．
①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状；
②如图4，当交于点时，若，，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①正方形，见解析；②
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据四边形内角和即可解答；
（2）过点作交延长线于点，证明即可解答；
（3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答；
②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：根据四边形内角和为，
可得，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作交延长线于点，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，，
，
即平分；
（3）解：①由（1）得，，
，
，
，
四边形是矩形，
绕点旋转得到，
，
如图，过点作交延长线于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
即平分，
，
，
，
，
矩形是正方形．
②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，，
，
设，，则，
在中，，
，
同理，，
，
解得，，
．
方法透视
考向解读 1. 模型特征：四边形（常为圆内接四边形）中，一组对角互补，通过作垂线或旋转构造相似三角形。 2. 双垂直特例：对角互补的常见特例是“对角都为90°”的双垂直结构，出现射影定理型相似。 3. 相似结论：由对角互补可推出另一组对角相等或邻补角相等，进而证明三角形相似得到比例式。 4. 综合应用：多与圆（圆周角定理）、角平分线结合，考查学生转化角关系的能力。
方法技能 1. 互补导出等角：四边形对角互补，则外角等于内对角，利用这一关系寻找相等的角证相似。 2. 作垂线构造：过顶点作双垂直，将对角互补转化为一线三等角或射影定理模型求解。 3. 旋转集中边：将对角互补的三角形旋转，使互补角拼成平角，构造共线边便于计算。 4. 圆中直接套用：圆内接四边形对角互补，结合圆周角定理可直接找到多组相等的角。
变式演练
【变式01】（2025·湖北武汉·一模）如图，是四边形的对角线，已知．
(1)如图1，点在的延长线上，若，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，，直接写出的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、已知圆内接四边形求角度、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形外接圆、圆内接四边形的性质，正切的定义等，熟练掌握是解题的关键．
（1）分别证明、即可；
（2）连接，以为半径作圆，易得点、点在圆上，四边形为圆内接四边形，根据托勒密定理得，即，又弦所对圆周角，，，，；
（3），如图所示，构造三角形，即可求出的值．
【详解】（1）解：，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：如图所示，连接，以为半径作圆，
易得点、点在圆上，
四边形为圆内接四边形，
根据同弦所对圆周角相等，设，，，，，，，，，，
如图所示，分别将，，的边长与、、相乘，得：
将上述三个三角形拼接，得：
，
新图形为平行四边形，
，
即，即，
又弦所对圆周角，
，，
，
．
（3）解：
，
如图所示，作等腰三角形，为锐角，，，设，，
则，，
，
，
，
，
根据上述结论，，
则，
如图所示，作矩形，设，
则，
根据上述结论，，
，
，
答：．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）如图，在四边形中，是边的中点，，，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】延长、，交于点F，过点A作于点G，证明，得出，求出，得出，证明为等边三角形，得出，，求出，，最后根据勾股定理和直角三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长、，交于点F，过点A作于点G，如图所示：
则，
∵点E为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
2．（2025·云南玉溪·三模）如图，中，，与相交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由相似三角形面积比得出相似比，再根据相似三角形性质得到对应边的比例关系，进而求出的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
二、填空题
3．（2026·上海松江·一模）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______．
【答案】2
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：2．
4．（2026·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，，E是射线上一点，F是射线上一点，且，连接，交于点G，连接，当的值最小时，的面积为__________．
【答案】/7.5/
【分析】通过构造辅助线，先证得四边形、是矩形，再证得，结合已知条件求得，的值，进而得到的值，利用对称的性质得到，，当点，G，C三点共线时，得出有最小值，再证明，利用相似三角形的性质求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果．
【详解】解：如图，过点G作，延长交于点M，过点G作，
则，
在矩形中，，，
∴四边形、是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
作点B关于点P的对称点，连接，
∴，，
∴，
∵，
∴当点，G，C三点共线时，的值最小，此时最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题
5．（2025·河南郑州·一模）如图，点为的边上一点，延长至点，使得，点在线段上，且，，．
(1)求的长．
(2)若，平分，求的长．
【答案】(1)2.4
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由平行得到，，即可求解；
（2）过作于，由平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角的正弦推出，由，推出，即可求出，于是得到．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．（2025·江西吉安·二模）追本溯源
题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高．
方法应用
（2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质．
（1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可；
（2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
7．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键．
（）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得；
（）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论；
（）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又由（）可得，
