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2025———2026 学年第二学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一、选择题
1 - 4　 CABB　 　 5 - 8　 CDAB
二、选择题
9. BC　 　 10. ABD　 　 11. ACD
三、填空题
12. 4　 　 　 13. 37　 　 　 14. (1, + ∞ )
四、解答题
15. (1) 由 f(x) = ax3 + bx,得 f ′(x) = 3ax2 + b. ……1 分
因为 f(x) 在 x = - 2 处取得极大值 16,
{f ′( - 2) = 12a + b = 0, 所以 ……3 分f( - 2) = - 8a - 2b = 16,
{a = 1,解得 ……5 分b = - 12.
{a = 1, 经检验当 时, f(x) 在 x = - 2 处取得极大值 16, ……6 分b = - 12
故 f(x) = x3 - 12x. ……7 分
(2) 由(1) 可知, f ′(x) = 3x2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2), ……8 分
当 x ∈ [1,2) 时, f ′(x) < 0, f(x) 单调递减;
当 x ∈ (2, 3] 时, f ′(x) > 0, f(x) 单调递增; ……9 分
又因为 f(1) = - 11, f(3) = - 9, f(2) = - 16. ……11 分
所以 f(x) 在[1, 3] 上的最大值为 - 9,最小值为 - 16. ……13 分
16. (1) 令 x = 2,得 a = (2 × 2 - 5) 80 = 1, ……1 分
令 x = 3,得 a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8 = (2 × 3 - 5) 8 = 1, …… 3 分
∴ 　 a1 + a2 + a3 + … + a8 = (a0 + a1 + a2 + a3 + … + a8) - a0 = 0. ……5 分
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(2)(2x - 5) 8 = [2(x - 2) - 1] 8 = a0 + a1(x - 2) + a2(x - 2) 2 + … + a8(x - 2) 8 .
……7 分
∴ 　 a3 = C5 × 238 × ( - 1) 5 = - 448. ……9 分
(3) 由(2) 可知,a = C8-k × 2k × ( - 1) 8-k
k 8 , ……10 分
∴ 　 a0,a2,a4,a6,a8 都大于零,而 a1,a3,a5,a7 都小于零, ……11 分
∴ 　 | a0 | + | a1 | + | a2 | + … +| a8 |
= a0 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8, ……13 分
令 x = 1,则(2 × 1 - 5) 8 = a0 + a1 × ( - 1) + a2( - 1) 2 + … + a8( - 1) 8
= a 80 - a1 + a2 - a3 + a4 - a5 + a6 - a7 + a8 = 3 .
∴ 　 | a0 | + | a1 | + | a2 | + … +| a 88 | = 3 = 6561. (未写出 6561 不扣分) ……15 分
17. (1) 当 a = 1 , f(x) = 1时 由 e2x + ( 1 - 2)ex - x = 1 [e2x + (1 - 2e)ex - ex],
e e e e
……1 分
1 2x 则 f ′(x) = [2e + (1 - 2e)ex - e] = 1 (2ex + 1)(ex - e) . ……3 分
e e
显然当 x > 1 时, f ′(x) > 0;当 x < 1 时, f ′(x) < 0.
即 f(x) 在( - ∞ ,1) 上单调递减,在(1, + ∞ ) 单调递增. ……5 分
所以 f(x) 的极小值为 f(1) = - e, ……6 分
f(x) 无极大值. ……7 分
x +
(2) 由 f(x) = ae2x + (a - 2)ex - x ≥ 0, a ≥ 2e x得 2x x . ……8 分e + e
x
令 g(x) = 2e
+ x
2x x,e + e
(2ex + 1)(e2x + ex) - (2ex= + x)(2e
2x + x
则 g′(x) e )
(e2x + ex) 2
= - e
x(2ex + 1)(ex + x - 1)
2x x 2 . ……10 分(e + e )
令 h(x) = ex + x - 1,则 h′(x) = ex + 1 > 0.
所以 h(x) 是增函数,又 h(0) = 0, ……11 分
所以当 x > 0 时,h(x) > 0,从而 g′(x) < 0,
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当 x < 0 时,h(x) < 0,从而 g′(x) > 0,
即 g(x) 在( - ∞ ,0) 上单调递增,在(0, + ∞ ) 上单调递减. ……13 分
故 g(x) max = g(0) = 1. ……14 分
从而 a ≥ 1,即实数 a 的取值范围为[1, + ∞ ) . ……15 分
18. (1) 依题意,甲乙所选无人机编号的奇偶相同,故有 A2 25 + A4 = 32 种选择 ……3 分
(2)① 依题意,每个年级分得 3 架无人机,共有 C3C3 39 6C3 = 1680 种分配方法. ……6 分
C2C2 5
② , 9 7
C5
依题意 三个年级分得的无人机数量为2 - 2 - 5,共有 2 A
3
3 = 2268种分配方法,A2
……10 分
③ 依题意,三个年级分得的无人机数分别为 1 - 2 - 6,1 - 3 - 5,2 - 3 - 4.
