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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.1一元二次方程第17章一元二次方程及其应用17.1一元二次方程一、选择题（每题3分，共15分）1.下列方程中，属于一元二次方程的是（）A. \(3x + 2 = 0\) B. \(x^2 + 2y = 1\) C. \(x^2 - 2x - 3 = 0\) D. \(\frac{1}{x^2} + x = 5\)2.一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. \(a\)，\(b\)，\(c\) B. \(a\)，\(-b\)，\(c\) C. \(a\)，\(b\)，\(-c\) D. \(-a\)，\(b\)，\(c\)3.若方程\((m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0\)是一元二次方程，则\(m\)的取值范围是（）A. \(m \neq 2\) B. \(m \geq 2\) C. \(m \leq 2\) D. \(m \neq 0\)4.已知\(x = 1\)是一元二次方程\(x^2 + ax + 2 = 0\)的一个根，则\(a\)的值为（）A. \(-3\) B. \(3\) C. \(-2\) D. \(2\)5.下列说法正确的是（）A.一元二次方程一定有两个实数根B.形如\(ax^2 + bx + c = 0\)的方程一定是一元二次方程C.一元二次方程的二次项系数不能为0D.一元二次方程的一次项系数一定不为0二、填空题（每题3分，共15分）1.只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______的整式方程，叫做一元二次方程。2.将方程\(3x^2 - 6x + 1 = 0\)化为一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），则\(a = \)______，\(b = \)______，\(c = \)______。3.若\(x = -2\)是方程\(x^2 + mx - 6 = 0\)的一个根，则\(m = \)______。4.写出一个以\(x = 1\)和\(x = 2\)为根的一元二次方程：______（答案不唯一）。5.方程\((x - 3)(x + 4) = 0\)的根是______。三、解答题（共70分）11.（10分）判断下列方程是否为一元二次方程，若是，请化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。（1）\(2x^2 - 3x + 1 = 0\)；（2）\(x^2 + 2x = x^2 - 1\)；（3）\((x + 1)(x - 2) = 3\)；（4）\(\frac{1}{x} + x^2 = 2\)。12.（12分）已知关于\(x\)的方程\((k + 1)x^2 - 2kx + k - 2 = 0\)。（1）当\(k\)为何值时，该方程是一元二次方程？（2）当\(k = 2\)时，求方程的根。13.（12分）已知\(x = 3\)是一元二次方程\(x^2 - 4x + m = 0\)的一个根，求：（1）\(m\)的值；（2）方程的另一个根。14.（12分）根据下列条件，列出一元二次方程（不必求解）：（1）一个数的平方比它的3倍大2；（2）两个连续整数的积是12；（3）已知一个直角三角形的两条直角边长之和为10，面积为12，设其中一条直角边长为\(x\)，列出关于\(x\)的一元二次方程。15.（12分）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）\(5x^2 = 3x\)；（2）\((x + 2)(x - 3) = 6\)；（3）\(2(x - 1)^2 = 3(x + 1)\)。16.（12分）已知关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），其中\(a + b + c = 0\)，求证：\(x = 1\)是该方程的一个根。20.2平均数与加权平均数20.2.1平均数一、选择题（每题3分，共15分）1.下列说法正确的是（）A.平均数一定是一组数据中的某个数B.一组数据的平均数只能有一个C.平均数越大，数据的集中程度越高D.只要有一组数据，就可以计算出平均数2.已知一组数据：3、5、7、9、11，这组数据的平均数是（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 113.某小组6名同学的数学成绩分别为85、78、90、82、88、92，这组成绩的平均数是（）A. 85分B. 86分C. 87分D. 88分4.已知一组数据的平均数为6，若将这组数据中的每个数都加2，则新数据的平均数为（）A. 4 B. 6 C. 8 D. 125.某班40名学生的平均身高为165cm，若其中20名学生的平均身高为160cm，则剩下20名学生的平均身高为（）A. 165cm B. 170cm C. 175cm D. 180cm二、填空题（每题3分，共15分）1.平均数是一组数据的______水平的代表，它反映了数据的______趋势。2.若n个数据为x 、x 、…、x ，则它们的平均数\(\bar{x}\)=______。3.已知一组数据：2、4、6、8、10，其平均数为______。
学习目标
1
2
了解一元二次方程的概念.
知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式.
3
经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一种数学模型.
回顾导入
判断下列式子是否为一元一次方程：
√
√
×
一元一次方程
①只含一个未知数
②未知数的指数是一次
③方程的两边都是整式
2 + 0.3x = 5
推进新课
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
列方程解决应用题的一般过程是什么？
审、找、列、解、验、答
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
今年无公害蔬菜产量：
100 + 100x = 100(1 + x) (t)
明年无公害蔬菜产量：
100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t)
今年
100
100x
明年
100(1+x)
100(1+x)·x
100
去年
知识点一 一元二次方程
今年无公害蔬菜产量：
100 + 100x = 100(1 + x) (t)
明年无公害蔬菜产量：
100(1 + x) + 100(1 + x)·x = 100(1 + x)2 (t)
今年
100
100x
明年
100(1+x)
100(1+x)·x
100
去年
根据题意，得 100(1 + x)2 = 200.
