资源简介

(共20张PPT)
沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.5.1面积问题与数字问题第17章一元二次方程及其应用17.5.1面积问题与数字问题练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.面积问题：一个矩形的长比宽多2cm，面积为15cm ，求这个矩形的长和宽。解析：面积问题核心是根据图形面积公式，结合已知条件建立一元二次方程，解题步骤为先设未知数，再列方程、解方程，最后检验结果是否符合实际意义（边长为正数）。第一步，设未知数：设矩形的宽为x cm，则长为(x + 2) cm；第二步，列方程：根据矩形面积公式“面积=长×宽”，得$$x(x + 2) = 15$$；第三步，整理方程：化为一般式$$x^2 + 2x - 15 = 0$$；第四步，解方程：因式分解得$$(x + 5)(x - 3) = 0$$，解得$$x_1 = 3$$，$$x_2 = -5$$；第五步，检验：边长不能为负数，舍去$$x_2 = -5$$，则宽为3cm，长为3 + 2 = 5cm；结论：矩形的长为5cm，宽为3cm。2.数字问题：一个两位数，十位数字比个位数字大3，两个数字的积为10，求这个两位数。解析：数字问题核心是明确两位数的表示方法（十位数字×10 +个位数字），设未知数后根据题意列方程，检验结果符合数字范围（0≤个位数字≤9，1≤十位数字≤9）。第一步，设未知数：设个位数字为x，则十位数字为(x + 3)；第二步，列方程：根据“两个数字的积为10”，得$$x(x + 3) = 10$$；第三步，整理方程：化为一般式$$x^2 + 3x - 10 = 0$$；第四步，解方程：因式分解得$$(x + 5)(x - 2) = 0$$，解得$$x_1 = 2$$，$$x_2 = -5$$；第五步，检验：个位数字不能为负数，舍去$$x_2 = -5$$，则个位数字为2，十位数字为2 + 3 = 5；结论：这个两位数为52。二、中档题（每题20分，共40分）3.面积问题：一个正方形的边长减少3cm后，面积变为原来的一半，求原正方形的边长（结果保留根号）。解析：进阶考点——正方形面积与边长的关系，结合“面积变化”建立方程，注意结果需符合实际意义，保留最简二次根式。第一步，设未知数：设原正方形的边长为x cm，则边长减少3cm后，新正方形的边长为(x - 3) cm；第二步，列方程：根据“新面积是原面积的一半”，得$$(x - 3)^2 = \frac{1}{2}x^2$$；第三步，整理方程：展开左边得$$x^2 - 6x + 9 = \frac{1}{2}x^2$$，移项化简为$$x^2 - 12x + 18 = 0$$；第四步，解方程：用公式法求解，$$a = 1$$，$$b = -12$$，$$c = 18$$，$$\Delta = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 18 = 144 - 72 = 72$$，$$x = \frac{12 \pm \sqrt{72}}{2} = 6 \pm 3\sqrt{2}$$；第五步，检验：边长减少3cm后仍为正数，故$$x - 3 > 0$$，即$$x > 3$$，舍去$$6 - 3\sqrt{2}$$（≈6 - 4.24 = 1.76 < 3）；结论：原正方形的边长为$$(6 + 3\sqrt{2})$$cm。4.数字问题：一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，若将两个数字交换位置，得到的新两位数比原两位数小18，求原两位数。解析：进阶应用——结合“数字和”与“两位数差值”建立方程组（或一元二次方程），核心是正确表示原两位数和新两位数。第一步，设未知数：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为(8 - x)，原两位数为$$10x + (8 - x) = 9x + 8$$；第二步，表示新两位数：交换位置后，十位数字为(8 - x)，个位数字为x，新两位数为$$10(8 - x) + x = 80 - 9x$$；第三步，列方程：根据“新两位数比原两位数小18”，得$$(9x + 8) - (80 - 9x) = 18$$；第四步，解方程：化简得$$18x - 72 = 18$$，解得$$x = 5$$；第五步，求原两位数：个位数字为8 - 5 = 3，原两位数为53；验证：新两位数为35，53 - 35 = 18，符合题意；结论：原两位数为53。三、拓展题（30分）5.综合问题：一个长方形草坪，长为20m，宽为15m，现要在草坪的四周修一条宽度相同的小路，使得小路的面积为136m ，求小路的宽度。解析：进阶拓展——环形面积问题，核心是明确“大长方形面积-草坪面积=小路面积”，设小路宽度为未知数，准确表示大长方形的长和宽。第一步，设未知数：设小路的宽度为x m，则修完小路后，大长方形的长为(20 + 2x) m，宽为(15 + 2x) m（小路在四周，长和宽都增加2x）；第二步，列方程：根据面积关系，得$$(20 + 2x)(15 + 2x) - 20 \times 15 = 136$$；第三步，整理方程：展开左边得$$300 + 40x + 30x + 4x^2 - 300 = 136$$，化简为$$4x^2 + 70x - 136 = 0$$，两边除以2得$$2x^2 + 35x - 68 = 0$$；第四步，解方程：用公式法求解，$$a = 2$$，$$b = 35$$，$$c = -68$$，$$\Delta = 35^2 - 4 \times 2 \times (-68) = 1225 + 544 = 1769$$，$$x = \frac{-35 \pm \sqrt{1769}}{4}$$；第五步，检验：宽度不能为负数，舍去负根，$$\sqrt{1769} \approx 42.06$$，则$$x \approx \frac{-35 + 42.06}{4} \approx 1.77$$（保留两位小数）；结论：小路的宽度约为1.77m（或保留根号表示为$$\frac{-35 + \sqrt{1769}}{4}$$m）。总结：17.5.1面积问题与数字问题重点考查一元二次方程在实际场景中的应用，核心是找准等量关系（面积公式、数字表示规则），正确设未知数、列方程，关键在于检验结果是否符合实际意义，确保解题贴合实际场景、步骤严谨。学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
回顾导入
a
h
a
a
a
b
b
a
h
a
b
a
h
r
a
h
列方程解应用题的一般步骤：
审
找
列
解
验
答