若无人机数量为 1 - 2 - 6,分配方法数为:C1C2C6 3
9 8 6A3 = 1512; ……12 分
若无人机数量为 1 - 3 - 5,分配方法数为:C19C3 58C5A33 = 3024; ……14 分
若无人机数量为 2 - 3 - 4,分配方法数为:C2C3C4A39 7 4 3 = 7560; ……16 分
根据分类加法计数原理分配方法种数为 1512 + 3136 + 7560 = 12096. ……17 分
19. (1)∵ 　 f ′(x) = ax - (a - 1) - 1 , ……1 分
x
∴ 　 f ′(1) = 0,又 f(1) = 1 - a , ……2 分
2
所以切线方程为 y = 1 - a . ……3 分
2
2
-
(2)∵ 　 f ′(x)= ax - (a - 1) - 1 = ax (a
- 1)x - 1 = (ax + 1)(x - 1)
( x > 0) .
x x x
……4 分
① 当 a≥ 0 时,ax + 1 ≥ 0,　 ∴ 若 x > 1, f ′(x) > 0,即 f(x) 的递增区间为(1, + ∞ ),
若 0 < x < 1, f ′(x) < 0,即 f(x) 的递减区间为(0, 1), ……5 分
1 1 ② 当 a < 0 时,由 ax + 1 = 0 得 x = - ,若 - = 1 即 a = - 1, f ′(x) ≤ 0,即 f(x) 的
a a
递减区间为(0, + ∞ ) . ……6 分
1
若 - > 1 即 - 1 < a < 0,当 0 < x < 1 x > - 1或 时, f ′(x) < 0,即 f(x) 的递
a a
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(0, 1),( - 1
减区间为 , +
a ∞
) .
1 1
当 1 < x < - 时, f ′(x) > 0,即 f(x) 的递增区间为(1, - ) . ……8 分
a a
若 - 1 < 1 即 a < - 1,当 0 < x < - 1 或 x > 1 时, f ′(x) < 0,即 f(x) 的递减区间
a a
1
为(0, - ),(1, + ∞ ) .a
当 - 1 < x < 1 时, f ′(x) > 0,即 f(x) 的递增区间为( - 1 , 1 ) . ……10 分
a a
综上,当 a ≥ 0 时, f(x) 的递减区间为(0, 1),递增区间为(1, + ∞ ) .
当 - 1 < a < 0 时, f(x) 的递减区间为(0, 1),( - 1 , + 1∞ ),递增区间为(1, - ) .a a
当 a = - 1 时, f(x) 的递减区间为(0, + ∞ ),无递增区间.
当 a < - 1 时, f(x) 1 1的递减区间为(0, - ),(1, + ∞ ),递增区间为( - , 1 ) .a a
……11 分
(3) 由(2) 知,当 a ≥ 0 或 a = - 1 时,函数 y = f(x) + 1 的零点个数不超过 2,不符合
2a
题意. ……12 分
又当 a < 0 时,易得若 x →+ ∞ ,则 f(x) →- ∞ ,若 x → 0,则 f(x) →+ ∞ , ……13 分
若函数 y = f(x) + 1 有三个零点,
2a
ìa < 0,且 a ≠- 1, ìa < 0,且 a ≠- 1,
则í 1 1 即 1 í
[ f( - ) + ] [ f(1) + ] < 0, [1 + ln( - a)](1 -
a + 1 ) < 0,
a 2a 2a 2 2a
……15 分
解得 1 - 2 < a < - 1 , 1实数 a 的取值范围是(1 - 2 , - ) . ……17 分
e e
高二数学答案　 第4 页　 (共 4 页)　 (2026. 4)2025—2026学年第二学期期中考试
高二数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将白己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
旷
2,可答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
妇
園
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合
如
题目要求的。
斟
1。一质点的位移：与时间/之间的关系为()=+9，则该质点在1=3时的瞬时速度为
长
A.3
B.4
C.5
D.7
召
器
2,二项式(+2)“的展开式中奇数项的二项式系数之和等于
盏
麻
A.2
B.26
C.3
D.36
韶
3.函数八x)的图象如图所示，则下列不等关系巾正确的是
y
A.f'(2)B.f'(3)C.f'(2)救
D.f(3)-2)0
4.将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给
甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有
A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
5.设函数f八x)=4,:-lx-1,则曲线y=f代x)在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角
留
形的面积为
A.4
B.3
C.2
D.1
高二数学第1页（共4页）(2026.4)
6.在(1-x)5+(1-x)+(1-x)7+(1-x)+(1-x)”的展开式中，含x的项的系数是
A.-210
B.210
C.205
D.-205
7.已知A,B,C,D,E,F,G共七个人站成一排，要求A不站两端，且F和G不相邻，则不同的
排法种数为
A.2640
B.2160
C.3600
D.2880
8.在数列1a,}中.a1a40口，=（(2)，若函数代)=(x-a(x-a)(x-s)(x-a)
(x-a1)(x-a3)(x-a5)(x-a7)'
f(x)的导数为f(x).则f'(0)=
A.8
B.16
C.32
D.64
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分。
9.设函数f代x)=xlnx,则下列说法正确的是
A.函数f(x)的单调递减区间为(0，e)
B.两数)有极小值-日
C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1
D.函数f(x)恰有两个零点
10.在直三楼柱ABC-A,B,C,中，下列说法正确的是
A.以三棱柱的顶点为顶点的二棱锥有12个
B.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条
C.过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对
D.给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个
端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色
方法共有264种
1.已知函数x)=6-22,则
A.当a>e时.函数f代x)恰有2个极值点
B.当0C.当a<0时.函数f(x)恰有2个单调区间
D.当函数f(x)恰有2个零点时，必有一个零点为2
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