化简，得 (1 + x)2 = 2.
整理，得 x2 + 2x – 1 = 0.
它是一
元一次方程吗？它有什么特点？
只含一个未知数 x 且其次数是 2
问题2：如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
x
横向小路的面积：
32x m2
纵向小路的面积：
2×20x m2
重叠部分的面积：
2x2 m2
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
20
32
(单位：m)
x
思 考
有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？
32
(单位：m)
x
思 考
有同学列出的方程是(20 – x)(32 – 2x) = 570. 这个方程对吗？
20
x2 – 36x + 35 = 0
x2 + 2x – 1 = 0
这两个方程有什么共同点？
等号两边都是整式；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是 2.
思 考
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.
一元
二次
知识点二 一元二次方程的一般形式
任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）
的一般形式.
ax2 ：二次项，a 是二次项的系数；
bx ：一次项，b 是一次项的系数；
c ：常数项.
练一练
下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）x2 – x = 1； （2）4x2 + 3x – 2 = (2x – 1)2；
（5）y2 + 3y – 4 = 0；（6）x3 + 2x2 + x + 1 = 0.
【教材P22练习 T1】
分析：
只含有一个未知数
是
未知数最高次数为2
是
整式方程
否
不是一元二次方程
否
是一元二次方程
是
否
（3） （4）2x2 + 3 = 0；
先化为一般形式再判断
x2 – x – 1 = 0
√
×
√
×
7x – 3 = 0
×
√
例 1
已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断 – 1 是否为该方程的根.
解：（1）去括号，得
3x2 – 3x = 2x + 4 + 4.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：
3x2 – 5x – 8 = 0.
它的二次项系数是 3，一次项系数是 – 5，常数项是 – 8.
练一练
1. 将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项，填入下表：
【教材P22练习 T2】
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
5x2 = 6x – 8
x(x – 1) = 0
5x2 – 6x + 8 = 0
5
– 6
8
– 2
0
x2 – x = 0
1
– 1
0
1
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0，b ≠ 0) a b c
ax2 + c = 0(a ≠ 0，c ≠ 0) a 0 c
ax2 = 0(a ≠ 0) a 0 0
一元二次方程的特殊形式：
归 纳
练一练
2. 将 48 张桌子排成若干行，且每行的桌子数相同，已知每一行的桌子数比总行数多 2. 设这些桌子排了x 行，列出关于 x 的方程，并将其化成一般形式.
【教材P22练习 T3】
解：由题意得 x(x + 2) = 48
去括号，得 x2 + 2x = 48
移项，得 x2 + 2x – 48 = 0
例 1
已知方程 3x(x – 1) = 2(x + 2) + 4.
（1）把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项；
（2）判断 – 1 是否为该方程的根.
解：（2）
把 x = – 1 代入原方程的左右两边，得
左边 = 3×(– 1)×(– 1 – 1) = 6.
右边 = 2×(– 1 + 2) + 4 = 6.
因为左边 = 右边，
所以 – 1 是该方程的根.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫作这个一元二次方程的根.
练一练
下面哪些数是方程 x2 + x – 2 = 0 的根？
【教材P22练习 T4】
将这些数分别带入方程中：
(– 3)2 + (– 3) – 2 = 4
– 3，– 2，– 1，0，1，2，3.
(– 2)2 + (– 2) – 2 = 0
(– 1)2 + (– 1) – 2 = – 2
02 + 0 – 2 = – 2
12 + 1 – 2 = 0
22 + 2 – 2 = 4
32 + 3 – 2 = 10
√
√
√
√
返回
C
C
返回
2．关于x的方程a2x2＋x－2＝x2是一元二次方程，则a满足(　　)
A．a≠1 B．a≠－1
C．a≠±1 D．为任意实数
返回
x2－8＝0
3．方程(x＋2)(x－2)＝4转化为一元二次方程的一般形式是____________．
4．将方程2x2＋7＝4x改写成ax2＋bx＋c＝0的形式，则a，b，c的值分别为(　　)
A．2，4，7 B．2，4，－7
C．2，－4，7 D．2，－4，－7
C
返回
返回
5．关于x的一元二次方程x2＋mx＝3x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)
A．0 B．±3 C．3 D．－3
C
返回
2
6. 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________．
返回
－4
7．已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________．
返回
A
8. 广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　)
A．2 500(1＋x)2＝9 100 B．2 500(1－x)2＝9 100
C．2 500(1－2x)2＝9 100 D．2 500(1＋2x)2＝9 100
课堂小结
一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a
b
c
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
概念
只含有一个未知数
未知数的最高次数是 2
整式方程

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