∴，
由（）知，
∴．
8．（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变，
①求证，并求出的值；
②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用矩形的性质得到相等的边和角，然后证明即可得出结论；
（2）①根据正方形的性质得出相等的角，求出相关边长，证明，，然后利用相似三角形的性质即可得出结论，利用勾股定理即可求解；
②延长，交于点E，证明，，利用相似三角形的性质得出，继而得出，最后根据等量代换得出可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形为矩形，
，，
，
为中点，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：①由（1）知，
，
四边形为正方形，
，，，
，
∴，
∴，，
，，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
；
②如图，延长，交于点E，
四边形为正方形，
，，
，
同上易得，，，
，，
，
，
，
，
∴垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
即平分．
9．（2025·山东济南·模拟预测）【初步探索】如图，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图所示．
（1）当的面积达到最大时，的度数为______；
（2）根据图，求证：；
（3）根据图，求的度数；
【类比应用】如图，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
【答案】初步探索：证明见解析；问题解决：（1）；（2）证明见解析；（3）；类比应用：，理由见解析
【分析】初步探索：根据题意证明出，即可得出结论；
（1）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大，即可得出的度数；
（2）由，，可得，，得，，得出，即可得出结论；
（3）由可得，进而即可得出结论．
类比应用：连接、，在和中，根据勾股定理，，然后解直角三角形，由，可得，由，可得即可得出结论．
【详解】初步探索：证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（1）∵一定，，
∴当最大时，的面积最大，
由题意得时，取最大值，此时的面积最大，
∴，
∵，，
∴，
∴旋转角；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，，
∴；
（3）∵，
∴，
∴
，
即的度数为115°；
类比应用：连接，．如图，
在和中，
由勾股定理，，
∴，
，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴．
10．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在中，（），为边上一点，满足
(1)求证：；
(2)在延长线上有一点，是边上的中线，连接．
①当，时，求的值；
②将沿翻折至，线段与线段交于点H，若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据题意易证得，根据相似三角形的性质得到，从而得到结论；
（2）①根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等腰三角形的性质得到，在中，由勾股定理得，进而求得的值；
②连接，过点G作的平行线交延长线于点M，过点G作于点W，过点F作于点N，且交于点Q，延长交的延长线于点K，证得，根据相似三角形的性质得到，设、、，在中，由勾股定理得，证得，进而得到；再证得，进而得到，，则，再证得四边形是矩形，进而得到、，在中，由勾股定理得，再证得和，进而得到，根据的代数式列出方程，最后根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
在中，是边上的中线，
，
在中，是边上的中线，
，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
②如图，连接，过点G作的平行线交延长线于点M，过点G作于点W，过点F作于点N，且交于点Q，延长交的延长线于点K，
则、、、，
、是的中线，
、、，
，
，
即，
，
设，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
设、、，
在中，由勾股定理得：，
在中，，
在中，，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
，
；
、，
，
，
，即，
，
，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
、，
在中，，
即，
，
，
，
，
，
，
、，
，
，
，
、，
、，
，
，
，
，即，
，
，即，
，
解得，
．
11．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度．
【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出；
（3）证明，得，由，得，进而可得结论：
（4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形，
设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：
（2）解：四边形的周长为，，
，
，
的周长为，，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：；理由如下，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．
在矩形中，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰三角形，
，
设，则，
，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，，
设，，
，
，
，
即，
，对称轴为直线，
当时，，
即当时，．
12．（2025·江苏盐城·一模）问题情境 借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，，分别取、的中点、，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接、．
【探究发现】旋转过程中，线段和存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．
【类比应用】如图3，当所在直线首次经过点时，求的长．
【延伸思考】如图4，在中，，，，分别取、的中点、．作，将绕点逆时针旋转，连接、．当首次与平行时，求的面积．
【答案】探究发现：，理由见详解；类比应用：；延伸思考：
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】（探究发现）根据中点的定义得出，进而得出，即可得，通过证明，即可得出结论；
（类比应用）根据题意推出当所在直线经过点时，，根据勾股定理可得，根据（探究发现）可得，即可求解；
（延伸思考）过点作于点，根据平行线的性质得出，根 据 旋转的 性 质 得 出，进 而 推 出，则，求 出，再根据三角形面积公式，即可解答．
【详解】（探究发现）解：，
理由如下：
∵点和点为分别为中点，
∴，
，
∴，
，
，
，
根据旋转的性质可得：，
，
，
即．
（类比应用）解：由图1可知 ∵点和点为分别为中点，
，
，
，
∴当所在直线经过点时，，
根据勾股定理可得：，
由（探究发现）可得：，
，
解得：；
（延伸思考）解：过点作于点，
根据题意可得：，
，
，
，
∵，
，
根据旋转的性质可得：，
，
，
，
．
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