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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.2.3公式法第17章一元二次方程及其应用17.2.3公式法练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.用公式法解方程：$$x^2 - 8x + 12 = 0$$解析：公式法核心是利用一元二次方程求根公式$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$，步骤为先化为一般式，确定a、b、c的值，计算判别式$$\Delta = b^2 - 4ac$$，再代入公式求解。第一步，化为一般式：方程已为一般式$$x^2 - 8x + 12 = 0$$，其中$$a = 1$$，$$b = -8$$，$$c = 12$$；第二步，计算判别式：$$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16$$，因为$$\Delta > 0$$，方程有两个不相等的实数根；第三步，代入公式求解：$$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{8 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = 6$$，$$x_2 = 2$$。2.用公式法解方程：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$解析：巩固公式法基础步骤，重点关注a、b、c的符号判断和判别式计算。一般式：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$，$$a = 1$$，$$b = 6$$，$$c = 5$$；判别式：$$\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16 > 0$$；代入公式：$$x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$。二、中档题（每题20分，共40分）3.用公式法解方程：$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$解析：进阶考点——先化简方程，再确定a、b、c，同时强化判别式的应用。第一步，化简方程：两边同时除以3，得$$x^2 - 2x - 3 = 0$$，此时$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = -3$$；第二步，计算判别式：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$$；第三步，代入公式：$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -1$$。4.用公式法说明：不论x取何实数，代数式$$2x^2 - 4x + 5$$的值恒为正数。解析：进阶应用——将代数式看作一元二次方程，利用判别式判断方程根的情况，进而确定代数式取值范围。令$$y = 2x^2 - 4x + 5$$，即$$2x^2 - 4x + (5 - y) = 0$$；因为x为实数，所以该一元二次方程有实数根的条件是判别式$$\Delta \geq 0$$，计算判别式：$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (5 - y) = 16 - 8(5 - y)$$；若代数式恒为正数，则方程$$2x^2 - 4x + (5 - y) = 0$$无实数根，即$$\Delta < 0$$，解得$$16 - 8(5 - y) < 0$$，$$y > 3$$，故代数式恒为正数。三、拓展题（30分）5.已知关于x的一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，求k的值及此时方程的根。解析：进阶拓展——利用判别式判断根的情况求参数值，再代入公式求解方程。第一步，确定a、b、c：$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = k$$；第二步，根据根的情况求k：方程有两个相等的实数根，故$$\Delta = 0$$，即$$(-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 0$$；解得$$4 - 4k = 0$$，$$k = 1$$；第三步，代入k的值求解方程：将$$k = 1$$代入原方程，得$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，代入求根公式，$$x = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} = 1$$，故方程的两个相等实数根为$$x_1 = x_2 = 1$$。总结：17.2.3公式法重点考查一元二次方程一般式、判别式（判断根的情况）、求根公式的应用，核心是准确确定a、b、c的值，熟练计算判别式，注意符号规范和公式代入的准确性。学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程；(难点)
2. 会利用求根公式解简单系数的一元二次方程；
(重点)
3. 经历探索求根公式的过程，培养逻辑推理和数学运算的核心素养，并养成良好的运算习惯；
4. 通过运用公式法解简单系数的一元二次方程，提高运算能力 .
回顾导入
用配方法解一元二次方程的步骤：
化二次项系数为 1.
1
2
移项，含未知数的项移至左边，常数项移至右边.
3
配方，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方.
4
开方，利用平方根的意义开平方.
5
解两个一元一次方程.
最关键的步骤
推进新课
知识点一 一元二次方程的求根公式
思 考
如何解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ？
我们能否用配方法得出它的解呢？
因为 a ≠ 0，所以把方程两边都除以 a，得
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
移项，得
配方，得
则
两边能直接开方吗？
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
式子 b2 – 4ac 的值有以下三种情况：
① 当 b2 – 4ac < 0 时，
x 取任何实数都不能使式子左边< 0，因此方程无实数根
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
③ 当 b2 – 4ac > 0 时，
可直接开平方，方程有实数根
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
当 b2 – 4ac 0 时，
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
将方程①两边开平方，得
化简、整理，得
因此，
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：
知识点二 用公式法解一元二次方程
要解一个一元二次方程，只要先把它整理成一般形式，确定 a，b，c 的值，然后，把 a，b，c 的值代入求根公式，就可以得出方程的实数根. 这种解法叫作公式法.
例 3
用公式法解下列方程：
（1）2x2 + 7x – 4 = 0；（2）
分析：(1) 先确定二次项系数、一次项系数、常数项的值，并比较 b2 – 4ac 与 0 的大小.
解：（1）∵ a = 2，b = 7，c = – 4，
∴ b2 – 4ac = 72 – 4×2×(– 4) = 81 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（2）
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入公式运算.
解：（2）将原方程化为一般形式，得
∵ a = 1，b = ，c = 3，
∴ b2 – 4ac = – 4×1×3 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
方程有两个相等的实数根(如 p)，应写为 x1 = x2 = p，而不是 x = p.
练一练
解关于 x 的方程： 2x2 – mx – n2 = 0.
【教材P28练习 T2】
解：∵ a = 2，b = – m，c = – n2，
∴ b2 – 4ac = (– m)2 – 4×2×(– n2) = m2 + 8n2 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
例 4
解方程：x2 + x – 1 = 0.（精确到 0.001）
解：由题意，得 a = 1，b = 1，c = – 1，
代入求根公式，得
用计算器求得
所以原方程的根是
用配方法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
确定 a，b，c 的值.
3
求出 b2 – 4ac 的值，比较其与 0 的大小.
4
若 b2 – 4ac 0，则利用求根公式求解；若 b2 – 4ac < 0，则方程无实数根.
归 纳
练一练
用公式法解下列方程：
【教材P28练习 T1】
（1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
解：（1）∵ a = 3，b = 5，c = – 2，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×3×(– 2) = 49 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
用公式法解下列方程：
（1）3x2 + 5x – 2 = 0；（2）2x2 + 5x – 12 = 0；
（2）∵ a = 2，b = 5，c = – 12，
∴ b2 – 4ac = 52 – 4×2×(– 12) = 121 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
练一练
【教材P28练习 T1】
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
练一练
【教材P28练习 T1】
（3）∵ a = 1，b = ，c = 2，
∴ b2 – 4ac = – 4×1×2 = 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
（3） ；（4）x2 – 3x – 1 = 0（精确到 0.1）.
练一练
【教材P28练习 T1】
（4）∵ a = 1，b = – 3，c = – 1，
∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×1×(– 1) = 13 > 0.
代入求根公式，得
用计算器求得
所以原方程的根是
随堂练习
1. 利用求根公式求 5x2 + = 6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
C
A. 5， ，6 B. 5，6，
C. 5，– 6， D. 5，– 6，
2. 用公式法解下列方程：
（1）4x2 – 12x = 3；（2）3x2 – 6x – 2 = 0.
∵ a = 4，b = – 12，c = – 3，
∴ b2 – 4ac = (– 12)2 – 4×4×(– 3) = 192 > 0.
代入求根公式，得
所以原方程的根是
解：（1）将方程化为一般形式，得 4x2 – 12x – 3 = 0
返回
D
C
返回
2．当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　)
A．2 B．－3 C．17 D．－1
返回
D
4．若一元二次方程ax2－6x＝1能用公式法求解，则a的取值范围为______________．
a≥－9且a≠0
返回
返回
D
6. 解方程：
(1)2x2－7x＋3＝0；
(2)3x2－4x－1＝0；
课堂小结
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac 0) 的求根公式：

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