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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.2.2配方法第17章一元二次方程及其应用17.2.2配方法练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.用配方法解方程：$$x^2 - 8x + 12 = 0$$解析：延续配方法核心步骤，重点注意移项变号和配方时的补项准确性，步骤如下：第一步，移项：将常数项移到方程右边，得$$x^2 - 8x = -12$$；第二步，配方：一次项系数为-8，一半为-4，平方为16，方程两边同时加16，得$$x^2 - 8x + 16 = -12 + 16$$；第三步，化为完全平方式：左边化为$$(x-4)^2$$，右边计算得4，即$$(x-4)^2 = 4$$；第四步，开方求解：开平方得$$x-4 = \pm 2$$，解得$$x_1 = 6$$，$$x_2 = 2$$。2.用配方法解方程：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$解析：巩固配方法基础步骤，重点关注完全平方式的正确书写。移项：$$x^2 + 6x = -5$$；配方：$$x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$$，即$$(x+3)^2 = 4$$；开方：$$x+3 = \pm 2$$，解得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$。二、中档题（每题20分，共40分）3.用配方法解方程：$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$解析：进阶考点——二次项系数不为1且可化简，先化简再将二次项系数化为1，再配方。第一步，化简方程：两边同时除以3，得$$x^2 - 2x - 3 = 0$$；第二步，移项：$$x^2 - 2x = 3$$；第三步，配方：加一次项系数一半的平方（-2的一半为-1，平方为1），得$$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$$；第四步，求解：$$(x-1)^2 = 4$$，开方得$$x-1 = \pm 2$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -1$$。4.用配方法说明：不论x取何实数，代数式$$2x^2 - 4x + 5$$的值恒为正数。解析：进阶应用——含系数的代数式配方，先提取二次项系数，再利用平方非负性判断。配方：$$2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 2[(x-1)^2 - 1] + 5$$；化简得$$2(x-1)^2 + 3$$，因为$$(x-1)^2 \geq 0$$，所以$$2(x-1)^2 \geq 0$$，则$$2(x-1)^2 + 3 \geq 3$$，故恒为正数。三、拓展题（30分）5.用配方法求代数式$$-3x^2 + 6x + 2$$的最大值，并求出此时x的值。解析：进阶拓展——二次项系数为负数的代数式最值求解，注意提取系数时的符号的处理。第一步，提取二次项系数：$$-3(x^2 - 2x) + 2$$；第二步，配方：括号内加、减一次项系数一半的平方（-2的一半为-1，平方为1），得$$-3[(x^2 - 2x + 1) - 1] + 2$$；第三步，化简：$$-3[(x-1)^2 - 1] + 2 = -3(x-1)^2 + 3 + 2 = -3(x-1)^2 + 5$$；因为$$-3(x-1)^2 \leq 0$$，所以当$$(x-1)^2 = 0$$，即x=1时，代数式取得最大值5。总结：17.2.2配方法重点考查二次项系数化简、含系数代数式配方及最值求解，核心仍是“补项”，注意提取系数时的符号，以及平方非负性的灵活运用。回顾导入
1. 已知代数式 x2 + 8x + m 是一个完全平方式，则 m 的值为_________.
2. 已知代数式 x2 + nx + 9 是一个完全平方式，则 n 的值为_________.
16
6 或 – 6
推进新课
问题1：某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番（即为 200 t）. 要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？（精确到 1%）
x
知识点 用配方法解一元二次方程
x2 + 2x – 1 = 0.
如何解这个方程？
思 考
把常数项移到等号右边，得 x2 + 2x = 1.
方程两边同时加上 1，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1.
则 (x + 1)2 = 2.
x2 + 2x – 1 = 0.
开平方，得
所以原方程的根是
为什么
在方程两边同时加上数“1” ？
只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.
像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
配方法的基本思路：
把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
“化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方求解的方法，这是一种化归方法.
练一练
填空：
【教材P26练习 T1】
（1）x2 – 8x + ( )2 = (x – )2；
（2）y2 + 5y + ( )2 = (y + )2；
（3）x2 – + ( )2 = (x – )2；
（4）x2 + px + ( )2 = (x + )2.
4
4
例 2
用配方法解下列方程：
（1） x2 – 4x – 1 = 0；（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：(1) 方程的二次项系数为 1，直接运用配方法.
解：（1）移项，得
x2 – 4x = 1.
配方，得
x2 – 2×x×2 + ____ = 1 + ____.
4
4
则
(x – ____) 2 = ____.
2
5
开平方，得 _____________.
所以原方程的根是 x1 = _______，x2 = _______.
（2）2x2 – 3x – 1 = 0.
分析：先将方程的二次项系数化为 1，再配方.
解：（2）先把 x2 的系数变为 1，即把原方程两边同除以 2，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
归 纳
最关键的步骤
练一练
解下列方程：
【教材P26练习 T2】
（1）x2 = 25；（2）(2x – 2)2 = x2；
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
直接开平方法
配方法
解：（1）开平方，得
x = ±5
所以原方程的根是
x1 = 5，x2 = – 5.
（2）开平方，得
2x – 2 = x 或 2x – 2 = – x
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
（3）整理，得
开平方，得
所以原方程的根是
（4）移项，得 x2 – 3x = 2
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 2 = 0；
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（5）方程两边同除以 3，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
（5）3x2 – 6x + 1 = 0；（6）2x2 + 5x + 1 = 0.
（6）方程两边同除以 2，得
移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
随堂练习
1. 填空：
（1）x2 – x + ( ) = (x – )2；
（2）y2 + 6y + ( ) = (y + )2；
（3）x2 – + ( ) = (x – )2；
（4）4x2 + 4x + ( ) = (2x + )2.
9
3
1
1
2. 解下列方程：
（3）x2 + 4x – 9 = 2x – 11；（4）x(x + 4) = 8x + 12.
（1） ；（2）4x2 – 6x – 3 = 0；
解：（1）移项，得
配方，得
则
开平方，得
所以原方程的根是
返回
A
返回
2．已知代数式2x2＋3与代数式2x2－4的值互为相反数，则x的值为________．
返回
D
3．如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　)
A．m＞3　 B．m≥3 C．m＞－4　 D．m≥－4
4．下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是(　　)

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
A
返回
返回
5. 解方程：
(1)(x－5)2＝16；
【解】(x－5)2＝16，x－5＝±4，x1＝1，x2＝9.
【解】∵(x－4)2＝(5－2x)2，∴x－4＝±(5－2x)，
解得x1＝1，x2＝3.
6．解方程：(x－4)2＝(5－2x)2.
课堂小结
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.

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