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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.3一元二次方程根的判别式第17章一元二次方程及其应用17.3一元二次方程根的判别式练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.不解方程，判断方程$$x^2 - 8x + 12 = 0$$根的情况。解析：一元二次方程根的判别式核心是利用$$\Delta = b^2 - 4ac$$判断根的情况，步骤为先化为一般式，确定a、b、c的值，计算Δ，再根据Δ的符号判断：Δ>0有两个不相等实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ<0无实数根。第一步，确定a、b、c：方程为一般式$$x^2 - 8x + 12 = 0$$，其中$$a = 1$$，$$b = -8$$，$$c = 12$$；第二步，计算判别式：$$\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 64 - 48 = 16$$；第三步，判断根的情况：因为$$\Delta > 0$$，所以方程有两个不相等的实数根。2.不解方程，判断方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$根的情况。解析：巩固判别式基础应用，重点关注a、b、c的符号判断和Δ的计算准确性。由方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$，得$$a = 1$$，$$b = 6$$，$$c = 5$$；计算Δ：$$\Delta = 6^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16 > 0$$；结论：方程有两个不相等的实数根。二、中档题（每题20分，共40分）3.不解方程，判断方程$$3x^2 - 6x - 9 = 0$$根的情况，并说明理由。解析：进阶考点——先化简方程，再计算判别式，强化判别式与方程化简的结合应用。第一步，化简方程：两边同时除以3，得$$x^2 - 2x - 3 = 0$$，此时$$a = 1$$，$$b = -2$$，$$c = -3$$；第二步，计算Δ：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$$；第三步，判断理由：因为Δ>0，所以原方程有两个不相等的实数根（方程化简不改变根的情况）。4.已知关于x的一元二次方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$，当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？解析：进阶应用——根据根的情况求参数取值范围，核心是利用判别式建立不等式求解，注意二次项系数不为0（本题已满足）。由方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$，得$$a = 2$$，$$b = -4$$，$$c = k$$；方程有两个不相等的实数根，需满足$$\Delta > 0$$，即$$(-4)^2 - 4 \times 2 \times k &gt; 0$$；化简不等式：$$16 - 8k > 0$$，解得$$k < 2$$；结论：当$$k < 2$$时，方程有两个不相等的实数根。三、拓展题（30分）5.已知关于x的一元二次方程$$(m - 1)x^2 - 2x + 1 = 0$$有实数根，求m的取值范围。解析：进阶拓展——含参数且二次项系数不确定，需分情况讨论（二次方程、一次方程），结合判别式判断，注意二次项系数不能为0。第一步，分情况讨论：情况1：当$$m - 1 \neq 0$$（即$$m \neq 1$$）时，方程为一元二次方程，有实数根需满足$$\Delta \geq 0$$；计算Δ：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times (m - 1) \times 1 = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m$$；由$$\Delta \geq 0$$，得$$8 - 4m \geq 0$$，解得$$m \leq 2$$；结合$$m \neq 1$$，此时$$m \leq 2$$且$$m \neq 1$$。情况2：当$$m - 1 = 0$$（即$$m = 1$$）时，方程化为$$-2x + 1 = 0$$，是一元一次方程，有唯一实数根$$x = \frac{1}{2}$$，符合题意。第二步，综合两种情况：m的取值范围是$$m \leq 2$$。总结：17.3一元二次方程根的判别式重点考查Δ的计算、根据Δ判断根的情况，以及结合参数求取值范围，核心是准确确定a、b、c的值，熟练计算Δ，注意分情况讨论二次项系数不确定的情况，确保解题严谨。学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围. (重、难点)
回顾导入
配方法求方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式：
思 考
方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有实数根的条件是什么？
推进新课
知识点一 一元二次方程根的情况
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0.
b2 – 4ac 的值有三种情况：
① b2 – 4ac > 0
② b2 – 4ac = 0
③ b2 – 4ac < 0
① 当 b2 – 4ac > 0 时，
因此，方程有两个不相等的实数根：
② 当 b2 – 4ac = 0 时，
因此，方程有两个相等的实数根：
③ 当 b2 – 4ac < 0 时，
x 取任何实数都不能使
因此，方程没有实数根.
知识点二 一元二次方程根的判别式
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由 b2 – 4ac 来确定.
一般地，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ，其中 Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
此结论
反过来成
立吗？
反过来也成立
例
用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）
解：（1）因为 Δ = (–3)2 – 4×5×(–2) = 49 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
分析：(2) 先将方程化为一般形式，再代入判别式.
（2）原方程可变形为 25y2 – 20y + 4 = 0.
因为 Δ = (–20)2 – 4×25×4 = 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
例
用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）5x2 – 3x – 2 = 0；（2）25y2 + 4 = 20y；
（3）
所以原方程没有实数根.
（3）因为
练一练
【教材P35练习 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
（1）2x2 – 5x – 4 = 0；（2）7t2 – 5t + 2 = 0；
（3）x(x + 1) = 3；（4）
解：（1）因为 Δ = (–5)2 – 4×2×(–4) = 57 > 0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）因为 Δ = (–5)2 – 4×7×2 = – 31 < 0，
所以原方程没有实数根.
（3）x(x + 1) = 3；（4）
（3）原方程可变形为 x2 + x – 3 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
因为 Δ = 12 – 4×1×(–3) = 13 > 0，
所以原方程有两个相等的实数根.
因为
（4）原方程可变形为
练一练
【教材P35练习 T1】
1. 用根的判别式判别下列方程根的情况：
返回
C
C
返回
返回
D
3．[2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是(　　)
A．x2＋1＝0 B．x2－2x＋1＝0
C．x2＋x＋1＝0 D．x2＋x－1＝0
4. 关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
A
返回
返回
5．[2025德阳]若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　　)
A．2 B．0 C．－2 D．－4
C
返回
a≥－4
6．已知关于x的方程ax2－4x－1＝0至少有一个实数解，则a的取值范围是____________．
【点拨】当a＝0时，原方程为－4x－1＝0，则方程为一元一次方程，有一个实数解；当a≠0时，方程ax2－4x－1＝0是一元二次方程，则当Δ＝(－4)2－4a×(－1)＝16＋4a≥0时，方程有实数解，解得a≥－4.综上，a的取值范围是a≥－4.
课堂小结
b2 – 4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ = b2 – 4ac.
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.

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