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黑龙江省重点高中2026届高三下学期热点核心考点强化专练
数学·试卷
分值：150分 时间：120分钟
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则( )
A. B.或 C. D.
2.已知复数，则( )
A.0 B.1 C. D.
3.已知A，B，C是不同的三点，a，b是不共线的平面向量，，，若A，B，C共线，则( )
A. B. C. D.
4.在正四棱台中，，，则该正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
5.设双曲线，的左、右顶点分别是，，点P是C的一条渐近线上一点，O为坐标原点，若，，则C的离心率e为( )
A. B. C. D.4
6.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为( )
A. B. C. D.
7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增，设，，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列说法正确的是( )
A.若随机变量X服从正态分布，且，则
B.一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
C.已知r为线性相关系数，若越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D.具有线性相关关系的变量x，y的线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是
10.已知，则( )
A.若，，且，则
B.，使得的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称
C.当时，函数，恰有三个零点，，，且，则
D.若在上恰有2个极大值点和1个极小值点，则
11.在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹长度为 B.直线不可能与垂直
C.直线与平面所成角为 D.三棱锥的体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线C上一点，且，过点M作x轴的垂线，垂足为N，则的面积为_____________.
13.已知正项等比数列的前n项和为，若，，则__________.
14.已知函数，对于任意，，当时，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
16.（15分）某农业科技小组为研究某种幼苗的生长规律，从观察之日起，测量了第x天幼苗的高度y（单位：cm），得到数据如下：
第x天 1 4 9 16 25 36 49
高度 1 4.5 7 9 10.5 11.5 12.5
该科技小组分析发现，y与x的关系可近似用函数来描述.
（1）设，将原数据转化为t与y的对应值，求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并由此写出y关于x的回归方程.
（2）该批幼苗在高度达到以上时视为“可移幼苗”.现从表中7天的数据对应的幼苗中，随机抽取4天的数据，记其中“可移幼苗”的天数为X，求X的分布列及数学期望.
参考公式：的斜率与截距的最小二乘估计公式为，.
参考数据：，，，.
17.（15分）已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）求面积的最大值（O为坐标原点），并求此时直线PQ的方程.
（3）若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
18.（17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面平面ABCD，平面平面，，，.
（1）证明：平面ABCD；
（2）证明：；
（3）若，点A在平面VCD内的射影为E，求二面角的正弦值.
19.（17分）已知函数.
（1）若，且，求a的最小值.
（2）证明：曲线是中心对称图形.
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
数学 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案 B D B B C C D C ACD BCD ACD
1.答案：B
解析：易得，因为，所以或，故选B.
2.答案：D
解析：由，则.故选D.
3.答案：B
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数使得，即
.因为a，b不共线，所以，可得，故选B.
4.答案：B
解析：作出正四棱台的轴截面，如图，过点作，垂足为E.在正四棱台中，，，则，，，即梯形为等腰梯形，所以，所以该正四棱台的体积.故选B.
5.答案：C
解析：如图所示，设点P在第一象限，，，所以点P在以原点为圆心，c为半径的圆上.由得.又，所以.在中，，，，所以，即.所以，，，即，所以.故选C.
6.答案：C
解析：设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件C，甲通过测试为事件B，则，
，则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为.故选C.
7.答案：D
解析：因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数是以8为周期的周期函数.，.又在上单调递增，且，所以，即.故选D.
8.答案：C
解析：因为，所以，整理得，所以，又，所以，，又，所以（R为外接圆的半径），可得，所以
，因为，所以，所以，即的取值范围为.故选C.
9.答案：ACD
解析：A（√）因为，，所以
.
B（×）因为，所以数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为.
C（√）若越接近1，则两个变量的线性相关性越强.
D（√）由题知，解得.故选ACD.
10.答案：BCD
解析：因为，所以其最小正周期.
对于A，由条件知，最小正周期为，所以，故A错误；
对于B，函数图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，要使其图象关于原点对称，则，解得，，又，所以，B正确；
对于C，当时，函数，令，，可得，，因为，所以令，可得图象的一条对称轴为直线，令，可得图象的一条对称轴为直线，由函数在上恰有三个零点，可知，关于直线对称，即，，关于直线对称，即，则，C正确；
对于D，当时，，由在上恰有2个极大值点和1个极小值点，得，解得，故D正确，故选BCD.
