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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.2.4因式分解法第17章一元二次方程及其应用17.2.4因式分解法练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.用因式分解法解方程：$$x^2 - 8x + 12 = 0$$解析：因式分解法核心是将一元二次方程化为$$(x+m)(x+n) = 0$$的形式，利用“若两个因式的积为0，则至少有一个因式为0”求解，步骤为先因式分解，再令每个因式为0，解一元一次方程。第一步，因式分解：将二次三项式$$x^2 - 8x + 12$$分解为两个一次因式的积，寻找两个数，使其和为-8、积为12，可得-6和-2，即$$x^2 - 8x + 12 = (x - 6)(x - 2)$$；第二步，令因式为0：得$$(x - 6)(x - 2) = 0$$，则$$x - 6 = 0$$或$$x - 2 = 0$$；第三步，求解：解得$$x_1 = 6$$，$$x_2 = 2$$。2.用因式分解法解方程：$$x^2 + 6x + 5 = 0$$解析：巩固因式分解法基础步骤，重点关注十字相乘法的因式分解技巧。因式分解：寻找两个数，和为6、积为5，可得1和5，即$$x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$$；令因式为0：$$(x + 1)(x + 5) = 0$$，则$$x + 1 = 0$$或$$x + 5 = 0$$；解得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$。二、中档题（每题20分，共40分）3.用因式分解法解方程：$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$解析：进阶考点——先化简方程，再用提公因式法、十字相乘法分步因式分解，强化因式分解的灵活性。第一步，化简方程：两边同时除以3，得$$x^2 - 2x - 3 = 0$$；第二步，因式分解：寻找两个数，和为-2、积为-3，可得1和-3，即$$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$；第三步，求解：令$$(x - 3)(x + 1) = 0$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -1$$。4.用因式分解法说明：不论x取何实数，代数式$$2x^2 - 4x + 5$$的值恒为正数。解析：进阶应用——将代数式因式分解（或配方辅助），结合平方的非负性，判断代数式取值范围。先对代数式配方辅助判断：$$2x^2 - 4x + 5 = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2[(x - 1)^2 - 1] + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$$；也可通过因式分解验证：假设代数式能分解为$$2(x + m)(x + n)$$，则对应方程$$2x^2 - 4x + 5 = 0$$的判别式$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 16 - 40 = -24 < 0$$，方程无实数根，即代数式不能分解为两个一次因式的积，且二次项系数为正，故代数式恒为正数。三、拓展题（30分）5.已知关于x的一元二次方程$$x^2 - 2x + k = 0$$有两个相等的实数根，用因式分解法求k的值及此时方程的根。解析：进阶拓展——结合判别式求参数，再用因式分解法求解方程，衔接前后知识点。第一步，求k的值：方程有两个相等的实数根，故判别式$$\Delta = 0$$，即$$(-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 0$$，解得$$k = 1$$；第二步，因式分解方程：将$$k = 1$$代入原方程，得$$x^2 - 2x + 1 = 0$$，该式为完全平方公式，因式分解得$$(x - 1)^2 = 0$$；第三步，求解：令$$x - 1 = 0$$，解得$$x_1 = x_2 = 1$$。总结：17.2.4因式分解法重点考查提公因式法、十字相乘法的应用，核心是将一元二次方程化为两个一次因式的积，关键在于熟练掌握因式分解技巧，注意先化简方程、再因式分解，同时衔接判别式的应用，确保求解准确。学习目标
1. 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程；(重点)
2. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想. (难点)
回顾导入
回顾 1：因式分解的方法有哪些？
（1）提公因式法：
ma + mb + mc = m(a + b + c)
（2）公式法：
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a2 ±2ab + b2 = (a ± b)2
（3）十字相乘法：
x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q)
回顾 2：把下列各式因式分解：
（1）2x2 – x；
（2）x2 – 16y2；
（3）9a2 – 24ab + 16b2；
（4）x2 + 3x – 10.
x(2x – 1)
(x + 4y)(x – 4y)
(3a – 4b)2
(x + 5)(x – 2)
推进新课
思 考
你会用什么方法解方程 x2 = 9？
直接开平方法
知识点 用因式分解法解一元二次方程
先变形为一般形式
x2 – 9 = 0
分解因式
(x + 3)(x – 3) = 0
如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0；反过来，如果两个因式中有一个等于 0，那么它们的积就等于 0.
(x + 3)(x – 3) = 0
因此，有 x – 3 = 0 或 x + 3 = 0.
x2 = 9
解这两个一次方程，得 x1 = 3，x2 = – 3.
