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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.17.5.3商品利润问题第17章一元二次方程及其应用班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题15分，共30分）1.基础利润问题：一件商品的进价为80元，售价为100元，求这件商品的单件利润和利润率。解析：商品利润问题核心是掌握核心公式：单件利润=售价-进价；利润率=$$\frac{单件利润}{进价} \times 100\%$$，解题时找准进价、售价两个关键量，代入公式计算即可，注意利润率需转化为百分数。第一步，计算单件利润：根据公式，单件利润=售价-进价=100 - 80 = 20元；第二步，计算利润率：代入利润率公式，利润率=$$\frac{20}{80} \times 100\% = 25\%$$；第三步，检验：利润和利润率均为正数，符合实际意义；结论：这件商品的单件利润为20元，利润率为25%。2.基础利润问题：一件商品进价为120元，按30%的利润率定价，求这件商品的售价。解析：巩固利润核心公式，重点考查“已知进价和利润率求售价”，可由利润率公式变形得出：售价=进价×(1+利润率)。第一步，明确已知量：进价=120元，利润率=30%=0.3；第二步，代入变形公式：售价=120×(1 + 30%) = 120×1.3 = 156元；第三步，验证：单件利润=156 - 120 = 36元，利润率=$$\frac{36}{120} \times 100\% = 30\%$$，符合题意；结论：这件商品的售价为156元。二、中档题（每题20分，共40分）3.利润问题：某商店购进一批商品，每件进价为50元，计划每件售价为70元，可卖出200件。若每件售价每降低1元，可多卖出20件，求每件售价降低多少元时，总利润为4800元。解析：进阶考点——销量与售价关联的总利润问题，核心公式：总利润=单件利润×销量，需明确“售价降低后，单件利润和销量的变化规律”，列一元二次方程求解。第一步，设未知数：设每件售价降低x元；第二步，分析变化量：降低x元后，每件售价=70 - x元，单件利润=(70 - x) - 50 = 20 - x元；销量变化：每降低1元多卖20件，降低x元后，销量=200 + 20x件；第三步，列方程：根据总利润公式，得(20 - x)(200 + 20x) = 4800；第四步，解方程：展开左边得4000 + 400x - 200x - 20x = 4800，整理为-20x + 200x - 800 = 0，两边除以-20得x - 10x + 40 = 0；计算判别式Δ=(-10) - 4×1×40 = 100 - 160 = -60＜0，此时方程无实数根；调整验证：若总利润为4200元，方程变为(20 - x)(200 + 20x) = 4200，解得x =5，x =1（均符合实际意义）；结论：本题所给总利润4800元无法实现；若总利润为4200元，每件售价降低1元或5元。4.利润问题：某商品进价为60元，按标价的8折出售，仍可获得20%的利润率，求该商品的标价。解析：进阶应用——折扣与利润率结合，核心是明确“折后售价=标价×折扣”，再结合利润率公式建立方程，找准各量之间的关系。第一步，设未知数：设该商品的标价为x元；第二步，明确各量关系：8折出售，折后售价=0.8x元；获得20%的利润率，折后售价=进价×(1+利润率)=60×(1+20%)=72元；第三步，列方程：0.8x = 72；第四步，解方程：x = 72÷0.8 = 90元；检验：折后售价=90×0.8=72元，单件利润=72-60=12元，利润率=12÷60×100%=20%，符合题意；结论：该商品的标价为90元。三、拓展题（30分）5.综合利润问题：某商店销售一批服装，每件进价为150元，原售价为200元，每月可卖出80件。为了提高销量，商店决定降价促销，经调查发现，每件售价每降低5元，每月可多卖出20件。若每月计划获得4800元的总利润，且保证销量不低于120件，求每件服装应降价多少元。解析：进阶拓展——结合销量限制的综合利润问题，核心是先建立总利润方程，再结合销量条件筛选符合题意的解，确保解题严谨。第一步，设未知数：设每件服装应降价5x元（简化计算，贴合“每降低5元多卖20件”的规律）；第二步，分析变化量：降价5x元后，每件售价=200 - 5x元，单件利润=(200 - 5x) - 150 = 50 - 5x元；销量变化：每降低5元多卖20件，降价5x元后，销量=80 + 20x件；第三步，列方程：根据总利润=单件利润×销量，得(50 - 5x)(80 + 20x) = 4800；第四步，解方程：展开左边得4000 + 1000x - 400x - 100x = 4800，整理为-100x + 600x - 800 = 0，两边除以-100得x - 6x + 8 = 0；因式分解得(x - 2)(x - 4) = 0，解得x =2，x =4；第五步，结合销量限制筛选：销量≥120件，即80 + 20x ≥ 120，解得x ≥ 2；学习目标
1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点)
2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点)
回顾导入
销售中的等量关系：
售价
利润
利润率
= 进价 + 利润 = 进价×(1 + 利润率)
= 售价 – 进价 = 进价×利润率
= ×100% = ×100%
利润
进价
售价 – 进价
进价
= 商品的标价×
10
折扣数
总利润
= 总售价 – 总成本 = 单间利润×销售总量
一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元. 为了增加盈利，该店进行降价促销，一段时间后发现，在每件盈利不少于 25 元的前提下，单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为 1200 元？
例 1
知识点 商品利润问题
推进新课
x
每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元
原来
现在
40
40 – x
20
20 + 2x
40×20
(40 – x)(20 + 2x)
解 当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为 1200 元，根据题意，得
(40 – x)(20 + 2x) = 1200
整理，得 x2 – 30x + 200 = 0
解方程，得 x1 = 10，x2 = 20.
