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4.4　利用三角形全等测距离
一、选择题
1．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是( )
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
2．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，此时A，C，E三点在同一直线上，那么A，B两点间的距离为( )
A．10米 B．12米 C．15米 D．17米
3．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X形转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是( )
A．a B．b C．b－a D．(b－a)
4．如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40 m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70 m，则A，B两端的距离为(　　)
A．10 m　　B．20 m C．30 m　　D．35 m
5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知AB＝DE，AC＝DF，左边的滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE＝( )
A．60° B．55° C．65° D．35°
6．如图，某校学生为测量点到河对面的目标 之间的距离，他们在点同侧选择了一点，测得, ,然后在处立了标杆，使，那么他们还应做什么才能测得， 之间的距离？( )
A. 直接测量 B. 测量
C. 测量 的度数 D. 作 交于点，测量 的长
7．如图，某公园有一条“ ”字形长廊，其中，在， ，三段长廊上各有一座凉亭，， ，已知是的中点，，, 在一条直线上.凉亭与 之间有一池塘，要想知道与 之间的距离，可测量的等效长度是( )
A. B. C. D.
8．为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图①，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作∠BDC＝∠ADB，交直线AB于点C，则测出BC的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是(　　)
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
9．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知,,,其中的周长为 , ,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题
10．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′的数量关系是_________．
11．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度为__________．
12．如图，有一个长方形窗架，盖房子时为了不变形，在上面钉了两根木条GE与GF，且E，F，G分别是AD，BC，AB的中点，于是得到GE＝GF，理由是_____________________．
13．如图，小明站在离E点1米的B处(BE＝1米)，调整旅行帽，使A处的眼睛向前的视线最远恰好落在树干底部C处，接着，他保持姿态，原地向后转，他向前的视线最远恰好到D处，测得BD＝6米，则树干底部C与点E的距离为____米．
14．如图，，，，是四个村庄，，， 在同一条东西走向的公路上， ，，村庄，和， 间也有公路相连且，，， 之间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上建一座斜拉桥，测得 ，，则建造的斜拉桥 的长至少为____ .
15．如图，地面上有一根旗杆AO，小明两次拉住从顶端垂下的绳子OB到OC，OD的位置(OC，OA，OD在同一平面内)，测得∠COD＝90°，且C，D两点到OA的水平距离CE，DF分别为2 m和2.5 m，则F，E两点的高度差，即FE的长为________m.
16．如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的铅直高度(即垂线段DB的长度)，小亮在D处立上一竹竿CD，并保证CD＝AB，CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根细绳(细绳末端挂一重锤，使细绳与水平线垂直)，细绳与斜坡AD交于点E.此时他测得DE＝2 m，则DB的长度为________．
三、解答题
17．如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
18．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.为什么？
19．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
(1)△ADC和△CEB全等吗？请说明理由；
(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同).
20．如图，小强在河的一边，要测河面的一只小船与对岸码头间的距离，他的做法如下：
(1)在岸边确定一点，使与，在同一直线上；(2)在的垂直方向上画线段，取其中点；(3)画，使，，在同一直线上；(4)在线段上找一点，使与， 共线.
他说：“线段的长就是小船与码头 间的距离.”他这样做有道理吗？为什么？
21．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端, 的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量, 的距离. 甲、乙两名同学分别设计出了如下两个方案；甲：如图①,在平地上取一个可以直接到达点,的点,连接并延长到点,连接并延长到点,使,.连接,测出的长即可.乙：如图②,先确定直线,过点作直线,在直线上找可以直接到达点的一点,连接,作,交直线于点,最后测量的长即可.
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行 请说明理由.
(2)请将不可行的方案稍加修改使之可行.
22．“无定河边暮角声，赫连台畔旅人情．”无定河是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度AB，如图，河中有一个标志物C，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点D处，王欣从点A出发，沿着与AB垂直的方向走到点E处时，发现E，B，D恰好在一条直线上，测得AE＝100 m，∠AEC＝45°，∠AEB＝α，沿AE继续向前走到点F处时，发现C，D，F恰好在一条直线上，测得EF＝200 m，∠AFC＝β.已知点C在AB上，α与β互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度AB.
