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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.4一元二次方程的根与系数的关系第17章一元二次方程及其应用17.4一元二次方程的根与系数的关系练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.已知方程$$x^2 - 8x + 12 = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$的值。解析：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）核心：对于一般式$$ax^2 + bx + c = 0$$（$$a \neq 0$$），两根之和$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$，两根之积$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$，解题时先确定a、b、c的值，再代入公式计算。第一步，确定a、b、c：方程为一般式$$x^2 - 8x + 12 = 0$$，其中$$a = 1$$，$$b = -8$$，$$c = 12$$；第二步，代入韦达定理公式：$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{1} = 8$$；第三步，计算两根之积：$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{1} = 12$$；结论：$$x_1 + x_2 = 8$$，$$x_1x_2 = 12$$。2.已知方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，求$$x_1 + x_2$$和$$x_1x_2$$的值，并验证两根是否满足该关系。解析：巩固韦达定理基础应用，同时衔接解方程，验证定理的正确性，强化记忆。由方程$$x^2 + 6x + 5 = 0$$，得$$a = 1$$，$$b = 6$$，$$c = 5$$；代入公式：$$x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6$$，$$x_1x_2 = \frac{5}{1} = 5$$；验证：解方程得$$x_1 = -1$$，$$x_2 = -5$$，$$x_1 + x_2 = -1 + (-5) = -6$$，$$x_1x_2 = (-1) \times (-5) = 5$$，与韦达定理结果一致。二、中档题（每题20分，共40分）3.已知一元二次方程的两个根为2和3，求这个一元二次方程（用一般式表示）。解析：进阶考点——逆用韦达定理，已知两根求方程，核心是利用两根之和与两根之积确定a、b、c的关系，通常取$$a = 1$$简化计算。第一步，设方程为$$x^2 + bx + c = 0$$（取$$a = 1$$），两根为$$x_1 = 2$$，$$x_2 = 3$$；第二步，由韦达定理：$$x_1 + x_2 = -b$$，$$x_1x_2 = c$$；计算得：$$2 + 3 = -b$$，即$$b = -5$$；$$2 \times 3 = c$$，即$$c = 6$$；第三步，写出方程：$$x^2 - 5x + 6 = 0$$（若取a为其他非零数，方程可化为同类项形式，如$$2x^2 - 10x + 12 = 0$$，合理即可）。4.已知关于x的一元二次方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$的两个根为$$x_1$$、$$x_2$$，且$$x_1 + x_2 = x_1x_2$$，求k的值。解析：进阶应用——结合韦达定理与已知条件建立方程，求解参数，注意先保证方程有实数根（判别式≥0）。由方程$$2x^2 - 4x + k = 0$$，得$$a = 2$$，$$b = -4$$，$$c = k$$；由韦达定理：$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{4}{2} = 2$$，$$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{2}$$；根据题意$$x_1 + x_2 = x_1x_2$$，得$$2 = \frac{k}{2}$$，解得$$k = 4$$；验证：当$$k = 4$$时，判别式$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 16 - 32 = -16 < 0$$，方程无实数根，不符合题意，故舍去；结论：不存在满足条件的k值。三、拓展题（30分）5.已知关于x的一元二次方程$$(m - 1)x^2 - 2x + 1 = 0$$有两个实数根$$x_1$$、$$x_2$$，且$$x_1^2 + x_2^2 = 2$$，求m的值。解析：进阶拓展——结合韦达定理、完全平方公式，含参数且需分情况讨论，注意二次项系数不为0和判别式≥0。第一步，确定前提条件：方程为一元二次方程，需满足$$m - 1 \neq 0$$（即$$m \neq 1$$），且有两个实数根，需$$\Delta \geq 0$$；计算判别式：$$\Delta = (-2)^2 - 4 \times (m - 1) \times 1 = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m \geq 0$$，解得$$m \leq 2$$；第二步，由韦达定理得：$$x_1 + x_2 = \frac{2}{m - 1}$$，$$x_1x_2 = \frac{1}{m - 1}$$；第三步，利用完全平方公式变形：$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$，代入已知条件$$x_1^2 + x_2^2 = 2$$；代入韦达定理结果：$$\left( \frac{2}{m - 1} \right)^2 - 2 \times \frac{1}{m - 1} = 2$$，令$$t = \frac{1}{m - 1}$$，方程化为$$4t^2 - 2t - 2 = 0$$，化简得$$2t^2 - t - 1 = 0$$；解得$$t = 1$$或$$t = -\frac{1}{2}$$；当$$t = 1$$时，$$\frac{1}{m - 1} = 1$$，解得$$m = 2$$（满足$$m \leq 2$$且$$m \neq 1$$）；当$$t = -\frac{1}{2}$$时，$$\frac{1}{m - 1} = -\frac{1}{2}$$，解得$$m = -1$$（满足$$m \leq 2$$且$$m \neq 1$$）；第四步，综合得：m的值为2或-1。总结：17.4一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）重点考查定理的正用、逆用，以及与判别式、完全平方公式的综合应用，核心是准确代入$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$和$$x_1x_2 = \frac{c}{a}$$，注意前提条件（$$a \neq 0$$、方程有实数根），确保解题严谨。学习目标
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点)
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点)
新课导入
探 索
从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？
①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③
由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2.
则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：
x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
(x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ②
推进新课
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
思 考
观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
韦达定理
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
练一练
【教材P38练习 T1】
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；
（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（1）
（2）
（3）
（4）3x2 = 1.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0.
例 1
已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
还有其他解法吗？
例 1
已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.
2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0
28 – 4k = 0
k = 7
2x2 + 7x – 4 = 0
练一练
【教材P38练习 T2】
已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
所以方程的另一个根为 ，m 的值为 16.
例 2
方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.
解：由韦达定理，得
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由韦达定理，得
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
由求根公式，得
拓展
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
①
②
③
④
⑤
⑥
练一练
【教材P38练习 T3】
设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1)；
（2）
（3）|x1 – x2|.
解：由韦达定理，得
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
（2）
（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
引申：对于 ax2 bx c 0（a 0， 0）
（1）若两根互为相反数，则 b 0；
（2）若两根互为倒数，则 a c；
（3）若一根为 0，则 c 0；
（4）若一根为 1，则 a b c 0；
（5）若一根为 1，则 a b c 0；
（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
你能自己推导出这些结果吗？
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D
1．[2025湖北]一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3
C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
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－3
3．[2025苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝________．
4．[2025泸州]若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为________．
10
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5．[2025河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
6．定义(a，b，c)为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的特征数．若特征数为(1，2k－2，k2－k)的方程的两实数根的平方和为12，则k的值为(　　)
A．－1或4 B．4 C．－1 D．－4或1
【点拨】根据题意可知，该方程为x2＋(2k－2)x＋k2－k＝0.∵方程的两实数根的平方和为12，∴Δ＝(2k－2)2－4(k2－k)＝4k2－8k＋4－4k2＋4k＝－4k＋4≥0.∴k≤1.设两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－k.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，∴[－(2k－2)]2－2(k2－k)＝12，解得k1＝4，k2＝－1.又∵k≤1，∴k＝－1.
【答案】C
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课堂小结
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ，
那么
韦达定理

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