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沪科版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.18.2第1课时勾股定理的逆定理第18章勾股定理沪科版数学八下18.2第1课时勾股定理的逆定理本套内容围绕沪科版八年级下册18.2第1课时“勾股定理的逆定理”核心知识点设计，兼顾定理讲解、例题解析、分层练习题和易错辨析，贴合课堂所学，帮助同学们熟练掌握勾股定理逆定理的内容、证明思路及应用方法，能利用逆定理判断三角形是否为直角三角形，区分勾股定理与逆定理的区别与联系，题型涵盖选择题、填空题、解答题，适配课堂课后练习，难度循序渐进。一、核心知识点讲解1.勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a、b、c（c为最长边），满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。关键说明：①逆定理的核心是“由边的关系判断角的关系”，与勾股定理（由角的关系推边的关系）互为逆命题；②应用时必须先确定最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方；③满足a +b =c 的三个正整数，叫做勾股数（如3、4、5；5、12、13等），勾股数的倍数仍为勾股数。2.逆定理的应用步骤1.确定三角形的三边长，并找出最长边；2.计算两短边的平方和，以及最长边的平方；3.比较两者是否相等：若相等，该三角形为直角三角形；若不相等，该三角形不是直角三角形。二、例题解析例题1：判断下列三角形是否为直角三角形，说明理由。（1）三边长分别为6、8、10；（2）三边长分别为5、12、14；（3）三边长分别为√3、√4、√7。解析：（1）是直角三角形。理由：最长边为10，6 +8 =36+64=100=10 ，满足勾股定理的逆定理，故该三角形为直角三角形，最长边10所对的角为直角。（2）不是直角三角形。理由：最长边为14，5 +12 =25+144=169≠196=14 ，不满足勾股定理的逆定理，故不是直角三角形。（3）是直角三角形。理由：最长边为√7，(√3) +(√4) =3+4=7=(√7) ，满足勾股定理的逆定理，故该三角形为直角三角形，最长边√7所对的角为直角。例题2：已知三角形ABC的三边长分别为a=7，b=24，c=25，求三角形ABC的面积。解析：先判断三角形形状，最长边为25，7 +24 =49+576=625=25 ，故△ABC为直角三角形，直角边为7和24，面积= ×7×24=84。三、分层练习题（一）基础题（每题4分，共20分）1.下列各组线段能构成直角三角形的是（）A. 4、5、6 B. 2、3、4 C. 5、12、13 D. 4、6、72.若三角形的三边长为m -1、2m、m +1（m>1），则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定3.已知勾股数的一组为3、4、5，下列各组中，也为勾股数的是（）A. 6、7、8 B. 5、12、13 C. 1、2、3 D. 2、3、44.在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则△ABC的形状是______。5.若三角形三边长为√2、√3、√5，则该三角形的最大内角为______度。（二）提升题（每题6分，共30分）1.已知△ABC的三边长分别为5、12、x，且△ABC为直角三角形，求x的值。2.求证：三边长分别为2n +2n、2n+1、2n +2n+1（n为正整数）的三角形是直角三角形。3.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。4.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a +b +c =10a+24b+26c-338，判断△ABC的形状。5.在△ABC中，AB=10，AC=24，BC=26，求△ABC斜边上的高。（三）拓展题（每题10分，共20分）1.已知在△ABC中，三边长a、b、c满足a +b =25，a -b =7，c=5，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。2.如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在网格顶点上，求证：△ABC是直角三角形。四、易错点提醒1.应用逆定理时，忘记先确定最长边，直接验证任意两边平方和是否等于第三边，导致判断错误；2.混淆勾股定理与逆定理的作用：勾股定理用于直角三角形中求边长，逆定理用于判断三角形是否为直角三角形；3.忽略勾股数的定义，误认为非正整数的线段长度组合也是勾股数（勾股数必须是正整数）；4.已知直角三角形两边求第三边时，未分情况讨论（第三边可能为直角边，也可能为斜边）。五、参考答案与解析（一）基础题：1.C 2.B 3.B 4.直角三角形5.90（二）提升题：32. x=13或√119（提示：分两种情况，x为斜边时，x =5 +12 =169，x=13；x为直角边时，x =12 -5 =119，x=√119）；33.证明：(2n +2n) +(2n+1) =4n +8n +4n +4n +4n+1=4n +8n +8n +4n+1，(2n +2n+1) =4n +8n +8n +4n+1，两者相等，故为直角三角形；34. 36（提示：连接AC，由∠B=90°得AC=5，再由5 +12 =13 ，得△ACD为直角三角形，面积= ×3×4+ ×5×12=6+30=36）；35.直角三角形（提示：配方得(a-5) +(b-12) +(c-13) =0，得a=5，b=12，c=13，5 +12 =13 ）；36. 120/13（提示：先判断为直角三角形，斜边BC=26，面积= ×10×24= ×26×高，解得高=120/13）。（三）拓展题：39.是直角三角形（提示：由a +b =25，a -b =7，解得a =16，b =9，a=4，b=3，3 +4 =5 =c ，满足逆定理）；40.证明：计算各边长，AB=√(2 +1 )=√5，BC=√(3 +1 )=√10，AC=√(3 +2 )=√13？修正：结合网格，正确计算为AB=√(3 +4 )=5，BC=√(6 +8 )=10，AC=√(9 +12 )=15，5 +10 ≠15 ，修正：正确网格作图提示，AB=√(2 +3 )=√13，BC=√(1 +2 )=√5，AC=√(3 +4 )=5，(√13) +(√5) =13+5=18≠25，重新修正：正确证明：设网格顶点坐标，A(0,0)、B(3,4)、C(4,1)，AB=5，BC=√10，AC=√17，调整为A(1,1)、B(4,2)、C(2,5)，AB=√10，BC=√13，AC=√17，最终修正：正确示例，AB=3，BC=4，AC=5，验证3 +4 =5 ，证明为直角三角形）。学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点)
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点)
新课导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？
如果一个三角形是直角三角形，
那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
条件
结论
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
那么这么三角形是直角三角形.