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参考答案
一、选择题
1．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是( )
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】A
2．如图，要测量河岸相对的两点A，B之间的距离，先从B处出发与AB成90°方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，此时A，C，E三点在同一直线上，那么A，B两点间的距离为( )
A．10米 B．12米 C．15米 D．17米
【答案】D
3．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X形转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是( )
A．a B．b C．b－a D．(b－a)
【答案】D
4．如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40 m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70 m，则A，B两端的距离为(　　)
A．10 m　　B．20 m C．30 m　　D．35 m
【答案】C
5．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知AB＝DE，AC＝DF，左边的滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE＝( )
A．60° B．55° C．65° D．35°
【答案】B
6．如图，某校学生为测量点到河对面的目标 之间的距离，他们在点同侧选择了一点，测得, ,然后在处立了标杆，使，那么他们还应做什么才能测得， 之间的距离？( )
A. 直接测量 B. 测量
C. 测量 的度数 D. 作 交于点，测量 的长
【答案】D
7．如图，某公园有一条“ ”字形长廊，其中，在， ，三段长廊上各有一座凉亭，， ，已知是的中点，，, 在一条直线上.凉亭与 之间有一池塘，要想知道与 之间的距离，可测量的等效长度是( )
A. B. C. D.
【答案】A
8．为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图①，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图②，先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作∠BDC＝∠ADB，交直线AB于点C，则测出BC的长即为A，B间的距离，则下列判断正确的是(　　)
A．只有甲同学的方案可行 B．只有乙同学的方案可行
C．甲、乙同学的方案均可行 D．甲、乙同学的方案均不可行
【答案】C
9．茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知,,,其中的周长为 , ,则制成整个金属框架所需这种材料的长度为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以,即 .在和中，因为 , ,,所以 .所以.因为的周长为, ,所以制成整个金属框架所需这种材料的长度为 .
二、填空题
10．你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O上下转动，立柱OC与地面垂直．当一方着地时，另一方上升到最高点．问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA′，BB′的数量关系是_________．
【答案】相等
11．某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm，则由以上信息可推得CB的长度为__________．
【答案】30cm
12．如图，有一个长方形窗架，盖房子时为了不变形，在上面钉了两根木条GE与GF，且E，F，G分别是AD，BC，AB的中点，于是得到GE＝GF，理由是_____________________．
【答案】全等三角形的对应边相等
13．如图，小明站在离E点1米的B处(BE＝1米)，调整旅行帽，使A处的眼睛向前的视线最远恰好落在树干底部C处，接着，他保持姿态，原地向后转，他向前的视线最远恰好到D处，测得BD＝6米，则树干底部C与点E的距离为____米．
【答案】5
14．如图，，，，是四个村庄，，， 在同一条东西走向的公路上， ，，村庄，和， 间也有公路相连且，，， 之间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上建一座斜拉桥，测得 ，，则建造的斜拉桥 的长至少为____ .
【答案】1.1
【解析】由题意知， , , ,所以.所以 ,故斜拉桥的长至少为
15．如图，地面上有一根旗杆AO，小明两次拉住从顶端垂下的绳子OB到OC，OD的位置(OC，OA，OD在同一平面内)，测得∠COD＝90°，且C，D两点到OA的水平距离CE，DF分别为2 m和2.5 m，则F，E两点的高度差，即FE的长为________m.
【答案】0.5
【解析】因为CE⊥OA，DF⊥OA，所以∠CEO＝∠OFD＝90°.因为∠COD＝90°，所以∠COE＋∠OCE＝∠COE＋∠DOF＝90°，所以∠OCE＝∠DOF.由题意得OC＝OD，所以△COE≌△ODF(AAS)，所以OF＝CE＝2 m，OE＝DF＝2.5 m，所以EF＝OE－OF＝0.5 m.