因为要求每件盈利不少于 25 元，
所以 40 – x ≥ 25，解得 x ≤ 15.
x2 = 20 不合题意，所以 x = 10.
答： 当每件商品降价 10 元时，该商店每天的销售利润为 1200 元.
练一练
每件利润/元 日售数量/件 日销售利润/元
降价前
降价后
60 – 40 = 20
x – 40
20
20×20
(x – 40)(140 – 2x)
某电商在平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件. 通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件. 若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
x
140 – 2x
解：设每件售价应定为 x 元，则每件的利润为 (x – 40) 元，日销售量为
根据题意，得 (x – 40)(140 – 2x) = 60 – 40
解方程，得 x1 = 50，x2 = 60.
x2 = 60 不合题意，所以 x = 50.
答：每件售价应定为 50 元.
随堂练习
1. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植入 3 株时，平均单株盈利 5 元；若每盆每增加 1 株，平均单株盈利就减少 0.5 元，要使每盆的盈利为 20 元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 x 株花苗，则可列方程为______________________.
(x + 3)(5 – 0.5x) = 20
单株盈利/元 每盆花苗数/株 每盆盈利/元
增加前
增加后
5
5 – 0.5x
3
5×3
(x + 3)(5 – 0.5x)
3 + x
题型 变化率问题与商品利润问题的综合
2. 某商店以每件 40 元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件 50 元上涨到每件 72 元，此时每月可售出 180 件商品.
（1）求该商品平均每月的价格增长率.
解：设该商品平均每月的价格增长率为 m.
根据题意，得 50(1 + m)2 = 72
解方程，得 m1 = 0.2 = 20%，m2 = – 2.2.
m2 = – 2.2 不合题意，所以 m = 20%.
答：该商品平均每月的价格增长率为 20%.
题型 变化率问题与商品利润问题的综合
2. 某商店以每件 40 元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件 50 元上涨到每件 72 元，此时每月可售出 180 件商品.
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售. 经市场调查发现：售价每降低 1 元，每个月多卖出 10 件. 设实际售价为 x 元，则 x 为多少时，该商品每月的利润可达到 6000 元？
解：根据题意，得 (x – 40)[180 + 10(72 – x)] = 6000
解方程，得 x1 = 60，x2 = 70.
因为商家需尽快将这批商品售出，所以 x = 60.
答：x 为 60 时，该商品每月的利润可达到 6000 元.
题型 商品利润问题与一次函数的综合
3. 某超市以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售. 现在为了尽快售完，决定降价销售，已知这种干果销售量 y（单位：kg）与每千克降价 x（单位：元）（0 < x < 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
分析：利用待定系数法求出 y 关于 x 的函数解析式
解：设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx + b，
根据题意，得
解得
所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = 10x + 100 (0 < x < 20).
题型 商品利润问题与一次函数的综合
3. 某超市以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售. 现在为了尽快售完，决定降价销售，已知这种干果销售量 y（单位：kg）与每千克降价 x（单位：元）（0 < x < 20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（2）超市要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？
分析：利用“干果销售量×每千克的利润=总利润”建立方程并求解.
解：根据题意，得 (60 – 40 – x)(10x + 100) = 2090
解方程，得 x1 = 1，x2 = 9.
因为超市需尽快将售完这批干果，所以 x = 9.
答：超市要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元.
7. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟二十号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟二十号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低_____元．
20
【点拨】设售价应降低a元，
由题意得(100－a－60)(20＋2a)＝1 200，
解得a＝10或a＝20，
∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a＝20.
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9
8．三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的数的6倍大3，则最大数为________．
【点拨】设中间的正奇数为x，
则另外两个正奇数为x－2，x＋2.
由题意，得(x－2)(x＋2)＝6x＋3，
整理得x2－6x－7＝0，
解得x1＝7，x2＝－1(不合题意，舍去)，
∴这三个数为5，7，9.∴最大数是 9.
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4或6
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5 cm，点E从点A出发，沿射线AB运动，速度为2 cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1 cm/s，连接EF.E，F两点同时出发，当点F到达点A时，
点E也停止运动，请问经过________s后，
△AEF的面积恰为12 cm2.
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课堂小结
商品利润问题：
用表格将题目中的每件盈利、销售数量、获得利润等各个量表示出来，进行对比，可以直观地理顺它们之间的关系，便于从中找出等量关系，列出方程.

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