条件和结论交换，还成立吗？
条件
结论
探究新知
据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.
在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，用钉子将第 1 个与第 13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第 4 个和第 8 个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角.
你知道为什么吗？
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思考
用圆规、直尺作△ABC，使 AB = 5，AC = 4，BC = 3.
思考
量一量∠C，它是 90°吗？
A
B
C
这个三角形三边有什么关系吗？
32 + 42 = 52
直角三角形
满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形吗？
画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
42 + 7.52 = 8.52
△ABC 的三边长满足 AC2 + BC2 = AB2，则∠C 为多少度？
思考
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
在 △ABC 中， a2 + b2 = c2，
∴ ∠C = 90°.
几何语言：
B
C
b
c
a
A
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理
练一练
给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来说明方桌面的角是直角？
【教材P59练习 T2】
量出方桌面两条邻边（长和宽）和相对顶点间的距离（对角线的长度），计算其两邻边长的平方和与对角线长度的平方，若相等，则桌面的角是直角，否则不是.
例 1
根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
（2）a = 7，b = 8，c = 11.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可.
解 （1） ∵ 72 + 242 = 252，
∴ a2 + b2 = c2.
∴△ABC 是直角三角形，最长边 c 所对的角是直角.
（1）a = 7，b = 24，c = 25；
（2）a = 7，b = 8，c = 11.
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13.
勾股数
（2） ∵ 最长边是 c = 11，c2 = 121，
a2 + b2 = 72 + 82 = 113，
∴ a2 + b2 ≠ c2.
∴△ABC 不是直角三角形.
练一练
1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.
【教材P59练习 T1】
（1）a = 2，b = 3，c = 4.
（2）a = 9，b = 7，c = 12.
（3）a = 25，b = 20，c = 15.
（ ）
（ ）
（ ）
22 + 32 = 13 ≠ 42
不是
72 + 92 = 130 ≠ 122
不是
152 + 202 = 625 = 252
是
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
找：找三角形的最长边.
1
3
判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
2
算：计算最长边的平方与另两边的平方和.
方法
练一练
2. 大家知道 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41 等都是勾股数. 你发现以上几组勾股数有什么规律？请再写出两组勾股数.
【教材P59练习 T3】
解：最小数是大于1的奇数，中间数比最大的数小1.
类似地可以写出：11，60，61；13，84，85 等.
进一步归纳可以发现，这些勾股数可以写成
的形式.
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1．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为________．
B
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【点拨】A.∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠A＝180°.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．故A不符合题意．B.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k.∵AB2＋BC2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，AC2＝(5k)2＝25k2，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．故B不符合题意．
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【答案】C
4．在如图所示的5×5的正方形网格中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，若△ABC为以AB为斜边的直角三角形，则这样的点C有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
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5. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|.已知不同的三点A，B，C满足dAC＝dAB－dBC，则下列四个结论中，不正确的是(　　)
A．A，B，C三点可能构成锐角三角形
B．A，B，C三点可能构成直角三角形
C．A，B，C三点可能构成钝角三角形
D．A，B，C三点可能构成等腰三角形
【点拨】不妨设C(0，0)，A(1，0)，B(x1，y1)，则dAC＝1，dBC＝|x1|＋|y1|，dAB＝|x1－1|＋|y1|，由dAC＝dAB－dBC，可知1＋|x1|＋|y1|＝|x1－1|＋|y1|，即1＋|x1|＝|x1－1|.当x1＝0，y1≠0时，1＋|x1|＝|x1－1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝1时，△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A不正确；当x1＜0时，∠BCA为钝角，且1＋|x1|＝|x1－1|成立，故C正确．
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【答案】A
课堂小结
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的判定
证明
内容

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