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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.2.1直接开平方法第17章一元二次方程及其应用17.2.1配方法练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.用配方法解方程：$$x^2 - 6x + 5 = 0$$解析：配方法的核心是将一元二次方程化为$$(x+n)^2 = p$$（$$p \geq 0$$）的形式，再用直接开平方法求解。步骤如下：第一步，移项：将常数项移到方程右边，得$$x^2 - 6x = -5$$；第二步，配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-6，一半为-3，平方为9），得$$x^2 - 6x + 9 = -5 + 9$$；第三步，化为完全平方式：左边化为$$(x-3)^2$$，右边计算得4，即$$(x-3)^2 = 4$$；第四步，开方求解：开平方得$$x-3 = \pm 2$$，解得$$x_1 = 5$$，$$x_2 = 1$$。2.用配方法解方程：$$x^2 + 4x - 1 = 0$$解析：遵循配方法基本步骤，注意移项变号和配方时的常数项补充。移项：$$x^2 + 4x = 1$$；配方：$$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$$，即$$(x+2)^2 = 5$$；开方：$$x+2 = \pm \sqrt{5}$$，解得$$x_1 = -2 + \sqrt{5}$$，$$x_2 = -2 - \sqrt{5}$$。二、中档题（每题20分，共40分）3.用配方法解方程：$$2x^2 - 8x + 3 = 0$$解析：当二次项系数不为1时，需先将二次项系数化为1，再进行配方。第一步，化二次项系数为1：方程两边同时除以2，得$$x^2 - 4x + \frac{3}{2} = 0$$；第二步，移项：$$x^2 - 4x = -\frac{3}{2}$$；第三步，配方：加一次项系数一半的平方（-4的一半为-2，平方为4），得$$x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4$$；第四步，求解：$$(x-2)^2 = \frac{5}{2}$$，开方得$$x-2 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$，解得$$x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}$$，$$x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}$$。4.用配方法说明：不论x取何实数，代数式$$x^2 - 2x + 3$$的值恒为正数。解析：通过配方将代数式化为$$a(x+m)^2 + n$$的形式，利用平方的非负性判断取值范围。配方：$$x^2 - 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 + 2 = (x-1)^2 + 2$$；因为$$(x-1)^2 \geq 0$$，所以$$(x-1)^2 + 2 \geq 2$$，即代数式的值恒大于等于2，故恒为正数。三、拓展题（30分）5.用配方法求代数式$$-2x^2 + 4x - 1$$的最大值，并求出此时x的值。解析：对于二次项系数为负数的代数式，配方后可利用平方的非负性求最大值。第一步，提取二次项系数（注意符号）：$$-2(x^2 - 2x) - 1$$；第二步，配方：括号内加一次项系数一半的平方（-2的一半为-1，平方为1），同时减去1以保持代数式值不变，得$$-2[(x^2 - 2x + 1) - 1] - 1$$；第三步，化简：$$-2[(x-1)^2 - 1] - 1 = -2(x-1)^2 + 2 - 1 = -2(x-1)^2 + 1$$；因为$$-2(x-1)^2 \leq 0$$，所以当$$(x-1)^2 = 0$$，即x=1时，代数式取得最大值1。总结：配方法的关键是“补项”，二次项系数为1时直接补一次项系数一半的平方；不为1时，先化系数为1再补项，同时注意移项变号和平方的非负性应用。回顾导入
1. 如果 x2 = a，则 x 叫作 a 的 .
2. 如果 x2 = a (a 0)，则 x = .
3. 如果 x2 = 16，则 x = .
4. 任何数都有平方根吗？
平方根
±4
负数没有平方根.
推进新课
知识点 用直接开平方法解一元二次方程
试一试
求 x2 = 9 中 x 的值.
开平方，得
x = ±3
所以开平方就可求得方程 x2 = 9 的两个根：
x1 = 3，x2 = –3.
像这样的求一元二次方程的根的方法，叫作直接开平方法.
练一练
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 = 36；（2）x2 – 0.81 = 0.
解：（1）开平方，得
x = ±6
所以原方程的根是 x1 = 6，x2 = – 6.
（2）原方程可化为 x2 = 0.81
x = ±0.9
所以原方程的根是 x1 = 0.9，x2 = – 0.9.
开平方，得
对于一元二次方程 x2 = p：
归 纳
（1）当 p ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ；
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
（3）当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有x2 0，所以方程无实数根.
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
解：（1）两边同除以 3，得
x2 = 4.
开平方，得
x = ±2.
所以原方程的根是 x1 = 2，x2 = – 2.
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
可以怎
样解这个方程？
由方程 x2 = 25 得 x = ±5.
依此类推：由 (x + 3)2 = 5 可得
例 1
用直接开平方法解下列方程：
（1）3x2 = 12；（2）(x + 3)2 = 5.
解：（2）开平方，得
所以原方程的根是
解方程 (x + 3)2 = 5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程，即得原方程的解.
练一练
用直接开平方法解下列方程：
（1）3(x + 1)2 = 48；（2）2(x – 2)2 – 4 = 0.
解：（1）原方程可化为 (x + 1)2 = 16
开平方，得 x + 1 = ±4
所以原方程的根是 x1 = 3，x2 = – 5.
（2）原方程可化为 (x – 2)2 = 2
所以原方程的根是
开平方，得
对于一元二次方程 (x + n) 2 = p：
归 纳
（1）当 p ＞ 0 时，方程有两个不等的实数根
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n；
（3）当 p ＜ 0 时，方程无实数根.
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式.
1
3
2
开平方，将方程化为两个一元一次方程.
方法
解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.
随堂练习
1. 一元二次方程 (x + 6)2 = 16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x + 6 = 4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x – 6 = – 4 B. x – 6 = 4
C. x + 6 = 4 D. x + 6 = – 4
D
2. 方程 3x2 + 9 = 0 的根为（ ）
A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根
D
3. 若 8x2 – 16 = 0，则 x 的值是 .
返回
A
返回
2．已知代数式2x2＋3与代数式2x2－4的值互为相反数，则x的值为________．
返回
D
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)
A．m＞3　 B．m≥3 C．m＞－4　 D．m≥－4
4．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是(　　)

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
A
返回
返回
5. 解方程：
(1)(x－5)2＝16；
【解】(x－5)2＝16，x－5＝±4，x1＝1，x2＝9.
【解】∵(x－4)2＝(5－2x)2，∴x－4＝±(5－2x)，
解得x1＝1，x2＝3.
6．解方程：(x－4)2＝(5－2x)2.
返回
【点易错】用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(m≠0)的方程，当p≥0时，方程有两个实数根；当p＜0时，方程没有实数根．
返回
16
7. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程(x－5)2－4＝0的一个根，则三角形的周长为________．
【点拨】由方程(x－5)2－4＝0，得x＝3或x＝7.
根据三角形的三边关系可知，三角形的三边长为3，6，7.故三角形的周长为3＋6＋7＝16.
1或0
课堂小结
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式.
开平方，将方程化为两个一元一次方程.
解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根.

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