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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.18.1第3课时数学活动——利用勾股定理进行尺规作图第18章勾股定理沪科版数学八下18.1数学活动——利用勾股定理进行尺规作图本数学活动围绕沪科版八年级下册18.1勾股定理，结合尺规作图的基本方法，探究如何利用勾股定理作出长度为无理数的线段、构造直角三角形，衔接勾股定理的核心知识点（直角三角形a +b =c ，a、b为直角边，c为斜边），兼顾原理讲解、作图步骤、例题解析和练习题，贴合课堂活动要求，帮助同学们掌握“用尺规作图表示无理数”“构造特定直角三角形”的方法，培养几何作图与逻辑推理能力。一、活动核心原理勾股定理的逆用的延伸：若已知线段长度为√n（n为正整数，且n不是完全平方数），可将其看作直角三角形的斜边，找两个正整数a、b，使a +b =n，再用尺规作出两条长度为a、b的直角边，构造直角三角形，其斜边即为长度为√n的线段；若需构造特定边长的直角三角形，可直接利用尺规作直角，再截取对应直角边长度，连接斜边即可。关键前提：尺规作图的基本操作（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知直角、作线段的垂直平分线等），熟练运用这些操作，结合勾股定理即可完成相关作图。二、常见作图类型及步骤（尺规作图，保留作图痕迹）类型1：作一条线段，使其长度等于√n（以作√5为例）1.作射线AM，在射线AM上截取线段AB=2（单位长度，可任意设定，通常取1或2，方便计算）；2.过点B作AB的垂线BN（尺规作直角：以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接该点与B，即为垂线BN）；3.在垂线BN上截取线段BC=1（因2 +1 =5，故直角边AB=2，BC=1，斜边AC=√5）；4.连接AC，线段AC即为所求，长度为√5。类型2：构造一个直角三角形，使其两直角边分别为已知线段a、b，求作斜边1.作∠MON=90°（尺规作直角，方法同上）；2.在射线OM上截取OA=a，在射线ON上截取OB=b；3.连接AB，△AOB即为所求直角三角形，AB为斜边，长度可由勾股定理计算得出（AB=√(a +b )）。类型3：作一条线段，使其长度等于√(a -b )（已知a>b，构造直角三角形，斜边为a，一条直角边为b）1.作射线AP，在射线AP上截取线段AC=a；2.以C为圆心，b为半径画弧，交射线AP于点D（CD=b）；3.过点D作AP的垂线，以A为圆心，AC=a为半径画弧，交垂线于点B；4.连接AB、BC，△ABC为直角三角形（∠ADB=90°），线段BD即为所求，长度为√(a -b )。三、例题解析例题：已知线段a=3（单位长度），用尺规作图作出长度为√13的线段，并说明作图理由。作图步骤：1.作射线AB，在AB上截取线段AC=3；2.过点C作AC的垂线CD，在CD上截取线段CE=2（因3 +2 =13，满足勾股定理）；3.连接AE，线段AE即为所求，长度为√13。理由：由作图可知，∠ACE=90°，△ACE为直角三角形，AC=3，CE=2，根据勾股定理，AE =AC +CE =3 +2 =13，故AE=√13。四、巩固练习题（尺规作图，保留作图痕迹，说明理由）1.用尺规作图作出长度为√2的线段。2.已知线段m=4，n=3，作一个直角三角形，使其两直角边分别为m、n，作出斜边并计算斜边长度。3.用尺规作图作出长度为√7的线段（提示：7=2 +(√3) ，可先作√3，再构造直角三角形）。4.已知线段AB=5，用尺规作图作出线段AC，使AC=√(AB -3 )，并说明作图依据。五、易错点提醒1.作图时必须保留尺规作图痕迹（弧、交点），不可用直尺直接测量绘制，否则不符合尺规作图要求；2.构造直角三角形时，需明确直角边和斜边，避免混淆，确保满足勾股定理的等量关系；3.作垂线时，两弧交点需清晰，确保垂线垂直于已知线段；截取线段时，刻度需准确，与已知长度一致。六、练习题参考答案（作图提示）1.提示：作直角边为1、1的直角三角形，斜边即为√2（1 +1 =2）；2.提示：作直角，截取两直角边为4、3，斜边长度为5（3 +4 =5 ）；3.提示：先作√3（直角边1、√2），再以√3、2为直角边，斜边即为√7；4.提示：以AB为斜边，作一条直角边为3的直角三角形，另一条直角边即为√(5 -3 )=4。探究新知
你见过右面的图形吗？从图中你能看出什么？
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来，其一般步骤如下：
取 OA1 = 1 = ，作 Rt△OA1A2，使 A2A1⊥OA1，A2A1 = OA1 = 1，则 OA2 = .
长度为正整数的算术平方根的线段，可以用尺规作图的方法作出来，其一般步骤如下：
过点 A2 ，在 Rt△OA1A2 外作 A3A2⊥OA2，且取 A3A2 = 1，连接 OA3，则 OA3 = .
······
如上继续下去，就可以作出长度为任一正整数的算术平方根的线段.
你能在数轴上画出表示 的点吗？
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
3
﹣2.5
想一想，试一试：
1. 你能在数轴上能表示出哪些数？
2. 你能画出 的线段长度吗？这个长度在数轴上怎么画出？借助直尺和圆规试一试吧！
3. 长 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？画一画吧！
任何一个实数
你能在数轴上表示出 的点吗？
我们知道，长为 的线段是两条直角边的长都为 1 的直角三角形的斜边.
1
1
O
1
2
3
4
1
你能在数轴上画出表示 的点吗？
O
1
2
3
4
在数轴上找出表示 3 的点 A，则 OA = 3.
过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB = 2.
以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点.
A
B
C
l
也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点.
作长为 （n 是大于 1 的整数）的线段，关键是找到正整数 a，b，使 a2 + b2 = n.
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
利用勾股定理表示无理数的方法：
（2）以原点为圆心，以无理数的斜边长为半径画弧，找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
1
–1
0
1
2
3
你能用类似的方法在数轴上找到更多无理数的点吗？如： ……
随堂练习
1. 如图，数轴上点 A 表示的数为 1，AB ⊥ OA，且 AB = OA. 以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴的负半轴于点 C，则点 C 所表示的数为（ ）
D
A. B. C. D.
2. 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，则 a 的值是（ ）
B
A. B. C. D.
3. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高. 分别以线段 AB，AC，BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2， S3，S4. 请写出关于 S1，S2，S3，S4 的等式.
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，AD2 = AB2 – BD2 = AC2 – CD2.
因为 S1 = AB2，S2 = AC2，S3 = BD2，S4 = CD2，
所以 S1 – S3 = S2 – S4 .
4. 在数轴上做出表示 的点.
解：点 A 即为表示 的点.

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