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(用户名和初始密码均为准考证号)
铁人中学2025级高一年级下学期阶段考试
17. (本小题15分)
数学答题卡
考场/座位号：
姓名： 准考证号

班级：
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
1．答题前，请将姓名、班级、考
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
场、准考证号填写清楚。
2．客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
3．主观题使用黑色笔书写。
4．必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
16. (本小题15分)
正确填涂 缺考标记 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
客观题(1~8为单选题;9~11为多选题)
1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
填空题
12.__________ 13.__________
14.__________
解答题
15.(本小题13分)
18. (本小题17分) 19. ( 本小题17分)
请勿在此区域作答或
者做任何标记大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试数学答案 一、二选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A D B C C ACD BC ABC
填空题
12. 2 13. 3 14.
详解：
1.【答案】
解：复数在复平面上对应的点为，则，错；，错；
，错；
，则是纯虚数，对．
2.【答案】
解：角的终边经过点，可得，，
则．
3.【答案】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，；
，，，
设，则，即，解得，；．
4.【答案】
解：因为锐角的面积为，且，，
由三角形的面积公式得到，则，
又为锐角，所以，
则由余弦定理得：
，
设外接圆的半径为，则由正弦定理得：，所以，
5.【答案】
解：设，则有，所以，即所以
所以点坐标为
6.【答案】
解：，
由，得，所以，
解得，，
所以．
7.【答案】
解：设，，
因为，所以在轴上，不妨设，
因为为中点，所以．则，，
故，故，
由，得．
则， ．
当时，取得最小值．
8.【答案】
解：在轴右边第一个最值点是．
以后每相间一个周期有一个最值点，
当上恰好取得个最大值时，必有．
．
9.【答案】
解：由题意得，所以，
所以，，
所以，
所以，
在复平面内对应的点为位于第一象限．
10.【答案】
解：对：若，即，即，此时，不能作基底，故A错误；
对：，故有最小值，故B正确；
对：若，则有，
即，
即，即，解得，即当时，，故C正确；
对：由知，若，则，此时，只能同向不能反向，故，的夹角不可能为，故D错误．
11.【答案】
解：由正弦定理可得：
设，，
，解得：
的周长为，正确；
由余弦定理得：，，
，，即，正确；
由正弦定理知外接圆直径为，正确；
由得
，，错误
12.【答案】
解：，，且，，
，则，得，．
．
13.【答案】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，
由与的夹角为，且，
，，，
，
，．
，，，
解得，，则．
14.【答案】
解：由三角形的面积公式可得，即，
由余弦定理可得，
，
，
，
由正弦定理可得，
，，
，，
，当且仅当时取等号，，，
综上所述的取值范围为，
15.解：因为角的终边上点，又，
所以，，所以

16.解：因为，，
所以，，
由，可得，
即，解得或；
由题意，，
又，则，
解得，则，
所以，
又，所以与的夹角为．
17.解：Ⅰ
，
由，得，
故
Ⅱ，
为锐角，．
．
18.解：，
，
，
由正弦定理得，，，
，．
，，
，
，
由正弦定理知，，
，
．
19.解：法一：因为，
所以根据正弦定理得：，
，
所以，
所以，
根据正弦定理，得，即，
根据余弦定理，得，
因为，所以，
法二：因为，
所以根据正弦定理，得，
根据余弦定理，得，即，
根据余弦定理，得，
因为，所以
由余弦定理，得，所以，
即，所以，因为，所以，
因为，
所以，
所以的面积为
，，，即，
由余弦定理得，所以，即，
故是等边三角形，所以，
，，
设的中点为，
，，，
，，，，
的取值范围为．
第1页，共1页大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试
数 学
出题：李万英 审题：张庆文
2026.4
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数在复平面上对应的点为，则( )
A. B. C. D. 是纯虚数
2.已知角的终边过点，则
A. B. C. D.
3.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则( )
A. B. C. D.
4.若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是( )
A. B. C. D.
5.已知 的三个顶点，，，则顶点的坐标为
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数，当上恰好取得个最大值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，满足，，则( )
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知平面向量，，，则下列说法正确的有( )
A. ，一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值
C. 一定存在一个实数使得 D. ，的夹角的取值范围是
11.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是( )
A. 周长为 B. 三个内角，，满足
C. 外接圆直径为 D. 中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，，且，，则__________．
13.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则 ．
14.已知的三个内角，，的对应边分别为，，，且则使得成立的实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，，求向量与的夹角．
17.本小题分
设平面向量，，函数．
当时，求函数的最小值；
若锐角满足，求的值．
18.本小题分
已知，，分别是的内角，，的对边，．
求角
若是锐角三角形，，，求的面积．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知A.
求角的大小
若，，点满足，求的面积
若，且的外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试数学试题 第 2 页 共 5 页

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