这种通过因式分解，将这个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
方程的一边为 0；
另一边能分解成两个一次因式的积.
化归方法
公式法
例 5
解方程： x2 – 2x = 0.
分析：方程右边为 0，左边有公因式 x，可直接用提公因式法分解因式.
解：提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
二次方程 ax2 + bx = 0 (a ≠ 0) 的根：
把左边分解因式
x(ax + b) = 0.
x(x – 2) = 0.
x1 = 0，x2 = 2.
提公因式法
例 6
解方程：(x + 4)(x – 1) = 6.
分析：方程右边不为 0，左边为两个多项式相乘，先将方程化为一般形式，再尝试因式分解.
解：将原方程化为一般形式，得
x2 + 3x – 10 = 0.
– 10 = (– 2)×5，3 = (– 2) + 5
把方程左边分解因式，得
(x + 5)(x – 2) = 0.
因此，有 x + 5 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 5，x2 = 2.
十字相乘法
例 7
解方程： x2 = x.
分析：方程左右两边都有 x，可先移项，再用提公因式法分解因式.
解：移项、提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
x(x – 1) = 0.
x1 = 0，x2 = 1.
方程两边同除以 x，得 x = 1. 故方程的根为 x = 1.
这样做对吗？为什么？
方程两边不能除以含有未知数的整式，否则会失根.
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
1
2
因式分解，将方程左边分解为一次因式相乘的形式.
3
将方程降次为两个一元一次方程的形式 mx + n = 0 (m ≠ 0)
4
解两个一元一次方程，求出方程的根.
提公因式法
公式法
十字相乘法
方法
练一练
解下列方程：
【教材P30练习 T1】
（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；
（1） ；（2）4x2 – 3x = 0.
解：（1）由题意，得
所以原方程的根是
（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.
（2）提取公因式，得
因此，有 x = 0 或 4x – 3 = 0.
所以原方程的根是
x(4x – 3) = 0.
（3）3(x + 1) = x(x + 1)；（4）x2 – 6x – 7 = 0；
（3）将原方程化为一般形式，得
x2 – 2x – 3 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x + 1)(x – 3) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 3 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 1，x2 = 3.
（4）把方程左边分解因式，得
(x + 1)(x – 7) = 0.
因此，有 x + 1 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 1，x2 = 7.
不能直接两边同除以(x + 1)!
（5）t(t + 3) = 28；（6）(x + 1)(x + 3) = 15.
（5）将原方程化为一般形式，得
t2 + 3t – 28 = 0.
把方程左边分解因式，得
(t + 7)(t – 4) = 0.
因此，有 t + 7 = 0 或 t – 4 = 0.
所以原方程的根是
t1 = – 7，t2 = 4.
（6）将原方程化为一般形式，得
x2 + 4x – 12 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x + 6)(x – 2) = 0.
因此，有 x + 6 = 0 或 x – 2 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 6，x2 = 2.
总 结
方法 适用的方程
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
所有一元二次方程
解一元二次方程的方法及适用类型
x2 = p或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p 0)
所有一元二次方程
随堂练习
1. 解下列方程：
（1）x2 – 7x = – 12；（2）x2 – 2x – 8 = 0；
（3）x(x – 4) = x – 4；（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；
（5）(x + 2)2 = 3(2 + x) ；（6）3(x2 – 1) = 2(1 – x)2.
解：（1）将原方程化为一般形式，得
x2 – 7x + 12 = 0.
把方程左边分解因式，得
(x – 3)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 3 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 3，x2 = 4.
（2）x2 – 2x – 8 = 0；（3）x(x – 4) = x – 4；
（2）把方程左边分解因式，得
(x + 2)(x – 4) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 2，x2 = 4.
（3）移项、提取公因式，得
(x – 1)(x – 4) = 0.
因此，有 x – 1 = 0 或 x – 4 = 0.
所以原方程的根是
x1 = 1，x2 = 4.
（4）(x – 2)2 – 5(x – 2) = 0；（5）(x + 2)2 = 3(2 + x)；
（4）提取公因式，得
因此，有 x – 2 = 0 或 x – 7 = 0.
所以原方程的根是
(x – 2)(x – 7) = 0.
x1 = 2，x2 = 7.
（5）移项、提取公因式，得
(x + 2)(x – 1) = 0.
因此，有 x + 2 = 0 或 x – 1 = 0.
所以原方程的根是
x1 = – 2，x2 = 1.
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b);
a2±2ab + b2 = (a±b)2;
a2 - b2 = (a + b)(a - b).

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