16．如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的铅直高度(即垂线段DB的长度)，小亮在D处立上一竹竿CD，并保证CD＝AB，CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根细绳(细绳末端挂一重锤，使细绳与水平线垂直)，细绳与斜坡AD交于点E.此时他测得DE＝2 m，则DB的长度为________．
【答案】2m
【解析】由题意可得CE⊥AB，DB⊥AB，所以CE∥DB，所以∠ADB＝∠CED.因为CD⊥AD，DB⊥AB，所以∠CDE＝∠ABD＝90°.在△ABD和△CDE中，所以△ABD≌△CDE(AAS)，所以DB＝ED＝2 m.
三、解答题
17．如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子BC与B′C′一样长吗？说说你的理由．
解：影子一样长，理由如下：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，∵AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)，∴BC＝B′C′，即影子一样长
18．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.为什么？
解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD＝∠CAD，即AP平分∠BAC
19．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．
(1)△ADC和△CEB全等吗？请说明理由；
(2)已知DE＝35 cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相同).
解：(1)全等．理由：由题意得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB(AAS)　
(2)∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由(1)知△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，∴a＝5，
答：砖块的厚度a为5 cm
20．如图，小强在河的一边，要测河面的一只小船与对岸码头间的距离，他的做法如下：
(1)在岸边确定一点，使与，在同一直线上；(2)在的垂直方向上画线段，取其中点；(3)画，使，，在同一直线上；(4)在线段上找一点，使与， 共线.
他说：“线段的长就是小船与码头 间的距离.”他这样做有道理吗？为什么？
解：有道理.理由如下：
因为, ,所以
.
因为为的中点，所以 .
又因为 ,
所以 .
所以, .
又因为 ,
所以.所以
,
即线段的长就是小船与码头间的距离.
21．为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端, 的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量, 的距离. 甲、乙两名同学分别设计出了如下两个方案；甲：如图①,在平地上取一个可以直接到达点,的点,连接并延长到点,连接并延长到点,使,.连接,测出的长即可.乙：如图②,先确定直线,过点作直线,在直线上找可以直接到达点的一点,连接,作,交直线于点,最后测量的长即可.
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行 请说明理由.
解：甲同学的方案可行.理由：在和中，因为 ,, ,所以,所以 (全等三角形对应边相等),所以甲同学的方案可行；乙同学的方案中只能确定, , 而两个条件不能判定 ,所以乙同学的方案不可行.
(2)请将不可行的方案稍加修改使之可行.
乙同学方案的修改：过点作直线 ,所以,利用证明 ,根据全等三角形对应边相等，得出 .
22．“无定河边暮角声，赫连台畔旅人情．”无定河是黄河的一级支流，位于陕西省北部．王欣随父母旅游期间，想测量无定河某段的宽度AB，如图，河中有一个标志物C，王欣爸爸操控一架无人机，使其停留在点D处，王欣从点A出发，沿着与AB垂直的方向走到点E处时，发现E，B，D恰好在一条直线上，测得AE＝100 m，∠AEC＝45°，∠AEB＝α，沿AE继续向前走到点F处时，发现C，D，F恰好在一条直线上，测得EF＝200 m，∠AFC＝β.已知点C在AB上，α与β互余．请你根据王欣的测量结果计算无定河此段的宽度AB.
解：根据题意得∠A＝90°，∠AEC＝45°，
所以∠ACE＝45°＝∠AEC，∠AEB＋∠ABE＝90°，
所以易得AC＝AE.因为∠AEB＝α，∠AFC＝β，α与β互余，所以∠AEB＋∠AFC＝90°.所以∠ABE＝∠AFC.因为∠A＝∠A，∠ABE＝∠AFC，AE＝AC，
所以△ABE≌△AFC(AAS)，
所以AB＝AF＝AE＋EF＝300 m，
即无定河此段的宽度AB为300 m.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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