弄清题意和题中的数量关系，用字母表示问题涉及的未知数
分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）
根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程
解这个方程，求出未知数的值
检查所得的值是否正确和符合实际情形
写出答案（包括单位）
推进新课
如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空地上，修筑三条等宽的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成 6 块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应是多少？
20
32
(单位：m)
x
例 1
【教材P40 例1】
x
审
找
知识点一 面积问题
20
32
(单位：m)
x
解 设小路的宽是 x m，根据题意，得
32×20 – (32x + 2×20x) + 2x2 = 570
整理，得 x2 – 36x + 35 = 0
则 (x – 1)(x – 35) = 0
解方程，得 x1 = 1，x2 = 35.
x2 = 35 不合题意，所以 x = 1.
答：小路的宽应为 1 m.
列
解
验
答
练一练
【教材P43练习T2】
审
找
列
解
验
答
我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几步. 大意是：长方形面积 864 平方步，宽比长少 12 步，问长、宽共几步.（注：步为当时的长度单位）
解：设长方形的长是 x 步，则宽是 (x – 12) 步.
根据题意，得 x(x – 12) = 864
解方程，得 x1 = 36，x2 = – 24.
x2 = – 24 不合题意，所以 x = 36，所以 x – 12 = 24.
答：长方形的长为 36 步，宽为 24 步.
x
【教材P41 例4】
20
(单位：cm)
20
x–40
x
如图，将一块正方形金属片的四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高为 20 cm、容积为 2 880 cm3 的开口方盒. 原金属片的边长是多少？
例 2
方盒的高：
20 cm
方盒的底边长：
(x – 40) cm
方盒的底面积：
(x – 40)2 cm2
方盒的容积：
20(x – 40)2 cm3
解 设原金属片的边长是 x cm，则方盒的底边长是 (x – 40) cm. 根据题意，得
20(x – 40)2 = 2880
整理，得 (x – 40)2 = 144.
解方程，得 x1 = 52，x2 = 28.
x2 = 28 不合题意，所以 x = 52.
答：原金属片的边长是 52 cm.
x
20
(单位：cm)
20
x–40
练一练
【教材P43练习T1】
一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径.
等量关系：
x
解：设原来的内壁直径是 x mm，
根据题意，得
解方程，得 x1 = 18，x2 = 3.6.
x2 = 3.6 不合题意，所以 x = 18.
答：这根水管原来的内壁直径是 18 mm.
练一练
【教材P43练习T1】
一根水管内壁均匀地形成一层厚 3 mm 的附着物，从而导致流通截面（圆形）减少至原来的 . 求这根水管原来的内壁直径.
利用一元二次方程解决面积问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
知识点二 数字问题
【教材P41练习T1】
如果两个连续偶数的积是 288，求这两个数.
分析：
较小的偶数
x
较大的偶数
x + 2
积为288
x(x + 2) = 288
解：设前一个偶数是 x ，则后一个偶数是是 (x + 2) .
根据题意，得 x(x + 2) = 288
解方程，得 x1 = 16，x2 = – 18.
答：这两个数分别为 16 和 18，或 – 18 和 – 16.
所以 x1 + 2 = 18，x2 + 2 = – 16.
练一练
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.
分析：
原两位数
十位
个位
x
5 – x
10x + (5 – x)
个位十位对调
积为 736
现两位数
十位
个位
5 – x
x
10(5 – x) + x
解：设原来的两位数的十位上的数字为 x ，则个位上的数字为 (9 – x).
练一练
一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 9，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为 2268，求原来的两位数.
根据题意，得 [10x + (9 – x)][10(9 – x) + x] = 2268
解方程，得 x1 = 6，x2 = 3，则 9 – x1 = 3，9 – x2 = 6.
所以原来的两位数是 63 或 36.
解题策略：解决数字问题设未知数时，通常采用间接设元法.
设元的方法 方法解读
直接设元法 设待求量为未知数
间接设元法 设待求量之外的量为未知数，用含未知数的代数式表示待求量
辅助设元法 引入辅助未知数，并在解题过程中消去
返回
C
1．[2025福建]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x米，根据题意可列方程(　　)
A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6
C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6
2 m
返回
2．如图，长方形ABCD是一个花园，长AD为32 m，宽AB为20 m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的地方的面积为504 m2，那么小道的宽度应为________．
返回
200(1＋x)2＝401
3. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为________________．
课堂小结
面积问题：
利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；对于部分不规则图形，可以通过平移、旋转等变换，转化为规则图形来解决问题.
数字问题：
解决数字问题时，通常采用间接设元法设未知数.

展开更多......

收起↑