11.答案：ACD
解析：如图，连接，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，设平面，即平面.因为平面，所以，.
对于A，由得，，则，则，所以点P的轨迹是以E为圆心，半径的圆，其周长为，故A正确；
对于B，当时，因为，，平面，所以平面，又平面，则，故B错误；
对于C，因为平面，所以为直线与平面所成的角，则，则，故C正确；
对于D，因为点E到直线的距离为，所以点P到直线的最大距离为，故的面积的最大值为，又因为平面，所以三棱锥体积的最大值为，故D正确.故选ACD.
12.答案：
解析：易知抛物线的焦点为，设，则，得，因为点M在抛物线C上，所以，又，所以的面积为.
13.答案：8
解析：设正项等比数列的公比为，由题意得解得或（舍去），故，，则，所以.
14.答案：
解析：不等式可变形为，即，当，，且时恒成立，所以函数在上单调递减，令，，则在上恒成立，即在上恒成立，设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，则，则，即实数m的取值范围为.
15.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，
所以，
则，………………………………………3分
又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.……………………………………5分
（2）由（1）得，，
故，所以，………………………………………………………………7分
则，，…………………………………9分
两式相减得
，…………………………………………………11分
所以.……………………………………………………………………………13分
16.答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：（1）由题表得，
则，…………………………………………2分
，……………………………………………………………4分
所以线性回归方程为.
代入，得.……………………………………………………………7分
（2）高度对应第25，36，49天，共3天，
则X服从超几何分布，且X所有的可能取值为0，1，2，3.………………………………8分
根据超几何分布概率公式（，1，2，3），
得，，
，，…………………………………………12分
则X的分布列如表所示.
X 0 1 2 3
P
所以.……………………………………………15分
17.答案：（1）
（2），此时直线PQ的方程为或
（3）存在，
解析：（1）将代入椭圆方程，得，则，
所以椭圆方程为.……………………………………………………………………3分
（2）当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去；
当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，，，
由，消去x得关于y的一元二次方程，，，则，，………………………………………………………5分
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.…………………………………………8分
故面积的最大值为，此时直线PQ的方程为或.………………………………………………………………………………10分
（3）在x轴上存在点，使得恒成立，理由如下.
因为，所以，……………………………………………………11分
即，整理得，
即，所以，
则，………………………………………………13分
又，解得.
故在x轴上存在点，使得恒成立.……………………………15分
18.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为底面ABCD为直角梯形，，，所以，
又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面VAD，…………………………………………………………………………2分
又平面VAD，所以.
因为，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面VAB，…………………………………………………………………………4分
又平面VAB，所以.
因为，平面，平面ABCD，
所以平面ABCD.……………………………………………………………………………6分
（2）连接AC，设，则由题意可得，
所以，，
因此，所以，即.……………………………………8分
由（1）知平面ABCD，因为平面ABCD，所以，
又，平面，平面VAC，所以平面VAC，
因为平面VAC，所以.…………………………………………………………10分
（3）由题意知AB，AD，AV两两垂直，故可以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
从而，，.………………………………………12分
设平面VCD的法向量为，
则，即，可取，……………………………………13分
由题意知平面VCD，所以可设.
设平面EAD的法向量为，
则，即，即，可取.
易知为平面VAD的一个法向量.………………………………………………15分
设二面角的大小为，
则，所以，
故二面角的正弦值为.………………………………………………………17分
19.答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）当时，，
则，…………………………………………………………2分
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又，故，得，
所以a的最小值为.……………………………………………………………………………4分
（2）易知的定义域为，
设为曲线上任意一点，关于的对称点为，
因为在曲线上，故，………………………………6分
而，
所以也在曲线上.
由P的任意性可得曲线为中心对称图形，且对称中心为.……………………8分
（3）因为当且仅当，所以为的一个解，
所以，可得.………………………………………………………………9分
依题意得在上恒成立，设，
则，
令，，
则在上恒成立.……………………………………………………………11分
①当时，在上单调递增，，不满足题意.
②当时，与均在上单调递增，
所以在上单调递增，则，不满足题意.
③当时，令，
则，…………………………………………13分
由知，，所以，所以在上单调递增.
若，则，此时对任意都成立，
所以在上单调递减，则.
若，则，…………………………………………………15分
当且时，，所以，使，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，不满足题意.
综上，b的取值范围是.………………………………………………………17分
热点核心卷·数学试卷·第4页（共4页）

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